Lớp 12 nguyên hàm tích phân 37 câu nguyên hàm tích phân tổng hợp năm 2018 converted image marked

Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được tính theo công thức A... Khi đó b c+ có giá trị thuộc khoảng nào dưới đây?. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành

Câu 1 (ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018) Cho hàm số y=f x( )liên tục trên đoạn  a; b Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y=f x( ), trục hoành và hai đường thẳng x=a, x=b a( b) Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được tính theo công thức

A b 2( )

a

V= f x dx B b 2( )

a

V= 2 f x dx C 2b 2( )

a

V=  f x dx D 2b ( )

a

V=  f x dx

Đáp án A

Câu 2 (ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018)Họ nguyên hàm của hàm số

f x =3x + là 1

A x3+C B

3

x C

3 + C 6x C+ D x3+ +x C

Đáp án D

f x dx= 3x +1 dx=x + +x C

Câu 3: (ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018)Tích phân

2

0

dx

x+3

 bằng

A 16

5 log

5 ln

2 15

Đáp án C

2 0

d x 3

ln x 3 ln 5 ln 3 ln

+

Câu 4: (ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018) Biết

2

1

dx

 với a, b, c là các số nguyên dương Tính P= + + a b c

A P=24 B P=12 C P 18= D P=46

Đáp án D

Ta có

2

1

dx I

=

x x 1

+

1

2 x 2 x 1 4 2 2 3 2 32 12 2 a 32; b 12;c 2

Vậy a b c+ + =46

Câu 5 (ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018)Cho (H) là

hình phẳng giới hạn bởi parabol y= 3x ,2 cung tròn có phương trình

2

y= 4 x− (với 0  ) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ) x 2

Diện tích của (H) bằng

A 4 3

12

 +

12

 −

C 4 2 3 3

6

 + −

D 5 3 2

3

− 

Đáp án B

Phương trinh hoành độ giao điểm là: 2 2

0 x 2

3x 4 x

 



= −

Dựa vào hình vẽ ta có:

Với

2

2 1

1

I = 4 x dx,− sử dụng CASIO hoặc đặt x=2sin tdx=2cos tdt

2

1

x 2 t

I 4 4sin t.2 cos tdt 2 1 cos2t dt 2t sin 2t





=  =

1

1

I 4 3 3

6

6

 −

Câu 6 (ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018) : Cho hàm số f x xác định ( )

trên \ 1

2

 

 

  thỏa mãn ( ) 2 ( )

f ' x , f 0 1

2x 1

− và f 1( )= Giá trị của biểu thức 2

( ) ( )

f − +1 f 3 bằng:

A 4 ln15+ B 2 ln15+ C 3 ln15+ D ln15

Đáp án C

Ta có f ' x dx( ) =ln 2x 1− +C

Hàm số gián đoạn tại điểm x 1

2

=

x f x ln 2x 1 C

2

  = − + mà f 1( )=  = 2 C 2

f x ln 2x 1 2 khi x

2

f x ln 1 2x 1 khi x

2

Do đó f( ) ( )− +1 f 3 =ln 3 1 ln 5 2+ + + =ln15 3.+

Câu 7: (ĐỀ THI THAM KHẢO BỘ GD & ĐT NĂM 2018) Cho hàm số f x có đạo ( )

hàm liên tục trên đoạn  0;1 thỏa mãn ( ) 1 ( ) 2

0

f 1 =0,f ' x  dx=7 và 1 2 ( )

0

1

x f x dx

3

=

phân 1 ( )

0

f x dx

A 7

5 B 1 C

7

4 D 4

Đáp án A

u f x du f ' x dx

,

dv 3x dx v x

0

3x f x dx=x f x − x f ' x dx

1=f 1 −x f ' x dxx f ' x = − 1 14x f ' x dx= −7

Mà

2 2

49x dx=7 suy ra f ' x  dx+ 7x f ' x dx+ 49x dx= 0 f ' x +7x  dx=0

f ' x 7x 0 f x x C

4

0

Câu 8 (ĐỀ THI THỬ 2018)Giới hạn

x 3

x 1 5x 1 lim

→

− − bằng

a

b (phân số tối giản) Giá trị của a− là: b

8

Đáp án A

Ta có

8

Suy ra a=9; b=  − =8 a b 1

Câu 9: (ĐỀ THI THỬ 2018) Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 3

y=f x =cos x

A ( ) cos x4

x



f x dx sin 3x sin x C

4



Đáp án B

f x dx cos xdx cos 3x 3cos x dx 3sin x C

Câu 10 (ĐỀ THI THỬ 2018)Biết 4 ( )

0

a

I x ln 2x 1 dx ln 3 c

b

= + = − , trong đó a, b, c là các số

nguyên dương và a

b là phân số tối giản Tính S a b c= + +

A S=60 B S 17= C S=72 D S=68

Đáp án B

2

2

x

dv xdx

v 2

 =



=



+

a 63 63

4

c 3

=





 =



Cách : PP hằng số

Đặt

4

2

2

2x 1

1

x

4 v

 =

−

=







( 2 )

4

0

a 63

c 3

=



 =



Câu 11 (ĐỀ THI THỬ 2018)Parabol

2

x y 2

= chia hình tròn có tâm là gốc tọa độ, bán kính

bằng 2 2 thành hai phần có diện tích S và 1 S , trong đó 2 S1  Tìm tỉ số S2 1

2

S

S

A 3 2

21 2

 +

 − B

3 2

9 2

 +

3 2 12

 +

9 2

3 2

 −

 +

Đáp án B

Ta có

2

y

2



Ta có parabol và đường tròn như hình vẽ bên

Khi đó

2 1

2

−

Suy ra S2 8 S1 6 4

3

=  − =  − Suy ra 1

2

4 2

4

3

 −

 =

Câu 12 (ĐỀ THI THỬ 2018) : Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng được giới hạn bởi các

đường 2

y=x và x=y2 quay quanh trục Ox bằng bao nhiêu?

A 3

10



3



Đáp án A

Phương trình hoành độ giao điểm của ( ) ( )C , C1 2 LÀ

2

2

x 1; y 1

x y

Trong đoạn x 0;1 suy ra y=x ; y2 = x

Thể tích khối tròn xoay cần tính là 1( ) 5 2 1

4 Ox

0 0

Câu 13 (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ 2018)Cho hai hàm số ( ) ( 2 ) x

F x = x +ax+b e− và

f x = − +x 3x+6 e− Tìm a và b để F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x ( )

A a=1, b= −7 B a= −1, b= −7 C a= −1, b=7 D a=1, b=7

Đáp án B

F ' x = − +x 2 a x− + −a b e− =f x nên 2 a− = và a b 63 − =

Vậy a= − và b1 = − 7

Câu 14 (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ 2018) : Cho hàm số f x liên tục trên ( ) và có

f x dx=2; f x dx=6

1

I f 2x 1 dx

−

A I 2

3

2

= D i= 6

Đáp án B

1

1

2

I f 2x 1 dx f 1 2x dx f 2x 1 dx

1

1 2

1

2

f 1 2x d 1 2x f 2x 1 d 2x 1

f t dt f t dt f x dx f x dx 6 2 4

Câu 15 (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ 2018) : Tính diện tích S của hình phẳng (H) giới

hạn bởi đường cong y= − +x3 12x và y= −x2

A S 343

12

4

4

12

=

Đáp án D

Hoành độ giao điểm của hai đường cong là nghiệm của phương trình;

3 2 3 2

x 4

x 0

=





 =



Ta có

S x 12x x dx x 12x x dx

−

99 160 937

x 12x x dx x 12x x dx

−

Câu 16 (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ 2018) : Tìm tất cả các giá trị thực của tham số k để

có k( ) x 0

1

x 1 1 2x 1 dx 4 lim

x

→

+ −

A k 1

k 2

=



 =

k 1

=



 = −

= −



 = −

k 2

= −



 =



Đáp án D

1

2x 1 dx 2x 1 d 2x 1

x 1 1 x 1 1

+ −

+ +

x 0 1

k 2 2k 1 1

x 1 1

→

=

+ −



Câu 17 (TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ 2018)Cho f x là hàm liên tục trên đoạn ( )  0;a

thỏa mãn ( ) ( )

f x f a x 1

f x 0, x 0; a





a

0

1 f x = c +

 , trong đó b, c là hai số nguyên dương và

b

c là phân số tối giản Khi đó b c+ có giá trị thuộc khoảng nào dưới đây?

A (11; 22 ) B ( )0;9 C (7; 21 ) D (2017; 2020 )

Đáp án B

Đặt t a x= −  = − dt dx

Đổi cận x=  =0 t a; x=  =a t 0

Lúc đó

( )

( ) ( )

f x dx

I

1

1

f x

−

Suy ra

( ) ( ) ( )

f x dx dx

1 f x 1 f x

Do đó I 1a b 1; c 2 b c 3

2

Cách 2: Chọn f x( )= là một hàm thỏa các giả thiết Dễ dàng tính được 1

1

I a b 1; c 2 b c 3

2

Câu 18 (Toán Học Tuổi Trẻ) : Tìm nguyên hàm của hàm số: f x( )= xlnx

3ln 2 9

3ln 2 3



3ln 1 9

3ln 2 9



Đáp án D

x

3x x x 9x x C 9x x x C

Câu 19: (Toán Học Tuổi Trẻ) Tìm công thức tính thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi parabol ( ) 2

:

P y=x và đường thẳng d y: =2x

quay xung quanh trục Ox

2 2

0

2

4x dx x dx

 −

C

4x dx x dx

2 0

2x x dx

 −

Đáp án D

Thể tích của khối tròn xoay là:

4

V = x dx− x dx

Câu 20: (Toán Học Tuổi Trẻ) Cho hàm số f x( ) liên tục trên thỏa mãn

f x = x  x Tính I =1 f x dx( )

A 2

8

 +

B 1 C 2

4

 +

D

4



Đáp án A

2

1

tan 1

x

( )

1 2 2

0

8 1

x



+

Câu 21: (Toán Học Tuổi Trẻ) Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong

1

,

x

y=e − cắt trục tọa độ và phần đường thẳng y= −2 x với x 1. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành

A

2 2

e V

e

−

2

6

e V

e

2

e V

e− 

2 2

e V

e

−

Đáp án B

Ta có 1

x

e − = −  =x x (do hàm số ( ) 1

2

x

f x =e − + −x đồng biến trên và

( )1 0)

2

2 2

2

2

6

e



Câu 22: (Toán Học Tuổi Trẻ) Xét hàm số y= f x( ) liên tục trên miền

 ;

D= a b có đồ thị là một đường cong C Gọi S là phần giới hạn bởi C và các đường thẳng x=a x, =b. Người ta chứng minh được rằng độ dài đường cong S bằng ( ( ) )2

b

a

f x dx

+

 Theo kết quả trên, độ dài đường cong S là phần đồ thị của hàm số f x( )=lnx và bị giới hạn bởi các đường thẳng x=1,x= 3 là

1

n

+

m −mn+n là bao nhiêu?

A 6 B 7 C 3 D 1

Đáp án B

3

2

1

1

x

1

u= +x ta có:

2

2

7

Câu 23: (Toán Học Tuổi Trẻ) Nguyên hàm của hàm số f x( )=x e 2x là

x

F x = e x− +C

( ) 2

2

x

F x = e x− +C

( ) 2 x 2

2

x

Đáp án A

2x

I =xe dx

2

2

x x

e

=



=

2

x

Câu 24: (Toán Học Tuổi Trẻ) Cho hàm số f x( ) liên tục trên và thỏa mãn

4

1

(tan ) 4



=

1 2 2 0

( )

2 1

x f x

dx

+

1

0

( )

I = f x dx

Đáp án A

Ta có

4

1

0

(tan ) 4



Đặt

2

tan

cos

dx

x

2

1 2

0

2

1

0

(1 tan ) (1 )

1

4

( )

1

( )

1

+

=

+

+





dt

t

x f x

x

f x

x

f x dx

Câu 25 (Toán Học Tuổi Trẻ) Biết

2

1

ln

ln 2

các số nguyên dương và b

c là phân số tối giản) Tính giá trị của 2a+ +3b c

Đáp án A

Có

2

2

0

ln x

x

Đặt

2

ln

1

1

dx

x

v x

x



=

1

2

1

ln 2 1 1 1

ln 2

1

2

x

x

Câu 26: (Toán Học Tuổi Trẻ) Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số ( ) : 1

1

x

x

−

= + và các trục tọa độ Khi đó giá trị của S bằng

A S =ln 2 1− (đvtt) B S =2ln 2 1− (đvtt) C

2ln 2 1

S = + (đvtt) D S =ln 2 1+ (đvtt)

Đáp án B

Đồ thị hàm số cắt Ox tại (1; 0) Oy tại (0; 1)−

1 0

1

2 ln ( 1) 2 ln 2 1

x

=  − +  = −

Câu 27 (Toán Học Tuổi Trẻ) : Với mỗi số nguyên dương n ta kí hiệu

1

0

n

lim n x

n

I I

+

® + ¥

Đáp án A

1

0

n

I = òx - x dx Khi đó

1

1

1

0

J= òx x - x dx ta đặt:

3

2 1

3 1

n

+

ïïî

1 1

3

1 2 2

n

n

+

1

x

n

I

I

+

Câu 28: (Toán Học Tuổi Trẻ) Cho tích phân

0

3

cos 2 cos 4x xdx a b 3

p

-= +

đó a,b là các hằng số hữu tỷ Tính e a+log2 b

Đáp án A

Đặt t= sin 2x, tính ra 0, 1

8

a= b= - nên e a+log2 b = - 2

Câu 29 (Toán Học Tuổi Trẻ) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

P y= x - x+ và các tiếp tuyến với ( )P tại ( ) (A1; 2 ,B 4;5)

A 9

2

Đáp án A

Tiếp tuyến với ( )C tại A,B là 1: 2 4, 2: 4 11, 1 2 5;1

2

d y= - x+ d y= x- d Çd = Mæçç ö÷÷

÷

çè ø

Diện tích cần tính là

5

4 2

5 1

2

9

4

Câu 30 (Toán Học Tuổi Trẻ) Tìm giá trị dương của k để

x

f x

→+



ln 5

Đáp án C

x

x

 +

Do đó

9

x

x

→+



Câu 31 (Toán Học Tuổi Trẻ) Biết 1 3 2 ( )

0

ln , 0

x

x

x

+

8

1 2017 lim

2018 x

ab

x

d

x

→+



+



Đáp án B

2

x

x

ab− k +  − k +  k

Câu 32 (Toán Học Tuổi Trẻ) Giả sử a b c, , là các số nguyên thỏa mãn

2

2 1

x

+

Đáp án D

2

2

2

2 1

x

+

Câu 33 (Toán Học Tuổi Trẻ) : Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đường cong

ln x

y

x

= , trục hoành và đường thẳng x=e Khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục hoành có thể tích bằng bao nhiêu?

A

2

V =

3

V =

6

V =

Đáp án B

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y ln x

x

= và trục hoành là: số

0 ln

ln 0

x

x

x

x x





=



( )

2

2

ln

3

x

x



Câu 34 (Toán Học Tuổi Trẻ) Cho hàm số f x( ) xác định trên \ 1  thỏa mãn

, 0 2017,

1

x

− f ( )2 =2018 Tính S = f ( )3 − f ( )−1

A S =1 B S =ln 2 C S =ln 4035 D S =4

Đáp án A

( ;1)

x  − thì f x( )= f( )x dx=ln 1( −x)+C1

(1; )

x  + thì f x( )= f( )x dx=ln 1( −x)+C2

( )

2018

2 2018

C f

=



Câu 35 (Toán Học Tuổi Trẻ) Biết luôn có hai số a, b để

4

ax b

x

+

+ là nguyên hàm của hàm số f x( ) và thỏa mãn

( ) ( ( ) ) ( )

2

2f x = F x −1 f x Khẳng định nào dưới đây đúng và đầy đủ nhất?

A a=1,b=4 B a=1,b= −1 C a=1,b \ 4  D a ,b

Đáp án C

( ) ( )

2 2

4

4

a

a

b

x

−

−



+

3

3

2 4

4

a

x



+

Ta có 2( ) ( ( ) ) ( )

2f x = F x −1 f x

2

2 4

a b

4a b a 1 x b 4

 − = − − − + (*) (do x −4, 4a− b 0) Biểu thức (*) đúng với mọi x  −4 nên có a=1,b

Do 4a b− 0 nên a=1,b= \ 4 