Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề 1 tính đơn điệu và cực trị lê hoành phò file word copy

TÀI LIỆU RẤT DÀI KHOẢNG 600 TRANG, GỒM 20 CHUYÊN ĐỀ NÊN CHÚNG TÔI XIN TRÍCH DẪN MỘT PHẦN NỘI DUNG CỦA SÁCH NÀY.. Nên f x 0 có nghiệm duy nhất x0 Vậy phương trình cho có nghiệm duy nh

TÀI LIỆU RẤT DÀI (KHOẢNG 600 TRANG), GỒM 20 CHUYÊN ĐỀ NÊN CHÚNG TÔI XIN TRÍCH DẪN MỘT PHẦN NỘI DUNG CỦA SÁCH NÀY HÃY DÙNG BẢN WORD ĐỂ CÓ TRỌN VEN BỘ TÀI LIỆU NÀY

CHUYÊN ĐỀ 1 - TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng  a b; khi đó:

- Nếu f đồng biến trên  a b; thì f ' x 0 với mọi x a b;

- Nếu f nghịch biến trên  a b; thì f ' x 0 với mọi x a b;

- Nếu f ' x 0 với mọi x a b; và f ' x 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của  a b; thì hàm số đồng biến trên khoảng  a b;

- Nếu f ' x 0 với mọi x a b; và f ' x 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của  a b; thì hàm số nghịch biến trên khoảng  a b;

- Nếu f đồng biến trên khoảng  a b; và liên tục trên a b;  thì đồng biến trên a b; ; và liên tục trên a b;  thì đồng biến trên a b; ; liên tục trên  a b; thì đồng biến trên  a b;

- Nếu f nghịch biến trên  a b; và liên tục trên a b;  thì nghịch biến trên a b; ; liên tục trên a b;  thì nghịch biến trên a b; ; liên tục trên  a b; thì nghịch biến trên  a b;

- Nếu f ' x 0 với mọi xD thì hàm số f không đổi trên D

Bổ đề Fermat: Giả sử hàm số có đạo hàm trên  a b; Nếu f đạt cực trị tại điểm x0 a b; thì f ' x0 0

- Cho y f x  liên tục trên khoảng  a b; chứa x0 có đạo hàm trên các khoảng a x; 0 và x b0; :

Nếu f ' x đổi dấu từ âm sang dương thì f đạt cực tiểu tại x0

Nếu f ' x đổi dấu từ dương sang âm thì f đạt cực đại tại x0

- Cho y f x  có đạo hàm cấp hai trên khoảng  a b; chứa x0

Nếu f ' x0 0 và f '' x0 0 thì f đạt cực tiểu tại x0

Nếu f ' x0 0 và f '' x0 0 thì f đạt cực đại tại x0

Ứng dụng vào phương trình

- Nếu hàm số f đơn điệu trên K thì phương trình f x 0 có tối đa 1 nghiệm Nếu f a 0, a thuộc K thì

xa là nghiệm duy nhất của phương trình f x 0

- Nếu f có đạo hàm cấp 2 không đổi dấu trên K thì f ' là hàm đơn điệu nên phương trình f x 0 có tối đa 2

nghiệm trên K Nếu f a 0 và f b 0 với ab thì phương trình f x 0 chỉ có 2 nghiệm là xa

và xb

- Nếu f là một hàm liên tục trên  a b; , có đạo hàm trên  a b; thì phương trình f ' x f b  f a 

Đặc biệt, nếu f a  f b 0 thì phương trình f ' x 0 có ít nhất một nghiệm c a b; hay giữa hai

nghiệm của f thì có ít nhất một nghiệm của đạo hàm f '

2) Số nghiệm của phương trình bậc 3: ax3bx2cx d 0,a0

Nếu f ' x  0, x hay f ' x  0, x thì f x 0 chỉ có 1 nghiệm

Nếu f ' x 0 có 2 nghiệm phân biệt và:

Với y C Ð.y CT 0: phương trình f x 0 chỉ có 1 nghiệm

Với y C Ð.y CT 0: phương trình f x 0 có 2 nghiệm (1 đơn, 1 kép)

Với y C Ð.y CT 0: phương trình f x 0 có 3 nghiệm phân biệt

x  x    x  

sin 2 2cos 2 sin

Ta có    

2

2 2

2

2

2 21

khi khi

x x

y x

4

y x

y  trên khoảng ; 4 nên y đồng biến trên khoảng ; 4

Bài toán 1.7: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số

a)

3

26

x y

x



11

x y

Vì hàm số liên tục trên đoạn 0; 2  nên hàm số đồng biến trên đoạn 0; 2 

Bài toán 1.9: Chứng minh các hàm số

a) ycos 2x2x5 nghịch biến trên

sin

;sin

a) x x1, 2 ,x1 x2 Lấy hai số a, b sao cho a x1 x2b

Ta có: f ' x  2 sin 2 x 1 0 với mọi x a b;

Vì f ' x 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của khoảng  a b; nên hàm số f nghịch biến trên khoảng  a b;

Bài toán 1.10: Tìm các giá trị của tham số để hàm số:

a) ym3 x 2m1 cos x nghịch biến trên

b) y x33x2mxm chỉ nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 3

Bài toán 1.12: Tìm cực trị của hàm số

x y

Bài toán 1.13: Tìm cực trị của hàm số

a) y x sin 2x2 b) y 3 2cosxcos 2x

Ta có '' 2 2 2cos2 4cos4 6cos2 3 0

 không có đạo hàm tại x0 nhưng đạt cực trị tại điểm đó

b) y f x   xax b x c a , c luôn có cực đại và cực tiểu

x a x y

m m y

Ta có hệ:

3 3

Từ đó có 3 giá trị của x và cũng chính là 3 nghiệm của phương trình bậc 3:

Với y1: 3   x 1: không thỏa (1)

Với x y 0 3     y 1 x 1; không thỏa (1)

1 2 :

2 245

Đặt   2

2 1, 0

f t   t t t thì f'  t 2 t1 nên f đồng biến trên 1; và nghịch biến trên  0;1

Đặt g t 2 ,t t 0 thì g t'  2 0 nên g đồng biến trên 0; Ta có hệ

60

36 25

x y

x y z

y z x

Hệ phương trình được viết lại

36 2560

36 25

x y

x y z

y z x

f x

t t

 nên f đồng biến trên 1;3

Do đó BPT  f x  1 f3x     x 1 3 x x 2

Vậy nghiệm của bất phương trình S 2;3

Bài toán 1.24: Giải các bất phương trình

a) 3 x x2  2 x x2 1

4

25

Nên f x 0 có nghiệm duy nhất x0

Vậy phương trình cho có nghiệm duy nhất

Bài toán 1.26: Chứng minh hệ phương trình có nghiệm duy nhất:

Nếu z  a lí luận như trên ta dẫn đến mâu thuẫn

Vậy hệ có nghiệm duy nhất x  y z t0 ở đó t0 là nghiệm duy nhất của phương trình: t3   t2 t a 0

Bài toán 1.27: Chứng minh hệ

11

Vậy hệ có đúng 3 nghiệm phân biệt

Bài toán 1.28: Tìm tham số để phương trình

Điều kiện phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt

3 tan 1 tan 2 tan 3

3 tan 1 tan 1 1 tan 1 2

2

t t y

t

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất khi m y 1  m 2

Bài toán 1.30: Tìm tham số để phương trình

Vậy điều kiện phương trình có nghiệm là     7 2

Lập BBT thì bất phương trình có nghiệm khi m1

b) Đặt tsinxcosx, t  2 và t2  1 2sin cosx xsin 2x t2 1

Lập BBT suy ra điều kiện có nghiệm là: m    3 0 m 3

Bài toán 1.32: Tìm điều kiện của m để hệ bất phương trình có nghiệm

Bài toán 1.33: Cho 3 số a, b, c thỏa mãn abc0 và 0

Bài toán 1.34: Cho hàm số f có đạo hàm trên  0;1 và thỏa mãn f 0 0;f  1 1 Chứng minh tồn tại 2 số

phân biệt a; b thuộc  0;1 sao cho f '   a f ' b 1

Hướng dẫn giải

Xét hàm số g x  f x  x 1, khi đó thì g x  liên tục và có đạo hàm trên  0;1

Ta có: g 0   1 0 và g 1  1 0 nên tồn tại số c thuộc  0;1 sao cho g c 0

Do đó f c   c 1 0 hay f c  1 c

Áp dụng định lý Lagrange cho f trên các đoạn  0;c và  c;1 thì:

tồn tại a 0;c sao cho:    0  

'0

f c f

f a c

f f c

f b c

Vậy tồn tại 2 số phân biệt a; b thuộc  0;1 sao cho f '   a f ' b 1

Bài toán 1.35: Cho hàm số f x  có đạo hàm trên  0;1 và nhận giá trị dương Chứng minh bất phương trình:

Bài toán 1.36: Giả sử f là một hàm xác định trên  a b; , có đạo hàm đến cấp n1 trên  a b; và x0 a b;

Chứng minh tồn tại c nằm giữa x và x0 để có:

Như vậy: f x 0  A A0, 1 f ' x0 , 2A2  f' x0 , ,f n  x0 n A! n nên:

1'

trong đó c là một điểm nằm giữa x và x0

Công thức trên được gọi là công thức khai triển Taylor của hàm f tại điểm xx0

x



11

x y

x x





 

x y

x y

Kết quả CĐ tại x 3;y C Ð  9 3,CT tại x3;y CT 9 3

b) Kết quả CĐ tại x0,y C Ð 0 và CT tại x2;y CT  3 43

CT

y  k

b) Kết quả điểm cực đại

Bài toán 1.6: Chứng minh hàm số

Kết quả nghiệm duy nhất x3

b) Hàm đơn điệu Kết quả x3

Bài toán 1.9: Giải các hệ phương trình:

a) Điều kiện: x 1 BPT viết lại: x 1 2 x 6 3 x1320