UBND HUYỆN ĐÔNG SƠNPHÒNG GDĐTKỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC MÔN VĂN HÓA LỚP 9 CẤP HUYỆNNĂM HỌC 20182019ĐỀ THI: Môn ToánThời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)ĐỀ BÀICâu 1 (4.0 điểm)1.Cho biểu thức a. Rút gọn Mb. Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức M nhận giá trị là số nguyên 2. Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện . Tính giá trị của biểu thức: . Câu 2 (4.0 điểm)1.Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 2xy2 + x +y +1 = x2 +2y2+xy2. Giải phương trình : Câu 3 (4.0 điểm)1.Chứng minh rằng với mọi n là số tự nhiên thì A= ( 10n + 10n1 +…+ 10 + 1) ( 10n+1+5) +1 là số chính phương nhưng không phải lập phương của một số tự nhiên.2. Tìm các cặp số thực (x;y) thỏa mãn các điều kiện: Câu 4 (6.0 điểm)Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vuông tại A với đường cao AH. Các tiếp tuyến với đường
Trang 1UBND HUYỆN ĐÔNG SƠN
PHÒNG GD&ĐT
KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC MÔN VĂN HÓA LỚP 9 CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2018-2019
ĐỀ THI: Môn Toán
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
ĐỀ BÀI
Câu 1 (4.0 điểm)
+
−
+ +
−
+ +
−
+
+
−
=
6 5
2 3
2 2
3 :
1
1
x x
x x
x x
x x
x M
a Rút gọn M
b Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức M nhận giá trị là số nguyên
2 Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a+ + +b c abc =4 Tính giá trị của biểu thức:
(4 )(4 ) (4 )(4 ) (4 )(4 )
Câu 2 (4.0 điểm)
1.Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 2xy2 + x +y +1 = x2 +2y2+xy
2 Giải phương trình : 2x− 2 − 6x− 9 = 16x2 − 48x+ 35
Câu 3 (4.0 điểm)
1.Chứng minh rằng với mọi n là số tự nhiên thì
A= ( 10n + 10n-1 +…+ 10 + 1) ( 10n+1+5) +1 là số chính phương nhưng không phải lập phương của một số tự nhiên
2 Tìm các cặp số thực (x;y) thỏa mãn các điều kiện:
1
xy x y
= + +
Câu 4 (6.0 điểm)
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vuông tại A với đường cao AH Các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại A và B cắt nhau tại M, CM cắt
AH tại I, OM cắt AB tại J
a Chứng minh hai tam giác MOB và ACH đồng dạng
b Chứng minh I là trung điểm của AH
c Cho BC = 2R và OM = x Tính AB và AH theo R và x
d Tính giá trị lớn nhất của AH khi x thay đổi
Câu 5 (2.0 điểm)
Cho các số thực dương x, y thoả mãn điều kiện xy(x−y) =x+ y
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = x+y
-Hết -
(Cán bộ coi thi không phải giải thích gì thêm)
Họ và tên: SBD:
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2018-2019
Môn: TOÁN
1
1 (3,0 điểm)
a ĐKXĐ: x≥ 0; x≠ 4 ;x≠ 9
M=
1
2 +
−
x x
b, M=
1
2 +
−
x
x
=
1
3 1 +
−
x
Để M nguyên => x+ 1 ∈Ư(3) ⇔ x+ 1 ∈{ }1 ; 3
( Vì x + 1 > 0 ∀x∈ĐKXĐ)
=> x= 0 ( thỏa mãn ĐKXĐ)
x = 4 ( Không thỏa mãn ĐKXĐ)
Vậy x= 0 thì M nhận giá trị nguyên
2 (1,0 điểm)
(4 )(4 ) (4 )(4 ) (4 )(4 )
Ta có:
4 4 4 4 4 16 (4 )(4 ) (16 4 4 )
2
Tương tự:
(4− )(4− ) =2 + , (4− )(4− ) =2 +
0,5 1,5 0,25
0,5
0,5 0,25
0,5 0,5 0,5 0,5
2
1.(2,0 điểm)
Ta có 2xy2 +x +y +1 = x2+ 2y2 +xy
⇔ 2y2( x- 1) – x( x-1) – y( x-1) +1 = 0 (1)
Nhận thấy x= 1 không phải là nghiệm của phương trình (1) chia
cả hai vế cho x-1 ta được
2y2 –x –y +
1
1
−
x = 0(2)
Vì pt có nghiệm x,y nguyên nên
1
1
−
x nguyên nên x-1∈{ }± 1
{ }0 ; 2
∈
⇒ x
Thay x= 0 vào (2) ta được 2y2 –y -1 = 0 => y = 1; y =
2
1
−
Thay x= 2 vào (2) ta được 2y2 –y – 1=0 => y =1; y =
2
1
− Vậy (x,y) ∈{ ( ) ( ) }
0,5
0,75
0,5
Trang 3Câu Nội dung Điểm
2.(2,0 điểm)
ĐK:
2
3
≥
x
35 48 16
9 6 2
2x− − x− = x2 − x+
x x
x
4 5 4 7 9 6 2 2
4 7
−
−
=
− +
−
−
9 6 2 2
1 4
− +
− +
−
−
x x
x
Vì
2
3
≥
9 6 2 2
1
>
− +
− +
x
Suy ra :
4
7 0
4
7 − x= ⇒x= (tm)
Vậy pt có nghiệm :
4
7
=
x
0,25
0,5
0,5
0,5
0,25
3
1 (2,0 điểm)
Ta có
2
2 1
1 )
1 ( 2
1 1
4
33 3
2 10
9
9 5 10 4 10
1 5 10 9
1 10
3
2
n
n
n n
n n
A
=
=
+
− +
=
+ +
−
=
+
+ +
+ +
Vậy A là số chính phương
Mặt khác 2
4
33 2 3
1
n
= 22 2
1 7
1666 1 2 3
−
n
= A
Do AΜ 2 nhưng A không chia hết cho 8 nên A không thể là lập
phương của một số tự nhiên
2 (2,0 điểm)
Điều kiện: x≠ −1;y≠ −1
Theo gt ta có
1
1
+ + , khi đó :
2 1 4
uv
+ =
=
0,5
0,5
0,5
0,25 0,25 0,25
0,25
0,25
Trang 4Câu Nội dung Điểm
⇔
2
2
1 0
u v
u v
⇔
Suy ra 1
2
u= =v hoặc 1
2
u= = −v
2
1 2
x y
+ =
⇔ = =
+ =
2
x y
+ = −
⇔ = = −
+ = −
3
x= =y x= = −y
0,75
0,75
4
a (2,0 điểm) Chứng minh ∆MOB∼∆ACH
Ta có MA = MB ( T/c tiếp tuyến)
OA = OB = R
=> OM là trung trực của đoạn AB
=> OM vuông góc với AB tại J nên OM // AC
=> M OˆB= A CˆH => ∆MOB∼∆ACH (g.g)
b.(1,5 điểm) Trong ∆CMBcó HI//BM nên
CB
CH BM
HI
= (1)
MOB
∆ ∼∆ACH =>
OB
CH BM
HA
= (2)
Chia (1) cho (2) theo từng vế ta được
2
1
=
=
CB
OB HA HI
=> I là trung điểm của AH
c.(0,75 điểm) ∆MOB vuông ở B nên OB2 = OJ OM => OJ =
2,0
1,5
Trang 5Câu Nội dung Điểm
x
R OM
OB2 2
=
∆OJB vuông ở J nên BJ2 = OB2 – OJ2 =
2
2 2 2 2 2 2
x
R x R x
R
R x x
R
− với x > R
∆ABC vuông ở A nên AC2 = BC2 – AB2 = 2
4 4
x R
=> AC =
x
R2
2
Lại có BC AH = AB AC
=> AH =
BC
AC
AB.
2
2 2
R x x
R
− với x > R d.(0,75 điểm) Ta chứng minh: AH ≤ R (3)
<=> 2 2
2
2 2
R x x
R
− ≤ R <=> 2R 2 2 2
x R
<=> 4R2 ( x2 – R2) ≤ x4 <=> x4 – 4R2 x2 + 4R4 ≥ 0
<=> (x2 – 2R2)2 ≥ 0 với ∀x > R
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x2 – 2R2 = 0 <=> x = R 2
Vậy AH đạt giá trị lớn nhất bằng R khi x = R 2
0,75
0,75
5
(2,0 điểm)
Do x, y > 0 và xy(x− y) = x+y ta suy ra x > y > 0
và xy(x-y)2 = (x+y)2 (1)
Đặt a = x+ y; b = xy (a, b > 0 ; a2
≥ 4b)
Ta có: (1)⇔b(a2−4b)=a2 ⇔a2(b−1)=4b2
Suy ra: b-1 > 0 và 4 1
2 2
−
=
b
b a
Lại có: 1 1 11 ( 1) 11 2 2 ( 1). 11 2 4
2
= +
−
−
≥ +
− +
−
=
− + +
=
b b
(theo bđt cô si)
Do đó: a2 ≥16.
Mà a > 0 nên a≥4⇒x+y≥4
Dấu “=” xảy ra khi 1 11⇔( −1)2 =1⇔ =2
−
=
b b
Khi đó:
−
=
+
=
⇔
=
= +
2 2
2 2 2
4
y
x xy
y x
(Vì x > y) Vậy Min (x+y)=4 khi x=2+ 2;y=2− 2
0.25
0.25 0.25 0.25
0.25
0.25 0.25 0.25
-Hết -