Các bài giảng trọng tâm theo chuyên đề đại số 11 nguyễn phú khánh

Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì cơ sở nếu có của các hàm số sau.. http://topdoc.vn - Website chuyên file word CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP Bài 1 Chứng minh rằng các hàm số sau là những hàm s

bộ tài liệu gồm 400 trang, file word, lời giải chi tiết

Chúng tôi xin trích dẫn một phần nội dung bộ tài liệu

* sin2 cos2 1 với mọi 

* tan cot  1 với mọi  k

http://topdoc.vn - Website chuyên file word

a.Hai cung đối nhau:  và 

cos( ) cos sin(  ) sin

tan(  ) tan cot(  ) cot

b Hai cung phụ nhau:  và

c Hai cung bù nhau:  và   

sin(   ) sin cos(    ) cos tan(    ) tan cot(    ) cot

d) Hai cung hơn kém nhau : và   

sin(    ) sin cos(    ) cos tan(   ) tan cot(   ) cot

3 Các công thức lượng giác

II Tính tuần hoàn của hàm số

Định nghĩa: Hàm số y f(x) xác định trên tập D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số T 0 sao cho với mọi x D ta có

2 

-5 

2

-3  2

-  2

5  2

3  2

 2 -3 

O1

http://topdoc.vn - Website chuyên file word

 Hàm số y cosx là hàm số tuần hoàn với chu kì T 2 

-  2

5  2

3  2

 2 -3 

 Là hàm số tuần hoàn với chu kì T 

 Hàm đồng biến trên mỗi khoảng k ; k

x y

-5 

2

-3  2

-  2

5  2

3  2

 2

 Là hàm số tuần hoàn với chu kì T 

 Hàm nghịch biến trên mỗi khoảng k ;   k 

 Đồ thị nhận mỗi đường thẳng x k , k   làm một đường tiệm cận

 Đồ thị

x y

-5 

2

-3  2

-  2

5  2

3  2

 2

http://topdoc.vn - Website chuyên file word

x6

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1 Tìm tập xác định của hàm số sau:





Vấn đề 2 Tính chất của hàm số và đồ thị hàm số

Phương pháp

Cho hàm số y f(x) tuần hoàn với chu kì T

* Để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số, ta chỉ cần khảo sát và vẽ

đồ thị hàm số trên một đoạn có độ dài bằng T sau đó ta tịnh tiến theo các véc

tơ k.v (với v (T; 0), k  ) ta được toàn bộ đồ thị của hàm số

* Số nghiệm của phương trình f(x) k , (với k là hằng số) chính bằng số giao điểm của hai đồ thị y f(x) và y k

http://topdoc.vn - Website chuyên file word

 ( (u,v) là ước chung lớn nhất)

 Hàm số f(x) a.tan ux b.cot vx c   (với u,v ) là hàm tuần hoàn với chu

   hàm số tuần hoàn với chu kì cơ sở T0   2

Ví dụ 2 Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì cơ sở (nếu có) của các hàm số sau

1 f(x) cos x cos   3.x 2 f(x) sin x 2

Lời giải

1 Giả sử hàm số đã cho tuần hoàn có số thực dương T thỏa

f(x T) f(x)  cos(x T) cos 3(x T) cos x cos 3x    

Cho x 0 cos T cos 3T 2 cos T 1

n

  là số hữu tỉ

Vậy hàm số đã cho không tuần hoàn

2 Giả sử hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn

* Giả sử f(x) là hàm số tuần hoàn   T 0 : f(x T) f(x) x  

a sin cT bcosdT b sin cT 0

http://topdoc.vn - Website chuyên file word

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1 Chứng minh rằng các hàm số sau là những hàm số tuần hoàn với chu kì

Bài 2 Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì cơ sở (nếu có) của các hàm số sau

1 y sin 2x sin x  2 y tan x.tan 3x 3 y sin 3x 2cos 2x 

Bài 3 Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì cơ sở (nếu có) của các hàm số sau

 Hàm số y 2sin x là hàm tuần hoàn với chu kì T 2 

 Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng k2 ; k2

y

-3  4

-  4

5  4

3  4

 4

http://topdoc.vn - Website chuyên file word

16

 TXĐ: D

 Hàm số y 2 cos 2x  là hàm số chẵn

 Hàm số y 2 cos 2x  là hàm tuần hoàn với chu kì T 

 Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng k ; k

x y

3

1

O

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1: Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số y sin 2x

Bài 2: Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số y 2 cos x

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 3 , giá trị nhỏ nhất bằng 1

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 4 , giá trị nhỏ nhất bằng 1

Ví dụ 2 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau

7

1 Vậy min y 1 đạt được khi cos x 0 x k

2



     max y 1 đạt được khi cos x 12    x k

2 Đặt t 4sinx 3cosx       5 t 5 x

Khi đó: y t 24t 1 (t 2)   23

Vì t  5; 5        7 t 2 3 0 (t 2)2 49

Do đó 3 y 46  

Vậy min y 3; max y 46

Ví dụ 3 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số sau chỉ nhận giá trị

dương : y (3sin x 4cos x)  26sin x 8cos x 2m 1  

http://topdoc.vn - Website chuyên file word

Suy ra: sin x sin y sin x.sin x sin y.sin y2  2  

sin xcos y sin ycos x sin(x y)   

Mâu thuẫn với ( )

Suy ra: sin x sin y sin x.sin x sin y.sin y2  2  

sin xcos y sin ycos x sin(x y)   

Mâu thuẫn với ( )

Vậy min y 0 ; maxy 10 

2 Do sinx cosx 2 0 x      hàm số xác định với x 

Xét phương trình : y sin x 2 cos x 1

Vậy min y 2; max y 1

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau

4 y 2sin x 3sin 2x 4cos x 2   2

5 y sin x 3sin 2x 3cos x 2   2

sin 2x 4 cos x 1





http://topdoc.vn - Website chuyên file word

20

Bài 3 Chứng minh đẳng thức sau: a sin x bcos x  a2b sin(x2  )

Trong đó  0; 2 và a, b không đồng thời bằng 0

Bài 4 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau

5 y tan x cot x 3(tan x cot x) 1 2  2   

Bài 5 Tìm m để hàm số y 5sin 4x 6cos 4x 2m 1   xác định với mọi x

Bài 6 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau

11 y 3(3sin x 4cos x)  24(3sin x 4cos x) 1 

Bài 7 Tìm m để các bất phương trình sau đúng với mọi x

1 (3sin x 4cos x) 26sin x 8cos x 2m 1  

2

2

3sin 2x cos 2x

m 1sin 2x 4cos x 1

http://topdoc.vn - Website chuyên file word

Dạng 2 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

Là phương trình có dạng: a sin x bcos x c (1)  ; với a, b,c và a2b2 0

Cách giải: Chia hai vế cho a2b2 và đặt

tan u(x)cot u(x)

Giải phương trình này ta tìm được t , từ đó tìm được x

Khi đặt t sin u(x)

Dạng 5 Phương trình đối xứng (phản đối xứng) đối với sinx và cosx

Là phương trình có dạng: a(sin x cos x) bsin xcos x c 0    (3)

Để giải phương trình trên ta sử dụng phép đặt ẩn phụ

http://topdoc.vn - Website chuyên file word

24

2

sin x cos x2

t sin x cos x 2 sin x

Ngoài ra chúng ta còn gặp phương trình phản đối xứng có dạng

a(sin x cos x) bsin xcos x c 0    (3’)

Để giải phương trình này ta cũng đặt

Thay vào (3’) ta có được phương trình bậc hai theo t

B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Vấn đề 1 Giải các phương trình lượng giác cơ bản

Các ví dụ

Ví dụ 1 Giải các phương trình sau:

1 sin x cos2x  0 2 cos x sin 2x 2  0

3 2sin(2x 35 ) 0  3 4 sin(2x 1) cos(3x 1) 0   

2 sin x cos x tan x

Ví dụ 2 Giải các phương trình sau:

1 cosx 2sin 2x 0  2 sin xsin 3x cos xcos 3x3 3 5

2

3 sin 2x cos 2x cos 3x2  2  4 sin 2x.cos3x sin 5x.cos6x

5 sinx sin2x sin3x cosx cos2x cos3x    

6 sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x2  2  2  2 7 cos 3xcos 2x cos x 02  2 

Lời giải

1 Phương trình cos x 4sin xcos x 0  cos x(1 4sin x) 0 

21

http://topdoc.vn - Website chuyên file word

5 Phương trình (sin x sin 3x) sin 2x (cos x cos 3x) cos 2x    

2sin2xcosx sin2x 2cos2xcosx cos2x

Tuy nhiên cách được trình bày ở trên là đẹp hơn cả vì chúng ta chỉ sử dụng công thức hạ bậc và công thức biến đổi tích thành tổng

Ví dụ 3 Giải các phương trình sau:

1 3sin x 4cosx 0  2 sin 2x 3 cos 2x 1

3 2sin 3x 5 cos 3x 5 4 3cos x 3 sin x 1

5 sin7x cos 2x  3(sin 2x cos7x) 6 sin 3x 3 cos 3x 2sin 2x

7 sin x cos xsin 2x  3 cos 3x 2(cos 4x sin x)  3

2  5  9 5 phương trình vô nghiệm

4 Phương trình 3 cos x sin x 1 cos(x ) 1

http://topdoc.vn - Website chuyên file word

28

sin 3x 3 cos 3x 2cos 4x

23

Ví dụ 4 Giải các phương trình sau:

1 cos( sin x) cos(3 sin x)   2 tan sin x 1 1

Ví dụ 5 Giải các phương trình sau:

1  3 1 sin x   3 1 cos x 2 2 sin 2x  

2 3sin x 5cos x 2cos 2x 4sin 2x2  2  

3 5sin x 2 3 1 sin x tan x     2 4 sin2 x tan x cos2 2x 0

2 2

sin x5sin x 2 3(1 sin x)

cos x

2 2

sin x5sin x 2 3(1 sin x)

2 2

(1 cos x)(cos x sin x) 0

http://topdoc.vn - Website chuyên file word

30

Ví dụ 6 Giải các phương trình sau:

1.sin x cos x sin x cos x3  3   2 2cos x sin 3x3 

3 sin x 3tan x cos x 4sin x cos x2     

      (Do sin x sin xcos x 2cos x 0 x2   2    )

2 Phương trình 2cos x 3sin x 4sin x3   3

3 Điều kiện: cos x 0

Phương trình tan x 3tan x(1 tan x) 4 tan x 12   2  

Ví dụ 7 Giải các phương trình sau:

1.sin x 5sin xcos x 6cos x 02   2  2 sin x 3sinx.cosx2    1

3.3sin x 5cos x 2cos 2x 4sin 2x2  2   4 sin x cos x sin x cos x3  3   Lời giải

1 Nhận thấy cos x 0 không là nghiệm của phương trình nên chia hai vế của phương trình cho cos x2 ta được:

2 Phương trình sin x 3sin x.cos x2   (sin x cos x)2  2

x arctan k2

Ví dụ 8 Giải các phương trình sau:

1.cos3x cos2x cosx 1 0     2 3cos 4x 8cos x 2cos x 3 0 6  2  

http://topdoc.vn - Website chuyên file word

Chú ý: Ta có thể giải bài toán trên theo cách sau

phương trình cos 3x cos x (1 cos 2x) 0   

2sin 2xsin x 2sin x 0 sin x(2cos x 1) 0

x ksin x 0

21

cos x

32

2 Vì trong phương trình chứa các cung x,4x hơn nữa còn chứa hàm số côsin

lũy thừa chẵn nên ta nghĩ tới cách chuyển về cung 2x

Phương trình 3(2cos 2x 1) (1 cos 2x)2    3 1 cos 2x 3

Ta có: sin(x 3 ) sin (x ) 2 sin(x ) cos x

4 Ta chuyển cung 2x về cung x

Phương trình 4sin xcos x 2sin xcos x 1 2cos x2   

2sin xcos x(2cos x 1) 2cos x 1

x k4(2 cos x 1)(sin 2x 1) 0

4 cos 3xcos x sin 3xsin x  3 sin 6x 1 3 cos x sin x  

2 4 sin x cos x 4  4 sin 4x 3 1 tan 2x tan x  3

cos x sin x cos 2x  nên

Phương trình 3cos 2x cos6x  3 sin6x 1 3cos 2x 

Ta có : 4 sin x cos x 4  4  4 2 sin 2x 3 cos 4x2  

sin 2x sin x cos 2xcos x sin 2xsin x

http://topdoc.vn - Website chuyên file word

cos x



Vì  72 (1 3 33)(3 33 5) 03 3  

Suy ra (1 3 33)tan x 14 tan x 3 33 5 0 x 3 2   3    

Suy ra điều phải chứng minh

1 Theo định lí Viét ta có: tan tan 6, tan tan   2

  

2tan ( ) 10 tan( ) 2

2 Theo định lí Viét ta có: tan tan  b,tan tan  c

   a tan (2    ) 2btan(   ) c

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1 Giải các phương trình sau:

http://topdoc.vn - Website chuyên file word

2 cos x cos x 1

10 2 2 sin x cos x cos x 3 cos 2x    

Bài 7 Giải các phương trình sau:

1 3cos 4x sin 2x cos 2x 2 0 2   

4 cos 2x 3cos x 4 cos2x

2

7 2 sin x cos x  tan x cot x

Bài 8 Giải các phương trình sau:

5 1 cos x  2 sin x cos x

9 7 cos x 4cos x 4sin 2x 3 

1 2cos x 6sin xcos x 6sin x 12   2 

3 cos x sin xcos x 2sin x 1 02   2  

2 2 sin x cos x cos x 3 2cos x  

2 cos x2  3 sin 2x 1 sin x  2

4 cos x2  3 sin xcos x 1 0 

6.tan x cot x 2 sin 2x cos 2x    

7 2cos x sin 3x3 

8 4sin x 3cos x 3sin x sin xcos x 03  3   2 

Bài 10 Giải các phương trình sau:

4 sin x cos x  3 sin 4x 2

Bài 11 Giải các phương trình sau:

1 2sin 2xsin x cos x  1 0

5 cos x sin x 2sin 2x 1

2 sin 2x 12 sin x cos x   12 0

4 1 tan x 2 2 sin x 

6 cos x sin x cos 2x3  3 

7 cos x sin x 2sin 2x sin x cos x3  3   

8.cosx 1 sinx 1 10

Bài 12 Giải các phương trình sau:

1 2cos x 6sin xcos x 6sin x 12   2 

2 2 sin x cos x cos x 3 2cos x  

5 2cos x sin 3x3 

2 cos x2  3 sin 2x 1 sin x  2

4 tan x cot x 2 sin 2x cos 2x    

6 4sin x 3cos x 3sin x sin xcos x 03  3   2 

7 sin x tan x 12    3sin x cos x sin x  3

8 cos x sin x 2 cos x sin x3  3   5  5 

9 sin x 3tan x cos x 4sin x cos x2     

10 2 2 cos (x3 ) 3cos x sin x 0

4 3cos 4x sin 2x cos 2x 2 0 2   

Bài 14 Giải các phương trình sau:

1 4cosx.cos2x 1 0 

2 16(sin x cos x) 17 cos 2x8  8  2

http://topdoc.vn - Website chuyên file word

13 sin x cos x cos2x6  4 

2 cos 2x 3cos x 4 cos2x

8 5 1 cos x   2 sin x cos x4  4

10 7 cos x 4cos x 4sin 2x 3 

Bài 17 Giải các phương trình sau:

1 sin 2x.cos6x sin 3x2 2 1sin11x.sin9x



5 3cot x 2 2 sin x (2 3 2)cos x2  2  

6 2sin 2x cos2x 7 sin x 2cosx 4   

Bài 18 Giải các phương trình sau:

5 sin2 x tan x cos2 2x 0

6 cot x tanx sinx cosx   

7 sinx.sin4x 2cos( x) 3 cosx.sin4x

16 (sin 2x cos 2x)cos x 2cos 2x sin x 0   

17 sin 2x cos2x 3sin x cosx 1 0    

18 (1 2 sin x)cos x 3

(1 2 sin x)(1 sin x)

19 sin x cos xsin 2x  3 cos 3x 2(cos 4x sin x)  3

20 3 cos 5x 2sin 3xcos 2x sin x 0  

Bài 19 Giải các phương trình sau

1 2cosx tanx 1 2sin2x  

2.3cotx tanx 8sin(x 8 )

http://topdoc.vn - Website chuyên file word

40

6 cos 2x cos4x(tan2x.cotx 1)2 3

4

7 cosx 2cos3x 1   3.sinx

8 sin x sin x sin 4x sin 2x

13 sin3x 2cos3x cos2x 2sin2x 2sinx 1 0     

14 sin xsin 4x 2 2 cos x 4 3 cos xsin xcos 2x2

6

  

15 2cos 2x 1 cos x sin x    2 sin x cos x sin 3x  

16 tan x 3 (12    2 sin x)(tan x 2 cos x)

17 1 cos x.cos 2x 1 4sin x sin x 12

sin 2x cos x

Bài 20 Giải các phương trình sau:

1 sinx.sin4x 2cos( x) 3 cosx.sin4x

6



2 cosx 2cos3x 1   3.sinx

3 sin x.cos 3x cos xsin 3x3 3 3

4



4 2sin 2x (2 3 3)sin x (2 3 3)cos x 6      3

5 sin x 4 sin2 2 x sin 3x2

8 cos 3x 2 cos 3x 2 2 1 sin 2x   2 

9 2 2 2  9

sin x sin y sin x y

4

Bài 21 Giải các phương trình sau

1 sin x3  3 cos x sin xcos x3  2  3 sin xcos x2

2 1 sin x cos x 2   1 cos x sin x 1 sin 2x2   

3 2sin 2x sin7x 1 sin x2   

6 sin2xcosx sinxcosx cos2x sinx cosx   

7 sin 2x 2cos x sin x 1 0

3 sin x sin x sin x cos x 1  2  

4 1 sin x  1 sin x 2cos x

5 cos 2x2 1sin 4x 1 sin 4xcos 2x sin x2 2

4

6 sin x cos x 114  13 

tan x tan y cot  x y 1

8 sin x2 1sin 3x sin xsin 3x2 2

http://topdoc.vn - Website chuyên file word

2 Phương trình cos 6x cos 4x cos 4x

Ví dụ 2 Tìm nghiệm dương nhỏ nhất và nghiệm âm lớn nhất của các phương

trình sau:

1 sin 2x cos 5x 12  2  2 (sin x cos x) 2 2cos 3x2

cos10x cos 4x

x7

kx

http://topdoc.vn - Website chuyên file word

x 7( k 2), x 31 (k 10)

Ví dụ 5 Tính tổng các nghiệm nằm trong khoảng (0; 2 ) của phương trình sau:

 3 1 sin x   3 1 cos x 2 2 sin 2x  

Chú ý: Ta có thể giải theo cách khác như sau

Phương trình  3 sin x cos x  3 cos x sin x 2 2 sin 2x 

7sin(x ) cos(x ) 2 sin 2x sin(x ) sin 2x

Tiếp tục giải ta được kết quả như trên

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1 Tìm tổng các nghiệm của phương trình:

Bài 4 Tìm x 0;14 nghiệm đúng phương trình :

cos3x 4cos2x 3cosx 4 0   

Bài 5 Tìm nghiệm trên khoảng ( ; ) của phương trình :

2

2(sinx 1)(sin 2x 3sinx 1) sin4x.cosx   

Bài 6 Tìm nghiệm x0; 2 của phương trình : sin 3x sin x sin 2x cos 2x

1 cos 2x



Vấn đề 3 Phương pháp loại nghiệm khi giải phương

trình lượng giác có điều kiện

Phương pháp 1: Biểu diễn các nghiệm và điều kiện lên đưòng tròn lượng giác

Ta loại đi những điểm biểu diễn của nghiệm mà trùng với điểm biểu diễn của điều kiện

Với cách này chúng ta cần ghi nhớ

 Điểm biểu diễn cung  và  k2, k trùng nhau

 Để biểu diễn cung 2k

n



  lên đường tròn lượng giác ta cho k nhận n giá trị (thường chọn k 0,1,2, ,n 1  ) nên ta có được n điểm phân biệt cách đều nhau trên đường tròn tạo thành một đa giác đều n cạnh nội tiếp đường tròn

Phương pháp 2: Sử dụng phương trình nghiệm nguyên

Giả sử ta cần đối chiếu hai họ nghiệm k

        (*) Với a, b,c là các số nguyên