Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 12, tỉnh Lâm Đồng năm 20172018

Lấy ngẫu nhiên ba đoạn thẳng từ năm đoạn thẳng đó.. Tính xác suất để ba đoạn thẳng được chọn có thể xếp thành một hình tam giác.. Gọi M N, lần lượt là trung điểm AB BC,.. Biết mặt phẳng

SỞ GD VÀ ĐT LÂM ĐỒNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2017-2018

MÔN: TOÁN 12 (Thời gian làm bài 180 phút)

Câu 1 (2,0 điểm) Tìm m để đồ thị hàm số yx33mx23x3m2 cắt trục hoành tại 3 điểm phân

biệt có hoành độ x x x1, 2, 3 thỏa mãn x12x22x32 15

Câu 2 (3,5 điểm) 1 Tính tổng tất cả các nghiệm thuộc 0 100;  của phương trinh

2

sin2x+2sin x-5sinx-cosx+2

0

2.Giải bất phương trình : log2 xlog 82x 3

Câu 3 (2,5 điểm) Có năm đoạn thẳng có chiều dài là 1 , 3 , 5 ,7 , 9  cm Lấy ngẫu nhiên ba đoạn

thẳng từ năm đoạn thẳng đó Tính xác suất để ba đoạn thẳng được chọn có thể xếp thành một hình tam giác

Câu 4: (2,5 điểm) Tìm hàm số y f x  biết đạo hàm    2  x

x

x x e

y f x

x e



 và f  0 0

Câu 5: (3,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a Gọi M N, lần lượt

là trung điểm AB BC, Biết mặt phẳng SAB vuông góc với mặt phẳng  ABCD và tam giác 

SAM là tam giác đều Tính thể tích của khối chóp MND S và khoảng cách h giữa hai đường thẳng SM và DN

Câu 6: (2,0 điểm)

Gọi S là tổng các hệ số của các lũy thừa bậc nguyên dương của x trong khai triển nhị thức

 

2018

1

x

1009 2018

1 2

S C .

Câu 7: (2,5 điểm) Giải hệ phương trình





Câu 8 (2,5 điểm) Cho ba số thực không âm a b c, , thỏa mãn 1a2  1 2 b 1 2 c5

M  a b c

LỜI GIẢI ĐƯỢC THỰC HIỆN BỞI CÁC THẦY CÔ GIÁO

1 LÊ THANH BÌNH

2 NGUYỄN THẾ DUY

3 ĐỖ ĐƯỜNG HIẾU

4 ĐẶNG MẠNH HÙNG

5 HOÀNG MINH QUÂN

6 MAI NGỌC THI

7 PHẠM ĐỨC TÙNG

8 ĐINH VĂN VANG

9 BÙI THỊ THÚY VÂN

Câu 1 Tìm m để đồ thị hàm số yx33mx23x3m2 cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có

hoành độ x x x1, 2, 3 thỏa mãn x12x22x32 15

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm

x  mx  x m    2    

1

x





Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt  f x  có 2 nghiệm phân biệt khác 1

0

m





 

0

0

m

m





Gọi x x1; 2 là hai nghiệm của f x Ta có   1 2

1 2

x x m



x x x  2 2

x x

1 0

m

1 1

m m





   

Vậy m     ; 1 1; 

:

Câu 2 1 Tìm m để đồ thị Tính tổng tất cả các nghiệm thuộc 0 100;  của phương trinh

2

sin2x+2sin x-5sinx-cosx+2

0

Lời Giải

2

c  

2

s inx+cosx-2=0

x x

 



 +) sinxcosx 2 0 (phương trình vô nghiệm)

+) 6 2  

5 2 6



   





   



6

x  k  k Z

6

Tổng tất cả các nghiệm của phương trình là:

               

2.Giải bất phương trình : log2 xlog 82x 3

Lời Giải

2

2

2 2

0

2

2

x Dk x

x x

x















 







 

 Kết hợp điều kiện : Nghiệm của bpt là:

1 0

2

x x

 





  



Câu 3 Có năm đoạn thẳng có chiều dài là 1 , 3 , 5 ,7 , 9  cm Lấy ngẫu nhiên ba đoạn thẳng từ năm

đoạn thẳng đó Tính xác suất để ba đoạn thẳng được chọn có thể xếp thành một hình tam giác

Lời giải

Số phần tử của không gian mẫu: 3

5 10

C 

Số phần tử của biến cố: 7 ,3,5 ,  9,3,5 , 9,7 ,5 nên có 3 cách 

10

P A 

Câu 4: (2,5 điểm) Tìm hàm số y f x  biết đạo hàm    2  x

x

x x e

y f x

x e



 và f  0 0

Lời giải

Ta có f x  f x  dx  2 

d

x

x

x x e

x

x e







d 1

x

x

x x e

x xe









d 1

x

x xe





1

x x

x x

x

e xe

xe





1

x x

x

e xe

xe





1

x

x x

x

xe

xe





Mà f  0 0  C 0

Vậy f x xe xln xe x1

Câu 5: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a Gọi M N, lần lượt là trung

điểm AB BC, Biết mặt phẳng SAB vuông góc với mặt phẳng  ABCD và tam giác SAM là 

tam giác đều Tính thể tích của khối chóp MNDS và khoảng cách h giữa hai đường thẳng

SM và DN

Lời giải

(Bạn đọc tự vẽ hình)

Gọi H là trung điểm AM

Ta có

SH AB





2

a

SH 

2

DMN ABCD BMN ADM DCN

a

S S S S S  a  a  a a

SMDN MDN

Gọi I là trung điểm AD , J là trung điểm AI

E là hình chiếu của H trên MJ , K là hình chiếu của H trên SE

Ta có DN/ /BI/ /MJDN/ /SMJ

 ,   ,   3  ,   6  ,  

d SM DN d DN SMJ d A SMJ d H SMJ

 

HK  SMJ

a

MJ  BI  ,

,

a

d A MJ

d A MJ  a a  a  

a

d H MJ  d A MJ  , 1 2 12 12 162 42 15

HK  HE SH  a  a  

68

d SM DN  a

Câu 6: (2,0 điểm)

Gọi S là tổng các hệ số của các lũy thừa bậc nguyên dương của x trong khai triển nhị thức

 

2018

1

x

1009 2018

1 2

S C .

Lời giải

 

2018

1

x

2018

2018 2018 0

1 k

k

C x

x





 

 

2018 2 2018 0

k

C x 



, với k và k2018

Số hạng có lũy thừa bậc nguyên dương của x tương ứng với 2018 2 k0 k 1009

2018 2018 2018

2018 2018 2018

2018 2018 2018 2

Lại có

0 2018

2018 2018

C C

1 2017

2018 2018

C C

…

1008 1010

2018 2018

C C

Do đó

 1  0 1 1008 1009 2018

2018 2018 2018 2018

1

2

1009 2017 2018

1

2 2

Câu 7: Giải hệ phương trình





Lời giải

 





2

x , 1

2

y 

Ta có:

 1 2 2x 1 2y 1 2x 1 2y10

 

2x 1 2y 1 y x 1 3

Thay  3 vào  2 ta được:

2

 2  2  

2

x x

x

x x



Vậy, hệ đã cho có nghiệm duy nhất    x y;  2;1

Nhận xét: Ta có thể có cách giải khác từ phương trình 3 2  

x  x  x  x x

x  x  x x  x

 2

Câu 8 Cho ba số thực không âm a b c, , thỏa mãn 1a2  1 2 b 1 2 c 5

M  a b c

Lời giải

Bổ đề Với hai số không âm x y, ta có 1 x 1  y 1 1 x y  

Thật vậy,      2 x y 2 1x1y   2 x y 2 1 x y

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x0 hoặc y0

Áp dụng bổ đề   , ta có 5 1a2  1 2 b 1 2 c 1 1a22b 1 2 c

2

2

a

a  b c    b c

2

a

Mà

2

2

0

a a

a





2

2

a

f a a   

2

a

f a a a 

2 4

a

a





 Tính f  0 64; f  2 24; f  2 2 32 2 suy ra f a 64,  a 0; 2 2 



 Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức M là 64

Cảm ơn quý thầy cô và các em học sinh đã đọc!