Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 12, tỉnh Lai Châu năm 20172018

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị  C m cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng  đi qua điểm A , cắt đường thẳng d và so

SỞ GD VÀ ĐT TỈNH

LAI CHÂU

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2017-2018 MÔN: TOÁN 12 (Thời gian làm bài 180 phút)

Câu 1: (6, 0điểm)

a Cho hàm số yx4mx2 m 1 có đồ thị là  C m Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để

đồ thị  C m cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt

b Cho hàm số y f x  liên tục trên thỏa mãn  3 

2 2 2 1

f x  x  x Tính tích phân

 

10

1 d

I  f x x

c Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 25x2.10xm24x 0 có hai nghiệm trái dấu

Câu 2: (4, 0điểm)

a) Cho hình lăng trụ ABCD A B C D     có đáy ABCD là hình thoi Hình chiếu vuông góc của

A lên A B C D    là trọng tâm tam giác ABD Biết AB a ; ABC120; AA a Tính thể tích khối lăng trụ ABCD A B C D    theo a

b) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 3 3

d    

, mặt phẳng

  :x   y z 3 0 và điểm A1; 2; 1  Viết phương trình chính tắc của đường thẳng  đi qua điểm A , cắt đường thẳng d và song song với mặt phẳng  

Câu 3: (4, 0điểm).Giải hệ phương trình:

     





Câu 4: ( 3 điểm) Cho các số thực không âm a b c, , thỏa mãn a b c  1 Tìm giá trị lớn nhất của

biểu thức

3 5

Pab ac bc

Câu 5 ( 3 điểm) Có 20 người xếp thành 1 vòng tròn Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 người sao cho

không có 2 người kề nhau được chọn

HẾT

CÁC GIÁO VIÊN THAM GIA GIẢI

1 LÊ ĐỨC ANH

2 LÊ THANH BÌNH

3 MỘT THẾ GIỚI

4 PHẠM TIẾN HÙNG

5 LÊ MINH

6 HOÀNG MINH QUÂN

Câu 1: (6, 0điểm)

d Cho hàm số yx4mx2 m 1 có đồ thị là  C m Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để

đồ thị  C m cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt

e Cho hàm số y f x  liên tục trên thỏa mãn  3 

2 2 2 1

f x  x  x Tính tích phân

 

10

1 d

I  f x x

f Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 25x2.10xm24x 0 có hai nghiệm trái dấu

Lời giải

a Xét phương trình hoành độ giao điểm: x4mx2  m 1 0  2  2 

     2

2

1 0

1 0

x

x m

  

 

  

1 1

x

 



Do đó yêu cầu bài toán 1 0

1 1

m m

 



   



1 2

m m





  

3x 2 f x 2x2  3x 2 2x1

3x 2 f x 2x 2 6x 3x 4x 2

2

1

3x 2 f x 2x 2 dx

1

6x 3x 4x 2 dx

   

1

6x 3x 4x2 dx



2

1

3

135 4



1

3x 2 f x 2x2 dx

1

3x 2 f x 2x 2 dx

    10  

1 d

f t t

  10  

1 d

f x x

Vậy 135

4

I 

c Chia cả hai vế của phương trình cho 4x và đặt 5

2

x

t

  

 

  , t 0

Ta có phương trình :   2 2

f t   t t m  Khi đó yêu cầu bài toán tương đương tìm các giá trị thực của mđể phương trình bậc hai ẩn t có hai nghiệm phân biệt t1, t2 thỏa mãn :

0  t 1 t

Khi đó ta có hệ sau

 1 0 0 0

f S P







 





2

2

1 0 0

m m

  







0

m m

  



 

0

m m

  



 

Chú ý: ta có thể lập bảng biến thiên của hàm số f t  trên tập 0; cũng cho ta kết quả như trên

Câu 2

a) Cho hình lăng trụ ABCD A B C D     có đáy ABCD là hình thoi Hình chiếu vuông góc của

A lên A B C D    là trọng tâm tam giác ABD Biết AB a ; ABC120; AA a Tính thể tích khối lăng trụ ABCD A B C D    theo a

b) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng : 3 3

d    

, mặt phẳng

  :x   y z 3 0 và điểm A1; 2; 1  Viết phương trình chính tắc của đường thẳng  đi qua điểm A , cắt đường thẳng d và song song với mặt phẳng  

Lời giải

a)

a a

G

D'

C' B'

A'

D

C B

A

ABCD là hình thoi cạnh a ; ABC120  ABD đều cạnh a có trọng tâm G

2 3 3

AG

Theo giả thiết: A G ABCDA G AG 2 2 2 2 2

A G AA AG a

2 2

.

2

ABCD A B C D ABCD

b) Phương trình tham số của d :

3

3 3 2

 



  



 



;   có véc tơ pháp tuyến n1;1; 1 

Giả sử   d M3t;3 3 ; 2 t t  AM  t 2;3t1; 2t1 là véc tơ chỉ phương của 

Vì  song song với mặt phẳng   nên

AM n             t t t t t

1; 2; 1

AM

    Vậy phương trình đường thẳng : 1 2 1

x y z

Câu 3: Giải hệ phương trình:

     





Lời giải ĐKXĐ:

3 2 1 2

x y

 





 



Ta có: x22y2   x y 6 3xy 2   2

      

3

2 3

2 2

2

x







 

TH1: 3

2

x

 thay vào phương trình x32x2 y 2x 3 41 2 y ta được:

 

2

x

x  x    x    x

Do ĐKXĐ của  1 là:

3 2 2

x x

 





  



nên  1 vô nghiệm

TH2: y x 2 thay vào phương trình x32x2 y 2x 3 41 2 y ta được:

 

x  x  x x   x  

ĐKXĐ của  2 là:

3 2 5 2

x x

 





 



Khi đó:

2

2 3 1 1 5 2 5 2 5 2

2

2 3 1 1 5 2 5 2 5 2

2

x

  ( thỏa mãn điều kiện) y 0

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất:    x y;  2;0

Câu 4: ( 3 điểm)

Cho các số thực không âm a b c, , thỏa mãn a b c  1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

3 5

Pab ac bc

Lời giải

Ta chứng minh 5

4

P

Cách 1

P ab ac bc a b c 

Bất đẳng thức sau cùng luôn đúng do a b c, , là các số thực không âm (dpcm)

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức Pab3ac5bc bằng 5

4 khi

1 0,

2

a b c

Cách 2

4

ab ca bc

a b c

 



 

tương đương   2 2 2

4 b c   c a b 4ab4a 0 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi   1 1

, , 0, ,

2 2

  

Nhận xét: Lời giải bài toán này không được tự nhiên, mặc dù chứng minh rất đơn giản Giá trị lớn nhất 5

4 được tìm nhờ nhận xét “ các giá trị Min, Max của biểu thức thường đạt được trên biên” Bài toán có lẽ giải một cách tự nhiên hơn nếu xét 2

Pab ac bcM a b c  rồi đưa về dạng tam thức bậc hai với ẩn a tham số b và c, tuy nhiên trong trường hợp này cách này biện luận khá cồng kềnh

Câu 5 Có 20 người xếp thành 1 vòng tròn Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 người sao cho không có 2

người kề nhau được chọn

Lời giải

Ta giải bài toán tổng quát sau: Có n người xếp thành 1 vòng tròn Hỏi có bao nhiêu cách chọn

ra k người sao cho không có 2 người kề nhau được chọn

Bài toán phụ: Có bao nhiêu cách lấy k phần tử trong n phần tử xếp trên đường thẳng sao cho không có 2 phần tử kề nhau cùng được lấy ra?

Giải

Lấy k phần tử ra, sẽ còn lại n k phần tử

Tính cả 2 đầu, sẽ có tổng cộng n k 1 khoảng trống (giữa các phần tử)

Mỗi cách lấy ra k khoảng từ các khoảng này, sẽ tương ứng chọn k phần tử thoả mãn yêu cầu

đã nêu

Số cách cần tìm sẽ là: k 1

n k

C 

Trong n người trên, chỉ định một người A, để cố định nó xem xét cho dễ Khi đó bài toán này

sẽ được chia làm 2 trường hợp để giải:

A

Trường hợp 1: Tập hợp các cách chọn, mà có chọn người A

Khi A được chọn, 2 người kề A (trái, phải) sẽ không được chọn

Số người còn lại sẽ là n3

Ta phải chọn lấy k1 người trong số n3 người còn lại đó

Số người này được coi như trên một đường thẳng (quy về bài toán phụ), nên số cách thuộc trường hợp này là:  1   1

1

3 1 1

n k

C     C  

Trường hợp 2: Tập hợp các cách chọn, mà không chọn người A

Khi đó bỏ A đi, sẽ trở thành dạng bài toán lấy k phần tử từ n1phần tử xếp trên đường thẳng (bài toán phụ) Nên số cách thuộc trường hợp này là: k

n k

C

Áp dụng quy tắc cộng, số cách cần tìm là: 1

1

C  C

Quay trở lại bài toán đã cho, áp dụng với n20;k 5ta có số cách cần tìm là C144 C155 4004