Hãy tính giá trị của a.
Trang 1Câu 1 (MEGABOOK-2018) Tính tổng S=C10092018+C10102018+C10112018+ + C20182018 (trong tổng đó, các số hạng có dạng Ck2018 với k nguyên dương nhận giá trị lien tục từ 1009 đến 2018)
A S=22018−C10092018 B S=22017 1C10092018
2 +
C S 22017 1C10092018
2
= − D S=22017−C10092018
Đáp án B
Áp dụng công thức: Ckn =Cn kn− , C0n+C1n +C2n + + Cnn =2n
Ta có: S=C10092018+C10102018+C10112018+ + C20182018
Xét S'=C02018+C12018+C22018+ + C10092018
Lấy 2009 0 1 2009 2010 2018 2018 2009 ( )
S S'+ =C +C +C + + C +C + + C =2 +C 1
2018 2018 2018 2019 2018 2018 2018
S S'− =C +C +C + + C −C −C − − C =0 2
Lấy ( ) ( )1 + 2 vế theo vế ta được:
2009
2018 2009 2017 2018
2018
C
2
Câu 2 (MEGABOOK-2018) : Số hạng chính giữa của khai triển
2008 2
1 x x
+
A C10042008 10041
1005
2008 1005
1
C
1003
2008 1003
1
C
1004 1004 2008
C x
Đáp án A
Khai triển
2008 2
1 x
x
+
có 2009 số hạng, do đó số hạng chính giữa ứng với k 1004.=
Số hạng ở giữa là:
1004
1004 1004 1004
=
Câu 3 : (MEGABOOK-2018) Hệ số của x trong khai triển 5 ( )5 2( )10
x 1 2x− +x 1 3x+ là:
A 61204 B 3160 C 3320 D 61268
Đáp án C
Hệ số của x trong khai triển 5 ( )5
x 1 2x− là ( )4 4
5
2 C
−
Hệ số của x trong khai triển 5 2( )10
x 1 3x+ là 3 C3 103 Vậy hệ số của x trong khai triển 5 ( )5 2( )10
x 1 2x− +x 1 3x+ là ( )4 4 3 3
2 C 3 C 3320
Trang 2Câu 4: (MEGABOOK-2018)Trong khái triển sau đây có bao nhiêu số hạng hữu tỉ
( )124
4
3+ 5
Đáp án A
Ta có ( ) ( ) ( )124 k
k
124
−
Xét số hạng thứ (k 1+ là )
( ) ( )124 k k 124 k k
−
−
k 1
T+ là số hữu tỉ 124 k
2
−
và k
4 là các số tự nhiên nghĩa là 124 k− chia hết cho 4
k 4t
= với 0 k 124 0 4t124 0 t 31, t
Vậy có 32 giá trị của t tức là có 32 giá trị k thỏa mãn yêu cầu bài toàn
Tóm lại trong khai triẻn ( )124
4
3+ 5 có 32 số hạng hữu tỉ
Câu 5: (MEGABOOK-2018) Tìm hệ số x trong khai triển của 7 ( ) ( 2)n
f x = 2 x 3x− + Biết
C +C +C =29 (C là tổ hợp chập k của n)
A.a7 = −38052 B a7 = −38053 C a7 = −53173 D a7 = −53172
Đáp án B
Ta có C0n +C1n +C2n =29 (điều kiện 1( )
n , n 2) 1 n n 1 n 29 n 7
2
k 0 j
C C 2 1 3 x C 2 x 3x C 2 x 3x C 2 x 3x
=
ta có 14 2k− + = =j 7 j 2k−7 do đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( )i; j = 4;1 = 5;3 = 6;5 = 7;7
Suy ra hệ số của x là 7
a =C C 2 − −1 3 − +C C 2 − −1 3 − +C C 2 − −1 3 − +C C 2 − −1 3 −
Trang 3Câu 6 (MEGABOOK-2018)Tìm hệ số của x26trong khai triển 14 x7
x
+
biết n thỏa mãn biểu thức sau C12n 1+ +C22n 1+ + + Cn2n 1+ =220−1
A 210 B 126 C 462 D 924
Đáp án A
Biểu thức đã cho viết thành C02n 1+ +C12n 1+ + + C22n 1+ =220
Mà C02n 1+ +C12n 1+ + + Cn2n 1+ + + C2n 12n 1++ =22n 1+
Do tính chất Ck2n 1+ =C2n 1 k2n 1+ −+ nên
2n 1 2n 1 2n 1
2 C + +C + + + C + =2 + 2 =2 + =n 10
Số hạng tổng quát trong khai triển ( 4 7)
x− +x là k 4 10 k ( ) 7k
10
C x− − x
Hệ số của 26
x trong khai triển là C10k với −4 10 k( − +) 7k=26 = k 6
Hệ số đó là C106 =210
n 3 3
3
2 x x
biết rằng
n 4 n 6
n 3 n 3
C −− +C −− =6n+20
A −24634368 B 43110144 C −55427328 D Kết quả khác Đáp án B
6 n 3− + −n 3 n 4 n 5− − =6 6n 20+ n −12n +17n 204− = 0
Giải ra được n 12.=
Trong khai triển nhị thức New-ton
12
2
3x 2x ,
−
Số hạng tổng quát là
12
C 3x 2x
−
−
hay k ( )k 12 k k 1(12 k) 3k
12
C −1 3 − 2 x − +
Vậy k thỏa mãn 1( ) 3
12 k k 7
− − + = Giải ra k= Hệ số 6 7
x là: C 6126 6 =43110144
Câu 8: (MEGABOOK-2018) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của
n 4
1
x x
x
với x , nếu biết rằng 0 2 1
C −C =44
Trang 4A 165 B 238 C 485 D 525
Đáp án A
n n 1
2
−
− = − = = hoặc n= − (loại) 8
Với n=11, số hạng thứ k 1+ trong khai triển của
11 4
1
x x
x
1
x
− = −
Theo giả thiết, ta có 33 11k 0
2 = 2 = hay k= 3 Vậy số hạng không chứa x trong khai triển đã cho là C311=165
Câu 9 : (MEGABOOK-2018) Đa thức ( ) ( )2n ( ) (2n 1 )
P x = x 1− +x x 1+ − n , n3 viết lại thành
P x =a +a x a x+ + + a x ĐặtT=a0+ + + +a2 a4 a2n, cho biết T=768
Hãy tính giá trị của a 3
A a3 = 0 B a3 = 1 C a3 = 2 D a3 = 3
Đáp án A
Khi ( ) 2n 1
x 1= P 1 =2 − =a + + + +a a a
( ) 2n
x= − 1 P − =1 2 =a − + + +a a a
2 − 1 2+ =2 a + + + +a a a
2 −.3 2 x 768 2 − 2 2n 1 9 n 5
P x =a +a x a x+ +a x +a x +a x
( )
( )
( )
( )
2
3
P ' x a 2a x 3a x 4a x 5a x
P '' x 2a 6a x 12a x 20a x
P ''' x 6a 24a x 60a x
P ''' 0 6a
Mặt khác ta có: ( ) ( )2n ( )2n 1
P x = x 1− +x x 1+ −
Trang 5( ) ( ) ( ) ( ) ( )
P ' x 2n x 1 x 1 2n 1 x x 1
P '' 2n 2n 1 x 1 2 2n 1 x 1 2n 1 2n 2 x x 1
P ''' 2n 2n 1 2n 2 x 1 3 2n 1 2n 2 x 1 2n 1 2n 2 2n 3 x x 1
Ta có: P ''' 0( )=6a3a3= 0
Câu 10 : (MEGABOOK-2018) Trong khai triển ( x 2x)n
2 +2− , tổng hệ số của số hạng thứ hai
và số hạng thứ ba là 36, số hạng thứ 3 lớn gấp 7 lần số hạng thứ hai Tìm x?
A x 1
3
= B x 1
2
2
= − D x 1
3
= −
Đáp án D
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
C 2 − 2− 7C 2 − 2− 2
+ =
=
Phương trình (1) cho n n 1( ) 2
2
− + = + − = Giải ra n=8
Thay n=8vào ( ) 2x 5x 1 1
2 : 2 2 x
3
+
= = −
Câu 11: (MEGABOOK-2018) Trong khai triển nhị thức
m
x 16
,
+
cho số hạng thứ
tư trừ số hạng thứ sáu bằng 56, hệ số của số hạng thứ ba trừ hệ số của số hạng thứ 2 bằng 20
Giá trị của x là
Đáp án C
Theo giả thiết ta có C2m−C1m =20
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
m m 1
m 20 m 3m 40 0 m 8 2
−
( )2
x
2
2
− = − − = − (loại) 2x = (nhận) 2 = x 1
Trang 6Câu12 (MEGABOOK-2018)Khitriển
( 2)m( )n 2 3 2m n
A= +1 x 1 2x− =a +a x a x+ +a x + + a + x + Biết rằng
a + + + +a a a + =512, a =30150 Hỏi a bằng: 19
Đáp án D
Cho m ( )n 9
x= 1 2 −1 =2 m=9 và n chẵn
Khai triển ( 2)9( )n 9 n k i ( )i i 2k i
9 n
k 0 i 0
1 x 1 2x C C 1 2 x +
= =
( )
9 n
i
k 0 i 0
= =
= − với k i 10+ =
Trong đó i m 10, i 2
Nếu n 10= thì các cặp ( )k;i thỏa 2k i 10+ = là ( ) ( ) ( )5;0 , 4; 2 , 3; 4
Và a10 =C59+C C 249 102 3+C C 239 104 4+ = 30504630150 (loại)
Nếu n= thì 8 5 4 2 3 3 4 4
a =C +C C 2 +C C 2 + = 10831830150 (loại) Nếu n= thì 6 5 4 2 3 3 4 4 2 6 6
a =C +C C 2 +C C 2 +C C 2 =30150 (nhận)
Do đó ( 2)19( )6 9 n k i ( )i i 2k i 9 n ( )i i
2k i 19+ = trong đó k, iN và i lẻ
Các cặp ( ) ( ) ( ) ( )k;i = 9;1 , 8;3 , 7;5
Vậy 9 1 ( ) 8 3 ( )3 3 7 5 ( )5 5
a =C C −1 2 C C + −1 2 +C C −1 2 = −8364
Câu 13 : (MEGABOOK-2018) Tính tổng S=C10092018+C10102018+C10112018+ + C20182018 (trong tổng đó, các số hạng có dạngCk2018 với k nguyên dương nhận giá trị liên tục từ 1009 đến 2018)
A S=22018−C10092018 B S 22017 1C10092018
2
= + C S 22017 1C10092018
2
= − D S=22017−C10092018
Đáp án B
Áp dụng công thức Ckn =Cn kn− , C0n+C1n +C2n + + Cnn =2n
Ta có S=C10092018+C10102018+C10112018+ + C20182018
Xét S'=C02018+C12018+C22018+ + C10092018
Trang 7Ta có 2009 0 1 2009 2010 2018 2018 2009( )
S S'+ =C +C +C + + C +C + + C =2 +C 1
Lấy 2009 0 1 2009 2009 2010 2018 ( )
2018 2018 2018 2018 2018 2018 2018
S S'− =C +C +C + + C −C −C − − C =0 2 Lăy ( ) ( )1 + 2 theo vế ta được
2009
2018 2009 2017 2018 2018
C
2