Tài liệu luyện thi THPTQuốc gia hình học 12, mặt nón tròn xoay ON MAT TRON XOAY HINH 12

MẶT CẦU NGOẠI TIẾP, NỘI TIẾP Mặt cầu ngoại tiếp Mặt cầu nội tiếp Hình đa diện Tất cả các đỉnh của hình đa diện đều nằm trên mặt cầu Tất cả các mặt của hình đa diện đều tiếp xúc với mặt

l h

R'

R

KHỐI NÓN KHỐI TRỤ KHỐI CẦU

PHẦN 1 TĨM TẮT NỘI DUNG KIẾN THỨC

I TĨM TẮT GIÁO KHOA:

1 CƠNG THỨC TÍNH THỂ TÍCH VÀ DIỆN TÍCH XUNG QUANH

Hình nĩn cụt

V  Bh r h S xq rl S tp S xq S đáy

3

nóncụt

V R R RR h S xq p R R l(  ')

3/ Khối trụ: V Bh r h2 S xq 2rl S tp S xq2S đáy 5/ Khối cầu: 4 3

3

V  r S 4 r2

2 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI

 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA MẶT PHẲNG VÀ MẶT CẦU

- OH > R  Mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) khơng cĩ điểm chung

- OH = R  Mặt cầu, mặt phẳng tiếp xúc tại H Khi đĩ:

 Mặt phẳng tiếp xúc gọi là tiếp diện, H gọi là tiếp điểm;

 Tính chất : Tiếp diện vuơng gĩc với bán kính tại tiếp điểm

- OH < R: Mặt phẳng cắt mặt cầu theo một đường trịn giao tuyến cĩ tâm H và bán kính

r R  OH

và bán kính bằng R

 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT CẦU

Giả sử đường thẳng () khơng qua O Khi đĩ mp(O,)S(O,R) = C(O,R) Gọi OH là các khoảng cách từ O tới ()

- OH > R  () và (S) khơng cĩ điểm chung

- OH = R  () tiếp xúc với (S) tại H Khi đĩ:

 () gọi là tiếp tuyến, H gọi là tiếp điểm

M

R O

H

P

M

R O H

P

M

R O

H

P

R O

P

(C)



(C)



B H

(C)



d S

A

D I

M

O

 Tính chất: Tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại tiếp điểm

- OH < R  () cắt (S) tại 2 điểm

3 MẶT CẦU NGOẠI TIẾP, NỘI TIẾP

Mặt cầu ngoại tiếp Mặt cầu nội tiếp Hình đa diện Tất cả các đỉnh của hình đa diện đều

nằm trên mặt cầu

Tất cả các mặt của hình đa diện đều tiếp xúc với mặt cầu

Hình trụ Hai đường tròn đáy của hình trụ nằm

trên mặt cầu

Mặt cầu tiếp xúc với các mặt đáy và mọi đường sinh của hình trụ

Hình nón Mặt cầu đi qua đỉnh và đường tròn đáy

của hình nón

Mặt cầu tiếp xúc với mặt đáy và mọi đường sinh của hình nón

4 XÁC ĐỊNH TÂM MẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI ĐA DIỆN

• Cách 1: Tìm một điểm cách đều các đỉnh của đa diện.

Xác định điểm O cách đều các đỉnh của hình đa diện Khi đó O là tâm mặt cầu ngoại tiếp (Thường tìm 2 đỉnh sao cho từ (n – 2) đỉnh còn lại của đa diện nhìn hai đỉnh đó dưới một góc vuông thì tâm của mặt cầu là trung điểm của đoạn thẳng nối hai đỉnh đó)

• Cách 2: Xác định trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

B1 Dựng trục d đi qua tâm I của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy ABCD

B2 Dựng mặt phẳng trung trực   của cạnh bên SA Gọi O là giao điểm của d và   thì

ta có:

 

OA OB OC OD OS







B3 Kết luận : Vậy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

S.ABCD, bán kính mặt cầu là R = OA

Đặc biệt:

Hình chóp có đường thẳng d là trục của đường tròn đáy  Tâm mặt cầu ngoại tiếp là giao điểm của d và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên (nếu có cạnh bên SA và d đồng phẳng thì dựng đường trung trực của cạnh bên SA đó trong mp (d, SA)

• Cách 3: Sử dụng phương pháp tọa độ.

B1 Chọn hệ trục toạ độ Oxyz thích hợp;

B2 Xác định toạ độ các điểm có liên quan;

B3 Sử dụng kiến thức về toạ độ để giải quyết yêu cầu của bài toán.

PHẦN 2 BÀI TẬP ÁP DỤNG

TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH TRÒN XOAY - THÊ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY

Trong phần này ta sẽ áp dụng các công thức để tính diện tích xung quanh, thể tích của hình nón, hình trụ, hình cầu và các vấn đề liên quan như tính diện tích của thiết diện, tính góc, xác định khoảng cách, …

Ví dụ 1 Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm.

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ

b) Tính thể tích của khối trụ

c) Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trụ 3cm Hãy tính diện tích của thiết diện được tạo nên

HD.

a) OA = 5cm; AA’ = 7cm

Sxq = 2Rl = 2.OA.AA’ = 2.5.7 = 70(cm2)

Stp = Sxq + 2Sđáy = 70 + 50 = 120(cm2)

b) V = R h2 = .OA OO2 = .52.7 = 175(cm3)

c) Gọi I là trung điểm của AB  OI = 3cm

OAIvuông ở I : AI = 4(cm)

AB = 2AI = 2.4 = 8; AA’ = 7;

SABB A  = AB.AA’ = 8.7 = 56 (cm2) (hình chữ nhật)

Ví dụ 2 Cho hình nón đỉnh S có đường sinh là a, góc giữa đường sinh và đáy là  .

a) Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình nón.

b) Một mặt phẳng hợp với đáy một góc 60 0 và cắt hình nón theo hai đường sinh SA và SB Tính diện tích tam giác SAB và khoảng cách từ tâm của đáy hình nón đến mặt phẳng này.

Giải.

Tính V và Sxq

SAO

3

1

.

3

a SO

Sxq = .AO.SA.a2 cos

a) * Tính SSAB : Kẻ OHAB SH AB, do đó SHO 600

2 sin

OH = SO.cot600 = 3.sin

3

 AOH vuông ở H:

AH2 = AO2 – OH2 = a2.cos2 3 sin2

9

3

a



3

1 2

a

* Tính d(O,(SAB)) :

OKH

 vuông ở K : OK = OH.sin 60 0 = 3 sin . 3 .sin

Bài 1 Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông có cạnh góc vuông bằng a.

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón

b) Tính thể tích của khối nón

a

K H O

B A

S

h

r

l

B'

A' O'

I

A

c) Một thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc 600 Tính diện tích của thiết diện này.

a)

2

2

xq

a

2 2

b)

3

6 2

a

V  (ñvtt);

2

2 3

a

S (ñvdt)

Bài 4 Một hình trụ có đáy là đường tròn tâm O bán kính R, ABCD là hình vuông nội tiếp trong

đường tròn tâm O Dựng các đường sinh AA’ và BB’ Góc của mp(A’B’CD) với đáy hình trụ là

600

a) Tính thể tích và diện tích toàn phần của hình trụ

b) Tính thể tích khối đa diện ABCDB’A’

6

6 1

2

b) V R  3 6 (ñvtt)

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

HÌNH NÓN - KHỐI NÓN

1. Với Sxq là diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay có bán kính đường tròn đáy là r và đường sinh là l được cho bởi công thức nào sau đây:

2. Với V là thể tích của khối nón tròn xoay có bán kính đáy r và chiều cao h được cho bởi công thức nào sau đây:

A V 1 r h2

3

3

3

 

3. Cho hình nón có đỉnh S, tâm đáy là O, bán kính đáy là a, góc tạo bởi một đường sinh SM và đáy là 600 Tìm kết luận sai:

3

a 3 V

3





4. Cho hình nón đỉnh O, tâm đáy là I, đường sinh OA = 4, Sxq = 8  Tìm kết luận sai:

3



xung

quanh của hình nón đó là:

2 a 2



2

3 a 4



6. Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân, cạnh góc vuông là a Tìm kết luận đúng:

3



3



3



 D V 4 a3 2

3





7. Cho hình nón có thiết diện qua trục của nó là một tam giác vuông cân có cạnh huyền a 2 Diện tích xung quanh của hình nón là:

2

3

6

3



8. Cắt hình nón bằng một mặt phẳng qua trục thì thiết diện thu được là tam giác đều cạnh là 2a

Tìm kết luận đúng:

day

S a B h a 3

2

xq

S  2 a D V a3

3





9. Một hình nón có đỉnh S, tâm đáy là O, độ dài đường sinh là 5, bán kính đáy là 4 Một hình vuông ABCD có 4 đỉnh nằm trên đường tròn đáy Thể tích khối chóp S.ABCD là:

10. Cho hình nón đỉnh S, tâm O, hai đường sinh SA,SB bằng 4 và tạo với nhau một góc là 600

và ABC vuông tại O.Tìm kết luận đúng:

S và đáy là đường tròn ngoại tiếp ABC Tìm kết luận đúng:

A R a 3 B h a 33

3

 C Sxq a2

4



9





hình vuông ABCD và có đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông A’B’C’D’ Diện tích xung quanh của hình nón đó là:

3



2



2



D a2 6

2



tích

xung quanh của hình nón đó là :

2 D

2

3 a

4

14. Một tứ diện đều cạnh a có một đỉnh của trùng với đỉnh hình nón, ba đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy của hình nón Khi đó diện tích xung quanh của hình nón là:

A a2 3

2

3

 C a2 3

3

của hình vuông ABCD và có đường tròn đáy ngoại tiếp hình vuông A’B’C’D’ Diện tích xung quanh của hình nón đó là:

3



2



2



2



của DC và AB Khi quay hình vuông đó xung quanh trục HK ta được một hình trụ tròn xoay (H) Gọi Sxq , V lần lượt là diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay (H) và khối trụ tròn

xoay được giới hạn bởi hình trụ (H) Tỉ số

xq

V

S bằng :

A a

a

a

2a 3

canh BC Khi quay các cạnh tứ diện đó xung quanh trục là cạnh AB, có bao nhiêu hình nón được tạo thành ?

A 1 B 2 C 3 D 4

vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Gọi

V là thể tích của khối cầu tạo nên bởi mặt cầu (S) Tỉ số 2V3

quanh của hình nón tròn xoay và thể tích của khối nón tròn xoay lần lượt là Sxq và V Tỉ số

xq

V

S bằng: A

2000 cm

3001 cm

3001 cm

2005 cm

3 41

kiện MAB  với 00  900 Khi đó điểm M thuộc mặt nào trong các mặt sau:

A mặt nón B mặt trụ C mặt cầu D mặt phẳng

21. Cho hình tròn có bán kính là 6 Cắt bỏ 1

4 hình tròn giữa 2 bán kính OA, OB, rồi ghép 2 bán

kính đó lại sao cho thành một hình nón

(như hình vẽ)

Thể tích khối nón tương ứng đó là :

8

8

4

2



HÌNH TRỤ - KHỐI TRỤ

vuông đó quay quanh trục IH thì tạo nên một hình trụ.Tìm kết luận sai:

4



23. Một hình trụ có tâm hai đáy lần lượt là O, O’ OA và OB’ là hai bán kính trên hai đáy và vuông góc nhau, l = a, R = a Tìm kết luận sai:

A OA(OO'B) B OAOB C 3

OO'AB

V a D

3 OO'AB

2a V

3



24. Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O’ Bán kính đáy bằng chiều cao và bằng

a Trên đường tròn O lấy điểm A, trên đường tròn O’ lấy điểm B sao cho AB=2a Thể tích khối tứ diện OO’AB tính theo a bằng:

A a3 3

3

3

3

6

25. Một hình trụ có bán kính đáy là a A và B là 2 điểm trên 2 đường tròn đáy sao cho AB = 2a

và tạo với trục của hình trụ một góc 300 Tìm kết luận đúng:

2

3

6



hình trụ có hai đường tròn đáy ngoại tiếp hai hình vuông ABCD và A’B’C’D’ Diện tích S

là :

a 2

2



27. Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn nội tiếp hai mặt của một hình lập phương cạnh a Thể tích của khối trụ đó là:

A 1a3

2 B

3

1 a

4  C

3

1 a

3  D

3

a 

góc 450

Một hình trụ có 2 đáy là 2 đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và A’B’C’ Tìm kết luận đúng:

A h a 2 B h a 2

2

3



6





29. Cho hình trụ bán kính bằng r Gọi O, O’ là tâm hai đáy với OO’=2r Một mặt cầu (S) tiếp xúc

với 2 đáy của hình trụ tại O và O’ Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?

A diện tích mặt cầu bằng diện tích xung quanh của hình trụ

B diện tích mặt cầu bằng 2

3 diện tích toàn phần của hình trụ

C thể tích khối cầu bằng 3

4 thể tích khối trụ.

D thể tích khối cầu bằng 2

3 thể tích khối trụ

30. Người ta xếp 7 viên bi có cùng bán kính r vào một cái lọ hình trụ sao cho tất cả các viên bi đều tiếp xúc với đáy, viên bi nằm chính giữa tiếp xúc với 6 viên bi xung quanh và mỗi viên

bi xung quanh đề tiếp xúc với các đường sinh của lọ hình trụ Khi đó diện tích đáy của cái lọ hình trụ là:

A 16 r 2 B 18 r 2C 9 r 2 D 36 r 2

HÌNH CẦU – KHỐI CẦU

31. Diện tích S của một mặt cầu có bán kính r được xác định bởi công thức nào sau đây:

A S 4 r  B S 4 r  2 C S 4 r 2 2 D.S 4r 2

32. Thể tích V của một mặt cầu có bán kính r được xác định bởi công thức nào sau đây:

3



2 2

4 r V

3



3

4 r V 3



2 3

4 r V

3





33. Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước là a,b,c Khi đó mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật có bán kính r bằng:

A 1 a2 b2 c2

2(a b c ) D

1

qua các đỉnh S, A, B, C có bán kính r bằng:

A.2(a b c)

3

 

a b c

2   D. a2b2c2

kính của mặt cầu (S) ngoại tiếp tứ diện OABC bằng:

2(a b c ) D

1

Diện tích của mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng:

A S 14 a  2 B S 12 a  2 C S 10 a  2 D S 8 a  2

SB=SC=2a Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Gọi S’ là diện tích của mặt cầu (S) và V là thể tích của khối cầu tạo nên bởi mặt cầu (S) bằng Tỉ số V

S' bằng:

2



6



AB = a, AD = 2a Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Tìm mệnh đề đúng:

V 24





3

2

đúng :

A.Không có mặt cầu đi qua 4 điểm S, A, B, C

B Mặt cầu đi qua 4 điểm S, A, B, C có tâm là trung điểm của BC

C Mặt cầu đi qua 4 điểm S, A, B, C có tâm là trọng tâm của ABC

6



(S) là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Tìm mệnh đề sai:

A Tâm của (S) là O B (S) có bán kính R a 2

2



V

3



kính R của mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng:

3

2

4

4



mp(ABC) và SC hợp với đáy một góc bằng 600 Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Thể tích của khối cầu tạo nên bởi mặt cầu (S) bằng:

A 4 2 a3

3



B 8 2 a3

3



C 5 2 a3

3



D.2 2 a3

3



S.ABCD Thểtích của khối cầu tạo nên bởi mặt cầu (S) bằng:

A

3

3 a

2



B

3 a 3



C

3

2 a 3



D

3

4 a 3



tiếp hình chóp S.ABCD.Thể tích của khối cầu tạo nên bởi mặt cầu (S) bằng:

A 2 2 a3

3

2

3

3



AB=3a, BC= 4a Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Gọi S’ là diện tích của mặt cầu (S) và V là thể tích của khối cầu tạo nên bởi mặt cầu (S) bằng Tỉ số V

S' bằng:

A 3 2a

5 2 a

3 2 a

4 2 a 3

và AD = 2a Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ACD Thể tích của khối cầu tạo nên bởi mặt cầu (S) bằng:

A.5 5 a3

3



B 5 5 a3 6



9



D.5 5 a3 12



và SA = 2a Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Diện tích của mặt cầu (S) bằng:

A 19 a2

3



3



C 22 a2 3



D.23 a2 3



49. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a Bán kính của mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của tứ

diện ABCD bằng:

a 2

a 3

a 3 3

50. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a (S) là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC, thể tích của khối cầu đó là:

4



8



4



4





kính R của mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng:

3

3

4

4



phẳng vuông góc với mp(ABCD) Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Tính diện tích của mặt cầu (S):

A 7 a2

3



3



C 3 a2 2



D.5 a2 3



(S) là

mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Thể tích của khối cầu tạo nên bởi mặt cầu (S) bằng:

A

3

32 a

81



B

3

64 a 77



C

3

32 a 77



3

72 a 39



BC’ tạo với mặt phẳng (AA’C’C) một góc bằng 300 Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho Bán kính của mặt cầu (S) bằng:

A a

cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho.Diện tích mặt cầu (S) là:

A 4

2

3

Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ bằng:

a 43

a 43

a

4 3

57. Số mặt cầu đi qua một đường tròn cho trước là:

58. Cho ba điểm A, B, C nằm trên một mặt cầu , biết rằng góc ACB 90 0 Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ?

A AB là một đường kính của mặt cầu

B Luôn có một đường tròn nằm trên mặt cầu ngoại tiếp tam giác ABC

C Tam giác ABC vuông cân tại C

D Mặt phẳng (ABC) cắt mặt cầu theo giao tuyến là một đường tròn lớn

59. Trong các đa diện sau đây, đa diện nào không luôn luôn nội tiếp được trong mặt cầu:

A hình chóp tam giác (tứ diện) B hình chóp ngũ giác đều

C hình chóp tứ giác D hình hộp chữ nhật

A Mặt trụ và mặt nón có chứa các đường thẳng

B Mọi hình chóp luôn nội tiếp trong mặt cầu

C Có vô số mặt phẳng cắt mặt cầu theo những đường tròn bằng nhau

D Luôn có hai đường tròn có bán kính khác nhay cùng nằm trên một mặt nón

A Bất kì một hình tứ diện nào cũng có mặt cầu ngoại tiếp

B Bất kì một hình chóp đều nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp

C Bất kì một hình hộp nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp

D Bất kì một hình hộp chữ nhật nào cũng có một mặt cầu ngoại tiếp

62. Người ta bỏ ba quả bóng bàn cùng kích thước vào trong một chiếc hộp hình trụ có đáy bằng hình tròn lớn của quả bóng bàn và chiều cao bằng ba lần đường kính quả bóng bàn Gọi S 1

là tổng diện tích của ba quả bóng bàn, S là diện tích xung quanh của hình trụ Tỉ số 2 1

2

S S

bằng :

A 1 B 2 C 1,5 D 1,2