Tính chất của tích phân a a Phần 5: Diện tích hình phẳng thể tích vật thể trịn xoay.. Khái niệm về khối đa diện Khối đa diện là phần khơng gian được giới hạn bới một hình đa diện H,
Trang 1TRÊN CON ĐƯỜNG THÀNH CƠNG KHƠNG CĨ DẤU CHÂN CỦA NGƯỜI LƯỜI BIẾNG
1
CT
CT
Họ và tên HS:……… Lớp:……
A ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 12
PHẦN 1: HÀM SỐ
Bài tốn 1: Khảo sát hàm số
1.Hàm số bậc 3 : y = ax 3 + bx 2 + cx + d ( a 0 )
+ TXĐ : D = R
+ Đạo hàm: y/ = 3ax2 + 2bx + c với / = b2 3ac
/ 0 hay ' 0y cĩ 1 nghiệm hoặc vơ
nghiệm
/ 0 hay ' 0y cĩ 2 nghiệm Phân biệt
y/ cùng dấu với hệ số a
KL: a>0: hàm số ĐB trên
a<0: hàm số NB trên
Lập BXD
KL: hàm số ĐB? NB?
Hàm số không có cực trị Cực tri ̣CĐ? Cực tiểu?
+ Giới hạn: 3 2
( 0)
a a
( 0)
a a
+ Bảng biến thiên:
x
x x1 x2 +
y/ + y/ + 0 0 +
y + y CĐ +
a<0
x + x x1 x2 +
y/ y/ 0 + 0
y
+
y CĐ
Chú ý : dù y/ = 0 có nghiệm kép việc xét dấu vẫn đúng
+ Vẽ đồ thị :
a>0 , có 2 CT; a<0, có 2 CT; a>0,không CT; a<0,không CT
2.Hàm phân thức : y = ax b
cx d ( c 0; ad bc 0 ) + TXĐ : D = R\ d
c
+ Đạo hàm : y/ = 2
adbc < 0 adbc > 0
y/ < 0 x D y/ > 0 x D
Hàm số không có cực trị Hàm số nghịch biến trên D Hàm số đồng biến trên D
+ Tiệm cận: x = d
clà tiệm cận đứng vì
/
lim
x d c
y = a
c là tiệm cận ngang vì
/
lim
x d c
c
+Bảng biến thiên :
x d/c + x d/c +
y/ y/ + +
y a/c + a/c y a/c + a/c
+ Vẽ đồ thị :
3 Hàm trùng phương y = ax 4 + bx 2 + c ( a 0 )
+ TXĐ : D = R + Đạo hàm: y/ = 4ax3 + 2b.x =2x.(2a x2+ b) a,b cùng dấu a, b trái dấu
y/ = 0 x = 0
KL: ĐB? NB?
y/ = 0 2x (2ax2 + b) = 0
x= 0; x1,2=
2
b a
KL: ĐB? NB?
Giá trị cực trị : y(0) = c có một cực trị Giá trị cực trị: y(0)= c ; y( 2b a ) =4a
Có 3 cực trị + Giới hạn : 4 2
( 0)
a
+ Bảng biến thiên : a>0
x 0 + x x1 0 x2 +
y/ 0 + y/ 0 + 0 0 +
y + CT + y + CT CĐ CT +
X 0 + x x1 0 x2 +
y/ + 0 y/ + 0 0 + 0
Y CĐ y - CĐ CT CĐ + Dạngõ đồ thị :
Bài toán 2: Phương trình tiếp tuyến :
1 Tiếp tuyến tại M x y0; 0 củ a đ ồ thị ham số y f x( ) có phương trình là :
Vớ i y0 f x ( )0 Đạo hàm : y/ = f/(x) => f/(x0) = ? P.trình tiếp tuyến tại M là: y = f/(x0)(x x0) + y 0
3 Tiếp tuyến có hệ số góc k : Nếu : tiếp tuyến // đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = a
tiếp tuyến đường thẳng y = a.x + b => hệ số góc k = 1
a
+ giả sử M(x0; f(x0)) là tiép điểm => hệ số góc của tiếp tuyến
f/(x0)
+ Giải phương trình f/(x0) = k => x0 = ? > f(x0) = ? + Phương trình tiếp tuyến y = k (x x0) + f(x0) Chú ý : + Hai đường thẳng vuông góc nhau : k1.k2 = 1 + Hai đường thẳng song song nhau : k1 = k2
Bài toán 3: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị :
+ Giả sử phải biện luận số nghiệm của Pt : F(x; m) = 0 Trong đó đồ thị hàm số y = f(x)
+ Biến đổi phương trình về dạng f(x) = g(m) Đặt: M = g(m) + y = M là đường thẳng nằm ngang ; y =f(x) đồ thị (C) + Tuỳ theo M xét sự tương giao của đồ thị (C) với đồ thị y = M
Bài toán 4: xét tính đơn điệu Phương pháp xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số :
+ TXĐ D= ? + Đạo hàm : y/ = ?
cho y/ = 0 ( nếu có ) xét dấu y/ + BXD (sắp các nghiệm của PT y/ = 0 và giá trị khơng xác định của hàm số từ trái sang phải tăng dần)
* y/ > 0 thì hàm số ĐB ; y/ < 0 thì hàm số NB
a > 0
a> 0 b>0 a< 0
b <0
a< 0 b>0
a> 0
b <0
Trang 2+ Kết luận : hàm số đồng biến , nghịch biến trên khoảng
Định lý 2 (dùng để tìm giá trị m):
a) f(x) tăng trong khoảng (a;b) thì f/(x) 0 x (a;b)
b) f(x) giảm trong khoảng (a;b) thì f/(x) 0 x (a;b)
Bài tốn 5: Cực trị hàm số
Dấu hiệu I :
+ MXĐ D=?
+ Đạo hàm : y/ = ?
cho y/ = 0 ( nếu có ) xét dấu y/
+ BBT : (sắp các nghiệm của PT y/ = 0 và giá trị khơng xác định
của hàm số từ trái sang phải tăng dần)
+ Tính yCĐ ; yCT ; kết luận cực trị ?
Chú ý:
1) Nếu hàm số luơn ĐB ( NB) trên (a;b) thì khơng cĩ cực trị trên
(a;b)
2) Số cực trị của hàm số bằng số nghiệm đơn của phương trình y/
= 0
3) x0 là cực trị của hàm số
/( ) 0 0 /( )
y x
y x
Dấu hiệu II:
+ MXĐ
+ Đạo hàm : y/ = ? y// = ?
cho y/ = 0 ( nếu có ) => x1 , x2 …
+ Tính y//(x1); y//(x2)……
Nếu y//(x0) > 0 thì hàm số đạt CT tại x0 , yCT= ?
Nếu y//(x0) < 0 thì hàm số đạt CĐ tại x0 , yCĐ= ?
Chú ý : dấu hiệu II dùng cho những h/s mà y/ khó xét dấu
* Nếu y = f(x) là đa thức thì đường thẳng đi qua các điểm cực trị là:
y = phần dư của phép chia f(x) cho f/(x)
Bài tốn 6: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
1 Phương pháp tìm GTLN và GTNN của h/s trên [a;b]:
+ Miền đang xét [a;b]
+ Đạo hàm : y/ = ?
cho y/ = 0 ( nếu có ) x1 , x2 … chỉ chọn các nghiệm thuộc [a;b]
+ Tính y(x1) ; y(x2) ……… So sánh KL
y(a) ; y(b)
+ max
[ ; ]
y
a b
? min
[ ; ]
y
a b
?
2 P/pháp tìm GTLN hoặc GTNN của h/s trên (a;b) hoặc MXĐ :
+ Miền đang xét (a;b) hoặc TXĐ
+ Đạo hàm : y/ = ?
cho y/ = 0 ( nếu có ) xét dấu y/
+ BBT:
* Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CT thì GTNN bằng
giá trị CT min
[ ; ]
y
a b
yCT
* Nếu trên toàn miền đang xét h/s chỉ có 1 CĐ thì GTLN bằng
giá trị CĐ max
[ ; ]
y
a b
yCĐ
* Nếu hàm số luơn tăng (giảm) trên (a;b) thì khơng cĩ cực trị trên
khoảng (a;b)
Chú ý : Khi gặp h/s không cho miền đang xét thì ta tìm TXĐ của
h/s đó :
+ nếu TXĐ là một đoạn [a;b]hoặc nữa khoảng thì ta dùng cách 1
+ nếu TXĐ là một khoảng thì dùng cách 2
Bài tốn 7 : Giao điểm hai đường cong ( đ.thẳng và một đường
cong)
1 Cho hai đồ thị (C1) : y = f(x) ; (C2) : y = g(x)
Hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) nếu có
là nghiệm của phương trình : f(x) = g(x) (1)
pt(1) vô nghiệm <=> (C1) và (C2) không có điểm chung
pt(1) có n nghiệm <=> (C1) và (C2) có n điểm chung
* Số nghiệm của (1) là số giao điểm của hai đường cong
2 Điều kiện tiếp xúc :
Đồ thị (C1) tiếp xúc (C2) <=> hệ pt ( ) ( )
( ) ( )
f x g x có nghiệm
Bài tốn 8: Cách xác định tiệm cận :
*Tiệm cận đứng : lim ( )
0
f x
x x => x = x0 là tiệm cận đứng
Chú ý : tìm x0 là những điểm hàm số không xác định
*Tiệm cận ngang : lim ( )
0
x => y = y0 là tiệm cận ngang
Chú ý : hàm số có dạng phân thức ( hoặc có thể đưa về dạng
phân thức ) và bậc tử bậc mẫu thì có tiệm cận ngang
Phần 2: Hàm số mũ và logarit Bài tốn 1: Dùng cơng thức tính các biểu thức cĩ chứa hàm số
mũ hoặc hàm số logarit
a = 1n
a ; a0 = 1 ; a m n n a m ( m; n nguyên dương , n > 1)
Các quy tắc:
ax.ay = ax+y (a.b)x =ax.bx
x
a y a
x
b b a x y a y x a x y.
Hàm số mũ : y = xa với a > 0 ; a 1 TXĐ : D = R MGT : (0; + ) + a > 1 ; h/s đồng biến : x1 > x2 a x1 > x2
a
+ 0 < a < 1 ; h/s nghịch biến : x1 > x2 a x1 < x2
a
* Logarit:
= loga N a = N log a x = b x= a b
Đặc biệt : loga x
a = x ; loga x
a = x ; loga1 = 0
Các qui tắc biến đổi : với a , B , C > 0 ; a 1 ta có:
loga(B.C) = logaB + logaC loga B
C = logaB logaC log
Công thức đổi cơ số : với a , b , c > 0 ; a , c 1 ta có :
logca.logab = logc b log log
log
b c b a c
0 < a, b 1 : logab = 1
log a
b
Chú ý : log10x = lg x ; logex = ln x
Hàm số Logarit: y = logax với a > 0 ; a 1 TXĐ : D = (0 ; + ) MGT : R + a > 1 ; h/s đồng biến : x1 > x2 > 0 logax1 > logax2 + 0 < a < 1;h/s ngh biến: x1 > x2 > 0 logax1 <logax2 Bài tốn 2: Tính đạo hàm của các hàm số mũ và logrit (ex) / = ex > ( eu)/ = u/.eu
( ax) / = ax.lna > ( au)/ = u/.au.lna (lnx) / = 1
x x (0;+) > (lnu)/ = u
u
(logax) / = 1
ln
x a > (logau )/ =
.ln
u
Bài tốn3: giải phương trình mũ và logarit :
Dạng cơ bản:
( )
f x
a f(x) = g(x) ( )
f x
a = b ( với b > 0 ) f(x) = logab logaf(x) = logag(x) ( ) 0 ( ) 0
( ) ( )
đổi dấu qua x0
hoặc
Trang 3loga f x( ) b f(x) = ba
Đặt ẩn phụ :
2 ( )f x
a + = 0 ; Đặt : t = f x( )
a Đk t > 0 b f x( )
a + = 0 ; Đặt : t = f x( )
a Đk t > 0
f x( )
b + = 0 và a.b = 1; Đặt: t = f x( )
t = f x( )
b
2 ( )f x
a + a b f x( )+ 2 ( )f x
b = 0 ; Đặt t = a f x( )
b
Logarit hoá hai vế :
Bài tốn 4: Giải bất phương trình mũ và logarit
Dạng cơ bản :
1 f x( )
a > g x( )
2 f x( )
a > b Nếu b 0 có nghiệm x
Nếu b > 0 f(x) > logab nếu a > 1 f(x) < logab nếu 0 < a < 1
3 f x( )
a < b Nếu b 0 thì pt vô nghiệm
Nếu b > 0 ; f(x) < logab nếu a > 1 f(x) > logab nếu 0 < a < 1
logaf(x) > logag(x)
1 0
0
a
a
logaf(x) > b * Nếu a > 1 : bpt là f(x) > b
a
* Nếu 0 < a < 1 bpt là 0 < f(x) < b
a
logaf(x) < b * Nếu a > 1 : bpt là 0 < f(x) < b
a
* Nếu 0 < a < 1 bpt là f(x) > b
a
Lưu ý:
*) trong trường hợp cĩ ẩn dưới cơ số thì chúng ta nên sử dụng cơng
thức sau để bài tốn trở nên dễ dang hơn
1 a f x( )> a g x( ) (a1)(f(x) g(x)) > 0
2 logaf(x) > logag(x) (a1)(f(x) g(x)) > 0
*) Khi giải bài tốn bất phương trình mũ hoặc logarit thì phải nắm
thật vững tính chất đơn điệu của hai hàm số trên
*) Nắm vững phép lấy hợp, lấy giao của hai hay nhiều tập hợp số
Phần 3: Nguyên hàm
Bài tốn 1: Tìm nguyên hàm cơ bản (dựa vào bảng nguyên hàm
của các hàm số cơ bản)
1
x
+ C ( -1 )
dx
x = lnx + C ( x 0)
x
e dx= ex + C
x
ln
x
a
a + C
1
( 1)
dx
ax b = 1
alnax+ b + C 1
ax b
aeax+b + C
x
ln
x b a
C a
Cosx dx = Sinx + C
2
dx
Cos x
= (tg x2 1).dx=
tgx+C
a Sin(ax+ b)+ C
aCos(ax+ b)+ C
2
dx Sin x
= Cotgx +C
dx
= 1
a tg(ax+ b) + C
dx
= 1
aCotg(ax+ b) + C
Bài tốn 2: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số
Dạng 1: Tính I = f u x u x dx bằng cách đặt t = u(x) [ ( )] '( )
Đặt t = u(x) dt u x dx '( )
I = f u x u x dx[ ( )] '( ) f t dt ( ) Dạng 2: Tính I = f x dx Nếu khơng tính được theo dạng 1 nhưng ( ) trong tích phân cĩ chứa một trong số các hàm biểu thức sau thì cĩ thể đổi biến như sau:
1
thì đặt x = asint 1
thì đặt x = atant
Bài tốn 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần:
Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số cĩ đạo hàm liên tục trên I ( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )
Hay udv uv vdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)
phân tích các hàm sớ dễ phát hiện u và dv
@ Dạng 1
sin ( )
ax
f x cosax dx ax e
với f(x) là đa thức:
Đặt
cos
Sau đĩ thay vào cơng thức udv uv vdu để tính
@ Dạng 2: f x( ) ln(ax b dx )
Đặt
( )
( )
a dx du
Sau đĩ thay vào cơng thức udv uv vdu để tính
@ Dạng 3: e ax.sinax dx
cosax
Ta thực hiện từng phần hai lần với u = eax
Phần 4: Tích phân
1 Định nghĩa
Cho f là hàm số liên tục trên đoạn [ ; ] a b Giả sử F là một nguyên
hàm của f trên [ ; ] a b Hiệu số F b( ) F a được gọi là tích phân từ ( )
a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [ ; ] a b của hàm số f x kí ( ), hiệu là ( )
b
a
f x dx
b
b a a
Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f liên tục và khơng âm
trên đoạn [ ; ]a b thì tích phân ( )
b
a
Trang 4cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x( ), trục Ox và hai đường
thẳng x a x, b Vậy ( )
b
a
2 Tính chất của tích phân
a
a
Phần 5: Diện tích hình phẳng thể tích vật thể trịn xoay
Bài tốn 1: Tính diện tích hình phẳng
Hình phẳng giới hạn bởi :
( )
;
hàm số liên tục trên [a;b]
trục hoành y 0;
Diện tích : S = | ( ) | b f x dx
a
Chú ý : nếu thiếu cận a, b giải pt : f(x) = 0
Hình phẳng giới hạn bởi :
( )
( )
hàm số liên tục trên [a;b]
hàm số liên tục trên [a;b]
x a;
Diện tích : S = | ( )b f x g x( ) | dx
a
Chú ý : 1) Nếu thiếu cận a, b giải pt : f(x) = g(x)
2) Nếu bài tốn qua phức tạp thì ta cĩ thể vẽ hình để xác định
hình phẳng hoặc tính thơng qua tổng hoặc hiệu của nhiều hình
Bài tốn 2:Tính thể tích vật thể trịn xoay :
* Thể tích hình tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường :
( )
;
hàm số liên tục trên [a;b]
trục hoành y 0; quay quanh trục Ox thì
V = b f x( ) 2dx
a
* Thể tích hình tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường :
( )
;
f y
hàm số x liên tục trên [c;d]
trục tung x 0;y quay quanh trục Oy thì
V = ( ) 2
d
c
Phần 6: Số phức
Bài tốn 1: Tìm số phức, tính mơđun,…
Cho hai số phức a+bi và c+di
1) a+bi = c+di a = c; b = d
2) mơđun số phứcz a bi a2 b2
3) số phức liên hiệp z = a+bi là z = a bi
* z+ z = 2a; z z = z2 a2 b 2
4) (a+bi ) +( c+di) = (a+c)+(b+d)i
5) (a+bi ) ( c+di) = (ac)+(bd)i
6) ) (a+bi )( c+di) = (ac bd)+(ad+bc)i
7) z = 1 [(ac+bd)+(ad-bc)i]
Bài tốn 2: Giải phương trình bậc 2
Cho phương trình ax2 + bx + c = 0 với = b2 4ac
Nếu = 0 thì phương trình cĩ nghiệp kép
b
a(nghiệm thực)
Nếu > 0 thì phương trình cĩ hai nghiệm thực:
2
b x a
Nếu < 0 thì phương trình cĩ hai nghiệm phức
2
x
a
B HÌNH HỌC 12
I Khái niệm về khối đa diện
Khối đa diện là phần khơng gian được giới hạn bới một hình đa diện (H), kể cả hình đa diện đĩ
Điểm trong
Điểm ngồi
d
C' D'
B' E'
E
A
B
C D
A'
N
M
II KHỐI ĐA DIỆN LỒI
Khối đa diện (H) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của (H) luơn thuộc (H) Khi đĩ đa diện giới hạn (H) được
gọi là đa diện lồi (Hình 2.1)
Hình 2.1
B
C C'
A
B' A'
A
S
C
D E B
Cơng thức ƠLE: Trong một đa diện lồi nếu gọi Đ là số đỉnh, C là số cạnh, M là số mặt Đ+M=C+2
III KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU
Hình 2.2.2 Hình 2.2.1
B
C D
C' A
B
C
D
A
B' A'
D'
Định nghĩa: Khới đa diện đều là khối đa diện lồi cĩ các tính chất
sau:
a) Mỗi mặt của nĩ là một đa giác đều p cạnh
b) Mỗi đỉnh của nĩ là đỉnh chung của đúng q mặt
a
b
x
y
y=g(x)
x
Trang 5c b
a
M
B
A
B
h
a b c
a a a
B h
Khối đa diện đều như vậy được gọi là khối đa diện đều loạij {p;q}
Nhận xét: Các mặt của khối đa diện đều là những đa giác đều và
bằng nhau
Định lí: Chỉ có năm loại khối đa diện đều Đó là các khối đa diện
đều loại {3,3}, loại {4,3}, loại {3,4}, loại {5,3}, và loại {3,5}
Tùy theo số mặt của chúng, năm loại khối đa diện đều kể trên theo
theo thứ tự được gọi là khối đa diện đều, khối lập phương, khối tám
mặt đều, khối mười hai mặt đều, khối hai mươi mặt đều
Bảng tóm tắt của năm loại khối đa diện đều
Khối đa diện đều đỉnh Số cạnh Số mặt Số Ký hiệu
{p, q}
Khối Lập
Khối Tám Mặt
Khối Mười
Khối Hai
*) chú ý: Trong một khối đa diện đều loại {p,q} nếu gọi Đ là số đỉnh,
C là số cạnh, M là số mặt ta có: qĐ=2C=pM
KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 9-10
1 Hệ thức lượng trong tam giác vuông : Cho ABC vuông ở A
ta có :
a) Định lý Pitago : 2 2 2
c) AB AC = BC AH
e) BC = 2AM
f) sinB b, osc B c, tanB b,cotB c
g) b = a sinB = a.cosC, c = a sinC = a.cosB, a =
sin cos
b = c tanB = c.cot C
2 Hệ thức lượng trong tam giác thường:
* Định lý Côsin: a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA
* Định lý Sin: 2
R
3 Các công thức tính diện tích
a/ Công thức tính diện tích tam giác:
1
2
a b c
R
với
2
p
Đặc biệt :* ABC vuông ở A : 1
2
a:
2
3 4
a S
b/ Diện tích hình vuông : S = cạnh x cạnh c/ Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng d/ Diện tích hình thoi : S = 1
2(chéo dài x chéo ngắn)
d/ Diện tích hình thang : 1
2
S (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao
e/ Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao f/ Diện tích hình tròn : 2
4 Các hệ thức quan trọng trong tam giác đều:
I/ Các công thức thể tích của khối đa diện:
1 THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ:
V= B.h với B: diện tích đáy h: chiều cao
a) Thể tích khối hộp chữ nhật:
V = a.b.c với a,b,c là ba kích thước
b) Thể tích khối lập phương:
V = a3 với a là độ dài cạnh
2 THỂ TÍCH KHỐI CHÓP:
V=1
3Bh
với B: diện tích đáy h: chiều cao
Trang 63 TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ
DIỆN:
Cho khối tứ diện SABC và A’,
B’, C’ là các điểm tùy ý lần
lượt thuộc SA, SB, SC ta cĩ:
SABC
SA 'B'C '
V SA SB SC
V SA ' SB ' SC '
C'
B' A'
C
B A
S
Chú ý:
1/ Đường chéo của hình vuơng cạnh a là d = a 2,
Đường chéo của hình lập phương cạnh a là d = a 3,
Đường chéo của hình hộp chữ nhật cĩ 3 kích thước a, b, c là d =
2/ Đường cao của tam giác đều cạnh a là h = a 3
2
3/ Hình chĩp đều là hình chĩp cĩ đáy là đa giác đều và các cạnh bên
đều bằng nhau ( hoặc cĩ đáy là đa giác đều, hình chiếu của đỉnh
trùng với tâm của đáy)
4/ Lăng trụ đều là lăng trụ đứng cĩ đáy là đa giác đều
Nĩn
r bán kính đáy
h chiều cao (khoảng cách từ
đỉnh đến đáy)
l đường sinh
1) Các cơng thức cần nhớ
Diện
tích đáy
Chu
vi đáy
2
đ
2
đ
Diện
tích
xung
quanh
xq
Diện
tích tồn
phần
tp xq đ
Thể
tích khối
nĩn
2
1 3
nón
Khối Trụ
1/ Hình trụ trịn xoay
Khi quay hình chữ nhậtABCD xung
quanh đường thẳng chứa một cạnh, chẳng
hạn cạnhAB thì đường gấp
khúcABCD tạo thành một hình, hình
đĩ được gọi là hình trụ trịn xoay hay gọi
tắt là hình trụ
Đường thẳngAB được gọi là
trụC
Đoạn thẳngCD được gọi là
đường sinh
Độ dài đoạn thẳng AB CD h được gọi là chiều cao của hình trụ
Hình trịn tâm A, bán kính r AD và hình trịn tâm B, bán kính r BC được gọi là 2 đáy của hình trụ
Khối trụ trịn xoay, gọi tắt là khối trụ, là phần khơng gian giới hạn bởi hình trụ trịn xoay kể cả hình trụ
3/ Cơng thức tính diện tích và thể tích của hình trụ
Cho hình trụ cĩ chiều cao là h và bán kính đáy bằng r, khi đĩ:
Diện tích xung quanh của hình trụ: Sxq 2 rh
Diện tích tồn phần của hình trụ:
2
Thể tích khối tru: V B h r h2
4/ Tính chất:
Nếu cắt mặt trụ trịn xoay (cĩ bán kính là r) bởi một
mp vuơng gĩc với trục thì ta được đường trịn
cĩ tâm trên và cĩ bán kính bằng r với r cũng chính
là bán kính của mặt trụ đĩ
Khối cầu 1/ Định nghĩa
Tập hợp các điểm M trong khơng gian cách điểm O cố định một khoảng R gọi là mặt cầu tâm O, bán kính R, kí hiệu là:
S O Khi đĩ S O ; R M OM | R
2/ Vị trí tương đối của một điểm đối với mặt cầu
Cho mặt cầuS O ; R và một điểmAbất kì, khi đĩ:
+)Nếu OA R A S O ; R Khi đĩ OA gọi là bán kính mặt cầu
+)Nếu OA R Anằm trong mặt cầu
+)Nếu OA R Anằm ngồi mặt cầu
Khối cầu S O ; R là tập hợp tất cả các điểm M sao cho OM R
3/ Vị trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
Cho mặt cầuS O ; R và mộtmp P Gọi
d là khoảng cách từ tâm O của mặt cầu đến mp P và H là hình chiếu của O trên mp P d OH
+)Nếu d R mp P cắt mặt cầu S O ; R theo giao tuyến là đường trịn nằm trên mp P cĩ tâm là H và bán kính
r HM R d R OH (hình a)
+)Nếu d R mp P khơng cắt mặt cầu S O ; R
(hình b)
+)Nếu d R mp P cĩ một điểm chung duy nhất Ta nĩi mặt cầu S O ; R tiếp xúc mp P Do đĩ, điều kiện cần và
∆
A
D
B
C
l
r
r
A
B
O
Trang 7đủ để mp P tiếp xúc với mặt cầu S O ; R là
d O P R (hình c)
4/ Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt cầu
Cho mặt cầuS O ; R và một đường thẳng GọiHlà hình
chiếu củaOtrên đường thẳngvàd OHlà khoảng cách từ
tâmOcủa mặt cầu đến đường thẳng Khi đĩ:
Nếu d R khơng cắt mặt cầuS O ; R
Nếu d R cắt mặt cầuS O ; R tại hai điểm
phân biệt
Nếu d R và mặt cầu tiếp xúc nhau (tại một
điểm duy nhất) Do đĩ: điều kiện cần và đủ để đường
thẳngtiếp xúc với mặt cầu làd d O , R
Định lí: Nếu điểm A nằm ngồi mặt cầu S O ; R thì:
QuaAcĩ vơ số tiếp tuyến với mặt cầu S O ; R
Độ dài đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm đều bằng
nhau
Tập hợp các điểm này là một đường trịn nằm trên mặt
cầu S O ; R
5/ Diện tích và thể tích mặt cầu
• Diện tích mặt cầu: SC 4 R2
• Thể tích khối cầu: 4 3
3
C
V R
Phần 2: Phương pháp tọa độ trong khơng gian
Tính chất : Cho a = (a1;a2; a3) , b = (b1;b2; b3)
a b =(a1 b1; a2 b2; a3 b3)
a k = (ka1;ka2;ka3) k R
Tích vô hướng : a b = a1 b 1 + a 2 b 2 +a 3 b 3 = a. bCos
Cos = a1 1 2 2 3 3
vớ i ,a b
a b a1.b1 + a2.b2 + a3.b3 = 0
Toạ độ điểm:
M = (x;y;z) OM = x i + y j + z k
AB= ( xB xA ; yByA;zB zA)
1 1 1
B A x
B A y
B A z
I là trung điểm của AB thì I:
2
2
2
B A x M
B A y M
B A z M
G là trọng tâm tam giác ABC thì G:
3
3
3
B
x G
B
y G
B
z G
Đk đồng phẳng của 3 véc tơ :
ĐK để 4 điểm A,B,C,D không đồng phẳng ( tạo thành tứ diện )
là: ba véc tơ AB , AC , AD không đồng phẳng <=>
[ AB , AC ] AD 0
Diện tích tam giác ABC : SABC = 1
2.[ AB , AC ]
Thể tích tứ diện ABCD : VABCD = 1
6[ AB , AC ] AD
Thể tích hình hộp : VABCD.A'B'C 'D' = [ AB , AD ] AA
Phần 3: Mặt cầu trong hệ tọa độ Oxyz
Bài tốn 1: xác định tâm và bán kính mặt cầu Phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c) ; bk R là :
(x a)2 + (y b)2+ (zc )2 = R2
Phương trình tổng quát của mặt cầu ( S):
x2 + y2+ z2+ 2.ax+ 2.by + 2.cz + d = 0 với a2 + b2 + c2d > 0 có tâm I(A ;B;C) ; bán kính R = a2 b2 c2 d
Bài tốn 2: Viết phương trình mặt cầu
Pt.mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) và đi qua M1(x1;y1;z1) + Bán kính R = IM1 = ( )2 ( )2 ( )2
Pt.mặt cầu (S) đường kính AB : + Tâm I là trung điểm AB => I(
2
B
2
B
2
B
+ Bán kính R = IA
Pt mặt cầu (S) qua bốn điểm A,B,C,D:
p/ pháp : Pt tổng quát mặt cầu (S)
x2 + y2+ z2+ 2.Ax+ 2.By + 2Cz + D = 0 (1) Thay lần lượt toạ độ 4 điểm vào (1) => giải hệ tìm hệ số A;B;C;D
Pt.mặt cầu (S) tâm I(a;b;c) và tiếp xúc mặt phẳng () -> bán kính R = d(I; ())
Bài tốn 3: xác định vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng
() : A x + B y + Cz +D = 0 ; (S): (x a)2 + (yb)2 +(zc)2 = R2
Trang 8Tính d(I; ()) = ?
Nếu: d(I; ) > R <=> và S không có điểm chung ( rời nhau)
d(I; ) = R <=> tiếp xúc với S ( là mp tiếp diện)
() (S) =M0 ;
Cách viết mặt phẳng tiếp diện : () qua M0 nhận IM0 làm VTPT
d(I; ) < R <=> cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C)
tâm H; bán kính r
+ Tâm H là hình chiếu của I lên mp
+ bán kính r = R2 [d(I ; )] 2
Cách xác định H: + Lập pt đ thẳng (d) qua I nhận n làmVTCP
(d)
thay vào pt mp() => giải t =>toạ độ điểm H
Phần 4: Mặt phẳng, đường thẳng
Bài tốn 1: cách viết phương trình mặt phẳng:
Phương trình mặt phẳng đi qua M x y z0( ;0 0; )0 và cĩ một VTPT
( ; ; )
A x( x0) B y( y0) C z( z0) 0
* (ABC): +) tính AB ? ; AC ?
+) VTPT của (ABC) là n [AB,AC ]
=> viết mặt phẳng đi qua A cĩ VTPT n
* Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB
+) Xác định trung điểm M của đoạn thẳng AB
+) Tính vectơ AB
Mặt phẳng trung trực đi qua M cĩ VTPT AB
* () cĩ hai vectơ chỉ phương ,a b thì n [a, ]b
*() vuơng gĩc cả hai mặt phẳng (P) và (Q) thì VTPT n [n n P, Q]
* () song song đường thẳng d và vuơng gĩc với một mặt phẳng
P thì n [n u P, d]
* (a,b) : nếu a//b thì VTPT n [u ,a AB với A] a; B b
Nếu a cắt b thì n [u ,a u b]
*(A;a) thì VTPT n [u ,a AB với B] a
* () //() thì VTPT n n
* () a thì VTPT n u a
*() đi qua 2 điểm A và B đồng thời chứa đ.thẳng a hoặc // a hoặc
cĩ VTCP a thì n [u ,a AB ( thay ] u = a ) a
* () chứa đ.thẳng (d) và ()
+) chọn M trên đ.thẳng (d)
+) VTPT của () là n [u n d, ]
* Viết PT mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) và song song với (d/)
+) chọn M trên đ.thẳng (d)
+) VTPT của () là n P [ ,u u d d/]
=> Viết PT mp(P) đi qua M và cĩ VTPT n P [ ,u u d d/]
Bài tốn 2: viết phương trình đường thẳng
Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm
0( ;0 0; )0
1
2 3
o
o
o
Nếu a a a1 2 3 0 thì 0 0 0
( ) :d x x y y z z
phương trình chính tắc của d
* đi qua 2 điểm A và B => đi qua A cĩ VTCP AB
* đi qua A và // (d) => qua A cĩ VTCP u d
* đi qua A và () thì qua A cĩ VTCP là n
* là giao tuyến của hai mặt phẳng () và () thì +) VCTP của là u [n ,n]
+) Cho một ẩn bằng 0 giải hệ 2 ẩn cịn lại tìm điểm M?
=> đi qua M cĩ VTCP là u [n ,n ]
* là hình chiếu của đ.thẳng (d) lên mp () #) Viết phương trình mp(P) chứa (d) và vuơng gĩc mp() +) chọn M trên đ.thẳng (d)
+) VTPT của (P) là n P [u n d, ] # ) VTCP của là u [n ,P n ] # ) cho một ẩn x = 0 giải hệ gồm 2 ẩn y và z của 2 PT hai mặt phẳng (P) và ()=> M? => đi qua M cĩ VTCPu [n ,P n ]
* Cách viết phương trình đường cao AH của ABC
+) Tìm tọa độ VTPT của mp(ABC) là n [BC,AC = ? ] +) Tìm tọa độ VTCP của đường cao AH là: u [BC, ]n = ?
=> Viết PT đường cao AH đi qua A cĩ VTCP u [BC, ]n
* Cách viết phương trình đường trung trực của cạnh BC của ABC +) Tìm tọa độ VTPT của mp(ABC) là n [BC,AC = ? ] +) Tìm tọa độ VTCP của trung trực là: u [BC, ]n = ?
+) Tìm tọa độ điểm M là trung điểm đoạn thẳng BC
=> Đường trung trực cạnh BC của ABC là đường thẳng đi qua M
cĩ VTCP u [BC, ]n
Bài tốn 3: Tìm hình chiếu của một điểm lên một mặt phẳng hoặc đ.thẳng
* Tìm hình chiếu H của M lên ()
+) Viết PT đ.thẳng (d) qua M cĩ VTCP là n
+) giải hệ gồm ( )
( )
PTmp
PT d
+) Hình chiếu H là giao điểm của () và (D) là nghiệm của hệ trên
* Tìm hình chiếu H của M lên đường thẳng (d)
+) Viết PT mặt phẳng (P) qua M cĩ VTPT là u d
+) giải hệ gồm ( )
( )
PTmp
PT d
+) Hình chiếu H là giao điểm của () và (d) là nghiệm của hệ trên
Bài tốn 4: Tìm tọa độ điểm A / đối xứng với điểm A qua đt hoặc
mp
* Đối xứng qua mp()
+) Viết PT đ.thẳng (d) qua M cĩ VTCP là n
+) giải hệ gồm ( )
( )
PTmp
PT d
+) Hình chiếu H là giao điểm của () và (d) là nghiệm của hệ trên
Trang 9+) Tọa độ điểm đối xứng A/ :
2 2 2
* Đối xứng qua đường thẳng (d)
+) Viết PT mặt phẳng (P) qua M cĩ VTPT là u d
+) giải hệ gồm PTmp( )
PT d
+) Hình chiếu H là giao điểm của () và (d) là nghiệm của hệ trên
+) Tọa độ điểm đối xứng A/ :
2 2 2
Bài tốn 4: xác định vị trí tương đối giữa mp và mp, đt và đt, đt
và mp
* Vị trí tương đối giữa mp (P) và mp(Q)
(P) : Ax + By + Cz + D = 0 ; (Q) : A/x + B/y + C/z + D/ = 0
với n =(A;B;C) và n =(A/; B/ ; C/ )
(P) (Q) <=>
/
A
A
= /
B B
= /
C C
= /
D D
(P) // (Q)<=>
/
A
A
= /
B B
= /
C C
/
D D
(P) cắt (Q)<=>
/
A
A
/
B B
/
B B
/
C C
/
C C
/
A A Chú ý : / <= > n n = 0 <=> AA/ + BB/ + CC/ = 0
cắt / <=> n và n không cùng phương
* Vị trí tương đối giữa đ.thẳng (d 1 ) và (d 2 )
Xác định các VTCP u =(a;b;c) , /u =(a/;b/; c/ ) ;Tính [ u , / u ]
Nếu :[ u , / u ]= 0 hay , 'u u cùng phương
+) chọn M1 (d1) Nếu M1 d2 thì d1 // d2
Nếu M1 (d2) thì d1 d2
Nếu [ u , / u ] 0 hay , 'u u khơng cùng phương
Ta giải hệ d1 d theo t và t2 / (cho PTTS của hai đ.thẳng = theo
tùng thành phần )
+) Hệ cĩ nghiệm duy nhất t và t/ thì d1 cắt d2 => giao điểm
+) Nếu hệ VN thì d1 chéo d2
* Vị trí tương đối giữa đ.thẳng (d) và mặt phẳng (P)
+) Thay PTTS của đ.thẳng (d) vào PT mp(P) ta được PT theo ẩn
t
+) Nếu PTVN thì (d)//mp(P)
Nếu PTVSN thì (d) mp(P)
Nếu PT cĩ nghiệm duy nhất thì (d) cắt mp(P) =>giao điểm?
Chú ý: u và d n cùng phương P d P
Bài tốn 5: Tính khoảng cách
* từ điểm A(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D = 0
d(A;()) = 0 0 0
* (P)//(Q) thì d((P),(Q)) = d(A;(Q)) với mọi điểm A chọn tùy ý trên
(P)
* Khoảng cách tử đường thẳng (d) đến mặt phẳng (P) với (d)//mp(P)
+) chọn điểm M bất kỳ trên (d)
+) d((d), mp(p)) = d(M,(mp(P))
* Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng (d) (khơng cĩ cơng thức tính trong chương trình mới phân ban đối với ban cơ bản) nhưng ta
cĩ thể tính như sau:
+) lập PT mp(Q) qua A và vuơng gĩc với (d)
+) Tìm giao điểm H của mp(P) và đ.thẳng (d)
+) Khoảng cách cần tìm là đoạn thẳng AH
* Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song (d) và (d/)
+) Chọn điểm M bất kỳ trên (d)
+) Viết PT mặt phẳng (P) qua M cĩ VTPT là u d
+) Tìm điểm N là giao điểm của (d/ ) và mp(P) ( bằng cách giải hệ gồm PTcủa (d/) và PT mặt phẳng (P) => nghiệm x,y,z là tọa độ điểm N)
+) Khoảng cách cần tìm là độ dài đoạn thẳng MN
* Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau (d) và (d/)
* Viết PT mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) và song song với (d/)
+) chọn M trên đ.thẳng (d)
+) VTPT của () là n P [ ,u u d d/] => Viết PT mp(P) đi qua M và cĩ VTPT n P [ ,u u d d/]
Bài tốn 6: Tính gĩc
* Gĩc giữa hai mp (P) A1x+B1y+C1z+D1 = 0
và mp(Q) A2x+B2y+C2z+D2 = 0 thì
n
1 2
os =
1 2
n c
Với ((mp Q mp P( ), ( ))
* Gĩc giữa đường thẳng d:
0 0 0
và mặt phẳng Ax+By+Cz+D = 0 là sin =
n P d
d
u
P
=
a
Với ( , ( ))d P
Gĩc giữa hai đường thẳng (d1) :
1
1
1
0 0 0
Và (d2):
thì os = 1 2.
1 2
u u
a a
1 2 1 2 1 2
Với
1 2
(d d, )