Tìm hệ số của số hạng chứa x3... Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton của P.A. an là cấp số cộng với công sai bằng 1.. an là cấp số cộng với công sai bằng 4.. an là
Trang 1Câu1: (Chuyên Đại Học Vinh) Cho khai triển
3 2x− +x =a x +a x +a x + + a Giá trị của a15bằng
A −804816 B 218700 C −174960 D 489888 Đáp án A
Phương pháp:
Sử dụng khai triển nhị thức Newton ( )n n k n k k
n
k 0
a b C a − b
=
Hệ số a15là hệ số của số hạng chứa x3 Tìm hệ số của số hạng chứa x3
Cách giải:
9
k 0
3 2x x C 3− x 2x
=
Hệ số a15thuộc số hạng a x nên với k15 3 thì sẽ không thỏa mãn 4
9
k= 2 C 3− x −2x =78732 x −2x =78732 x −4x +4x
Với
9
k= 3 C 3 − x −2k =61236 x −2x =61236 x −3x 2x 3x 2x+ −8x
Do đó a15=78732.( )− +4 61236.( )− = −8 804816
Câu 2: (Chuyên Đại Học Vinh) Giả sử a, b là các số thực sao cho x3+y3 =a.103z+b.102z đúng với mọi các số thực dương x, y, z thỏa mãnlog x( +y)= và z ( 2 2)
log x +y = + Giá trị của a bz 1 + bằng
A 31
2
− B 25
2
− C 31
2 D
29 2
Đáp án D
Phương pháp:
z
2 2
x y 10 x y log x y z 1 x y 10 + 10.10
+ =
Thay 10z = +x yvào x3+y3 =a.103x+b.10 ,2x biến đổi, thế và đồng nhất hệ số
Cách giải:
Trang 2Ta có ( )
z
2 2
x y 10 x y log x y z 1 x y 10 + 10.10
+ =
Khi đó 3 3 3z 2z ( ) ( 2 2) ( )z 3 ( )z 2
x +y =a.10 +b.10 x+y x −xy+y =a 10 +b 10
Đồng nhất hệ số, ta được
b 15 2a 1
= − =
Vậy a b 29
2 + =
Câu 3: (Chuyên Đại Học Vinh) Cho k, n k( n)là các số nguyên dương Mệnh đề nào sau đây sai?
A
k
n
n!
C
k! n k !
=
− B
A =n!.C C Akn =k!.Ckn D Ckn =Cn kn−
Đáp án D
Câu 4: (Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội) Cho biểu thức
10
3 2 3
P
x x
−
với x0, x1 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton của P
Đáp án C
3 2 3
Số hạng không chứa 4 ( )4
4 10
x20 5k− = = 0 k 4 a =C −1 =210
Câu 5: (Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội) Tìm hệ số của x5 trong khai triển nhị thức Newton
n
3
1
x
biết tổng các hệ số của khai triển bằng 128
Đáp án C
n k
−
−
Trang 3Suy ra tổng các hê ̣ số của khai triển bằng k
n
k 0
C 128
=
=
Mặt khác ( )n n k n k k n k n k n
Suy ra 9n 11k 5 5.7 11k 5 k 3 a3 C x37 5 35x 5
Câu 6: (Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội) Tổng của n số hạng đầu tiên của một dãy số ( )an , n là 1 2
n
S =2n +3n Khi đó
A ( )an là cấp số cộng với công sai bằng 1 B ( )an là cấp số cộng với công sai bằng 4
C ( )an là cấp số nhân với công bội bằng 1 D ( )an là cấp số nhân với công bội bằng 4
Đáp án B
Dễ thấ y un phải là cấp số cô ̣ng:
n 2a n 1 d
u u
+ −
Câu 7: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Cho dãy số ( )Un xác định bởi U1 1
3
= và
n 1
3n
+
+
1
U
= + + + + bằng
A 3280
6561 B
29524
25942
1 243
Đáp án B
Đặt
n 1 n
n 1
n 1
1
1
V
1
n 1
V 3
+ +
+
= +
=
suy ra
10 n 1
S=V trong đó Vnlà cấp số nhân với công
sai q 1
3
=
Do đó
10 1 1
S
1
3
−
Trang 4Câu 8: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Cho n là số nguyên dương thỏa mãn:
A =C +C +4n+6 Hệ số của số hạng chứa 9
x của khai triển biểu thức
P x x
x
= +
bằng:
Đáp án C
Do
n n 1
2
−
Số hạng tổng quát của khai triển ( ) 2 3 12
P x x
x
= +
là:
( )k 12 k
k 2 k 2k 12 k k 12 k 3k 12 12 k
3
x
−
Số hạng chứa x9tương ứng với 3k 12 9− = = hệ số của số hạng chứa k 7 9
x là :
7 5
12
C 3 =192456
Câu 9: ( Chuyên Biên Hòa-Hà Nam ) Tính tổng S 1 2.2 3.2= + + 2+4.23+ + 2018.22017
A S=2017.22018+1 B S=2017.22018 C S=2018.22018 D
2018
S=2019.2 +1
Đáp án A
Ta có 2S 1.2 2.2= + 2+3.23+ + 2018.22018
2S S− =2018.2 + −1 2 2+ −2 3 2 + −3 4 2 + − 1
2018 2 1 2 2017
1 2
−
Câu 10: ( Chuyên Thái Bình Lần 3-2018)Tìm hệ số của số hạng chứa x9 trong khai triển nhị thức Newton ( )( )11
1 2x 3 x+ +
: Đáp án C
Ta cos ( )( ) (11 ) 11 k 11 k k 11 k 11 k k 11 k 11 k k 1
1 2x 3 x 1 2x C 3 − x C 3 − x 2 C 3 − x +
Số hạng chứa x9 là C 3 x119 2 9+2C 3 x118 3 9 =9405x 9
Câu 11: (Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-1-2018 ) Tìm hệ số của x9trong khai triển
Trang 5biểu thức 4
3
3
x
A − B 21696 − C 96 D 216
Đáp án A
Ta có 4 4 ( )4 k( ) ( )k 4 ( )
3
3
x
1 4
x 16 7k− = = 9 k 1 a =C 2 − x = −96x
Câu 12: (Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-1-2018 ) Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên k sao cho k k 1 k 2
14 14 14
C , C +, C + theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng Tính tích tất
cả các phần tử của S
A 16 B 20 C 32 D 40
Đáp án C
k 1 k k 2
14 14 14
k 1 ! 13 k ! k! 14 k ! k 2 ! 12 k !
k 1 ! 14 k ! k 1 ! 14 k ! k 2 k 1 ! 14 k !
13 k 14 k
k 2
k 4
k 8
+
=
Câu 13: (Chuyên Thái Nguyên Lần 1) Tìm hệ số của x trong khai triển nhị thức 4
Newton
5
1 2
n
x
x
2
18
n n
A A−
Đáp án A
Điều kiện: n Ta có 6
2
!
n n
n
−
Với n =10, xét khai triển 10 10 ( )10 10 10 6
k
−
Trang 6Hệ số của x ứng với 4 10 6 4 5
5
k
k
− = = Vậy hệ số cần tìm là 5 5
10.2 8064
Câu 14: (Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ)Trong khai triển biểu thức ( )21
x+y , hệ số của số hạng chứa x y13 8 là
Đáp án C
Số hạng tổng quát thứ x 21 k k( )
k 1 21
k 1: T+ + =C x − y 0 k 21; k ứng với số hạng chứa
13 8
x y thì k= Vậy hệ số của số hạng chứa 8 13 8
x y là a8 =C821=203490
Câu 15 (Chuyên Thái Bình- 2018)Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton
21
2
2
x x x n N
A 2 C 7 217 B 2 C 8 218 C − C 28 218 D.− C 27 217
Đáp án D
Ta có: Error! Reference source not found
Số hạng không chứa x k – 2(21 – k) = 0 k = 14
Số cần tìm là 14 21 14 7 7
21( 2) 21( 2)
C − − =C − (theo tính chất Error! Reference source not found.)
Câu 16: (Chuyên Thái Bình- 2018) Biết rằ ng hệ số của x trong khai triển nhị thức Newton 4
(2− ) (n, *)
x n N bằ ng 60 Tìm n
A n=5 B n=6 C n=7 D n=8
Đáp án B
2−x n, (nN )
Số hạng tổng quát trong khai triển là ( ) ( ) *
1 k C n k2n k− x k, (n N )
Theo yêu cầu bài toán ta có k = 4
Vậy hệ số x4 của trong khai triển ( )4 4 4
1 2 − 60
n
C
Giải phương trình 4 4
2n− =60 =6
n
Câu 17 : (Chuyên Vĩnh Phúc–lần 2) Tìm tất cả các số a trong khai triển của
Trang 7( )( )4
1 ax 1 x+ + có chứa số hạng 3
22x
A a= 3 B a= 2 C a= − 3 D a= 5
Đáp án A
Phương pháp: Sử dụng khai triển nhị thức Newton ( )n n k k n k
n
k 0
=
+ = , tìm ra hệ
số của x3 trong khai triển trên và cho hệ số đó bằng 22
Cách giải: ( )( ) (4 ) 4 k k 4 k k 1
Hệ số có chứa x3 trong khai triển trên là C34+aC24 = +4 6a=22 =a 3
Câu 18 : (Chuyên Quang Trung -2018) Tìm hệ số của x5 trong khai triển
( ) ( ) (6 )7 ( )12
P x = x 1+ + x 1+ + + x 1+
Đáp án A
Phương pháp
Hệ số của x5 trong khai triển ( ) (k )
x 1+ k5 là C Lấy tổng các hệ số này lại để ra 5k kết quả
Lời giải chi tiết
Hệ số của x5 trong khai triển ( ) (k )
x 1+ k5 là C Do đó hệ số của 5k x5 trong khai triển của p x là ( ) C56+C57+C58+C59+C105 +C115 +C125 =1715
Câu 19: (Chuyên Bắc Ninh-2018) Cho đa thức
( ) ( ) (8 ) (9 ) (10 ) (11 )12
p x x x x x x Khai triển và rút gọn ta được đa
0 1 2 12
Đáp án C
Phương pháp: Áp dụng công thức khai triển tổng quát: ( )
0
−
=
+ n =n k n k k
n k
Đối với bài toán này ta áp dụng công thức ( )
0
=
+ =n
n k n k k
n k
x C x Sau đó dựa vào khai triền bài toán cho ( ) 2 12
Cách giải:
0
=
k
=
Trang 8( )10 10 8
0
=
k
0
=
k
0
=
k
Vậy Hệ số cần tìm là: a8 =C88+C98+C108 +C118 +C128 = + +1 9 45 165 495+ + =715
Câu 20: (Chuyên Bắc Ninh-2018) Cho đa thức
( ) ( ) (8 ) (9 ) (10 ) (11 )12
p x x x x x x Khai triển và rút gọn ta được đa
0 1 2 12
Đáp án B
Phương pháp:
Sử dụng công thức tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân 1( 1)
1
−
=
−
n n
u q S
q
Áp dụng khai triển nhị thức Newton ( )2
0
−
=
+ =n k k n k
n k
Sử dụng tổng ( )2
0
=
+ =n =
k n n k
C
Cách giải:
( ) ( ) (8 ) (9 ) (10 ) (11 )12
( ) (8 )5 ( ) (13 ) (8 )13 ( )8
+ −
m m n n
m m n n
m n
0 1 2 12 13 8 13 8 13 8 13 13
a + +a a + +a = C −C + C −C + + C −C +C + +C
−
a b
Xét tổng ( )2
0
=
+ =n =
k n n k
C
13
1
=
a
0 1 2 12 2 1 2 1 7936
a + +a a + +a = − − + =
Câu 21: (Chuyên Lam Sơn –Lần 2)Tìm hệ số h của số hạng chứa x5 trong khai triển
7
2 2
?
x
x
+
Trang 9Đáp án D
Phương pháp: Sử dụng khai triển nhị thức Newton: ( )2
0
−
=
+ =n
k k n k n k
Cách giải: Ta có:
7 7
7 0
2
2
k k k k
x
−
=
+ =
Hệ số của x5 14 3− k = =5 k 3
Vậy h=C7323=280
Câu 22: ( Chuyên Thái Bình-Thái Bình-Lần 2) Biết n là số nguyên dương thỏa mãn
A +2A =100 Hệ số của x5trong khai triển
( )2n
1 3x− bằng:
A −3 C5 105 B −3 C5 512 C 3 C5 105 D 6 C5 105
Đáp án A
Điều kiện: n 3. Ta có
n 3 ! n 2 !
n n 1 n 2 2n n 1 100 n n 100 0 n 5
− − + − = − − = = (điều kiện : n 3 )
Với n=5, xét khai triển ( )10 10 k 10 k ( )k 10 k ( )k k
Hệ số của 5
x ứng với xk =x5 → =k 5 Vậy hệ số cần tìm là 5 ( )5 5 5
C −3 = −3 C
Câu 23: Cho tổng S=C12017+C22017+ + C20172017 Giá trị tổng S bằng:
A 22018 B 22017 C 22017−1 D 22016
Đáp án C
Xét khai triển ( )n 0 1 2 2 n n ( )
1 x+ =C +x.C +x C + + x C *
Thay x 1
n 2017
=
=
vào (*), ta được
2017 2017 2017 2017
2 =C +C +C + + C =S 2 −1
1009 1010 1011 2018
2018 2018 2018 2018
S= + + + + C (trong tổng đó, các số hạng có dạng Ck2018 với k nguyên dương nhận giá trị liên tục từ 1009 đến 2018 )
Trang 10A 2018 1009
2018
C
S=2 − B S 22017 1 10092018
2C
= + C S 22017 1 10092018
2C
= − D 2017 1009
2018
C
S=2 −
Đáp án B
Ta có: ( )2018 2018 k k 0 1 2018 2018
2018 2018 2018 2018
k 0
=
Chọn x= 1 22018 =C02018+C12018+ + C20182018
Vì k n k 2018 ( 1010 1011 2018) 1009 1009 2017 1009
1
2
−
Câu 25: (Viên Khoa Học và Thương Mại Quốc Tế) Hệ số của x sau khi khai triển và rút gọn 9
đa thức ( ) ( ) (9 )10 ( )14
f x = +x + +x + + +x là:
Đáp án D
Phương pháp: Sử dụng khai triển ( )
0
n
n k k
n k
=
Cách giải: Ta có : ( )
0
n
n k k
n k
=
Do đó hệ số của 9
x trong khai triển trên là C99 +C109 +C119 + + C149 =3003
Câu 26: (Chuyên Sư Phạm Hà Nội Lần 2) Cho
40 40
k k
k 0
1
+ =
với a k Khẳng định nào sau đây là đúng?
A a25 =2 C25 2540 B a25 125C2540
2
= C a25 115C2540
2
= D a25 =C2540
Đáp án C
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức tổng quát của khai triển nhị thức Newton là ( )n n k n k k
n
k 0
a b C a − b
=
Lời giải: Xét khai triển
40
k 0
−
=
Hệ số của x25ứng với k 25
x =x =k 25.Vậy
15
Câu 27: (Cụm 5 trường chuyên) Tìm hệ số của x7trong khai triển ( ) ( )20
P x = x 1+
Trang 11A 7
20
Đáp án A
Phương pháp: Sử dụng khai triển nhị thức Newton: ( )n n k n n k
n
k 0
=
Cách giải: ( ) ( )20 20 k k
20
k 0
=
Để tìm hệ số của 7
x ta cho k= , khi đó hệ số của7 7
x là C 720
Câu 28: (Chuyên Chu Văn An-2018) Trong khai triển
12 5 3
1 x x
với x Số 0.
hạng chứa x4 là:
Đáp án C
Phương pháp : Sử dụng khai triển nhị thức Newton: ( )n n k n k k
n
k 0
=
60 8k− = = Số hạng chứa 4 k 7 4
x là C x127 4 =792x 4
Câu 29: ( Chuyên Sơn La- Lần 1)Với n là số nguyên dương thỏa mãn Akn +2A2n =100
(Aknlà số các chỉnh hợp chập k của tập hợp có n phần tử) Số hạng chứa x5 trong khai triển của biểu thức ( )2n
1 3x+ là:
Đáp án D
Phương pháp: Chỉnh hợp chập k của tập hợp có n phần tử
k n
n!
A
n k !
=
− Cách giải:
2
−
Mà n , n 2 n 2;3; 4;5;6;7 ‘
Thay lần lượt n=2;3; 4;5; 6; 7vào Ak +2A2 =100 :
Trang 12n 2 3 4 5 6 7
Vậy n= 5
Số hạng chứa 5
x trong khai triển ứng với i= Số hạng đó là: 5 5 5 5 5
10
C 3 x =61236x
Câu 30: ( Chuyên Trần Phú – Lần 2) Trong khai triển ( )8
a−2b , hệ số của số hạng chứa a b4 4là:
Đáp án C
Phương pháp: Sử dụng khai triển nhị thức Newton ( )n n k k n k
n
k 0
=
Cách giải: ( )8 8 k k ( )8 k 8 k( )8 k k 8 k
a 2b C a 2b − C 2 − a b −
Để tìm hệ số của số hạng chứa 4 4
a b ta cho k 4 k 4
8 k 4
=
− =
Vậy hệ số của số hạng chứa a b4 4là 4 ( )4
8
C −2 =1120
Khi đó, ( )2n ( )10 10 i ( )i 10 i i i
Câu 31: (Chuyên Hùng Vương-Gia Lai)Tìm hệ số của số hạng chứa x8trong khai triển Nhị thức Niu tơn của n x 2n ( )
x 0 2x 2
, biết số nguyên dương n thỏa mãn
C +A =50
A 297
512 B
29
97
279 215
Đáp án A
Ta có
n n 1 n 2
Suy ra
−
− − −
Số hạng chứa x8 2k 12 8 k 10 a10 C 3 21012 2 10x8 297x8
512
−
Câu 32: (Chuyên Hùng Vương-Gia Lai) Biết rằng khi khai triển nhị thức Niutơn
Trang 13n 2 n 3
−
(với n là số nguyên lớn hơn 1) thì ba số a , a , a0 1 2 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng Hỏi trong khai triển trên, có bao nhiêu số hạng mà lũy thừa của x là một số nguyên
Đáp án C
Yêu cầu bài toán
a 1, a , a
= = = lập thành cấp số cộng
Khi và chỉ khi 2 ( )
n n
n n 1 C
−
Do đó, số hạng tổng quát của khai triển là ( )8 k ( ) k 16 3k
k 4
C 1
2
2 x
−
−
Số hạng mà lũy thừa của x là số nguyên ứng với 16 3k 3k 4
4
mà k0;1; ;8 Suy ra k=0; 4;8→ Có 3 số hạng lũy thừa của x là số nguyên
Câu 33 : (Chuyên Hoàng Văn Thụ- Lần 2) Cho n là số nguyên dương thỏa mãn
2 n 1
A −3C − =11n Xét khai triển ( ) ( )n
P x = x−2 Hệ số chứa x10trong khai triển là:
A 384384 B −3075072 C −96096 D 3075072 Đáp án C
Phương pháp:
+) Công thức khai triển nhị thức Newton: ( )n n i i n i
n
i 0
x y C x y −
=
n k ! k! n k !
Cách giải:
n 0 Loai n!
Với ( ) ( ) (n )15 15 i i( )15 i
n
=
Trang 14Hệ số chứa 10
x ứng với i 10= và bằng 10( )15 10
15
C −2 − = −96096
Câu 34: (Chuyên Thoại Ngọc Hầu-An Giang ) Giả sử có khai triển
0 1 2 n
1 2x − = a + a x + a x + + a x Tìm a5 biết a0+ + =a1 a2 71
Đáp án A
Ta có ( ) n ( ) ( ) ( ) ( )
n k k k 1 2 2 2 n n n
k 0
1 2x C 2 x 1 C 2 x C 2 x C 2 x
=
− = − = + − + − + + −
0 1 2 n n
a + + a a = 71 1 2C = − + 4C = 71 = n 7
Suy ra 5( )7
5 7
a = C − 2 = − 672
1 2x+ =a +a x+a x + + a x , n1 Tìm số giá trị nguyên của n với
n2018 sao cho tồn tại k 0( − thỏa mãn k n 1) ak =ak 1+
Đáp án B
Phương pháp: Sử dụng khai triển nhị thức Newton
Cách giải: Ta có ( )n n k k k( )
n
k 0
=
k k k 1 k 1
a C 2 ; a C 2
k! n k ! k 1 ! n k 1 !
n k k 1
3k 1
k 1 2n 2k n
2
+ + +
+
n 1; 2018 k ;1345
3
Do n là số nguyên nên 3k 1+ là số chẵn => k là số lẻ, thuộc đoạn 1;1345
3
=> có
673 số nguyên k thỏa mãn
Với mỗi số nguyên k xác định 1 số nguyên n Vậy có 673 số nguyên n thỏa mãn yêu cầu bài toán
Trang 15Câu 36: ( Chuyên Ngoại Ngữ - Lần 1)v Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển của biểu thức 3 5
2
2
x
Đáp án A
Phương pháp giải:
Áp dụng công thức tổng quát của khai triển nhị thức Newton là ( )n n k n k k
n
k 0
=
Lời giải: Xét khai triển 5 5 ( )5 k k 5 ( )
k
Hệ số của số hạng chứa x10 ứng với 15 5k 10 − = = k 1.
Vậy hệ số cần tìm là 1 4( )
5
Câu 37: (Chuyên Lê Quý Đôn-Lần 3) Trong khai triển ( )20
1 3x+ với số mũ tăng dần,
hệ số của số hạng đứng chính giữa là
A 3 C11 1120 B 3 C12 1220 C 3 C10 1020 D 3 C9 920
Đáp án A
Phương pháp giải:
Khai triển với số mũ n là số chẵn thì số hạng chính giữa là 1 n
2
+
Lời giải: Xét khai triển ( )20 20 k 20 k ( )k 20 k k k
1 3x C 1 − 3x C 3 x
Số hạng đứng chính giữa của khai triển ứng với k 1 21 11
2
+
Vậy hệ số của số hạng cần tìm là 3 C11 1120
Câu 38: ( Chuyên Thái Bình- Lần 5) Hệ số của số hạng chứa x3 trong khai triển thành
đa thức của biểu thức ( )10
A= −1 x là:
Đáp án B
Phương pháp
Sử dụng khai triển nhị thức Newton ( )n n k n k k
n
k 0
=
Cách giải
( )10 10 k ( )k 10 k ( ) ( )k k
Hệ số của số hạng chứa x3 là 3 ( )3
C −1 = −120