Hệ động lực cho mô hình động học rừng với điều kiện biên hỗn hợp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊNKHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC ĐINH THỊ THU HỆ ĐỘNG LỰC CHO MÔ HÌNH ĐỘNG HỌC RỪNG VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP LUẬN VĂN THẠC SĨNgành: Toán

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC

ĐINH THỊ THU

HỆ ĐỘNG LỰC CHO MÔ HÌNH ĐỘNG HỌC RỪNG VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP

LUẬN VĂN THẠC SĨNgành: Toán Giải tích

Người hướng dẫn: TS Lê Huy Chuẩn

Hà Nội - 2017

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC

ĐINH THỊ THU

HỆ ĐỘNG LỰC CHO MÔ HÌNH ĐỘNG HỌC RỪNG VỚI ĐIỀU KIỆN BIÊN HỖN HỢP

LUẬN VĂN THẠC SĨNgành: Toán Giải tích

Mã số: 60460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Huy Chuẩn

Hà Nội - 2017

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâusắc tới Tiến sĩ Lê Huy Chuẩn người đã tận tình hướng dẫn để em có thể hoàn thànhluận văn này

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trongkhoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội

đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa

Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè

đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và thựchiện luận văn

Hà Nội, ngày 02 tháng 10 năm 2017

Học viên

Đinh Thị Thu

Mục lục

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 6

1.1 Những không gian hàm cơ bản 6

1.1.1 Không gian Holder 6

1.1.2 Không gian Holder có trọng 7

1.1.3 Không gian Sobolev 7

1.2 Toán tử quạt 9

1.2.1 Toán tử quạt 9

1.2.2 Hàm mũ của toán tử quạt 10

1.2.3 Hàm lũy thừa của toán tử quạt 10

1.2.4 Xấp xỉ Yosida 12

1.3 Toán tử liên kết với dạng nửa song tuyến tính 12

1.3.1 Cặp không gian liên hợp 12

1.3.2 Bộ ba không gian 13

1.4 Toán tử Laplace kết hợp với điều kiện biên hỗn hợp 16

1.5 Phương trình tiến hóa 18

Chương 2 Mô hình động học rừng với điều kiên biên hỗn hợp 21

2.1 Nghiệm địa phương 22

2.2 Tính không âm của nghiệm địa phương 24

2.3 Nghiệm toàn cục 26

2.3.1 Ước lượng tiên nghiệm 26

2.3.2 Sự tồn tại nghiệm toàn cục 32

2.3.3 Tính liên tục theo điều kiện ban đầu của nghiệm 33

2.3.4 Hệ động lực 35

LỜI MỞ ĐẦU

Vào năm 1972, D B Botkin trong [2] đã đưa ra mô hình toán học cơ sở đầutiên về sự phát triển của rừng Trong đó, Botkin đã nghiên cứu một khu vực khoảng(100m3 tới 300m3) rừng và đưa ra phương trình phát triển cho mỗi cây cùng với sựtương tác giữa các cây trong khu vực Tiếp theo vào năm 1983, hai tác giả M.Ya.Antonovsky và M D Korzukhin trong [1] đã đưa ra mô hình toán học về rừngtrong đó quan tâm tới mối quan hệ giữa các cây phụ thuộc tuổi Mô hình đó saunày vào năm 1994 đã được các tác giả Yu A Kuznetsov, M Ya Antonovsky, V N.Biktashev và A Aponina trong [4] phát triển thành mô hình động học rừng theocấu trúc tuổi của cây có xét đến sự hình thành và khuếch tán của hạt Mô hình độnghọc rừng do Kuznetsov đưa ra có dạng:

mô tả động học của hạt; δ là tỉ lệ nảy mầm của hạt; γ(v) là tỉ lệ chết của cây non; f

là tốc độ phát triển của cây non; h là tỉ lệ chết của cây già; αvà β là tốc độ tạo hạtcủa cây già và tỉ lệ lắng đọng của hạt; d là hằng số khuếch tán của hạt

Mô hình trên trong trường hợp w thỏa mãn điều kiện biên Neumann đã đượccác tác giả Chuan, Tsujikawa, Yagi nghiên cứu Phương pháp được sử dụng là công

cụ nửa nhóm giải tích để nghiên cứu sự tồn tại của nghiệm toàn cục và tính ổn địnhcủa nghiệm dừng Các tác giả trên đã chứng minh được sự tồn tại của nghiệm toàncục, xây dựng hệ động lực và nghiên cứu sự ổn định của nghiệm dừng thuần nhất

Sử dụng các kĩ thuật tương tự như trong trường hợp điều kiện biên Neumann, cáctác giả Shirai, Chuan, Yagi đã nghiên cứu mô hình trên với điều kiện biên Dirichlet

và thu được các kết quả tương tự

Trong luận văn này, vấn đề được đặt ra là nghiên cứu mô hình động học rừng vớiđiều kiện biên hỗn hợp Tức là biên Γ của Ω được chia làm 2 phần ΓN và ΓD Đây làđiều kiện biên tổng quát xuất phát từ các điều kiện tự nhiên Khó khăn gặp phải làtoán tử quạt sinh ra bởi toán tử Laplace kết hợp với điều kiện biên hỗn hợp không có

được các tính chất tốt như trong trường hợp điều kiện biên Neumann hoặc Dirichlet.

Do đó bằng cách tiếp cận giống như trong trường hợp điều kiện biên Neumann vàDirichlet tác giả biến đổi hệ ban đầu về phương trình tiến hóa dạng Parabolic bằngcách xây dựng toán tử quạt là sự kết hợp giữa toán tử Laplace với điều kiện biên hỗnhợp Từ đó chỉ ra sự tồn tại của nghiệm toàn cục và xây dựng hệ động lực cho môhình ban đầu

Nội dung của luận văn là trình bày một số kết quả nghiên cứu mô hình động họcrừng (0.1) với điều kiện biên hỗn hợp Bố cục của luận văn bao gồm 2 chương:

• Chương 1 của luận văn gồm những khái niệm và kết quả trong giải tích hàmliên quan đến không gian Holder, không gian Sobolev, toán tử quạt, phươngtrình vi phân tuyến tính cấp một trong không gian Banach, phương trình tiếnhóa tuyến tính, phương trình tiến hóa nửa tuyến tính, các định lý và kết quả

cơ bản liên quan tới luận văn Chương này được trình bày dựa trên tài liệu[6]

• Chương 2 là nội dung chính của luận văn Ở chương này tác giả nghiên cứubài toán (0.1) với điều kiện biên hỗn hợp Cụ thể tác giả chỉ ra sự tồn tại duynhất nghiệm không âm của nghiệm địa phương và sự tồn tại nghiệm toàncục Cuối cùng xây dựng tập hút cho hệ động lực sinh bởi (0.1)

Do thời gian thực hiện luận văn không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên khi làmluận văn không tránh khỏi những hạn chế và sai sót Tác giả mong nhận được sựgóp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc Xin chân thành cảmơn!

Hà Nội, ngày 12 tháng 08 năm 2017

Học viên

Đinh Thị Thu

BẢNG KÍ HIỆU

Dưới đây là một số kí hiệu thường xuyên sử dụng trong luận văn:

C(Ω) := { f : Ω → C liên tục trong Ω}

Cm(Ω) := { f : Ω → C : Dαf ∈ C(Ω), ∀α : |α| ≤ m} với m ≥ 1.L(X,Y) : { f : X → Y thỏa mãn f tuyến tính liên tục}

Lp(Ω) := { f : Ω → C đo được sao cho

Z

Ω

| f (x)|pdx< ∞} với p ≥ 1

Lp,loc(Ω) := { f ∈ Lp(Ω0), ∀Ω0compact ⊂ Ω}.

1.1.1 Không gian Holder

|u(x) − u(y)|

|x − y|γ

Định nghĩa 1.2 Không gian Holder Ck,γ(Ω) là không gian các hàm u : Ω → R sao

cho các đạo hàm riêng cấp k của nó bị chặn và liên tục Holder bậc γ với chuẩn xác định như sau:

1.1.2 Không gian Holder có trọng

Cho X là không gian Banach với chuẩn k.k, [a, b] ⊂ R, với hai số mũ 0 < σ <

β ≤ 1, ta định nghĩa không gian hàm Holder liên tục có trọng Fβ ,σ((a, b]; X ) nhưsau:

Định nghĩa 1.3 Không gianFβ ,σ((a, b]; X ) bao gồm các hàm liên tục F : (a, b] →

X (hay F : [a, b] → X ) khi 0 < β < 1 (khi β = 1) thỏa mãn các điều kiện sau:

(1) Với β < 1, (t − a)1−βF(t) có giới hạn khi t → a.

(2) F là hàm liên tục Holder với số mũ σ và với trọng (s − a)1−β +σ, cụ thể là

1.1.3 Không gian Sobolev

Để định nghĩa lớp các không gian Sobolev ta nhắc lại khái niệm đạo hàm yếucủa một hàm trong không gian L1,loc(Ω)

Định nghĩa 1.4 Xét hàm u ∈ L1,loc(Ω), ta nói rằng hàm v ∈ L1,loc(Ω) là đạo hàm

yếu của u theo biến xj, kí hiệu v = Dju, nếu

0(Ω) Tương tự, đạo hàm cấp α của u được kí hiệu bởi Dαu là hàm

thuộc không gian L1,loc(Ω) thỏa mãn

Trong trường hợp p = 2, kí hiệu Wk,2(Ω) là không gian Hk(Ω) Không gian Hk(Ω)

là không gian Hilbert với tích vô hướng và chuẩn được xác định như sau

Định lý 1.1 (Định lý nhúng Sobolev) Cho Ω là một miền bị chặn có biên thuộc lớp

Ck trong Rn và giả sử u ∈ Hk(Ω) Khi đó

• Nếu D(A) = X thì ta nói A xác định trù mật trong X.

• Nếu đồ thị của A là tập con đóng trong X ×Y thì A được gọi là toán tử đóng,

tức là:

GA= {(x, y) : x ∈D(A),y = Ax} là tập đóng.

Định nghĩa 1.8 Cho A là toán tử tuyến tính đóng, xác định trù mật trong không

gian Banach X Khi đó ta có các định nghĩa sau:

• Tập giải ρ(A) = {λ ∈ C : (λ − A)−1 ∈L(X)}

• Nếu λ ∈ ρ(A) thì R(λ ) = (λ − A)−1 được gọi là giải thức.

• Tập phổ của A là σ (A) = C\ρ(A).

Định nghĩa 1.9 Cho X là một không gian Banach với chuẩn k.k Giả sử A là một

toán tử tuyến tính đóng, xác định trù mật trong X và phổ của A chứa trong một miền quạt mở, cụ thể là

σ (A) ⊂ Σω = {λ ∈ C; |arg λ | < ω} , 0 < ω ≤ π, (1.4)

đồng thời với mỗi giá trị chính quy λ của A, ta có ước lượng sau

(λ − A)−1 ≤ M

với hằng số M ≥ 1 Khi đó toán tử A được gọi là toán tử quạt trên X

Ký hiệu ωAlà góc nhỏ nhất thỏa mãn (1.4) và (1.5) Khi đó, ωA được gọi là góc của toán tử quạt A.

1.2.2 Hàm mũ của toán tử quạt

Trong luận văn này, ta luôn xét A là một toán tử quạt trong không gian Banach

Hàm e−tA là hàm hạn chế của e−zA trên (0, ∞), được xác định bởi công thức

Họ các toán tử e−tA được gọi là hàm mũ sinh bởi −A.

Mệnh đề 1.1 ([6], Mệnh đề 2.5) Với mỗi φ sao cho 0 < φ < π

2 − ω, tồn tại một số

mũ dương δφ > 0 và một hằng số Cφ > 0 sao cho

e−zA ≤ Cφe−δφ |z|, z ∈ Σφ− {0} Phần tiếp theo trình bày về lũy thừa của toán tử quạt

1.2.3 Hàm lũy thừa của toán tử quạt

Với mỗi số phức z sao cho Rez > 0, ta định nghĩa

trong đó Γ là đường cong bao quanh σ (A) theo định hướng ngược chiều kim đồng

hồ nằm trong (C\(∞, 0]) ∩ ρ(A) Khi đó A−z là một hàm giải tích với Rez > 0 vàhàm này nhận giá trị trongL(X)

Định nghĩa At với t ∈ R như sau:

a) Khi t = 0, A0 ≡ I

b) Khi −∞ < t ≤ 0, At ∈L(X)

c) Khi t > 0, At = (A−t)−1 là khả nghịch và D(At) trù mật trong X Hơn nữa,với 0 < t1 ≤ t2 thì D(At2) ⊂D(At1) Ngoài ra, D(At) có thể được xác định bằngcách nội suy không gian, cụ thể như sau:

D(As) = [D(As1),D(As2)]θvới 0 ≤ θ ≤ 1 và s = s1(1 − θ ) + s2θ Ta có các tính chất sau của toán tử lũy thừa

2 Ta có đánh giá chuẩn của A

θe−tAnhư sau

A1−θe−τAdτ ≤ Cθ

Z t 0

τθ −1dτ ≤ Cθtθ, 0 < t < ∞

(1.9)Mặt khác, với mọi 0 < θ ≤ 1, khi t → 0,

tθAθe−tA hội tụ mạnh tới 0 trên X (1.10)Đồng thời, với mỗi 0 < θ ≤ 1, khi t → 0 thì

t−θ e−tA− 1
A−θ hội tụ mạnh tới 0 trong X (1.11)

Định lý 1.2 ([6], Định lý 2.27) Cho 0 < β ≤ 1 và U0∈D(Aβ) Khi đó, với mọi σ

sao cho 0 < σ < β ≤ 1 và mọi 0 < T < ∞, ta có

Dãy {An}n=1,2,3, được gọi là Xấp xỉ Yosida của A.

Giả sử An là xấp xỉ Yosida của A Khi đó An là các toán tử quạt, đồng thời ta cóước lượng

Aθ

ne−tAn ≤ Ct−θ, 0 < t < ∞, 0 < θ < ∞ (1.12)và

Aθ

ne−tAn → Aθe−tA trongL(X) 0 < t < ∞, 0 < θ < ∞ (1.13)

1.3.1 Cặp không gian liên hợp

Cho X , X∗ là hai không gian Banach trên C với chuẩn tương ứng là k.kX vàk.kX∗ Ánh xạ nhận giá trị phức h., i xác định trên không gian tích X × X∗ được gọi

là dạng nửa song tuyến tính nếu h., i thỏa mãn

i hαu1+ β u2, vi = αhu1, vi + β hu2, vi, α, β ∈ C; u1, u2∈ X; v ∈ X∗,

ii hu, αv1+ β v2i = αhu, v1i + β hu, v2i, α, β ∈ C; u ∈ X; v1, v2∈ X∗

Hơn nữa, dạng nửa song tuyến tính h., i trên X × X∗ được gọi là tích đối ngẫu nếu

nó thỏa mãn

i) |hU, Φi| ≤ kU kkΦk, với mọi U ∈ X, Φ ∈ X∗,

ii) kU k = supkΦk≤1|hU, Φi|, với mọi U ∈ X,

iii) kΦk = supkUk≤1|hU, Φi|, với mọi Φ ∈ X∗

Khi đó {X , X∗} được gọi là một cặp không gian liên hợp với tích đối ngẫu là h., i.Cho X , X∗ là cặp không gian liên hợp với tích đối ngẫu h., i Với mỗi G ∈ X∗,h., Gi là hàm tuyến tính liên tục trên X Kí hiệu X0 là không gian gồm các phiếmhàm tuyến tính liên tục trên X , ta xét tương ứng

Do đó J là phép nhúng bảo toàn chuẩn từ X∗ vào X0 Khi đó ta có kết quả sau

Định lý 1.3 ([6], Định lý 1.17) Cho X là không gian Banach phản xạ và X , X∗ là cặp không gian liên hợp với tích đối ngẫu h., i Khi đó phép nhúng J : X∗ → X0

được xác định bởi (1.14) là một đẳng cấu Do đó với mỗi Φ ∈ X0 thì tồn tại duy nhất

ii) (Z, Z∗) là cặp không gian liên hợp với tích đối ngẫu h., iZ,Z∗.

iii) Tích đối ngẫu trên thỏa mãn tính chất hz, xi = (z, x) với mọi z ∈ Z, x ∈ X Khi

Cho Z ⊂ X ⊂ Z∗ là một bộ ba không gian Giả sử a : Z × Z → C là dạng nửasong tuyến tính, tức là a thỏa mãn các điều kiện sau

i) ăαu1+ β u2, v) = αău1, v) + β ău2, v), α , β ∈ C; u1, u2, v ∈ Z,

ii) ău, αv1+ β v2) = αău, v1) + β ău, v2), α , β ∈ C; u, v1, v2∈ Z

Hơn nữa giả sử ặ, ) liên tục, tức là tồn tại số M ≥ 0 sao cho

với mỗi u ∈ Z ta có ău, ) là hàm tuyến tính liên tục trên Z Do đó theo Định lý 1.3thì tồn tại duy nhất Φ ∈ Z∗ sao cho

ău, v) = hv, ΦiZ×Z∗ ∀v ∈ Znghĩa là

nên toán tử A liên tục và kAk ≤ M

Ta nói ặ, ) thỏa mãn điều kiện bức nếu

trong đó δ > 0 là hằng số

Định lý 1.4 ([6], Định lý 1.24) Cho dạng nửa song tuyến tính a(u, v) thỏa mãn

điều kiện (1.15), (1.17) và A là toán tử liên kết với dạng nửa song tuyến tính a(u, v).

Khi đó A là một đẳng cấu từ Z vào Z∗ và là một toán tử tuyến tính đóng, xác định trù mật trong Z∗

Xét hạn chế của A trên X , Z, ký hiệu là A|X, A|Z được xác định như sau:

(D(A|X) = {u ∈ Z, Au ∈ X }A|Xu= Au,

và

(D(A|Z) = {u ∈ Z, Au ∈ Z}

là liên tục và thỏa mãn điều kiện bức trên Z Do đó, A − λ là một phép đẳng cấu từ

Z vào Z∗ Với Reλ ≤ 0 ta có một số ước lượng liên quan đến tập giải (λ − A)−1 nhưsau

|λ |k(λ − A)−1Φk∗≤ (Mδ−1+ 1)kΦk∗, Φ ∈ Z∗,

|λ ||(λ − A)−1F| ≤ (Mδ−1+ 1)kFk, F ∈ X,

|λ |k(λ − A)−1Uk ≤ (Mδ−1+ 1)kU k, U ∈ Z

Từ các ước lượng này ta có kết quả sau

Định lý 1.5 ([6], Định lý 2.1) Cho a(u, v) là một dạng nửa song tuyến tính trên

Z thỏa mãn điều kiện (1.15), (1.17) Khi đó, toán tử A liên kết với dạng nửa song

tuyến tính a(u, v) và các hạn chế A|X, A|Z là các toán tử tuyến tính thỏa mãn điều kiện (1.4), (1.5) với góc ω = π

M+ δ

δ Tức là các toán tử A, A|X, A|Z là toán tử quạt trên Z∗, X , Z với các góc phổ nhỏ hơn π

2.

1.4 Toán tử Laplace kết hợp với điều kiện biên hỗn

hợp

Cho Ω ⊂ Rn là một miền bị chặn với biên Lipschitz Giả sử biên ∂ Ω chia thành

ΓD và ΓN thỏa mãn ∂ Ω = ΓD∪ ΓN, ΓD∩ ΓN= /0 và ΓD là tập mở khác rỗng của ∂ Ω.Đặt

và c(x) là hàm giá trị thực trong Ω thỏa mãn

c(x) ∈ L∞(Rn) và c(x) ≥ c0> 0 hầu khắp nơi trên Ω (1.21)

Ta có a(u, v) là dạng nửa song tuyến tính liên tục trên Z Gọi A là toán tử liên kếtvới dạng nửa song tuyến tính a(u, v), khi đóA thỏa mãn

Định lý 1.6 ([6],Định lý 2.5) Cho Ω là miền bị chặn với biên Lipschitz Giả sử ta

có các giả thiết (1.19), (1.17), (1.21) Khi đó toán tử A liên kết với dạng (1.18) và

Poincare ta có kukL2 ≤ Ck∇ukL2 với mọi u ∈

0

HD1(Ω) Do đó từ (1.20) và điều kiện

c(x) ≥ 0 ta thu được điều kiện (1.17)

Hơn nữa, ta còn có kết quả sau:

Định lý 1.7 ([6], Định lý 2.10) Cho Ω là miền bị chặn với biên Lipschitz được tách

như sau ∂ Ω = ΓD∪ ΓN, ΓD∩ ΓN = /0 và ΓD là tập mở khác rỗng của ∂ Ω Giả sử ta

có các giả thiết (1.19), (1.17), (1.21) và hai điều kiện sau:

|B(x0, R) ∩ ΓD| ≥ γ.Rn−1, ∀x0∈ ΓD, (1.23)

|B(x0, R) ∩ Ω| ≥ γ.Rn, ∀x0 ∈ ΓN, B(x0, R) ∩ ΓD = /0, (1.24)

trong đó γ là hằng số, B(x0, R) là hình cầu mở tâm x0 ∈ ∂ Ω bán kính R > 0 Khi

đó, tồn tại p > 2 sao cho hạn chế A|L2 của toán tử liên kết với dạng (1.18) trong

Ta có A là toán tử quạt trên H−1

D (Ω) Đặt Λ =A|L2 Khi đó, miền xác định củatoán tử Λ1/2trùng với Z (xem [6, Định lý 2.34]), tức là

Phương trình tiến hóa tuyến tính

Ta xét bài toán giá trị ban đầu

Định lý 1.8 ([6], Định lý 3.4) Cho A thỏa mãn (1.6) và (1.7) Với mỗi hàm F ∈

Fβ ,σ((0, T ]; X ), với 0 < σ < β ≤ 1 và với bất kỳ giá trị ban đầu U0 ∈ X, luôn tồn

U ∈C([0,T];X) ∩ C((0,T];D(A)) ∩ C1((0, T ]; X ) (1.26)

và thỏa mãn ước lượng

kU(t)k + t dU

dt (t) + t kAU (t)k ≤ C(kU0k + kFkFβ ,σ), 0 ≤ t ≤ T (1.27)

Hơn thế nữa, nghiệm U được xác định theo công thức

U(t) = e−tAU0+

Z t 0

Khi giá trị ban đầu U0 thuộc D(Aβ), ta có thể chứng minh được tính chất tốthơn của nghiệm

Định lý 1.9 ([6], Định lý 3.5) Cho F ∈Fβ ,σ((0, T ]; X ) với 0 < σ < β ≤ 1, và cho

U0 ∈D(Aβ) Khi đó, nghiệm U của (1.25) có các tính chất sau:

Phương trình tiến hóa nửa tuyến tính

Cho X là một không gian Banach với chuẩn k.k Ta xét bài toán Cauchy chophương trình nửa tuyến tính như sau

Giả sử rằng F thỏa mãn điều kiện Lipschitz

kF(U) − F(V )k ≤ ϕ(kUk+kV k) [kAη(U −V )k + (kAηU k+ kAηV k) k(U −V )k] ,

(1.35)trong đó U,V ∈D(Aη) và ϕ(.) là một hàm liên tục tăng Từ (1.35), ta suy ra F thỏamãn ước lượng sau

kF(U)k ≤ ψ(kUk)(kAηU k+ 1), U ∈D(Aη), (1.36)