Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 12, tỉnh Bắc Kan năm 20172018

Tìm các điểm trên trục tung sao cho từ đó vẽ được đúng ba tiếp tuyến với  C.. Tìm  để diện tích hình phẳng giới hạn bởi  P và d đạt giá trị nhỏ nhất.. 4,0 điểm a Cho tứ giác ABCD n

SỞ GD VÀ ĐT TỈNH

BÁC KẠN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2017-2018 MÔN: TOÁN 12 (Thời gian làm bài 180 phút)

Câu 1 (4,0 điểm)

1 Giải hệ phương trình:

2

2

1

y

x y

x





  



2 Giải phương trình:

sin 2 sin 4 cos 2

0 2sin 3

x





Câu 2: (3.0 điểm) a) Cho hàm số 4 2

1

yx x  có đồ thị  C Tìm các điểm trên trục tung sao cho từ

đó vẽ được đúng ba tiếp tuyến với  C

b) Cho Parabol   2

P y x  x Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A1; 0 và có hệ số góc  Tìm  để diện tích hình phẳng giới hạn bởi  P và d đạt giá trị nhỏ nhất

Câu 3: (3 điểm) a) Với mỗi số tự nhiên k , gọi N k( ) là số nghiệm nguyên của phương trình:

2017 x 2018 y k

Tính giới hạn sau: L lim ( )

k

N k k



b) Cho a b c, , là ba số thực đôi một khác nhau Chứng minh bất đẳng thức

4072325

Câu 4 (4,0 điểm) a) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O Đường vuông góc với AD tại A cắt

BC ở E Đường vuông góc với AB tại A cắt CD ở F Chứng minh rằng ba điểm E, O, F thẳng hàng

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, lập phương trình đường thẳng d1 đi qua A 2;1 và tạo với đường thẳng d2: 2x3y 4 0 một góc 45

Câu 5 (4,0 điểm) Cho hình lăng trụ ABC A B C    có đáy ABC là tam giác vuông tại C , ABC60,

2

BC a , M là trung điểm của cạnh AB , hình chiếu vuông góc của C trên mặt phẳng

ABC trùng với trung điểm I của CM Góc giữa cạnh bên CC  và mặt phẳng đáy ABC  bằng 45

a Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C   

b Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và C I

Câu 6 (2,0 điểm)Cho z 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

T  z  z  z

HẾT

CÁC GIÁO VIÊN THAM GIA THỰC HIỆN

1 LÊ ĐỨC ANH

2 MỘT THẾ GIỚI

3 LÊ MINH

4 NGUYỄN TỬ PHÚC

5 HOÀNG MINH QUÂN

6 VŨ THƠM

7 MAI NGỌC THI

Câu 1:

1 Giải hệ phương trình:

2

2

1

y

x y

x





  



2 Giải phương trình:

sin 2 sin 4 cos 2

0 2sin 3

x





Lời giải

1

 

 

2

1 4 1

2 2

1

y

x y

x





  



Thế  2 vào  3 ta được 2

2

1

y

x



 2  2 2  2

 2 2

2 1

Thay vào  2 ta được 2 1

2 0

2

x

x







Vậy phương trình có nghiệm    x y;  1; 2 ;  x y;  2;5

2 Điều kiện: 2sinx 30

Phương trình đã cho tương đương với:

sin 2xsinx4 cos x 2 0

1 sin 2 cos sin 2 4 cos 2 0

2

sin 2x 2 cosx 1 4 2 cosx 1 0

2 cosx 1 sin 2 x 4 0

1 cos

2

x

2 3



  



 



 

Kết hợp với điều kiện, phương trình đã cho có họ nghiệm là 2

3

x  k 

Câu 3: (3.0 điểm)

a) Cho hàm số 4 2

1

yx x  có đồ thị  C Tìm các điểm trên trục tung sao cho từ đó vẽ được

đúng ba tiếp tuyến với  C

b) Cho Parabol   2

P y x  x Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A1; 0 và có hệ số góc  Tìm  để diện tích hình phẳng giới hạn bởi  P và d đạt giá trị nhỏ nhất

Lời giải

a) Tập xác định D

yx x   y x  x

Giả sử M0;mOy

Phương trình đường thẳng d đi qua điểm M có hệ số góc k là ykxm

 

4 2

3



 



Thế PT 2 vào PT 1 ta được 4 2  3 

 3x4x2 1 m (3)

Xét hàm số   4 2

g x   x x  trên

  3

12 2

6

x

g x

x









Bảng biến thiên

Để qua điểm M kẻ được đúng 3 tiếp tuyến đến đồ thị  C PT (3) có 3 nghiệm phân biệt

Từ bảng biến thiên m 1 M 0;1

b) d là đường thẳng đi qua điểm A1; 0 và có hệ số góc 

Phương trình của đường thẳng d là yx1

Phương trình hoành độ giao điểm của d và  P

  2

2x 1  x 3  0

Ta có  2  

1  4.2 3 

6 25 3 16 0,

PT (1) luôn có hai nghiệm phân biệt 1 2  1 2

,

với mọi 

Định lý viet 1 2

1 2

1 2 3 2

x x







  





1 2

2x  1  x     3  0 0, x x x;

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đường thẳng d và  P

 

2

1

2

x

x

1

2

x

x

2

x x



 2 2

3 16

 2   2 

1

Ta có  2

3 0,

3

  

Vậy diện tích S nhỏ nhất bằng 4

3 khi  3

Câu 3: (3 điểm)

c) Với mỗi số tự nhiên k, gọi N k( ) là số nghiệm nguyên của phương trình:

2017 x 2018 y k

Tính giới hạn sau: L lim ( )

k

N k k



Lời giải

Ta có 2017( ) 2017 x 2018 y k 2018(x y)

Ta thấy nếu lấy mỗi số a thỏa mãn ;

2018 2017

  thì phương trình trên có nghiệm duy nhất

2018 2017

     Do đó số nghiệm nguyên N k( ) của phương trình bằng số các số tự nhiên thuộc ;

2018 2017

   2017 2018- -1< N(k) < 2017 2018- 1



Từ đó lim 1 1 lim ( ) lim 1 1

N k

1 2017.2018

L

  (đpcm) d) Cho a b c, , là ba số thực đôi một khác nhau Chứng minh bất đẳng thức

4072325

Lời giải

Ta chứng minh cho bài toán tổng quát

2 1

k

      (*)

Đặt a kb x;b kc y;c ka z

   , bất đẳng thức cần chứng minh trở thành

1

x y z k 

Ta có

   

   

hay

       

Ta cần chứng minh 2 2 2 2

1

x y z k  Do đó ta chứng minh

2

1

1 0

Bất đẳng thức cuối luôn đúng Vậy (*)được chứng minh

Áp dụng với k 2018, ta có

2

2018 1 4072325

Câu 2 (4,0 điểm)

a) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O Đường vuông góc với AD tại A cắt BC ở E Đường vuông góc với AB tại A cắt CD ở F Chứng minh rằng ba điểm E, O, F thẳng hàng b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, lập phương trình đường thẳng d1 đi qua A 2;1 và tạo với đường thẳng d2: 2x3y 4 0 một góc 45

Lời giải

a)

A'

O

F

E

D

C

B A

Trường hợp 1: BAD 90 thì EF là đường kính của đường tròn, suy ra điều phải chứng minh

Trường hợp 2: BAD 90 , gọi A đối xứng với A qua EF

Ta có: EA F EAF BAFEADBAD180 BADECF EFCA là tứ giác nội tiếp Nên: A EF A CF 180  AEFA CF 180

Mà AEF  A AD (góc có cạnh tương ứng vuông góc) nên A AD A CD 180

Do đó A ADC là tứ giác nội tiếp

Mà A O nên suy ra O thuộc đường trung trực của A A Vậy E, O, F thẳng hàng

Trường hợp 3: BAD 90 chứng minh tương tự

b) Giả sử d1 có một véc tơ pháp tuyến n1 a b; ,  2 2 

0

2

d có một véc tơ pháp tuyến n2  2;3

2 3



5

5







  



Với a5b: Chọn b  1 a 5 Vậy phương trình d1: 5x  y 11 0

Với a 1b: Chọn b   5 a 1 Vậy phương trình d :x5y 3 0

Câu 5 Cho hình lăng trụ ABC A B C    có đáy ABC là tam giác vuông tại C , ABC60, BC2a,

M là trung điểm của cạnh AB , hình chiếu vuông góc của C trên mặt phẳng ABC trùng với 

trung điểm I của CM Góc giữa cạnh bên CC và mặt phẳng đáy ABC bằng  45

a Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C   

b Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và C I

Lời giải

I

A

A'

M

H K

a Ta có C I ABC nên góc CC,ABC CC CI, ICC

cos 60 BC

AB

  AB4a, 1

2

2

CI  CM a

Do ICC 45 nên tam giác ICC vuông cân nên IC a

Vậy thể tích khối lăng trụ là: V ABC A B C.   IC S ABC 2 2 31

2

2 3a

b Kẻ IKBC nên d BC C I ,   IK Kẻ đường cao MH của tam giác BCM

1 2

BCM ABC

3a

 ; 2S MBC

MH

BC

2

a a

Mà 1

2

2

a

,

2

a

Câu 6: Cho z 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 3 2

T  z  z  z

Lời giải

Cách 1

T   z  z   z Đẳng thức xảy ra khi z1 Vậy maxT5

3

3 1 1

1

z

z



  



2

  

 1 Đẳng thức xảy ra khi z 1 Vậy minT 1

Cách 2

T  z z   z z  z  1 z z     1 z z 1 z

Đặt t 1 z  t  0; 2 và 2     2

t  z     z z z t Khi đó 2 2

T t t  t  với t 0; 2

* Với t 0;1

Khi đó   3 2

1 10

3

Ta có f1 0 1, f1 1 2 , 1 1 10 2 20 10



  1  0;1 min f t 1

  1  0;1

2 20 10 max

27

* Với t 1; 3

Khi đó   3 2

1 10

3

 f2 t 2  t  1; 3 và

  2  1; 3

2 20 10 max

27

f t  

* Với t  3; 2

Khi đó   3 2

      t  3; 2  f t3  đồng biến trên  3; 2

   

3;2

min f t f 3 2

 

 

3;2

max f t f 2 5

 

 

Vậy maxT5 khi z1; minT 1 khi z 1