Lớp 12 HÌNH học KHÔNG GIAN (MEGA BOOK ) 113 câu hình học không gian từ đề thi năm 2018

Biết SA vuông góc với đáy, tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.EBD... Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCKH thì R cũng là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam 3 Câu

Câu 1 (MEGABOOK-2018)Cho tứ diện A B C D c ó A B C là tam giác cân tại A,

người ta để một quả cầu có bán kính r l vào bên trong tứ diện từ đáy A B C sao cho các cạnh A B , B C , C A lần lượt tiếp xúc với quả cầu và phần quả cầu bên trong tứ diện có

thể tích bằng phần quả cầu bên ngoài tứ diện Biết khoảng cách từ D đến (ABC) bằng 2

Khối lập phương là khối đa diện đều loại  4;3

Câu 3 (MEGABOOK-2018) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang, AD = SA

= 2a Gọi E là điểm đối xứng của C qua SD Biết SA vuông góc với đáy, tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.EBD

Vì E đối xứng với C qua SD nên IE IC do đó cũng thuộc mặt cầu tâm I, R SD

Câu 4 (MEGABOOK-2018) Hình trụ có bán kính đáy bằng a, chu vi của thiết diện qua

trục bằng 10a Thể tích của khối trụ đã cho bằng:

A 5 a 3 B  a3 C.3a3 D 4a3

Đáp án C

Thiết diện qua trục là 1 hình chữ nhật

Giả sử chiều cao của hình trụ là b

Câu 6 (MEGABOOK-2018) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có thể tích bằng V Các điểm

M, N, P lần lượt thuộc các cạnh AA’, BB’, CC’ sao cho AM 1

BB'CC ' 3 Thể tích khối đa diện ABC.MNP bằng:

A 2V

9V

20V

Câu 8 (MEGABOOK-2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C,

AB a 5 , AC = a Cạnh bên SA = 3a và vuông góc với mặt phẳng đáy Thể tích của khối chóp S.ABC bằng:

Câu 10: (MEGABOOK-2018) Cho tứ diện ABCD có ADABC, đáy ABC thỏa mãn

điều kiện cot A cot B cot C BC CA AB Gọi H, K lần lượt là hình chiếu

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Do tam giác AHB

vuông tại H nên I thuộc trục của tam giác AHB Tương tự I cũng thuộc

trục của tam giác AKC Suy ra I cách đều A, B, H,K, C nên nó là tâm mặt

cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCKH Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp

hình chóp A.BCKH thì R cũng là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam

3

Câu 11: (MEGABOOK-2018) Cho hình lập phương ABCD.A 'B'C 'D ' có cạnh bằng a Gọi

S là diện tích xung quanh của hình trụ có hai đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông ABCDvà

Do hình trụ và hình lập phương có cùng chiều cao nên ta chỉ cần chú ý đến

mặt đáy như hình vẽ bên Đường tròn đáy của hình trụ có bán kính bằng một

nửa đường chéo của hình vuông ABCD; R a 2

Câu 12: (MEGABOOK-2018) Cho tam giác đều ABC cạnh a quay xung quanh đường cao

AH tạo nên một hình nón Tính diện tích xung quanh Sxqcủa hình nón đó

Chú ý: Chúng ta dễ thấy

3 ABCD

A.MNP A.MNP

Câu 14 (MEGABOOK-2018): Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A 'B'C 'D ' cạnh đáy bằng

a, góc giữa A’B và mặt phẳng A 'ACC ' bằng 30 Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho

A V a 3 3 B V a 3 2 C V a 3 D V 2a 3

Đáp án C

Do ABCD.A’B’C’D’ là hình lăng trụ tứ giác đều nên ABCD, A’B’C’D’ là

hình vuông cạnh a và các cạnh bên vuông góc với mặt đáy Có

tại I Hình chiếu của A’B lên mặt phẳng là A’I

30

Dựng hình vuông ABCDtâm O Do SAB SCB 90    nên hình

chóp S.ABCnội tiếp mặt cầu tâm I đường kính SB với I là trung

điểm của SB Do O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên

A 2 2a a 5   B 2a a 5 C 2 a a 5   D Cả A, B, C đều sai

Đáp án B

Trong DCC 'D 'qua N kẻ NN’ song song với DC

Thiết diện là hình chữ nhật ABNN’ có:

Hình bát diện có 9 mặt đối xứng

Câu 19 (MEGABOOK-2018)Cho tứ diện đểu ABCD cạnh A Gọi O là tâm của tam giác đểu BCD M, N lần lượt là trung điểm của AC, AB Quay hình thang BCMN quanh đường thẳng AO ta được khối tròn xoay có thể tích là bao nhiêu?

Gọi các điểm như hình vẽ

Gọi V là thể tích khối tròn xoay khi xoay hình thang BCMN quanh

đường thẳng AO

Ta có: IMN, OBC là hai tam giác cân tại I, O và lần lượt nằm trong

2 mặt phẳng vuông góc với trục AO nên khi xoay hình thang BCMN

quanh đường thẳng AO ta được khối tròn xoay bị giới hạn bởi hai hình

nón cụt được tạo ra khi quay tứ giác IMBO quanh trục AO và hình nón

cụt được tạo ra khi quay tứ giác IKHO quanh trục AO

Lại có:

Câu 21 (MEGABOOK-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành và có thể

tích là V Gọi M là trung điểm của SB P là điểm thuộc cạnh SD sao cho SP = 2DP Mặt

phẳng AMP cắt cạnh SC tại N Tính thể tích của khối đa diện ABCDMNP theo V

Câu 22: (MEGABOOK-2018) Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có

Hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng (ABC) là trung

Đáp án C

Gọi H là trung điểm AB

Tam giác ABC có 2 AC2 BC2 AB2 97a2

Diện tích đáy S 12a 2 (dùng công thức Hê-rông)

Vậy thể tích Vcủa khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là V Sh 12a 3a 36a  2  3

Câu 23 (MEGABOOK-2018) Cho khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình

vuông Hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của AB, góc giữa mặt phẳng (A’CD) và mặt phẳng (ABCD) là 60  Thể tích khối chóp B’.ABCD là

Tính độ dài đoạn tahwngr AC theo a

Vì ABCD là hình vuông nên AC x 2 2a 2 

Câu 24 (MEGABOOK-2018)Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A

góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) là 60° Tính

SB ABC , AB a, ACB 30 ,  

thể tích V của khối chóp S.ABC theo a.

Vì SBABC góc giữa SC và ABC chính là góc SCB 60 

Vậy đường cao của hình chóp SB BC tan 60  2 3a

Vật thể tích khối chóp 1 AB.AC a.a 3.a.2 3 3

Câu 27 (MEGABOOK-2018)Cho tứ diện ABCDcó AB 4a, CD 6a,  các cạnh còn lại đều bằng a 22.Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

a 853

a 793

Nếu I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD thì ID IB

Xét AMNvuông tại M: MD AD2AM2 3 2a

Câu 28: (MEGABOOK-2018) Một người thợ có một khối đá hình trụ Kẻ hai đường kính

MN, PQ của hai đáy sao cho MNPQ Người thợ đó cắt khối đá theo các mặt cắt đi qua 3

trong điểm M, N, P, Q để thu được khối đá có hình tứ diện4 MNPQ Biết rằng MN 60 cm

và thể tích khối tứ diện MNPQ bằng 30dm 3 Tìm thể tích của lượng đá bị cắt bỏ (làm tròn kết quả đến 1 chữ số thập phân)

A 101,3dm3 B 141,3dm3 C 121,3dm3 D 111, 4dm3

Đáp án D

Ta dễ dàng chứng minh được O 'MNvuông góc với PQ.

Do đó thể tích khối tứ diện MNPQ là:VMNPQ 1.SMNO.PQ 1.O O '.MN.PQ

tròn đáy nội tiếp tam giác ABC

Lại có tan SIO SO SO IO.tan 45 IO 3a

9

3

2a3

3

2a9

3

a3

Đáp án

Câu 31 (MEGABOOK-2018): Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có

Gọi I là giao điểm của AB’ và A’B Cho biết khoảng cách từ I đến mặt phẳng

3

a4

Câu 32: (MEGABOOK-2018) Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác đểu cạnh 2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích khối chóp S.ABCDbiết rằng mặt phẳng SBCtạo với mặt phảng đáy một góc

=> JI là hình chiếu vuông góc của JC lên ABCD

Khi đó  SBC , ABCD    JS, JISJI 30 

Câu 33: (MEGABOOK-2018)Cho biết hiệu đường sinh và bán kính đáy của một hình nón

là a, góc giữa đường sinh và mặt đáy là  Tính diện tích mặt cầu nội tiếp hình nón

Theo giả thiết ta có SA O A a,SAO 

Gọi R là bán kính đáy hình nón, r là bán kính mặt cầu nội tiếp

hình nón[§ ­ î cph¸ t hµnh bëi Dethithpt.com]

Khi đó:

Câu 34 (MEGABOOK-2018): Một hộp nữ trang có mặt bên ABCDE với ABCE là hình

chữ nhật, cạnh cong CDE là một cung của đường tròn có tâm là trung điểm M của đoạn thẳng

AB Biết AB 12 3cm; BC 6cm; BQ 18cm.   Hãy tính thể tích của hộp nữ trang

Câu 35 (MEGABOOK-2018): Cho một hình trụ có hai đáy là hai đường tròn O; R , với

và một hình nón có đỉnh O’ và đáy là hình tròn Ký hiệu lần lượt là

diện tích xung quanh của hình trụ và hình nón Tính 1

2

SkS

Câu 37 (MEGABOOK-2018): Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng

2, diện tích tam giác A’BC bằng 3 Tính thể tích khối lăng trụ

Câu 38 (MEGABOOK-2018): Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh

a, tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Biết thể tích cho hình chóp S.ABCD là Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy là

3

a 15

a6

3

a12

C Không tồn tại hình H nào có đúng 5 đỉnh

D Có tồn tại một hình H có hai tâm đối xứng phân biệt

Đáp án B

Luôn tồn tại một hình đa diện H có 4 mặt phẳng đối xứng và có đúng

5 đỉnh, H không có tâm đối xứng

Câu 41 (MEGABOOK-2018)Cho một khối lập phương biết rằng tăng độ dài cạnh của khối lập phương thêm 2cm thì thể tích của nó tăng thêm 152cm 3 Hỏi cạnh của khối lập phương

A Có đúng 2 mặt cầu phân biệt

B Có duy nhất 1 mặt cầu

C Có 2 hoặc 3 mặt cầu phân biệt tùy thuộc vào vị trí của    P , Q

D Không có mặt cầu nào

Đáp án B

Trên hai đường tròn    C , C1 2 lần lượt lấy M, N sao cho hai điểm

này không trùng hai điểm A, B Khi đó 4 điểm M, N, A, B không

đồng phẳng nên tạo thành tứ diện ABMN Mặt cầu  S đi qua

khi đó mặt đi qua A, B, M, N

Xét hình nón như hình vẽ

Ta có tam giác SOB vuông nên

h SO  SB OB  169a 25a 12a

Câu 44: (MEGABOOK-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh bằng a, ABC 60 , SA SB SC, SD 2a.      Gọi  P là mặt phẳng qua A và vuông góc với SB tại K Mặt phẳng  P chia khối chóp S.ABCD thành hai phần có thể tích V , V1 2 trong

đó V1 là thể tích khối đa diện chứa đỉnh S Tính 1

2

VV

Đáp án A

Trong mặt phẳng SAB , dựng đường thẳng đi qua A và vuông góc vưới SB tại K

Ta chứng minh đưuọc AKCSB P là mặt phẳng AKC

Câu 45: (MEGABOOK-2018) Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy

là tam giác vuông tại A, AB a, AC a 2.  Biết rằng góc giữa hai mặt

phẳng AB'C ' , ABC   bằng 60 và hình chiếu A lên mặt phẳng

là trung điểm H của đoạn A’B’ Tính bán kính R của mặt cầu

Ta có B'C 'AHK  AHK  AB'C ' mà AHABC  AHK  ABC

Kẻ AM / /HK M BC  AM  AHK   ABC   ABC , AB'C '    MAK 60

Câu 46: (MEGABOOK-2018) Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông,

vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, Khoảng

4 2

Gọi O là tâm hình vuông ABCD[§ ­ î cph¸ t hµnh bëi Dethithpt.com]

Ta có d B, SAD   2d O; SAD   4d H, SAD   

Kẻ HI / /CD I AD , HI  1CD a 2

Kẻ HK SI tại KHKSAD

a 3 a 2

Câu 47: (MEGABOOK-2018) Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’ D’ có đáy

Biết mặt phẳng hợp với đáy một góc Thể tích khối lăng trụ là:

Ta thấy ABCD.A’B’C’D’là một hình lăng trụ tứ giác đều, cũng có

nghĩa nó là một hình hộp đứng có đáy hình vuông cạnh 4 3 m 

Câu 48 (MEGABOOK-2018): Cho hình nón có chiều cao h, đường tròn đáy có bán kính

R Một mặt phẳng  P di động song song với đáy hình nón cắt hình nón theo đường tròn giao tuyến  L Dựng hình trụ có một đáy là đường tròn  L , một đáy nằm trên đáy hình nón có trục là trục của hình nón Gọi x là chiều cao của hình trụ, giá trị của x để hình trụ có thể tích lớn nhất

Câu 49 (MEGABOOK-2018): Từ một hình vuông người ta cắt các tam giác vuông cân tạo

ra hình bôi đậm như hình vẽ Sau đó họ lại gập lại thành một hình hộp chữ nhật không nắp Tính diện tích lớn nhất của hình hộp này

3

343

323

Đáp án C

cùng vuông góc với mặt phẳng góc gịữa SC và mặt đáy

bằng 45  Tính diện tích mặt cẩu ngoại tiếp tứ diện SBCD

Câu 51 (MEGABOOK-2018)Một cái bổn chứa nước gổm hai nửa

hình cầu và một hình trụ (như hình vẽ) Đường sinh của hình trụ bằng

hai lần đường kính của hình cầu Biết thể tích của bồn chứa nước là

Tính diện tích xung quanh của cái bồn chứa nước theo đơn

Gọi 4x m là đường sinh hình trụ

đường tròn đáy hình trụ và mặt cầu có bán kính là

Vậy diện tích xung quanh bồn nước là: S 4x22x.4x48 m  2

Câu 52: (MEGABOOK-2018) Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a Biết đường chéo cùa mặt bên là a 3 Khi đó, thể tích khối làng trụ bằng:

3

a 23

Câu 53 (MEGABOOK-2018)Cho hình chóp S.ABCcó SA vuông góc với mặt phẳng

Tam giác ABC vuông tại Tính thể tích khối chóp biết

3

a 23

3

a 106

Câu 55 (MEGABOOK-2018): Cho khối lập phương ABCD A’B’C’D’ có cạnh là a Tính thể tích khối chóp tứ giác D.ABC 'D '.

3

a 23

3

a4

6a 13

Đáp án D

Gọi I là trung điểm của Cd, O là tâm hình vuông ABCD SOABCD 

Ta có OI CD,SI CD  SCD ; ABCD    SI;OISIO 60  

2 xq

a 2S

Đáp án A

Thiết diện qua trục của hình nón là tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a =>bán kính

đường tròn đáy là R a, đường sinh là

2

2Vậy diện tích xung quanh của hình nón là

2 xq

Câu 58: (MEGABOOK-2018) Cho hình nón có đỉnh S, chiều cao h và bán kính đáy bằng

R Mặt phẳng   qua S cắt hình nón tạo ra một thiết diện tam giác Diện tích lớn nhất của thiết diện bằng:

Thiết diện là tam giác SMN cân tại S

Kẻ bán kính OA của hình nón vuông góc với MN tại H Đặt x OH.

Tam giác OHM vuông tại H có:[§ ­ î cph¸ t hµnh bëi Dethithpt.com]

Vậy thiết diện có diện tích lớn nhất khi và chỉ khi giao tuyến của   với mặt đáy của hình

nón cách tâm của đáy một khoảng bằng R2 h2

cầu bằng:

A a 6 B C D

2

a 63

a 33

a 23

a3

Đáp án C

 

2 2

Câu 67 (MEGABOOK-2018): Cho hình cầu  S tâm I bán kính R Một mặt phẳng  P cắt mặt cầu  S theo đường tròn giao tuyến  L Khối nón đỉnh I và đáy là đường tròn  L có thể

Câu 69: (MEGABOOK-2018) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, AA ' 3a Biết rằng hình chiếu vuông góc của A’ lên là trung điểm BC Tính

2

thể tích V của khối lăng trụ đó

Gọi H là trung điểm của BC

Theo giả thiết A’H là đường cao lăng trụ và 2 2 a 6

3

2a3

3

3a2

Đáp án B

Ta có SAABCAB là hình chiếu của SB trên ABC

Vậy góc  SB, ABC SAB 60 

vuông cân nên

2

VkV

Đáp án A

Do SAB và SAD cùng vuông góc với mặt đáy nên SAABCD

Dễ thấy góc giữa hai mặt phẳng SCD & ABCD   là SDA 45 

Ta có tam giác SAD là tam giác vuông cân đỉnh A vậy h SA a 

Câu 72 (MEGABOOK-2018)Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có độ dài cạnh đáy bằng a,

cạnh bên bằng a 3 Gọi O là tâm đáy ABC, d1 là khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC và

trong tam giác vuông OSM có đường cáo OK nên:

Gọi SO là trục của hình nón ngoại tiếp hình cầu và SAB

là thiết diện qua SO.

Mặt phẳng SAB cắt mặt cầu theo đường tròn lớn ngoại

tiếp tam giác SAB.

Gọi r, h lần l ư ợ t l à bán kính và đường sinh của

hình nón

Đặt SAB   , theo định lí sin ta có:

l SA SB 2Rsin   

Măt khác r OA SAcos   Rsin2

Diện tích xung quanh của hình nón là: 2 2

S   rl Rsin2 2Rsin    4 R sin cos  

Bảng biến thiên ta thấy f t  đạt GTLN khi t 1 cos 1

Vậy hình nón nội tiếp mặt cầu có bán kinh R, có diện tích xung quanh lớn nhất khi có bán

kính đáy r 2R 2 và chiều cao

3

3



Câu 74 (MEGABOOK-2018)Cho khối chóp S.ABC có SA AB BC 2   và M là một

điểm thuộc SB Dựng thiết diện qua M song song với SA, BC cắt AB, AC, SC lần l ư ợ t tại

N, P, Q Diện tích thiết diện MNPQ lớn nhất bằng

2

14

Ở đây sin BC,SA là hằng số nên SMNPQ max khi MQ.MN max

Ta quan sát thấy[§ ­ î cph¸ t hµnh bëi Dethithpt.com]

Câu 75 (MEGABOOK-2018)Cho đường tròn có bán kính bằng 4 và các nữa đường tròn có bán kính bằng 2 như hình vẽ Khi quay hình tròn quanh cạnh AB thì các nửa đường tròn nhỏ sinh ra các khối tròn xoay có thể tích bằng bao nhiêu?

Đáp án C

Chọn hệ trục tọa độ với gốc tọa độ tại O trục tung chứa O C

và trục hoành chứa OB

Đường tròn đường kính O C có phương trình:

Ta xét phía bên phải trục tung (bên trái tương tự)

Đường tròn đường kính OC sinh ra thể tích: 2  2 