Phương pháp giải bài tập phương trình lượng giác

Phương pháp giải bài tập Phương trình lượng giác Tài liệu tham khảo chuyên môn Toán học dành cho giáo viên, sinh viên luyện thi đại học, cao đẳng - Phương pháp giải bài tập Phương trình lượng giác.

Nguyen Tat Mao Sinh Vien dai Hoc Hang Hai Viet Nam

Các dạng bt ph ơng trình l ợng giác

Loại 1 Biện luận theo k

1 sin (πcosx) = 1

2 cos(8sinx) = -1

3 tan(πcosx ) = cot(π sinx)

4 cos(πsinx) = cos(3πsinx)

5 tan(π cosx) = tan(2π cosx)

6 sinx2 = 1

2

8 cot(x2 + 4x + 3) = cot6

9 Tỡm nghiệm dương nhỏ nhất của pt

cosπx2 = cos π (x+ 1 ) 2

10 Tỡm nghiệm dương nhỏ nhất của pt

sinπx2 = sin π (x2 + 2x)

11 Tỡm nghiệm dương nhỏ nhất của pt

cosπ (x2 + 2x− 1 / 2 ) − sin πx2 = 0

Loại 2 Cụng thức hạ bậc

1 4cos2(2x - 1) = 1

2 2sin2 (x + 1) = 1

3 cos2 3x + sin2 4x = 1

4 sin(1 - x) =

2 3

5 2cosx + 1 = 0

6 tan2 (2x –

3

π) = 2

7 cos2 (x –

5

π) = sin2(2x + 4

5

π)

Loại 3 Cụng thức cộng, biến đổi

1 sin2x + cos2x = 2sin3x

2 cos3x – sinx = 3(cosx –sin3x )

2

1 5 sin 2

3 ) 3 2

4 sin3x = 2cos(x – π /5) + cos3x

5 sin(x + π /4) + cos(x + π /4) = 2cos7x

6 Tỡm tất cả cỏc nghiệm x ; )

2

3 ( − π π

∈ của pt: sinxcosπ8 + cosxsin

8

π= 1 2

Loại 4 Bài toỏn biện luận theo m

1 Giải và biện luận

2sin(1-2x) = m

2 3cos23x = m

3 sin3x + cos3x = m

4 m.sin2 2x + cos4x = m

5 Giải và biện luận

sin2x – 2m = (6m + 7)sin2x

6 Giải và biện luận

(3m + 5).sin(x + π/2) = (2m + 3)cosx -m

7 Giải và biện luận

cos3x + m – 5 = (3- 2m)cos3x

8 Cho pt sin4x + cos4x = m a) Xỏc định m để pt cú nghiệm b) Giải pt với m = ắ

Loại 5 Tổng hợp

1 cos22x – sin28x = sin( 10x

2

17 π + )

2 sin23x – cos24x = sin25x – cos26x

x

x

cos 2 sin

1

2

sin = −

+

4 cos1x +sin12x =sin24x

5 Tỡm tất cả cỏc nghiệm x ; 3 )

2 (π π

∈ của pt:

2

7 cos(

3 ) 2

5 π − x− π = 1 + 2sinx

6 Giải pt:

4sin3xcos3x +4cos3xsin3x + 3 3cos4x = 3

8 ( cos 2 ) 8 cos(

) 8 sin(

3

2 x−π x−π + 2 x−π

3 x)cos(

-3 cos(

x (sin 4

8 4sin32x + 6sin2x = 3

9 Tỡm nghiệm nguyờn của pt:

1 ) 800 160

9 3 ( 8 cos π x− x2 + x+ =

Dạng 2: Ph ơng trình bậc nhất, bậc hai và bậc cao đối với một hàm số l

ợng giác

sinx 0

3/ 4cosx.cos2x + 1 = 0 4/ 1-5sinx + 2cosx = 0

cosx 0





 ≥

5/ Cho 3sin3x - 3cos2x + 4sinx - cos2x + 2 = 0(1) và cos2x + 3cosx(sin2x - 8sinx) = 0(2)

Tìm n0 của (1) đồng thời là n0 của (2) ( nghiệm chung sinx = 1

3) 6/ sin3x + 2cos2x - 2 = 0 7/ tanx + 3

cotx - 2 = 0

b / 42

cos x + tanx = 7 c/sin6x + cos4x = cos2x

8/ sin(2x +5π2 ) - 3cos(x−72π ) = 1 + 2sinx

9/ sin x - 2sinx + 2 = 2sinx -12 10/ cos2x + 5sinx + 2 = 0

11/ tanx + cotx = 4 12/

sin 2x + 4cos 2x -1 = 0 2sinxcosx

13/ sinx+ +1 cosx=0 14/ cos2x + 3cosx + 2 = 0

15/ 4sin 22 6sin4 9 3cos 2 0

cos

x

17 sin x cos x4 4 1

2

19 sin x sin4 4x+4π  14

21 sin x cos x6 6 5(sin x cos x4 4 )

6

2

sin x cos x+ + sinxcosx 0=

23 sin x cos x sin x cos 4x4 + 4 = 4 4 + 4 24 1( 4 4 ) 2 2

2 sin x cos x sin xcos x sinxcosx+ = +

25 cos xcos3x sin xsin3x=3 3 2

4

+ 25 cos 4x cos xcos3x sin xsin3x3 = 3 + 3

Dạng 3: Ph ơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx

1 Nhận dạng:

2 Ph ơng pháp:

Đăc biệt :

a.sinx b.cosx c+ =

Cách 1: asinx + bcosx = c

Đặt cosx= 2a 2

a + b ; sinx= 2 2

b

a + b

2 2

a + b sin(x +α) = c

⇒

Cách 2: a sinx + cosx = cb

a

Đặt b = tanα a sinx +cosx.tanα = c

a

⇔

Cách 3: Đặt t = tanx

2 ta có

2

sinx = ; cosx =

2 (b + c)t - 2at - b + c = 0

⇒

Chú ý: Điều kiện PT có nghiệm: a + b2 2 ≥c2

Nguyen Tat Mao Sinh Vien dai Hoc Hang Hai Viet Nam

1

2 sin cos 2 sin( ) 2 cos( )

3 sinx - 3cosx = 2sin(x - ) = -2cos(x + )π π

giải phơng trình:

1 3 cosx sinx− = 2 , 2 cosx− 3sinx= −1

3 3sin3x− 3 cos9x 1 4sin 3x= + 3 , 4 sin x cos (x4 4 ) 1

4 4

π

5 3(1 cos 2 ) cos

2sin

2

7 3sinx + cosx = 1

cosx 8 tanx−3cotx=4(sinx+ 3 cos )x

5 7

∈ 10 2sin15x + 3cos5x + sin5x = 0 (4)

2

6

4sinx + 3cosx +1 12

1 3sinx + cosx = 3+

3sinx + cosx +1

13 ( cos2x - 3sin2x) - 3sinx – cosx + 4 = 0 14 cosx - 2sinx.cosx = 32

2cos x +sinx -1

15 1+ cosx + cos2x + cos3x2 = (3- 3sinx)2

2cos x + cosx -1 3 16.cos7x sin5x− = 3(cos5x sin7x)−

17 Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:

sinx cosx 2−

c y 2 cosx

sinx cosx 2+

Dạng 4: Ph ơng trình đẳng cấp đối với sinx và cosx

1 Nhận dạng:

2 Ph ơng pháp:

Giải

ph-ơng trình

3sinxcos

cosx=2

2 4 sin2x + 3 3 sinxcosx - 2cos2x=4

3 3 sin2x+5 cos2x-2cos2x - 4sin2x=0 4 sinx - 4sin3x + cosx = 0

5 2 sin2x + 6sinxcosx + 2(1 + 3 )cos2x – 5 - 3 = 0

6 (tanx - 1)(3tan2x + 2tanx + 1) =0 7 sin3x - sinx + cosx – sinx = 0

a.sin x b.sin xcosx c.sinxcos x d.sinx e.cosx 0 (3)

Đẳng cấp bậc 2: asin 2 x + bsinx.cosx + c cos 2 x = 0

Cách 1: Thử với cosx = 0; với cosx≠0, chia 2 vế cho cos2x ta đợc:

atan2x + btanx + c = d(tan2x + 1)

Cách 2: áp dụng công thức hạ bậc

Đẳng cấp bậc 3: asin 3 x + bcos 3 x + c(sinx + cosx) = 0

Hoặc asin3 x + b.cos 3 x + csin 2 xcosx + dsinxcos 2 x = 0

Xét cos3x = 0 và cosx≠0, chia 2 vế cho cos3x ta đợc phơng trình bậc 3 đối với tanx

12 cos3x - sin3x = cosx + sinx 13 sinxsin2x + sin3x = 6cos3x

14 sin3(x - π/4) = 2 sinx

Dạng 5: Ph ơng trình đối xứng đối với sinx và cosx

1 Nhận dạng:

2 Ph ơng pháp:

1 2(sinx +cosx) + sin2x + 1 = 0 2 sinxcosx = 6(sinx – cosx – 1)

3 sin2x 2 sin x 4ữ 1

π

1 1 + tanx = 2sinx + 1

cos x 2 sin x + cosx=

1 tanx -

1

cot x

3 sin3x + cos3x = 2sinxcosx + sin x + cosx 4 1- sin3x+ cos3x = sin2x

5 2sinx+cotx=2 sin2x+1 6 2sin2x(sin x + cosx) = 2

7 (1+sin x)(1+cosx)=2 8 2(sin x + cosx) = tanx + cotx

9 1 + sin3 2x + cos32x = 32sin 4x 10.* 3(cotx - cosx) - 5(tanx - sin x) = 2

11.* cos4x + sin4x - 2(1 - sin2xcos2x)sinxcosx - (sinx + cosx) = 0

12 sinx−cosx +4sin 2x=1 13 sinxcosx + sinx + cosx = 1

14 cosx + 1

cosx + sinx +

1 sinx = 103

Dạng 6: Ph ơng trình đối xứng đối với sinx và cosx

Giải phơng trình

1/ sin2 x + sin23x = cos22x + cos24x 2/ cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 3/2

3/ sin2x + sin23x - 3cos22x=0 4/ cos3x + sin7x = 2sin2(π 5x+

4 2 ) - 2cos2

9 2

x

5/ cos4x – 5sin4x = 1 6/ 4sin3x - 1 = 3 - 3 cos3x

7/ sin22x + sin24x = sin26x 8/ sin2x = cos22x + cos23x

9/ (sin22x + cos42x - 1): sinxcosx = 0 10/ 2cos22x + cos2x = 4 sin22xcos2x

a sinx cosx b.sinxcosx c

a sinx cosx b.sinxcosx c







* a(sin x + cosx) + bsinxcosx = c đặt t = sin x + cosx t ≤ 2

⇒ at + bt -12

2 = c ⇔bt

2 + 2at – 2c – b = 0

* a(sin x - cosx) + bsinxcosx = c đặt t = sin x - cosx t ≤ 2

⇒ at + b1- t2

2 = c ⇔bt2 - 2at + 2c – b = 0

Công thức hạ bậc 2 cos2x = 1 cos 2

2

x

+ ; sin2x= 1-cos2x

2 Công thức hạ bậc 3 cos3x= 3cosx + cos3x

4 ; sin3x=

3sinx -sin3x 4

Nguyen Tat Mao Sinh Vien dai Hoc Hang Hai Viet Nam

11/ sin3xcos3x +cos3xsin3x=sin34x 12/ 8cos3(x + π

3) = cos3x 13/ sin5x

5sinx = 1 14/ cos7x + sin22x = cos22x - cosx 15/ sin2x + sin22x + sin23x = 3/2 16/ 3cos4x – 2cos23x =1

17/ sin24x+ sin23x= cos22x+ cos2x vớix (0;π)∈

18/ sin24x - cos26x = sin(10,5π +10x) vớix (0; )π

2

∈ 19/ 4sin3xcos3x + 4cos3x sin3x + 3 3 cos4x = 3

20/ cos4xsinx - sin22x = 4sin2(

4 2

x

π − ) - 72 với x -1 < 3 21/ 2cos32x - 4cos3xcos3x + cos6x - 4sin3xsin3x = 0

22/ cos10x + 2cos24x + 6cos3xcosx = cosx + 8cosxcos23x

Dạng 7: Ph ơng trình l ợng giác bậc cao

Giải phơng trình

1 sin4

2

x

+cos4

2

x

=1-2sinx 2 cos3x-sin3x=cos2x-sin2x

3 cos3x+ sin3x= cos2x 4 sin x + cos x4 4 = (tanx + cotx)1

5 cos6x - sin6x = 138 cos22x 6 sin4x + cos4x = 7πcot(x + )cot( - x)π

7 cos6x + sin6x = 2(cos8x + sin8x) 8 cos3x + sin3x = cosx – sinx

9 cos6x + sin6x = cos4x

10 sinx + sin2x + sin3x + sin4x = cosx + cos2x + cos3x + cos4x

11 cos8x + sin8x = 18 12 (sinx + 3)sin4x

2 - (sinx + 3)sin2

x

2 + 1 = 0

Dạng 8: Ph ơng trình l ợng giác biến đổi về tích bằng 0

1/ cos2x - cos8x + cos4x = 1 2/ sinx + 2cosx + cos2x – 2sinxcosx = 0

3/ sin2x - cos2x = 3sinx + cosx - 2 4/ sin3 x + 2cosx – 2 + sin2 x = 0

5/ 3sinx + 2cosx = 2 + 3tanx 6/ 3

2 sin2x + 2 cos2x + 6 cosx = 0 7/ 2sin2x - cos2x = 7sinx + 2cosx - 4

x = x 9/ 2cos2x - 8cosx + 7 = cosx1

10/ cos8x + sin8x = 2(cos10x + sin10x) + 5

4cos2x 11/ 1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x

12/ 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0

13/ sin2 x(tanx + 1) = 3sinx(cosx - sinx) + 3

14/ 2sin3x - 1

sinx = 2cos3x + cosx 1 15/ tanx – sin2x - cos2x + 2(2cosx - cosx1 ) = 0

16/ cos3x + cos2x + 2sinx – 2 = 0 17/ cos2x - 2cos3x + sinx = 0

* a3 ± b3=(a±b)(a2 m ab + b2) * a8 + b8 = ( a4 + b4)2 - 2a4b4

* a4 - b4 = ( a2 + b2)(a2 - b2) * a6 ± b6 = ( a2 ± b2)( a4 m a2b2 + b4)

20/ 2tanx + cot2x = 2sin2x + sin2x1 21/ cosx(cos4x + 2) + cos2x - cos3x = 0 22/ 1 + tanx = sinx + cosx 23/ (1 - tanx)(1 + sin2x) = 1 + tanx

24/ 2 2 sin(x + )π

4 =

1 + 1 sinx cosx 25/ 2tanx + cotx =

2 3

sin 2x

+ 26/ cotx – tanx = cosx + sinx 27/ 9sinx + 6cosx - 3sin2x + cos2x = 8

1 Tìm TXĐ của hàm số: a 2 cos

sin 2

x y

x

−

= b y = tan x 1 sin1 x

− +

2 Tìm GTLN, GTNN của hàm số:

a y = 2 2 cos+ x−3 b y = 3 cos 2 x − 2 sin x cos x

3 Gi¶I ph¬ng tr×nh:

sinx + 2 = 0 3 tan 2x+ = 1 0 sin2x - sinx – 2 = 0 sinx – cos2x – 2 = 0 sinx – cos2x – 2 = 0 sinx – cos2x – 2 = 0 3 sinx cos − x= 1 4 tan2 x−7 tanx+ =3 0 2cos 2x+ 5sinx= 3

3sin x− 3sin cosx x− 2cos x= 2

1 cos3x+cos2x+2sinx–2 = 0 (Học Viện Ngân Hàng) ĐS: 2 ; 2

2

2 tanx.sin2x−2sin2x=3(cos2x+sinx.cosx) (ĐH Mỏ Địa Chất)

HD: Chia hai vế cho sin2x ĐS: ; 2

x= − +π kπ x= ± +π n π

3 2sin3x−(1/sinx)=2cos3x+ (1/cosx) (ĐH Thương Mại)

2(sin3x-cos3x)=1/sinx +1/cosx , sin2x(3sinx-4sin3x-4cos3x +3cosx)=sinx+cosx

x= ± +π kπ x= −π +n xπ = π +mπ

4 2sin3x−(1/sinx)=2cos3x+ (1/cosx) (ĐH Thương Mại)

2(sin3x-cos3x)=1/sinx +1/cosx , sin2x(3sinx-4sin3x-4cos3x +3cosx)=sinx+cosx

x= ± +π kπ x= −π +n xπ = π +mπ

5 4(sin3x−cos2x)=5(sinx−1) ĐS: 2 ; 2 ; 2 ;

2

x= +π k π x= +α n π x= − +π α l π

với sin 1

4

α = − .

4

.

HD:sin3x-sin2x+cosx=0; 3sinx-4sin3x-2sinxcosx+cosx=0(chia cho cosx)

7. sin 3 sin 2 sin

= +

Doi sin(x+II/4) thanh cos(II/2 –x) råi dïng CT biÕn tÝch thµnh tæng.

8 sin 3x.cos3x+cos3x.sin3x=sin34x

HD: sin2x.sinx.cos3x+cos2x cosx.sin3x=sin34x ĐS:

12

9. sin 3x− 3 cos 3 x= sin cosx 2 x− 3 sin 2 xcosx

HD: Chia hai vế cho cos3x ĐS: x =

3 k

− + ,

4

x= ± +π kπ

10.2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx

x= +π kπ ∨ = ±x π +k π k∈

¢

11.sin2x+cos2x=1+sinx–3cosx (1).

Nguyen Tat Mao Sinh Vien dai Hoc Hang Hai Viet Nam

Giải ⇔2sinxcosx+2cos2x–1=1+sinx–3cosx ⇔2cos2x+(2sinxcosx+3cosx)–sinx–2=0.

⇔2cos2x+(2sinx+3)cosx–(sinx+2)=0 Đặt t=cosx, ĐK t ≤ 1, ta được: 2t2+(2sinx+3)t–(sinx+2)=0

∆=(2sinx+3)2+3.2.(sinx+2)=(2sinx+5)2

⇒

1

1

2 sin - 2

t

x

 =



=

 loại …(biết giải)

12.1+sinx+cosx+sin2x+2cos2x=0.

HD: (1+ sin2x)+(sinx+cosx)+2cos2x=0 (sinx+cosx)2+(sinx+cosx)+2(cos2x–sin2x)=0.

(sinx+cosx)2+(sinx+cosx)+2(sinx+cosx)(sinx–cosx)=0 Đặt thừa số, giải tiếp …

13.Giải phương trình lượng giác: 1 2 cos( sin )

tan cot 2 cot 1

−

=

Giải

Điều kiện: cos sin 2 sin tan( cot 2 ) 0

cot 1

x





Từ (1) ta cĩ: 1 2 cos( sin ) cos sin 2

2 sin

1 cos sin 2 sin

x

−

2sin cosx x 2 sinx

2

2 4

 = +



 = − +



¢

So với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là 2 ( )

4

x= − +π k π k∈

¢

14.Giải phương trình cos3xcos3x – sin3xsin3x = 2 3 2

8

+

GiảiTa cĩ: cos3xcos3x – sin3xsin3x = 2 3 2

8

+ ⇔ cos3x(cos3x + 3cosx) – sin3x(3sinx – sin3x) =

2 3 2

8

cos 3 sin 3 3 cos 3 cos sin 3 sin

2

x= ⇔ = ±x π +kπ k∈Z.

15.Giải phương trình: cos 2x+ = 5 2(2 cos )(sin − x x− cos )x

Giải

Phương trình ⇔ (cosx–sinx)2 – 4(cosx–sinx) – 5 = 0

cos sin 1

cos sin 5 ( cos sin 2)



