Một số phương pháp phân rã giải bài toán cân bằng

Một số phương pháp phân rã giải bài toán cân bằng 21 2.1 Phương pháp phân rã dựa vào ánh xạ Combettes.. Bài toán cân bằng bao hàm lớp các bài toán quan trọng như bài toán tối ưuhóa, bất

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS TSKH Phạm Kỳ Anh

Hà Nội - Năm 2017

Mục lục

1.1 Một số khái niệm cơ bản 4

1.2 Bài toán cân bằng 11

1.2.1 Bài toán tối ưu hóa 12

1.2.2 Bất đẳng thức biến phân 13

1.2.3 Bài toán điểm bất động Kakutani 15

1.2.4 Cân bằng Nash trong trò chơi không hợp tác 15

1.2.5 Bài toán điểm yên ngựa 16

1.3 Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng 17

Chương 2 Một số phương pháp phân rã giải bài toán cân bằng 21 2.1 Phương pháp phân rã dựa vào ánh xạ Combettes 21

2.1.1 Ánh xạ Combettes 21

2.1.2 Thuật toán và sự hội tụ của phương pháp phân rã dựa vào ánh xạ Combettes 26

2.1.3 Ứng dụng 32

2.2 Phương pháp đạo hàm tăng cường phân rã 33

2.2.1 Thuật toán đạo hàm tăng cường 33

2.2.2 Thuật toán và sự hội tụ của phương pháp đạo hàm tăng cường phân rã 36

2.2.3 Ví dụ minh họa 48

2.3 Phương pháp đạo hàm tăng cường hai bước phân rã 55

2.3.1 Phương pháp đạo hàm tăng cường suy rộng 552.3.2 Thuật toán và sự hội tụ của phương pháp đạo hàm tăng

cường hai bước phân rã 572.3.3 Ví dụ minh họa 63

Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại họcQuốc gia Hà Nội dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc của GS TSKH.Phạm Kỳ Anh Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đápcác thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn Tôi xin bày tỏ lòngbiết ơn sâu sắc tới Thầy

Tác giả xin chân thành cảm ơn Khoa Toán - Cơ - Tin học, Phòng Sau đạihọc, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQGHN, cũng như quý thầy côtham gia giảng dạy khóa cao học 2015 - 2017 đã có công lao giảng dạy tôi trongsuốt thời gian học tập tại Trường

Nhận dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn

bè và đồng nghiệp đã luôn bên tôi cổ vũ, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quátrình học tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp

Hà Nội, ngày 18 tháng 11 năm 2017

Học viên

Ngô Thị Thương

Danh mục ký hiệu

EP (f, C) Bài toán cân bằng liên kết f và C

M EP (f, C) Tập nghiệm của bài toán cân bằng hỗn hợp

NC(x) Nón pháp tuyến của C tại x ∈ C

∂f (x) Dưới vi phân của f tại x

P rC(x) Hình chiếu của x lên C

proxf(x) Toán tử gần kề của f

Sol(f, C) Tập nghiệm của bài toán cân bằng

Lời nói đầu

Cho H là không gian Hilbert thực với tích vô hướng

ứng Cho C là tập lồi, đóng, khác rỗng của H và song hàm f : C × C → R saocho f (x, x) = 0 với mọi x ∈ C Trong luận văn này, chúng tôi xét bài toán cânbằng EP (f, C) sau đây

Tìm x∗ ∈ C sao cho f (x∗, y) ≥ 0 ∀y ∈ C

Bài toán cân bằng EP (f, C) còn được gọi là bất đẳng thức Ky Fan để ghi nhận

sự đóng góp của ông trong lĩnh vực này

Bài toán cân bằng bao hàm lớp các bài toán quan trọng như bài toán tối ưuhóa, bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm yên ngựa, bài toán cân bằng Nashtrong lý thuyết trò chơi không hợp tác, bài toán điểm bất động, Chính vìvậy, bài toán cân bằng có nhiều ứng dụng trong thực tiễn, chẳng hạn trong vật

lý, trong ngành kỹ thuật, lý thuyết trò chơi, trong vận tải, kinh tế, hệ thốngmạng, Tính ứng dụng cao của lớp bài toán này chính là động lực để các nhàtoán học nghiên cứu phương pháp giải Phương pháp giải bài toán cân bằng cóthể chia ra thành ba hướng tiếp cận phổ biến Hướng đầu tiên là sử dụng hàmkhoảng cách Thay vì giải quyết bài toán cân bằng EP (f, C) trực tiếp, phươngpháp sử dụng hàm khoảng cách chuyển bài toán gốc thành bài toán tối ưu phùhợp Khi đó, phương pháp tối ưu hóa địa phương sẽ được sử dụng để giải bàitoán tối ưu Phương pháp dựa trên hàm khoảng cách được Zhu và Marcotte sửdụng cho bất đẳng thức biến phân Sau đó, Mastroeni phát triển cho bài toáncân bằng Hướng tiếp cận thứ hai dựa trên nguyên lý bài toán phụ Bài toáncân bằng EP (f, C) được biến đổi tương đương về bài toán bổ trợ, bài toánnày thường giải dễ dàng hơn bài toán gốc Nguyên lý này được giới thiệu lầnđầu tiên bởi Cohen cho bài toán tối ưu và sau đó được ứng dụng vào các bấtđẳng thức biến phân Mastroeni sau này mở rộng ngyên lý bài toán phụ cho

bài toán cân bằng EP (f, C) với song hàm đơn điệu mạnh và thỏa mãn mộtđiều kiện Lipschitz cụ thể Hướng tiếp cận thứ ba là phương pháp điểm gần kề.Phương pháp điểm gần kề lần đầu tiên được nghiên cứu bởi Martinet để giảicác bất đẳng thức biến phân và sau đó được nghiên cứu sâu bởi Rockafellar đểtìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại Gần đây, nhiều nhà nghiên cứu

đã sử dụng phương pháp này cho bài toán cân bằng EP (f, C), ví dụ như cáctác giả Moudafi, L D Muu, T D Quoc,

Theo ba hướng tiếp cận đó, một số phương pháp giải bài toán cân bằng

EP (f, C) đã được đề xuất như phương pháp điểm bất động, phương phápđiểm gần kề, phương pháp đạo hàm tăng cường, Những phương pháp trên,tại mỗi vòng lặp, chúng ta phải giải các bài toán con với song hàm f , điều nàygặp khó khăn nếu song hàm f phức tạp Một hướng tiếp cận khác là phân rãsong hàm f thành tổng của hai song hàm hoặc nhiều hơn Khi đó, các bài toáncon có thể giải độc lập và dễ dàng hơn Người ta gọi chung phương pháp đó làphương pháp phân rã giải bài toán cân bằng EP (f, C)

Trong luận văn này, chúng tôi tìm hiểu hai phương pháp phân rã đã có và

đề xuất một phương pháp phân rã mới giải bài toán cân bằng Hai phươngpháp chúng tôi tìm hiểu đó là phương pháp phân rã dựa vào ánh xạ Combettesđược đề xuất bởi Moudafi trong [4] và phương pháp đạo hàm tăng cường phân

rã được đề xuất bởi tác giả P K Anh và T N Hai trong [3] Bên cạnh đó,chúng tôi muốn đề xuất phương pháp đạo hàm tăng cường hai bước phân rã.Phương pháp dựa trên phương pháp đạo hàm tăng cường suy rộng trong [7] vàphương pháp đạo hàm tăng cường phân rã Thuật toán và sự hội tụ của mỗiphương pháp được chúng tôi trình bày chi tiết trong luận văn

Ngoài Lời mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương:Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi trình bày tómtắt các khái niệm liên quan và nêu ví dụ về song hàm, bài toán cân bằng, một

số lớp bài toán liên quan của bài toán cân bằng và sự tồn tại nghiệm của bàitoán cân bằng

Chương 2: Một số phương pháp phân rã giải bài toán cân bằng Ở đây,chúng tôi trình bày lại hai phương pháp đó là phương pháp phân rã dựa vàoánh xạ Combettes và phương pháp đạo hàm tăng cường phân rã Thuật toán,

sự hội tụ và ví dụ minh họa của mỗi phương pháp được chúng tôi trình bày lại

và tính toán chi tiết Cuối cùng, chúng tôi đề xuất phương pháp đạo hàm tăngcường hai bước phân rã Thuật toán và sự hội tụ của phương pháp được chúngtôi chứng minh một cách rõ ràng Bên cạnh đó, chúng tôi có đưa ra được ví dụminh họa cho phương pháp với những tính toán chi tiết

Mặc dù đã hết sức cố gắng nhưng do vấn đề nghiên cứu khá phức tạp vàkinh nghiệm nghiên cứu còn hạn chế nên luận văn có thể vẫn còn nhiều khiếmkhuyết Trong quá trình đọc dịch tài liệu, viết luận văn cũng như xử lý văn bảnchắc chắn không tránh khỏi những sai sót nhất định Tác giả rất mong nhậnđược những ý kiến đóng góp của quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoànthiện hơn

Hà Nội, ngày 18 tháng 11 năm 2017

Học viên

Ngô Thị Thương

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày một số khái niệm liên quan đến song hàm f , bài toáncân bằng, một số trường hợp riêng quan trọng và sự tồn tại nghiệm của bàitoán cân bằng

Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian Hilbert H

Định nghĩa 1.1.1 (Xem [3]) Ánh xạ F : C → H được gọi là

1 γ-đơn điệu mạnh trên C nếu tồn tại hằng số γ > 0 sao cho

2 ≥ 0 ∀x, y ∈ C

2 đơn điệu trên C nếu

3 γ-giả đơn điệu mạnh trên C nếu tồn tại hằng số γ > 0 sao cho với mọi

x, y ∈ C, ta có

2

4 giả đơn điệu trên C nếu với mọi x, y ∈ C, ta có

Ví dụ 1.1.1 Cho ánh xạ F : C → Rn với F (x) = Ax Khi đó

1 Nếu A là ma trận vuông, đối xứng, nửa xác định dương thì F đơn điệutrên C.

2 Nếu A là ma trận vuông, đối xứng, xác định dương trên C thì F γ-đơnđiệu mạnh trên C

Định nghĩa 1.1.2 (Xem [3]) Song hàm f : C × C → R được gọi là

1 γ-đơn điệu mạnh trên C nếu tồn tại hằng số γ > 0 sao cho

Định nghĩa 1.1.5 (Xem [3]) Ánh xạ F : C → H được gọi là liên tục Lipschitztrên C nếu tồn tại hằng số L > 0 sao cho

kF (x) − F (y)k ≤ Lkx − yk ∀x, y ∈ C (1.1)Định nghĩa 1.1.6 (Xem [3]) Song hàm f : C × C → R được gọi là

(i) thỏa mãn bất đẳng thức Lipschitz nếu tồn tại hằng số K > 0 sao cho vớimọi x, y, z, t ∈ C, ta có

[f (x, y) − f (z, y)] − [f (x, t) − f (z, t)] ≤ Kkx − zk.ky − tk (1.2)(ii) thỏa mãn bất đẳng thức kiểu Lipschitz nếu tồn tại hằng số c1 > 0 và

c2 > 0 sao cho với mọi x, y, z ∈ C, ta có

f (x, y) + f (y, z) ≥ f (x, z) − c1kx − yk2 − c2ky − zk2 (1.3)Mệnh đề 1.1.1 ([3]) Nếu f (x, y) =

hằng số L thì

(i) f thỏa mãn (1.2) với hằng số K = L

(ii) f thỏa mãn (1.3) với hằng số c1 = c2 = L2

Chứng minh (i) Với mọi x, y, z, t ∈ C, ta có

[f (x, y) − f (z, y)] − [f (x, t) − f (z, t)] = ... ergodic phương pháp gần kề cho bất đẳng thứcbiến phân Dựa phương pháp đó, Moudafi đề xuất phương phápphân rã dựa vào ánh xạ Combettes giải toán cân EP (f, C) chứngminh hội tụ tới nghiệm toán cân. .. {¯xk} tội tụ yếu tới ¯x

2.1.2 Thuật toán hội tụ phương pháp phân rã dựa vào

ánh xạ Combettes

Một số phương pháp giải toán cân tác Aoyama,Takahashi, Combettes, Hirstoaga,... phương< /p>

án cân bằng, đấu thủ khác giữ phương án cân đấuthủ j bị thua thiệt Đây lý mà khái niệm cân chấpnhận thực tế Dưới toán cân Nash hiểu tốntìm điểm cân ϕ C Ta ký hiệu toán N (ϕ, C).Bài