Những kỹ năng giải toán đặc sắc bất đẳng thức nguyễn công lợi

Chứng minh rẳng: a b c d e a b c d e   Phân tích: Bất đẳng thức cần chứng minh có hình thức tương tự như các bất đẳng thức trên, ta có thể giải bằng cách xét hiệu vế trái và vế

Nội dung cơ bản của chương I gồm:

 Giới thiệu các phương pháp chứng minh bất đẳng thức

 Nêu một số tính chất liên quan, một số lưu ý của các phương pháp chứng minh bất đẳng thức trên

 Giới thiệu các bài tập mẫu cùng quá trình phân tích, suy luận để tìm ra các lời giải và các lời giải được trình bày cụ thể

 Giới thiệu một số bài tập tự luyện

Chủ đề 1 MỘT SỐ KỸ THUẬT BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG

1 Kiến thức cần nhớ

Giả sử ta cần chứng minh bất đẳng thức AB Tư tưởng của phương pháp là biến đổi tương đương bất đẳng thức trên thành một bất đẳng thức đúng mà phổ biến là các dạng sau:

+ Sử dụng định nghĩa bất đẳng thức: ABA B 0

+ Dạng tổng bình phương: A BmX2 nY2kZ2 0, với các số m, n, k dương

+ Dạng tích hai thừa số cùng dấu:

Với a, b, c là ba cạnh của một tam giác

Một số kỹ thuật cơ bản trong phép biến đổi tương đương

+ Kỹ thuật xét hiệu hai biểu thức

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c

b) Xét hiệu hai vế của bất đẳng thức

Phân tích: Đây là một bất đẳng thức khá quen thuộc, ta có thể giải bằng cách xét hiệu vế trái và vế phải

rồi phân tích thành tổng các bình phương

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c

Nhận xét: Qua hai ví dụ trên ta nhận thấy khi biến đổi tương đương bất đẳng thức bậc hai thường xuất

trước khi biến đổi bất đẳng thức ta nên dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra để từ đó có hướng đi hợp lí

Ví dụ 3 Cho a, b, c là các số thực bất kì Chứng minh rẳng:

a b c d e a b c d e  

Phân tích: Bất đẳng thức cần chứng minh có hình thức tương tự như các bất đẳng thức trên, ta có thể giải

bằng cách xét hiệu vế trái và vế phải rồi phân tích thành tổng các bình phương Để được các tích

ab, ac, ad, ae vào trong bình phương ta cần ghép a với b, c, d, e, và vì vai trò của b, c, d, e như nhau nên

ta có thể nghĩ đến việc biến đổi như sau

Nhận xét: Với bất đẳng thức trên, ngoài phép biến đổi tương đương ta còn có thể dùng tính chất của tam

Phân tích: Để ý ta thấy, mẫu của các biểu thức xuất hiệt các bình phương, ý tưởng chứng minh bất đẳng

thức trên là xét hiệu và phân tích làm xuất hiện các bình phương Chú ý đến giả thiết

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b 1

b) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a  b c 1

Ví dụ 5 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a3 b3  a b Chứng minh rẳng:

a b ab 1

Phân tích: Quan sát bất đẳng thức cần chứng minh ta thấy có biểu thức a2 b2 ab Trong khi đó giả thiết lại xuất hiện biểu thức a b Vậy mối liên hệ của hai biểu thức này như thế nào? Dễ thấy được hằng đẳng thức a b a   2 b2 ab a3 b3 Do đó một cách rất tự nhiên ta nhân hai vế của giả thiết với biểu thức a2 b2 ab để làm xuất hiện a3 b3 và a2 b2 ab, khi đó ta được

Do b 0 hiển nhiên đúng Nên bất đẳng thức được chứng minh

Ví dụ 6 Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a  b Chứng minh rằng:

Phân tích: Bất đẳng thức có chứa căn bậc hai và các biểu thức trong căn có chứa các bình phương, lại có

thêm điều kiện a b 0, nên ta bình phương hai vế để biến đổi bất đẳng thức

Vì a b 0 nên b a b   0 Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Ví dụ 7 Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý Chứng minh rằng:

a b c abc a b c 

Phân tích: Bất đẳng thức trên là một bất đẳng thức cơ bản có vế trái là các lũy thừa bậc chẵn Để ý ta

thấy abc a b c    ab.bc bc.ca ca.ab  , do đó rất tự nhiên ta nghĩ đến việc biến đổi bất đẳng thức thành tổng của các bình phương

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a  b c

Ví dụ 8 Cho a, b là các số thực dương tùy ý Chứng minh rẳng:

a10 b10a2 b2  a8 b8a4 b4

Phân tích: Để ý ta thấy a a10 2 a a , b b8 4 10 2 b b8 4, do đó ta biến đổi tương đương để thu gọn và

Bất đẳng thức cuối đúng Vậy ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 9 Cho các số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện a b c  0 Chứng minh rằng:

ab 2bc 3ca  0

Phân tích: Từ giả thiết a b c  0 ta có thể rút một biến theo các biến còn lại, chẳng hạn c   a b,

3a 4ab 2b là biểu thức chỉ chứa hai biến và xuất hiện các bình phương Đến đây ta tìm cách phân tích thành tổng các bình phương để chứng minh bất đẳng thức

Từ đó ta có điều phải chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b c 0

Ví dụ 10 Chứng minh với các số thực a dương, ta có:  2 

Phân tích: Bất đẳng thức cần chứng minh chỉ chứa một biến a, nên thông thường ta sử dụng phương

pháp biến đổi tương đương để chứng minh Để ý thêm nữa ta thấy, bất đẳng thức chứa các đại lượng

Ví dụ 11 Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý Chứng minh rằng:

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c

Ví dụ 12 Chứng minh rằng với mọi số thực x ta luôn có

Nên bất đẳng thức được xác định với mọi x

Quan sát bất đẳng thức ta thấy nếu thay x bằng x thì vế trái của bất đẳng thức trở là

2x 1 x  2  x 1 và vế phải của bất đẳng thức là 2x 1 x  2  x 1, khi đó nếu nhân hai vế với

 để chứng minh bất đẳng thức

Lời giải

Bất đẳng thức cuối này có dạng như bất đẳng thức ở đề bài và quan trọng hơn lúc này ta lại có

t 0 Như vậy, với lập luận này ta thấy rằng chỉ cần xét bài toán trong trường hợp x 0 là đủ Lúc này

có hai khả năng xảy ra :

a  a ; b b ; cc Biểu thức ở vế trái của bất đẳng thức được thay bằng đại lượng

a b c ab bc ca     Cũng từ giả thiết a, b, c [0, 1] và biểu thức bên làm ta liên tưởng đến tích

1 a 1 b 1 c     0 Do đó ta sử dụng phép biến đổi tương đương để chứng minh bất đẳng thức trên

Đến đây ta có hai hướng xử lý bất đẳng thức trên

+ Hướng 1: Biến đổi tương đương tiếp ta được bất đẳng thức

Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành   t 1 t 2  0

- Nếu t2, suy ra t 2 0 nên   t 1 t 2  0

- Nếu t 2, suy ra t 1 0; t 2 0 nên  t 1 t 2   0

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b

Ví dụ 15 Chứng minh rằng với mọi số thực a, b ta có:

b b 6  9 b 3 Đến đây ta thấy có hai ý tưởng chứng minh bất đẳng thức trên

+ Thứ nhất là ta biến đổi tương đương làm xuất hiện các bình phương   2 2

a 1 , b 3  + Thứ hai là đặt biến phụ x a a 2 ; y    b b 6   và sử dụng điều kiện của biến phụ để chứng minh

Lời giải Cách 1: Gọi P là vế trái của bất đẳng thức đã cho, ta có

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Cách 2: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Ví dụ 16 Cho a, b, c là các số thực bất kì Chứng minh rằng:

1019a 18b 1007c 30ab 6b c 2008ca

Phân tích: Quan sát bất đẳng thức cần chứng minh ta thấy vế trái xuất hiện các lũy thừa bậc chẵn và vế

phải xuất hiện tích của hai trong ba biến nên ta nghĩ đến việc biến đổi bất đẳng thức thành tổng các bình phương Tuy nhiên vì hệ số khác nhau nên ta cần phải tinh ý khi phân tích

Sau khi chuyển vế ta phân tích thành  2 2 2 2  2

m a b n b c k c a và cần tìm m, n, k sao cho m k 1019; n k 18; k m 1007  Giải hệ điều kiện trên ta tìm được

m 15; n 3; k 1004 Đến đây ta chứng minh được bất đẳng thức

Vật bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b2  c

Ví dụ 17 Cho a, b là các số thực thỏa mãn a 1; b 1 Chứng minh rằng:

Cách 1: Đặt x  a 1; y  b 1 , khi đó x 0; y 0 Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành x2 1 y  y2 1 y  x2 1 y 2 1

Bất đẳng thức cuối cùng đúng Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  y 1 hay a b 2

Cách 2: Áp dụng một bất đẳng thức quen thuộc ta được

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b 2

Ví dụ 18 Chứng minh rằng với mọi số thực a, b ta có: 2 a 4 b4 ab3 a b 2a b3  2 2

Phân tích: Để ý ta thấy, với a b thì dấu đẳng thức xẩy ra nên ta tách các hạng tử để tạo ra nhân tử

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b

Ví dụ 19 Cho a, b là hai số thực khác không Chứng minh rằng:

+ Thứ nhất là quy đồng hai về và phân tích làm xuất hiện nhân tử chung  2

   

  , chú ý điều kiện 0 t 1

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b

Cách 2: Bất đẳng thức được viết lại thành

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b

Ví dụ 20 Cho các số thực dương a, b, m, n m  n Chứng minh rằng:

Vì a, b 0 và m nnên bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Dấu đẳng thức xảy ra khi a b hoặc mn

Ví dụ 21 Cho a, b là các số thực dương tùy ý Chứng minh rằng:

nghĩ đến biến đổi bất đẳng thức làm xuất hiện đại lượng  2

Vật bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b

Ví dụ 22 Cho các số thực a , b không đồng thời bằng 0 Chứng minh rằng:

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a  b hoặc 3a 2b

Ví dụ 23 Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý Chứng minh rằng:

a) a a b a c  b b c b a  c c a c b  0

a) Quan sát bất đẳng thức thứ nhất ta nhận thấy a c a b   b c  do đó bất đẳng thức lúc này

a a b c a c b c   0 Đến đây chỉ cần sắp thứ tự các biến sao cho

Vì a   b c 0 nên bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c

b) Vì vai trò của a, b, c trong bất đẳng thức như nhau nên không mất tính tổng quát ta giả sử

Vì a  c 0; b  c 0 nên bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c

Ví dụ 24 Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý Chứng minh rằng:

a  b  c   

Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta có các nhận xét như sau:

+ Quy đồng hai vế của bất đẳng thức thì vế trái xuất hiện      2 2 2

bc  ca  ab và vế phải xuất hiện

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c

Cách 2: Biến đổi tương đương bất đẳng thức trên như sau

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c

Ví dụ 25 Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý Chứng minh rằng:

Vì a, b, c là các số thực dương nên bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c

Ví dụ 26 Cho a, b là các số thực dương, tìm hằng số k lớn nhất thỏa mãn bất đẳng thức

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

là hằng số lớn nhất thỏa mãn bất đẳng thức đã cho

Thật vậy, ta xét các trường hợp sau

+ Với k 12 thì ta được a2 4ab b 2a2 b2ka b2 2  0

Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng Vậy hằng số k lớn nhất là 12

Ví dụ 27 Cho a, b là các số thực dương, tìm hằng số k lớn nhất thỏa mãn bất đẳng thức

Cho a  b thì bất đẳng thức trên trở thành 24a6 3ka6   0 k 8 Ta chứng minh k 8 là hằng số lớn nhất thỏa mãn bất đẳng thức đã cho Thật vậy, ta xét các trường hợp sau

Do đó ta có a4 5a b 12a b3  2 2 5ab3 b4a2 ab b 224a b3 3

Suy ra bất đẳng thức được chứng minh Vậy hằng số k lớn nhất là 8

Ví dụ 28 Cho a, b là các số thực dương tùy ý Chứng minh rằng:

Bất đẳng cuối cùng đúng do a , b dương Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Ví dụ 29 Cho a, b là các số thực dương tùy ý Chứng minh rằng:

Bất đẳng thức cuối này hiển nhiên đúng, Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b

Ví dụ 30 Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:

Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được a2 b2 c2 2 ab bc ca   

b) Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên ta có

a  a  b c  a b c a b c    0Chứng minh tương tự ta được b2  b2 (c a) 2  0; c2  c2 (a b) 2 0

Nên từ bất đẳng thức trên ta được abc a b c b c a c a b          

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a   b c

Nhận xét: Bất đẳng thức abc  a b c b c a c a b không chỉ đúng với a, b, c là các cạnh         

của một tam giác, mà nó còn đúng cho a, b, c là các số thực dương bất kì Bât đẳng này là một trường hợp của bất đẳng thức Schur Trong phần Phụ lục 3, ta sẽ bàn nhiều về bất đẳng thức này hơn

Do a, b, c là độ dài ba cạnh trong một tam giác nên bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Ví dụ 32 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c 1   Chứng minh rằng:

a bc  b ca  c ab  1 ab  bc ca

Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta có các nhận xét như sau:

3

+ Khi thay 1 bằng a b c  vào bất đẳng thức và chuyến vế thì ta được các nhóm

a bc  a bc; b ca  b ca; c ab  c ab Vì vai trò a, b, c như nhau nên ta dự đoán mỗi nhóm trên không âm Để chứng minh dự doán trên ta có thể bình phương làm mất căn bậc hai rồi biến đổi tương đương thành tổng các bình phương

+ Để ý giả thiết a b c 1   , khi đó ta có a bc  a b a c    Dễ dàng nhận ra

a b a c     a bc Như vậy chỉ cần áp dụng tương tự cho hai trường hợp còn lại thì bất đẳng thức được chứng minh

Lời giải Cách 1: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

Chứng minh tương tự ta được b ca  b ca 0; c ab  c ab  0

Đến đây bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c 1

3

  

        

Khi đó bất đẳng thức được viết lại thành

a b a c     a b b c     c a b c     1 ab  bc  caMặt khác ta có

Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta có những nhận xét sau:

+ Dễ thấy đẳng thức xẩy ra khi a  b c và vai trò các biến là như nhau

+ Để ý ta thấy abc a b c a 2    a a b a c   , như vậy bất đẳng thức được viết lại thành

Lời giải Cách 1: Vai trò của a, b ,c là như nhau nên có thể giả thiết a  b c 0

Bất đẳng thức đã cho tương đương với

Vì a  b c 0 nên a b c   0; a c b c     0, suy ra bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng Do

a) Từ điều kiện a, b, c[-1, 2], để tạo ra a2 ta có thể sử dụng các bất đẳng thức

a 1 a 2    0, áp dụng tương tự và để ý đến giả thiết a b c   0

b) Để chứng minh được bất đẳng thức ta cần làm như thế nào để vừa có thể tạo ra a2 b2 c2 vừa làm xuất hiện tích abc Để ý giả thiết a b c  0 có thể biến đổi tương đương thành

điều kiện a, b, c [-1, 2] ta cũng nên để ý đến bất đẳng thức a 1 b 1 c 1      0

c) Cũng tương tự như câu b nhưng trong bất đẳng thức ở câu c có sự xuất hiện của biểu thức

8 abc nên ta lại chú ý đến a 2 b 2 c 2     0

a) Do a, b, c[-1, 2] nên ta có a 1 a 2   0 hay a  a 2

Chứng minh tương tự ta được b2  b 2; c2  c 2

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên và kết hợp với giả thiết a b c  0 ta được

a b c     a b c 6 6

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

b) Trước hết ta chứng minh a2 b2 c2 2abc 2

Do a, b, c[-1, 2] nên ta có a 1 b 1 c 1      0

Hay abc ab bc ca a b c 1 0        abc ab bc ca 1 0    

Mặt khác, vì a b c  0 nên  2

a b c  0 Hay

abc a b c  8 0 hay a2 b2 c2  8 abc

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Suy ra a2 b2c2 5 Đẳng thức xẩy ra khi a 2; b 1; c 0 và các hoán vị

Kết hợp hai bất đẳng thức trên ta được 3 a2 b2 c2 5

Vậy bài toán được chứng minh

Mà ta chứng minh được 0 x2 y2 z2 2 nên 3 P 9

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy

+ Với a b c  0 thì a  b c 0, bất đẳng thức hiển nhiên đúng Như vậy ta cần tìm cách chứng minh cho trường hợp a b c  0

+ Từ giả thiết a, b, c[0, 1] và trường hợp a b c  0 dẫn đến 0a, b, c 1

Khi đó để tạo ta 1 bc ta nghĩ đến bất đẳng thức 1 b 1 c     0 1 bc b c Để ý vế phải của bất đẳng thức có thể được viết thành 2 a b c

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a  b 1; c  0 và các hoán vị

Ví dụ 38 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a b c 1   Chứng minh rằng:

Nhận xét: Trong bất đẳng thức trên, có một kinh nghiệm nên nhớ khi tìm lời giải đó là tìm cách đổi chiều

bất đẳng thức Cách đơn giản nhất là nhân hai vế với 1 khi đó ta được:

và đổi dấu vế phải Để ý ta thấy a bc bc a   2bc , do vậy chỉ cần cộng 1 vào mỗi phân số rồi quy đồng là ta triệt tiêu được các đại lượng âm, không những vậy ta còn đổi được dấu bên vế phải, cụ thể là

Đến đây ta sẽ tìm thấy các hướng khác để xử lí bài toán

Ví dụ 39 Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý Chứng minh rằng:

Phân tích: Bất đẳng thức cần chứng minh là bất đẳng thức Neibizt nổi tiếng, hiện nay có rất nhiều cách

chứng minh cho bất đẳng thức này Để chứng minh bằng phương pháp biến đổi tương đương ta có các ý tưởng như sau

3, thực hiện biến đổi như trên ta đươc được bất đẳng thức về dạng như sau

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c

Cách 2: Bất đẳng thứ cần chứng minh tương đương với

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c

Ví dụ 40 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 6a 2b 3c 11   Chứng minh rằng:

Phân tích: Quan sát giả thiết và bất đẳng thức cần chứng minh ta nghĩ ngay đến việc đổi biến

x 6a 1; y 2b 1; z 3c 1 , chính việc đổi biến này ta thu được kết quả không thể hợp lý hơn là

Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x y x 14

Phân tích: Với bất đẳng thức trên ta có các ý tưởng chứng minh sau:

+ Thứ nhất là ta khai triển các tích và nhóm các hạng tử với nhau một cách hợp lý, chú ý là

Lời giải Cách 1: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c

Cách 2: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c

Ví dụ 42 Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý Chứng minh rằng:

  , do đó ta rất tự nhiên ta nghĩ đến xét hiệu hai vế của bất đẳng

thức Hơn nữa ta lại có hai kết quả sau

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c

Ví dụ 43 Cho a, b, c là các số thực tùy ý Chứng minh rằng:

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c

Ví dụ 44 Cho a, b, c là các số thực khác 1 thỏa mãn abc1 Chứng minh rằng:

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Ví dụ 45 Cho a, b, c là các số thực đôi một khác nhau Chứng minh rằng:

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi x y z  0 hay một trong ba số a, b, c bằng 0

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi một trong ba số a, b, c bằng 0

Ví dụ 46 Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý Chứng minh rằng:

Phân tích: Quan sát bất đẳng thức cần chứng minh ta có thể đưa ra các ý tưởng sau

+ Thứ nhất ta để ý đến biến đổi sau a a b c

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c

Ví dụ 47 Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý Chứng minh rằng:

Phân tích: Bất đẳng thức cần chứng minh thực sự đã gây ra rất nhiều khó khăn khi giải nó Khi thực hiện

biến đổi tương đương thì ý nghĩ đầu tiên là chuyển vế và xét các hiệu theo nhóm, nhưng ta cần ghép các nhóm như thế nào cho phù hợp Để ý một công cụ rất hiệu quả trong lúc bế tắc đó là vai trò các biến như nhau nên có thể sắp thứ tự các biến Cho nên ta ghép đại các nhóm như sau

Lời giải

Biến đổi tương đương bất đẳng thức như sau

Do vậy bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng

Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a  b c

Ví dụ 48 Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý Chứng minh rằng:

Phân tích: Bất đẳng thức cần chứng minh có hình thức cồng kềnh và phức tạp, ở đây ta cũng có dấu bằng

xẩy ra tại a  b c nên khi biến đổi tương đương ta thường nghĩ đến các đại lượng

Đến đây ta có hai hướng chứng minh bất đẳng thức trên

+ Hướng 1: Xét các hiệu sau

Cộng theo vế các bất đảng thức trên ta được bất đẳng thức cần chứng minh

Vậy bài toán được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a  b c

+ Hướng 2: Vì vai trò của a, b, c như nhau nên không mất tính tổng quát ta có thể giả sử a  b c 0 Khi đó ta có

Hoàn toàn tương tự ta có B,C0 Vậy bài toán được chứng minh xong

Ví dụ 50 Cho a, b, c là các số thực dương bất kì Chứng minh rằng:

Hoàn toàn tương tự ta có B,C  0 Vậy bài toán được chứng minh xong

Nhận xét: Hai bất đẳng thức trên ngoài phép biến đổi tương đương ta còn có thể chứng minh bằng nhiều cách khác nhau Lời giải các cách khác được trình bày trong chủ đề “Tuyển chọn các bất đẳng thức hay

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

Bất đẳng thức được chứng minh Dấu đẳng thức xẩy ra khi a  b c

Ví dụ 53 Cho a, b, c là các số thực dương bất kì Chứng minh rằng: