Sự tồn tại nghiệm của mô hình động học rừng với điều kiện biên dirichlet

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN—————– PHẠM THỊ MAI SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MÔ HÌNH ĐỘNG HỌC RỪNG VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN DIRICHLET LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 201

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

—————–

PHẠM THỊ MAI

SỰ TỒN TẠI NGHIỆM

CỦA MÔ HÌNH ĐỘNG HỌC RỪNG VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN DIRICHLET

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2017

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

—————–

PHẠM THỊ MAI

SỰ TỒN TẠI NGHIỆM

CỦA MÔ HÌNH ĐỘNG HỌC RỪNG VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN DIRICHLET

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Huy Chuẩn

Hà Nội - 2017

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, em xin bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Lê Huy Chuẩn người đã tận tình hướng dẫn để em cóthể hoàn thành luận văn này

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáotrong khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học QuốcGia Hà Nội đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa.Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trìnhhọc tập và thực hiện luận văn

Hà Nội, ngày 8 tháng 10 năm 2017

Học viên

Phạm Thị Mai

Mục lục

1.1 Một số không gian hàm và các kết quả liên quan 5

1.2 Toán tử quạt 7

1.3 Toán tử Laplace kết hợp với điều kiện biên Dirichlet 9 1.4 Phương trình tiến hóa tuyến tính 11

1.5 Phương trình tiến hóa nửa tuyến tính 12

Chương 2 Mô hình động học rừng với điều kiện biên Dirichlet 22 2.1 Sự tồn tại nghiệm địa phương 23

2.2 Tính không âm của nghiệm địa phương 26

2.3 Nghiệm toàn cục 28

2.3.1 Ước lượng tiên nghiệm 28

2.3.2 Sự tồn tại nghiệm toàn cục 34

2.3.3 Một số đánh giá cho nghiệm toàn cục 35

2.4 Hệ động lực 38

2.4.1 Hàm Lyapunov 39

2.4.2 Các tập ω-limit 42

2.4.3 Tập L2-ω-limit 43

LỜI MỞ ĐẦU

Bảo tồn nguồn tài nguyên rừng là một trong những chủ đề về môi trườngđược quan tâm nhất hiện nay Những vấn đề cơ bản trong nghiên cứu bảotồn nguồn tài nguyên rừng được biết tới như: quy luật phát triển của mỗi cáthể cây, cây trong một khu vực rừng, cây trong rừng và cả những hệ thốngphức tạp bao gồm hệ thống rừng và những hệ thống khác như đất, nước, thờitiết cùng với những tương tác giữa các hệ thống nêu trên,

Nhiều nhà khoa học trên thế giới đã nghiên cứu về các vấn đề trên và đạtđược những kết quả quan trọng Vào năm 1972, D B Botkin trong [2] đãđưa ra mô hình toán học cơ sở đầu tiên về sự phát triển của rừng Trong đó,Botkin đã nghiên cứu một khu vực khoảng (100m3 tới 300m3) rừng và đưa

ra phương trình phát triển cho mỗi cây cùng với sự tương tác giữa các câytrong khu vực Tiếp theo vào năm 1983, hai tác giả M.Ya Antonovsky và M

D Korzukhin trong [1] đã đưa ra mô hình toán học về rừng trong đó quantâm tới mối quan hệ giữa các cây phụ thuộc tuổi Mô hình đó sau này vàonăm 1994 đã được các tác giả Yu A Kuznetsov, M Ya Antonovsky, V N.Biktashev và A Aponina trong [4] phát triển thành mô hình mô tả sự pháttriển của rừng thông qua mối quan hệ giữa các cây phụ thuộc tuổi và quátrình tái sinh

Cụ thể là, trong một miền hai chiều bị chặn Ω, ta xét một hệ rừng đơnloài và giả sử rằng các cây được chia thành hai lớp tuổi cây non và cây trưởngthành Có ba yếu tố cấu thành của hệ rừng: cây non, cây trưởng thành vàhạt giống trong không khí Chúng tạo thành một mô hình động học thể hiện

quá trình phát triển của hệ rừng như sau:

và tại thời điểm t ∈ [0, ∞) Hàm w(x, t) là mật độ hạt trong không khí tại

x ∈ Ω và tại t ∈ [0, ∞) Phương trình thứ nhất và thứ hai mô tả sự pháttriển của các cây non và các cây trưởng thành Phương trình thứ ba thể hiệnđộng lực của các hạt trong không khí; d > 0 là hằng số khuếch tán của hạt,

và α > 0 và β > 0 lần lượt là tỉ lệ hạt được tạo ra và số hạt rơi xuống đất.Trong khi đó, 0 < δ ≤ 1 là tỉ lệ hạt nảy mầm, γ(v) > 0 là tỉ lệ chết của câynon, phụ thuộc vào tỉ lệ cây trưởng thành v, f > 0 là tỉ lệ cây non phát triểnthành cây trưởng thành, và h > 0 là tỉ lệ chết của cây trưởng thành Hàmγ(v) xác định bởi γ(v) = a(v − b)2+ c, với a > 0, b > 0 và c > 0 Với w, một

số điều kiện biên được đặt trên biên ∂Ω Các hàm giá trị ban đầu không âm

u0(x) ≥ 0, v0(x) ≥ 0 và w0(x) ≥ 0 được lấy trong Ω

Mô hình (1) đã được một số tác giả nghiên cứu Với điều kiện biên Dirichletđặt lên w, tức là w = 0 trên ∂Ω × (0, ∞), các tác giả đã chứng minh sự tồntại nghiệm địa phương, nghiệm toàn cục, xây dựng hệ động lực và chỉ ra sựtồn tại hàm Lyapunov cho hệ (1)

Nội dung của luận văn là trình bày lại một số kết quả nghiên cứu mô hìnhđộng học rừng với điều kiện biên Dirichlet Bố cục của luận văn bao gồm 2chương:

• Chương 1 của luận văn trình bày tóm tắt một số kết quả đã biết vềcác không gian hàm, toán tử quạt, toán tử Laplace kết hợp với điều

kiện biên, phương trình tiến hóa tuyến tính, phương trình tiến hóa nửatuyến tính, các định lý và kết quả cơ bản liên quan tới luận văn.

• Chương 2 của luận văn trước tiên trình bày về sự tồn tại duy nhấtnghiệm địa phương và sau đó chỉ ra sự tồn tại nghiệm toàn cục của môhình động học rừng với điều kiện biên Dirichlet cùng một số đánh giácho nghiệm toàn cục Cuối chương là phần trình bày về hệ động lựcsinh bởi bài toán, hàm Lyapunov và tập ω− limit

Do thời gian thực hiện luận văn không nhiều, kiến thức còn hạn chế nênkhi làm luận văn không tránh khỏi những hạn chế và sai sót Tác giả mongnhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc.Xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 8 tháng 10 năm 2017

Học viên

Phạm Thị Mai

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, ta đi xây dựng cơ sở lý thuyết nhằm tiếp cận bài toán môhình động học rừng với điều kiện biên Dirichlet Cụ thể, ta hệ thống lại cáckiến thức về một số không gian hàm, toán tử quạt, toán tử Laplace kết hợpvới điều kiện biên, đồng thời nhắc lại các kết quả của phương trình tiến hóatuyến tính Phần cuối chương ta đi chứng minh sự tồn tại nghiệm địa phươngcủa phương trình tiến hóa nửa tuyến tính

quan

Cho X là không gian Banach với chuẩn k.k, [a, b] ⊂ R, với hai số mũ 0 < σ <

β ≤ 1, ta định nghĩa không gian hàm Holder liên tục có trọng

Fβ,σ((a, b]; X), 0 < σ < β ≤ 1,như sau:

Định nghĩa 1.1.1 Không gian Fβ,σ((a, b]; X) bao gồm các hàm liên tụctrên (a, b] (hay [a, b] ) khi 0 < β < 1 (khi β = 1) thỏa mãn các điều kiện sau:(1) Với β < 1, (t − a)1−βF (t) có giới hạn khi t → a.

(2) F là hàm liên tục Holder với số mũ σ và với trọng (s − a)1−β+σ, cụ thểlà

trong R2 Ký hiệu Hs(Ω)

là không gian Sobolev W2s(Ω), chuẩn của nó được kí hiệu bởi k.kHs.

Khi 0 ≤ s < 1, Hs(Ω) ⊂ Lp(Ω), trong đó 1p = 1−s2 , với phép nhúng liêntục

k.kLp ≤ Ck.kHs.

Khi s = 1, H1(Ω) ⊂ Lq(Ω) với mọi 2 ≤ q < ∞ và ước lượng

k.kLp ≤ C k.k1−

p q

H 1 k.k

p q

L p ,trong đó 1 ≤ p < q < ∞

Khi s > 1, Hs(Ω) ⊂C(Ω) với phép nhúng liên tục

k.kC ≤ Ck.kHs

1.2 Toán tử quạt

Định nghĩa 1.2.1 Cho X là một không gian Banach với chuẩn k.k Giả sử

A là một toán tử tuyến tính đóng, xác định trù mật trong X và phổ của Achứa trong một miền quạt mở, cụ thể là

σ(A) ⊂ Σω = {λ ∈ C; |arg λ| < ω} , 0 < ω ≤ π, (1.4)đồng thời với mỗi giá trị chính quy λ của A, ta có ước lượng sau

(λ − A)−1 ≤ M

với hằng số M ≥ 1 Khi đó toán tử A được gọi là toán tử quạt trên X

Ký hiệu ωA là góc nhỏ nhất thỏa mãn (1.4) và (1.5) Khi đó, ωA được gọi

là góc của toán tử quạt A

Trong luận văn này, ta luôn xét A là một toán tử quạt trong không gianBanach X với góc 0 ≤ ωA < π2 và ω là góc sao cho ωA < ω < π2 Khi đó ta có

σ(A) ⊂ Σω = {λ ∈ C; |arg λ| < ω} , (1.6)và

(λ − A)−1 ≤ M

|λ|, λ /∈ Σω. (1.7)Toán tử −A sinh ra nửa nhóm giải tích e−zA trên X (xem [6, chương 2]),được xác định bởi công thức tích phân sau

e−zA = 1

2πiZ

Γ

e−zλ(λ − A)−1dλ, z ∈ Σπ

2 −ω,trong đó Γ là một đường cong vô hạn nằm trong ρ(A) và bao quanh σ(A)theo ngược chiều kim đồng hồ Tích phân này hội tụ trong L(X) Đồng thời

Γ

e−tλ(λ − A)−1dλ, 0 < t < ∞

Họ các toán tử e−tA được gọi là hàm mũ sinh bởi −A.

Mệnh đề 1.2.1 ([6], Tr.62) Với mọi φ sao cho 0 < φ < π2 − ω, tồn tại một

số mũ dương δφ > 0 và một hằng số Cφ > 0 sao cho

e−zA ≤ Cφe−δφ |z|, z ∈ Σφ − {0} Phần tiếp theo trình bày về lũy thừa của toán tử quạt

Với mỗi số phức z sao cho Rez > 0, ta định nghĩa

A−z = 1

2πiZ

Γ

λ−z(λ − A)−1dλ,trong đó Γ là đường cong bao quanh σ(A) theo ngược chiều kim đồng hồ nằmtrong C\(∞, 0] ∩ ρ(A) Khi đó A−z là một hàm giải tích với Rez > 0 và hàmnày nhận giá trị trong L(X)

Định nghĩa At với t ∈ R như sau:

Khi t = 0, A0 ≡ I

Khi −∞ < t ≤ 0, At ∈L(X)

Khi t > 0, At = (A−t)−1vàD(At) trù mật trong X Hơn nữa, với 0 < t1 ≤ t2thì D(At2) ⊂D(At1)

Ta có các tính chất sau của toán tử lũy thừa và toán tử mũ:

Với mọi 0 < φ < π2, khi z → 0 với z ∈ Σφ − {0}, A−z hội tụ mạnh tới 1trong X (xem [6], Định lý 2.21)

A1−θe−τ Adτ ≤ Cθ

Z t 0

τθ−1dτ ≤ Cθtθ, 0 < t < ∞

(1.8)

Mặt khác, với mọi 0 < θ ≤ 1, khi t → 0,

tθAθe−tA hội tụ mạnh tới 0 trên X

Đồng thời, với mỗi 0 < θ ≤ 1, khi t → 0 thì

t−θ e−tA− 1
A−θ hội tụ mạnh tới 0 trong X

Định lý 1.2.1 ([6], Tr.102) Cho 0 < β ≤ 1 và U0 ∈ D(Aβ) Khi đó, với mọi

σ sao cho 0 < σ < β ≤ 1 và mọi 0 < T < ∞, ta có

và c(x) là hàm giá trị thực trong Ω thỏa mãn điều kiện c(x) ∈ L∞(Rn) và c(x) ≥

c0 > 0 hầu khắp nơi trên Ω Ta có a(u, v) là dạng nửa song tuyến tính liêntục trên Z Với mỗi u ∈ Z ta có a(u, ·) là hàm tuyến tính liên tục trên Z Khi

đó tồn tại duy nhất φ ∈ Z∗ sao cho

a(u, v) = hv, φiZ×Z∗ ( ∀v ∈ Z ),tức là

a(u, v) = hφ, vi

Toán tử A xác định bởi

A : Z → Z∗

u 7→ φđược gọi là toán tử tuyến tính liên kết với dạng nửa song tuyến tính a(u, v)

Au = −

n

X

i=1

Di2u + βu = −∆u + βu

Đặt Λ = A|L2 Ta có Λ là toán tử quạt trên H−1(Ω) = H01(Ω)
∗ và

D(Λ) = {u ∈ H2(Ω), u = 0 trên ∂Ω}

= HD2(Ω)

1.4 Phương trình tiến hóa tuyến tính

Ta xét bài toán giá trị ban đầu

trong không gian Banach X Trong đó 0 < T < ∞ là thời gian cho trước, A

là một toán tử quạt trong X với góc ωA < π2

Hàm F ∈Fβ,σ((0, T ]; X) với 0 < σ < β ≤ 1 Giá trị ban đầu U0 được lấytrong X Ta sẽ phát biểu định lý về sự tồn tại và duy nhất của nghiệm củabài toán (1.9)

Định lý 1.4.1 ([6], Tr.124) Cho A là toán tử quạt thỏa mãn (1.6) và (1.7).Với mỗi hàm F ∈ Fβ,σ((0, T ]; X), với 0 < σ < β ≤ 1 và với bất kỳ giá trị banđầu U0 ∈ X, luôn tồn tại duy nhất một nghiệm U của (1.9) nằm trong khônggian hàm

U ∈C([0, T ] ; X) ∩ C((0, T ]; D(A)) ∩ C1((0, T ]; X)

và thỏa mãn ước lượng

kU (t)k + t dU

dt (t) + t kAU (t)k ≤ C(kU0k + kF kFβ,σ), 0 ≤ t ≤ T.Hơn thế nữa, nghiệm U được xác định theo công thức

U (t) = e−tAU0+

Z t 0

e−(t−τ )AF (τ )dτ, 0 ≤ t ≤ T

Khi giá trị ban đầu U0 thuộcD(Aβ), ta có thể chứng minh được tính chấttốt hơn của nghiệm

Định lý 1.4.2 ([6], Tr.126) Cho F ∈Fβ,σ((0, T ]; X) với 0 < σ < β ≤ 1, vàcho U0 ∈D(Aβ) Khi đó, nghiệm U của (1.9) có các tính chất sau:

AβU ∈C((0, T ]; X),

dt , AU ∈ Fβ,σ((0, T ]; X),với các ước lượng

AβU C ≤ C AβU0 + kF kF β,σ
,dU

dt F β,σ

+ kAU kF β,σ ≤ C AβU0 + kF kF β,σ
Phần tiếp theo, ta trình bày các kết quả về sự tồn tại duy nhất nghiệmđịa phương của phương trình tiến hóa nửa tuyến tính

Cho X là một không gian Banach với chuẩn k.k Ta xét bài toán Cauchy chophương trình nửa tuyến tính như sau

trong X Trong đó, A là một toán tử quạt trên X thỏa mãn (1.6) và (1.7),

F là một toán tử phi tuyến đi từ D(Aη) vào X, với

Giả sử rằng F thỏa mãn điều kiện Lipschitz

kF (U ) − F (V )k ≤ ϕ(kU k+kV k) [kAη(U − V )k + (kAηU k + kAηV k) kU − V k] ,

(1.12)trong đó U, V ∈ D(Aη) và ϕ(.) là một hàm liên tục tăng Từ (1.12), ta có Fthỏa mãn ước lượng sau

kF (U )k ≤ ψ(kU k)(kAηU k + 1), U ∈D(Aη), (1.13)với ψ(ξ) = kF (0)k + ϕ(ξ)(ξ + 1) Hàm G(t) được cho trong không gian

Fβ,σ((0, T ]; X), 0 < σ < β Giá trị ban đầu U0 được lấy trong D(Aβ)

Ta sẽ chứng minh (1.10) có duy nhất một nghiệm địa phương

Định lý 1.5.1 ([6], Tr.188) Cho A là toán tử quạt thỏa mãn (1.6), (1.7)

và F thỏa mãn (1.11), (1.12) Khi đó, với mỗi hàm G ∈ Fβ,σ((0, T ]; X),

0 < σ < β ≤ 1 − η, và bất kỳ U0 ∈ X, (1.10) có duy nhất một nghiệm địaphương U thuộc không gian hàm

U ∈C([0, TG,U0]; X) ∩C1((0, TG,U0]; X), AU ∈C((0, TG,U0]; X), (1.14)

trong đó TG,U0 > 0 chỉ phụ thuộc vào kGkF β,σ và kU0k Hơn nữa, U thỏamãn ước lượng

tηkAηU (t)k ≤ C1, 0 < t ≤ S, (1.16)

kU (t)k ≤ C2, 0 ≤ t ≤ S, (1.17)với Ci > 0 (i = 1, 2) sẽ được xác định sau

Ta có K(S) là tập con đóng khác rỗng của X(S) Thật vậy, giả sử Un ∈K(S) và Un → U0 Ta sẽ chứng minh U0 ∈K(S) Từ điều giả sử ta có

kUn− U0kX(S) → 0,suy ra

sup

0<t≤S

tηkAη[Un(t) − U0(t)]k → 0,

tηkAηUn(t)k ≤ C1 ⇒ tηkAηU0(t)k ≤ C1,và

kUn(t)k ≤ C2 ⇒ kU0(t)k ≤ C2,nên U0(t) ∈ K(S)

Với U ∈K(S), ta xác định hàm

{ΦU } (t) = e−tAU0+

Z t 0

e−(t−s)A[F (U (s)) + G(s)]ds, 0 ≤ t ≤ S (1.18)

Mục tiêu của ta là chỉ ra Φ là một ánh xạ co từ K(S) vào chính nó khi S đủnhỏ, đồng thời điểm bất động của Φ là nghiệm của (1.10) Để đạt được mụctiêu trên, ta sẽ chia việc chứng minh thành các bước Trong suốt quá trìnhchứng minh, CG,U0 là hằng số phổ dụng được xác định trong từng lần xuấthiện bởi các hằng số trong (1.6), (1.7), (1.12), (1.11), bởi hàm ϕ(.), bởi cácchuẩn kGkF β,σ và kU0k

Bước 1 Ta sẽ đi chứng minh Φ là một ánh xạ từ K(S) vào chính nó Với

U ∈ K(S), dựa vào (1.13) ta có

kF (U )k ≤ ψ(kU k)(kAηU k + 1) ≤ ψ(C2)(C1t−η + 1), 0 < t ≤ S (1.19)Với mỗi θ ∈ [0, 1), Aθ là toán tử bị chặn nên Aθ là toán tử đóng Khi đó

Aθ{ΦU } (t) ≤ Aθe−tA kU0k+

Z t 0

Aθe−(t−s)A [kF ((U (s))k + kG(s)k] ds,

suy ra

tθ Aθ{ΦU } (t) ≤ tθ Aθe−tA kU0k

+ tθ

Z t 0

Aθe−(t−s)A [kF ((U (s))k + kG(s)k] ds

≤ tθ Aθe−tA kU0k + tθ

Z t 0

Aθe−(t−s)A kF ((U (s))k ds+ tθ

Z t 0

Aθe−(t−s)A kG(s)k ds

≤ Aθ kU0k + tθ

Z t 0

(t − s)−θψ(C2)(C1s−η + 1)ds+ tθ

Z t 0

(t − s)−θsβ−1kGkFβ,σds

≤ Aθ kU0k + Aθψ(C2)tθ

Z t 0

(t − s)−θ(C1s−η + 1)ds+ AθtθkGkFβ,σ

Z t 0

(t − s)−θsβ−1ds

≤ Aθ kU0k + AθB(1 − θ, β)kGkF β,σtβ+ Aθψ(C2)C1B(1 − θ, 1 − η)t1−η + B(1 − θ, 1)t

Ta chọn C2 > kU0k + B(1 − η, β)kGkFβ,σ Kết hợp với S đủ nhỏ, thì ΦU thỏamãn (1.16) và (1.17).

Với 0 < s < t ≤ S, theo tính chất của nửa nhóm thì

{ΦU } (t) = e−(t−s)Ae−sAU0+

Z t s

e−(t−τ )A[F (U (τ )) + G(τ )] dτ+ e−(t−s)A

Z s 0

e−(s−τ )A[F (U (τ )) + G(τ )] dτ

Từ đó ta có

{ΦU } (t) − {ΦU } (s) = e−(t−s)Ae−sAU0+

Z t s

e−(t−τ )A[F (U (τ )) + G(τ )] dτ+ e−(t−s)A

Z s 0

e−(s−τ )A[F (U (τ )) + G(τ )] dτ − e−sAU0

−

Z s 0

e−(s−τ )A[F (U (τ )) + G(τ )] dτ

= e−(t−s)A− 1e−sAU0+e−(t−s)A− 1

Z s 0

e−(s−τ )A[F (U (τ )) + G(τ )] dτ+

Z t s

e−(t−τ )A[F (U (τ )) + G(τ )] dτ

= e−(t−s)A− 1{ΦU } (s)+

Z t s

Aηe−(t−τ )A [kF (U (τ ))k + kG(τ )k] dτ

≤ e−(t−s)A− 1A−σ Aη+σ{ΦU } (s)+

Z t s

Aηe−(t−τ )A [kF (U (τ ))k + kG(τ )k] dτ

Áp dụng ước lượng (1.20) với θ = η + σ ta có

sη+σ Aη+σ{ΦU } (s) ≤ CG,U0,

và từ (1.8) ta có



e−(t−s)A − 1A−σ ≤ C(t − s)σ.Khi đó

(t − τ )−η(τ − s)η+σ−1s−η−σSβdτ

≤ C

Z t s

(t − τ )−η(τ − s)η+σ−1s−η−σdτ Đặt t − τ = x, khi đó

I =

Z t−s 0

x−η(t − s − x)η+σ−1s−η−σdx

Đặt x = (t − s)z, khi đó

I =

Z 1 0

(t − s)−ηz−η(t − s)η+σ−1(1 − z)η+σ−1s−σ−η(t − s)dz

= CB(1 − η, η + σ)(t − s)σs−σ−η

Do vậy,

kAη[{ΦU } (t) − {ΦU } (s)]k ≤ CG,U0(t − s)σs−η−σ t→s−→ 0, (1.21)với 0 < s < t ≤ S Điều đó có nghĩa là ΦU ∈ C ((0, S] ; D(Aη)) Tính toántương tự, ta có

k{ΦU } (t) − {ΦU } (s)k ≤ he−(t−s)A − 1iA−σ kAσ{ΦU } (s)k

+

Z t s

e−(t−τ )A [kF (U (τ ))k + kG(τ )k] dτ

≤ CG,U0(t − s)σs−σ + CG,U0

Z t s

(τβ−1+ 1)dτ

Ta viết β − 1 = (σ − 1) − σ + β, trong đó σ − 1 < 0, −σ < 0, β > 0, ta có

Z t s

τβ−1dτ ≤

Z t s

(τ − s)σ−1s−σSβdτ

≤ C

Z t s

(τ − s)σ−1s−σdτ

= CB(1, σ)(t − s)σs−σ

Do đó

k{ΦU } (t) − {ΦU } (s)k ≤ CG,U0(t − s)σs−σ, 0 < s < t ≤ S (1.22)

Theo Định lý 1.4.1, ta có e−tAU0 + R0te−(t−s)AG(s)ds là liên tục tại t = 0theo chuẩn của D(Aβ) Hơn nữa, theo (1.19), khi t → 0 thì

Z t

0

e−(t−s)AF (U (s))ds ≤

Z t 0

e−(t−s)A kF (U (s))k ds

≤

Z t 0

ψ(C2)(C1s−η + 1)ds

≤ C

Z t 0

(s−η + 1)ds

= C(s1−η + s)|t0

= C(t1−η + t) → 0

Suy raR0te−(t−s)AF (U (s))ds liên tục tại t = 0 Vì thế nên ΦU ∈ C ([0, S] ; X).Suy ra ΦU ∈ K(S), nghĩa là, Φ là ánh xạ từ K(S) vào chính nó, với S đủnhỏ.

Bước 2 Tiếp theo ta sẽ chỉ ra Φ là ánh xạ co theo chuẩn của X(S) Lấy

U, V ∈ K(S) là hai hàm bất kỳ Với 0 < θ < 1, ta có

Aθ[{ΦU } (t) − {ΦV } (t)] =

Z t 0

(t − s)−θkAη(U (s) − V (s))k + 2C1s−ηkU (s) − V (s)k ds

≤ CAθC1ϕ(2C2)tθ

Z t 0

(t − s)−θs−ηdskU − V kX(S) (1.23)

Áp dụng (1.23) với θ = η và θ = 0, ta được

tηkAη[{ΦU } (t) − {ΦV } (t)]k ≤ CC1ϕ(2C2)tη

Z t 0

(t − s)−ηs−ηdskU − V kX(S)

≤ CC1ϕ(2C2)t1−ηB(1 − η, 1 − η)kU − V kX(S)

≤ CC1ϕ(2C2)S1−ηkU − V kX(S),k{ΦU } (t) − {ΦV } (t)k ≤ CC1ϕ(2C2)

Z t 0

Bước 3 Cho S > 0 đủ nhỏ khi đó Φ là ánh xạ đi từ K(S) và chính nó và

là một ánh xạ co theo chuẩn trong X(S) Dựa vào các tính toán trong Bước

1 và Bước 2, S = TG,U0 > 0 được xác định bởi hai chuẩn kGkF β,σ và kU0k

Từ Định lý điểm bất động của ánh xạ co, ta suy ra tồn tại duy nhất hàm

U ∈ K(TG,U 0) sao cho U = ΦU Và khi đó U được xác định theo công thức

U (t) = e−tAU0+

Z t 0

e−(t−s)A[F (U (s)) + G(s)] ds, 0 ≤ t ≤ TG,U0 (1.24)Tiếp theo ta sẽ chỉ ra rằng

F (U ) ∈Fβ,σ((0, TG,U0]; X), 0 < σ < β < 1 − η

Thật vậy, từ

kF (U (t))k ≤ ψ(C2)(C1t−η + 1),suy ra

t1−βkF (U (t))k ≤ CG,U0(t1−η−β+ t1−β)−→ 0.t→0Hơn mữa, ta thấy

Như vậy, ta đã có F (U ) + G ∈Fβ,σ((0, T ]; X) Ta có thể áp dụng Định lý1.4.1 và Định lý 1.4.2, ta thu được (1.14), (1.15) và U là nghiệm của (1.10).Bước 4 Xét tính duy nhất của nghiệm.

Giả sử có eU là nghiệm khác của (1.10) xác định trên [0; TG,U0], eU thuộc(1.14), thỏa mãn

t A eU (t) + U (t)e ≤ C

e

U, 0 < t ≤ TG,U0,và

e−(t−s)AhF ( eU (s)) + G(s)ids, 0 ≤ t ≤ TG,U0,nên

U (t) − eU (t) =

Z t 0

S = supnS : U (t) = eU (t) với mọi 0 ≤ t ≤ So,

và eS < TG,U0 Khi đó, ta có U ( eS) = eU ( eS) Ta lập lại các bước chứng minhtương tự với thời gian đầu eS và giá trị ban đầu U ( eS) = eU ( eS), dẫn tới

U ( eS + t) = eU ( eS + t) với mọi t > 0 đủ nhỏ, điều này mâu thuẫn với giả sử

Do đó, giả sử là sai Vậy U (t) = eU (t) với mọi 0 < t ≤ TG,U0