SKKN năm 2016 2017 sửa chữa sai lầm giải toán lớp 11

Phân tích một số sai lầm thường gặp của học sinh. Từ đó phát huy tính sáng tạo của các em trong quá trình học nội dung đại số và giải tích lớp 11 Dạy học toán ở trường phổ thông là giáo viên tổ chức các hoạt động tư duy đặc trưng của toán học cho học sinh như: dạy học khái niệm, dạy học định lý, dạy học giải bài tập toán và vận dụng kiến thức toán học vào giải quyết các bài toán thực tiễn. Thông qua các hoạt động trên giáo viên từng bước rèn luyện cho học sinh thói quen: Dự đoán, mò mẫm, phân tích, tổng hợp, khái quát hóa,… thay đổi cách nhìn, giải quyết vấn đề bằng nhiều cách khác nhau, chọn cách giải tối ưu, tư duy phản biện. …Qua đó bồi dưỡng năng lực phát hiện giải quyết vấn đề và sáng tạo của học sinh trọng học tập.

MỤC LỤC

A, ĐẶT VẤN ĐỀ 2

I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI SKKN 2

1 Cơ sở lý luận và thực tiển 2

a) Các chức năng của bài tập toán 2

b) Dạy học giải bài tập Toán học 4

c) Chương trình Sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 hiện hành 6

2 Thực trạng việc dạy học giải Toán ở trường phổ trông hiện nay 8

II NHỮNG VẤN ĐỀ ĐƯỢC NÊU TRONG ĐỀ TÀI 8

B, NỘI DUNG 9

I) THỰC TRẠNG VỀ NHỮNG SAI LẦM CỦA HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG KHI GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH TRONGCHƯƠNG TRÌNH LỚP 11 9

1 Một số công trình có liên quan 9

2 Sự cần thiết phòng tránh và sửa chữa những sai lầm của học sinh khi giải toán 9

3 Một số kiểu sai lầm của học sinh trung học phổ thông khi các bài tập Đại số và giải tích lớp 11 10

a) Sai lầm khi giải các bài tập về lượng giác 10

b) Sai lầm khi giải các bài tập tổ hợp – Xác suất 16

c) Sai lầm khi giải các bài tập Dãy số – Cấp số cộng và cấp số nhân 27

d) Sai lầm khi giải các bài tập giới hạn 29

e) Sai lầm khi giải các bài tập Đạo hàm 39

f) Sai lầm khi giải các bài toán trắc nghiệm 41

II GÓP PHẦN PHÒNG TRÁNH VÀ SỬA CHỮA CÁC SAI LẦM CỦA HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG KHI GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH LỚP 11 50

1 Cơ sở lý luận 50

2 Những quan điểm chủ đạo trong việc phòng tránh, sửa chữa các sai lầm của học sinh Trung học phổ thông khi giải toán Đại số và giải tích lớp 11 57

a) Quan điểm 1: 57

b) Quan điểm 2: 63

c) Quan điểm 3: 67

3 Thực nghiệm sư phạm 69

a) Mục đích thực nghiệm 69

b) Tổ chức và nội dung thực nghiệm 69

c) Đánh giá kết quả thực nghiệm 73

d) Kết luận chung về thực nghiệm sư phạm 75

C) KẾT LUẬN 76

TÀI LIỆU THAM KHẢO 77

A, ĐẶT VẤN ĐỀ

I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI SKKN

1 Cơ sở lý luận và thực tiển

Giáo dục Toán học cho học sinh là một quá trình phức tạp bao gồm những bộphận, những vấn đề sau đây:

+ Truyền thụ cho học sinh hệ thống nhất định những kiến thức Toán học;+ Rèn luyện những kỹ năng và kỹ xảo Toán học;

+ Phát triển tư duy Toán học

Toán học chứa đựng nhiều tiềm năng to lớn trong việc bồi dưỡng và phát huynăng lực sáng tạo cho học sinh Bên cạnh việc giúp học sinh giải quyết các bài tậptrong sách giáo khoa, giáo viên có thể khai thác các tiềm năng đó thông qua việcxây dựng hệ thống bài tập mới trên cơ sở hệ thống bài tập cơ bản, và thông qua sựhướng dẫn của giáo viên, học sinh huy động kiến thức để giải quyết hệ thống cácbài tập mới đó, đồng thời để các em phát hiện các vấn đề mới khác, để từ đó các

em phát triển năng lực sáng tạo của mình

a) Các chức năng của bài tập toán

Ở trường phổ thông, dạy Toán là dạy hoạt động Toán học cho học sinh,trong đó giải bài tập toán là hình thức chủ yếu Do vậy, dạy học giải bài tập toán cótầm quan trọng đặc biệt và từ lâu đã là một vấn đề trọng tâm của phương pháp dạyhọc Toán ở trường phổ thông Đối với học sinh có thể coi việc giải bài tập toán làmột hình thức chủ yếu của việc học Toán, vì bài tập toán có những chức năng sau:

- Chức năng dạy học:

Bài tập nhằm củng cố, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo những vấn đề về lý thuyết

đã học Trong nhiều trường hợp giải toán là một hình thức rất tốt để dẫn dắt họcsinh tự mình đi đến kiến thức mới Có khi bài tập lại là một định lý, mà vì một lí

do nào đó không đưa vào lý thuyết Cho nên qua việc giải bài tập mà học sinh mởrộng được tầm hiểu biết của mình

- Chức năng giáo dục:

Thông qua việc giải bài tập mà hình thành cho học sinh thế giới quan duy vậtbiện chứng, niềm tin và phẩm chất đạo đức của người lao động mới Qua những bài

toán có nội dung thực tiễn, học sinh nhận thức đúng đắn về tính chất thực tiễn củaToán học, giáo dục lòng yêu nước thông qua các bài toán từ cuộc sống chiến đấu vàxây dựng tổ quốc Đồng thời, học sinh phải thể hiện một số phẩm chất đạo đức củangười lao động mới qua hoạt động Toán mà rèn luyện được: đức tính cẩn thận,chính xác, chu đáo, làm việc có kế hoạch, kỹ luật, năng suất cao, khắc phục khókhăn, dám nghĩ dám làm, trung thực, khiêm tốn, tiết kiệm, biết được đúng sai trongToán học và trong thực tiễn.

- Chức năng phát triển:

Giải bài tập toán nhằm phát triển năng lực tư duy cho học sinh, đặc biệt làphát triển tư duy sáng tạo, hình thành những phẩm chất tư duy khoa học

- Chức năng kiểm tra:

Bài tập nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy học, đánh giá khả năng họcToán và trình độ phát triển của học sinh cũng như khả năng vận dụng kiến thức đãhọc Trong việc lựa chọn bài tập toán và hướng dẫn học sinh giải bài tập toán, giáoviên cần phải chú ý đầy đủ đến tác dụng về nhiều mặt của các bài tập toán đó

Thực tiễn sư phạm cho thấy, giáo viên thường chưa chú ý đến việc phát huytác dụng giáo dục của bài toán, mà thường chú trọng cho học sinh làm nhiều bàitập toán Trong quá trình dạy học, việc chú ý đến chức năng của bài tập toán làchưa đủ mà giáo viên cần quan tâm tới lời giải của bài tập toán Lời giải của bài tậptoán phải đảm bảo những yêu cầu sau:

- Lời giải không có sai lầm

Học sinh phạm sai lầm trong khi giải bài tập thường do ba nguyên nhânsau:

+ Sai sót về kiến thức toán học, tức là hiểu sai định nghĩa của khái niệm, giả thiết hay kết luận của định lý,

+ Sai sót về phương pháp suy luận.

+ Sai sót do tính sai, sử dụng ký hiệu, ngôn ngữ diễn đạt hay do hình vẽ sai.

- Lời giải phải có cơ sở lý luận

- Lời giải phải đầy đủ

- Lời giải đơn giản nhất

b) Dạy học giải bài tập Toán học

Trong dạy học giải toán, kỹ năng tìm kiếm lời giải là một trong các kỹ năngquan trọng, mà việc rèn luyện các thao tác tư duy là một thành phần không thểthiếu trong dạy học giải Toán G Pôlya trong [23] đã đưa ra 4 bước để đi đến lờigiải bài toán

1) Hiểu rõ bài toán:

Để giải một bài toán, trước hết phải hiểu bài toán và hơn nữa còn phải cóhứng thú giải bài toán đó Vì vậy điều đầu tiên người giáo viên cần chú ý hướngdẫn học sinh giải Toán là khêu gợi trí tò mò, lòng ham muốn giải Toán của các

em, giúp các em hiểu bài toán phải giải, muốn vậy cần phải: Phân tích giả thiết vàkết luận của bài toán: Đâu là ẩn, đâu là dữ kiện? Đâu là điều kiện? Điều kiện, dữkiện này liên quan tới điều gì? Có thể biểu diễn bài toán dưới một hình thức khác

được không? Như vậy, ngay ở bước “Hiểu rõ đề toán” ta đã thấy được vai trò của

tư duy sáng tạo trong việc định hướng để tìm tòi lời giải

2) Xây dựng chương trình giải:

Trong bước thứ 2 này, ta lại thấy vai trò của tư duy sáng tạo được thể hiện rõnét hơn qua việc phân tích bài toán đã cho thành nhiều bài toán đơn giản hơn Biếnđổi bài toán đã cho, mò mẫm và dự đoán thông qua xét các trường hợp đặc biệt,xét các bài toán tương tự hay khái quát hoá hơn vv thông qua các kỹ năng saubằng cách đặt các câu hỏi:

- Huy động kiến thức có liên quan:

* Bài toán này có thuật giải hay không?

* Em đã gặp bài toán này hay bài này ở dạng hơi khác lần nào chưa? Em có biết một bài nào liên quan không? Một định lý có thể dùng được không?.

* Thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng ẩn hay ẩn số tương tự?

* Có thể sử dụng một bài toán nào đó mà em đã có lần giải rồi hoặc sử dụng kết quả của nó không?

- Dự đoán kết quả phải tìm:

* Em có thể nghĩ ra một bài toán có liên quan mà dễ hơn không? Một bài toán tổng quát hơn? Một trường hợp riêng? Một bài toán tương tự? Em có thể giải một phần của bài toán?

* Em đã sử dụng mọi dữ kiện chưa? Đã sử dụng hết điều kiện chưa? Đã để

ý đến mọi khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa?

* Hãy giữ lại một phần điều kiện, bỏ qua phần kia, khi đó ẩn được xác định đến chừng mực nào và biến đổi thế nào?

- Sử dụng phép phân tích đi lên và phép phân tích đi xuống để tìm kiếm hướng giải quyết vấn đề

Trong quá trình dạy học nếu giáo viên khai thác triệt để được những gợi ýtrên thì sẽ hình thành và phát triển ở học sinh kỹ năng tìm lời giải cho các bài toán.Tuy nhiên để đạt được điều này thì giáo viên phải thực hiện kiên trì tất cả các giờdạy Toán, đồng thời học sinh phải được tự mình áp dụng vào hoạt động giải toáncủa mình

3) Thực hiện chương trình giải:

Khi thực hiện chương trình giải hãy kiểm tra lại từng bước Em đã thấy rõ ràng là mỗi bước đều đúng chưa? Em có thể chứng minh là nó đúng không?

4) Kiểm tra và nghiên cứu lời giải đã tìm được:

Học sinh phổ thông thường có thói quen khi đã tìm được lời giải của bàitoán thì thoả mãn, ít đi sâu kiểm tra lại lời giải xem có sai lầm thiếu sót gì không, ítquan tâm tới việc nghiên cứu cải tiến lời giải, khai thác lời giải Vì vậy trong quátrình dạy học, giáo viên cần chú ý cho học sinh thường xuyên thực hiện các yêucầu sau:

- Kiểm tra lại kết quả, kiểm tra lại suy luận

- Xem xét đầy đủ các trường hợp có thể xảy ra của bài toán

- Tìm cách giải khác của bài toán: Một bài toán thường có nhiều cách giải,học sinh thường có những suy nghĩ khác nhau trước một bài toán, và kết quả là cónhiều lời giải độc đáo và sáng tạo Vì vậy, giáo viên cần lưu ý để phát huy tínhsáng tạo của học sinh trong việc tìm lời giải gọn, hay của một bài toán Tuy nhiên

cũng không nên quá thiên về lời giải hay, làm cho học sinh trung bình và kém chánnản.

Đối với bài toán trắc nghiệm, đây là dạng bài tập không thể hiện được khảnăng diễn đạt, sử dụng ngôn ngữ và quá trình tư duy của học sinh, sáng tạo của họcsinh trong bài làm Nhưng nó có ưu điểm là có thể kiểm tra đánh giá có hệ thống,toàn diện kiến thức của học sinh

Ta thấy rằng bài tập toán trắc nghiệm và tự luận có tính tương hỗ lẫn nhautrong việc dạy học nhằm phát triển tư duy và giáo dục học sinh Nên người giáoviên cần biết kết hợp hai hình thức này trong dạy học một cách linh hoạt và phùhợp với nội dung và đối tượng học sinh

c) Chương trình Sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 hiện hành

Sách giáo khoa Đại số và giải tích lớp 11 hiện hành được bố trí gồm 5chương, với các nội dung :

- Chương I: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

- Chương II: Tổ hợp - Xác suất

- Chương III: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân

- Chương IV: Giới hạn

nhiều khi gặp phải tình trạng sai lầm nối tiếp sai lầm

Đã có nhiều quan điểm hoặc ý kiến được nêu ra xoay quanh vấn đề sai lầm

trong cuộc sống cũng như trong nghiên cứu khoa học Khổng Tử đã nói: “Sai lầmchân thật duy nhất là không sửa chữa sai lầm trước đó của mình” Albert Einsteinnói về sai lầm trong nghiên cứu khoa học: “Nếu tôi mắc sai lầm thì chỉ một lầncũng là đủ rồi” Nhiều nhà khoa học đã nhấn mạnh tới vai trò của việc sửa chữa sai

lầm của học sinh trong quá trình giảng dạy Toán, chẳng hạn, G Polia đã phát biểu:

“Con người phải biết học ở những sai lầm và những thiếu sót của mình”, còn A A.Stôliar thì nhấn mạnh rằng: “Không được tiếc thời gian để phân tích trên giờ họccác sai lầm của học sinh” Viện sĩ A N Kôlmôgôrôv viết: “Năng lực bình thườngcủa học sinh trung học đủ để các em nắm được Toán học trong nhà trường phổthông nếu có sự hướng dẫn tốt của thầy giáo” Như vậy có thể khẳng định rằng, các

sai lầm của học sinh trong giải Toán là cần và có thể khắc phục được.

Số các công trình nghiên cứu đề cập tới sai lầm của học sinh trong giải

Toán nói chung, chương trình Đại số và giải tích lớp 11 nói riêng còn tương đối ít,trong các công trình đó có thể kể tới nhóm tác giả Nguyễn Vĩnh Cận - Lê Thống

Nhất - Phan Thanh Quang: "Sai lầm phổ biến khi giải toán” (1997) Nhóm tác giả

này đã xem xét các sai lầm của học sinh ở từng chủ đề kiến thức, chẳng hạn chủ

đề phương trình, chủ đề bất phương trình, chủ đề giới hạn, chủ để hàm số, Tuynhiên, sự hạn chế của nó lại là ở chỗ: mới đưa ra các ví dụ về sai lầm và cách sửasai, chưa hệ thống thành lý luận

Các nhóm tác giả Trần Phương - Lê Hồng Đức trong Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải Toán (2004); Lê Đình Thịnh - Trần Hữu Phúc - Nguyễn Cảnh Nam trong Mẹo và bẫy trong các đề thi môn Toán (1992); Trần Hữu Phúc - Nguyễn Cảnh Nam trong Hãy cẩn thận! Bài thi đơn giản quá! (2002) cũng có các

cách làm tương tự

Cách nghiên cứu như các tác giả nói trên chưa thể giải thích một cách tườngminh, dễ hiểu và bao quát hết tất cả các kiểu sai lầm cho học sinh, chưa hệ thốngđược thành lý luận Hơn nữa chưa thể đề cập được một số kiểu sai lầm thường gặp

như: sai lầm ngôn ngữ, sai lầm liên quan đến các thao tác tư duy, sai lầm liên quan đến phân chia trường hợp riêng,

Có thể nói, cho đến nay chưa có một công trình nào nghiên cứu sai lầm củahọc sinh khi giải toán Đại số và giải tích lớp 11 một cách hoàn chỉnh

2 Thực trạng việc dạy học giải Toán ở trường phổ trông hiện nay

Thực tế dạy học phần bài tập ở các trường phổ thông hiện nay có thể được

mô tả như sau: Giáo viên cho học sinh chuẩn bị ở nhà hoặc chuẩn bị ít phút tại lớp,sau đó gọi một vài học sinh lên bảng chữa, những học sinh khác nhận xét lời giải,giáo viên sửa hoặc đưa ra lời giải mẫu và qua đó củng cố kiến thức cho học sinh.Một số bài toán sẽ được phát triển theo hướng khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tựhóa cho đối tượng học sinh khá giỏi

Việc rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh không đầy đủ, thường chú ý đếnviệc rèn luyện khả năng suy diễn, coi nhẹ khả năng quy nạp Giáo viên ít khi chú ýđến việc dạy Toán bằng cách tổ chức các tình huống có vấn đề đòi hỏi dự đoán,nêu giả thuyết, tranh luận giữa những ý kiến trái ngược hay các tình huống có chứamột số điều kiện xuất phát rồi yêu cầu học sinh đề xuất các giải pháp

Hầu hết các giáo viên còn sử dụng nhiều phương pháp thuyết trình và đàm thoạichứ chưa chú ý đến nhu cầu, hứng thú của học sinh trong quá trình học

Từ những sự phân tích trên đây, tôi chọn đề tài SKKN là: “ Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông qua việc sửa chữa các sai lầm khi giải các bài tập Đại số và giải tích lớp 11”.

II NHỮNG VẤN ĐỀ ĐƯỢC NÊU TRONG ĐỀ TÀI

1 Đề tài SKKN đã làm sáng tỏ được nhiều kiểu sai lầm của học sinh Trunghọc phổ thông khi giải toán Đại số và Giải tích mà các tài liệu khác hoặc chưa códịp đề cập, hoặc chỉ đề cập ở mức độ sơ bộ và chưa có tính hệ thống

2 SKKN đã phân tích được nguyên nhân dẫn đến những sai lầm đó

3 Cùng với các công trình nghiên cứu khác, tiến tới việc đưa ra một bứctranh toàn cảnh và tương đối đầy đủ về những kiểu sai lầm của học sinh Trung họcphổ thông khi giải toán Đại số và giải tích lớp 11 hiện hành

4 Tiến hành thực nghiệm để kiểm nghiệm Giả thuyết khoa học

B, NỘI DUNG I) THỰC TRẠNG VỀ NHỮNG SAI LẦM CỦA HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG KHI GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH TRONGCHƯƠNG TRÌNH LỚP 11

1 Một số công trình có liên quan

Những công trình nghiên cứu đề cập tới sai lầm của học sinh trong giải Toáncòn tương đối ít, trong các công trình đó phải kể tới Luận án Tiến sĩ của của Lê

Thống Nhất: "Rèn luyện năng lực giải Toán cho học sinh phổ thông trung học thông qua việc phân tích và sửa chữa các sai lầm của học sinh khi giải Toán" (1996) Luận án này đã xem xét các sai lầm của học sinh ở từng chủ đề kiến thức,

chẳng hạn, chủ đề phương trình, bất phương trình, giới hạn, hàm số Nhóm tác giả

Trần Phương - Lê Hồng Đức trong Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải Toán (2004) cũng đề cập đến một số sai lầm của học sinh Trong công trình này,

các tác giả đã đưa ra một số kĩ thuật chọn điểm rơi để tránh sai lầm khi sử dụng cácBất đẳng thức Côsi và Bunhiacôpski Ngoài ra phải kể tới nhóm tác giả Lê Đình

Thịnh - Trần Hữu Phúc Nguyễn Cảnh Nam trong công trình Mẹo và bẫy trong các

đề thi môn Toán (1992), trong công trình này các tác giả đã đưa ra thuật ngữ "bẫy"

và phân tích khá nhiều ví dụ và cho rằng, mỗi khi học sinh mắc sai lầm là đồng

nghĩa với việc sa bẫy, "bẫy" trong các bài toán là các tình huống được các tác giả cài

đặt mà nếu học sinh không vững kiến thức cơ bản thì sẽ mắc phải sai lầm

2 Sự cần thiết phòng tránh và sửa chữa những sai lầm của học sinh khi giải toán

Dạy Toán là dạy hoạt động toán học (A A Stôliar, 1969) là một luận điểm

cơ bản đã được mọi người thừa nhận, hoạt động toán học chủ yếu của học sinh làhoạt động giải bài tập Toán Trình độ học Toán của học sinh đến mức độ nào sẽđược thể hiện rõ nét qua chất lượng giải Toán Vai trò của bài tập trong dạy họcToán là vô cùng quan trọng, đó là lí do tại sao nhiều công trình nghiên cứu vềphương pháp dạy học Toán lại gắn với việc nghiên cứu xây dựng hệ thống bài tập(chẳng hạn, các công trình: Tôn Thân (1995), Trần Đình Châu (1996), NguyễnĐình Hùng (1997)) Tuy nhiên dạy học giải Toán không thể tách rời một cách cô

lập với dạy học khái niệm toán học và dạy học định lí, do đó khi phát hiện thấy họcsinh còn mắc phải nhiều khó khăn và sai lầm trong giải Toán thì điều này cũng cótác dụng khuyến cáo những điểm cần chú ý trong quá trình dạy khái niệm và định

lí toán học

Đặt ra vấn đề nghiên cứu những khó khăn và sai lầm của học sinh khi giảiToán là cấp thiết, bởi lẽ, thực tiễn sư phạm cho thấy học sinh còn mắc rất nhiềukiểu sai lầm Từ những sai lầm về tính toán đến những sai lầm về suy luận và thậmchí là những kiểu sai lầm rất tinh vi Một nguyên nhân không nhỏ là giáo viên chưachú trọng một cách đúng mức việc phát hiện, uốn nắn và sửa chữa các sai lầm chohọc sinh ngay trong các giờ học Toán Vì điều này nên ở học sinh nhiều khi gặp

phải tình trạng sai lầm nối tiếp sai lầm

Rất nhiều nhà khoa học đã nhấn mạnh tới vai trò của việc sửa chữa sai lầm

cho học sinh trong quá trình giảng dạy Toán, chẳng hạn G Polia cho rằng: "Con người phải biết học ở những sai lầm và thiếu sót của mình", A A Stôliar phát

biểu: "Không được tiếc thời gian để phân tích trên giờ học các sai lầm của họcsinh" Tâm lí học đã khẳng định rằng: "Mọi trẻ em bình thường không có bệnh tật

gì đều có khả năng đạt được học vấn toán học phổ thông, cơ bản dù cho chươngtrình toán đã hiện đại hóa" Như vậy có thể khẳng định rằng, các sai lầm của họcsinh khi giải Toán là cần và có thể khắc phục được

3 Một số kiểu sai lầm của học sinh trung học phổ thông khi các bài tập Đại số

và giải tích lớp 11

Trong mục này để ám chỉ những lời giải có mắc phải sai lầm, tôi dùng kíhiệu (?) và sử dụng kí hiệu (!) để phân tích sai lầm của học sinh

a) Sai lầm khi giải các bài tập về lượng giác

Các sai lầm trong giải Toán thường do các nguyên nhân từ các góc độ khácnhau về tính cách, trình độ nắm kiến thức và về kĩ năng Do vậy biện pháp này chủyếu dành cho học sinh bởi lẽ đây là đối tượng đang tập dượt nghiên cứu sáng tạo,đang làm quen với cách tiếp cận, phát hiện và giải quyết vấn đề Nhiệm vụ củagiáo viên là phải dự đoán và giúp đỡ học sinh khắc phục những sai lầm khi giảiToán

- Khi giải phương trình và hệ phương trình Lượng giác, học sinh thường gặp phải những sai lầm liên quan tới việc lấy nghiệm, kết hợp nghiệm và sử dụng những phép biến đổi không tương đương

Ví dụ 1: Giải phương trình : 2cos 2cos x  3

Có học sinh đặt: t = 2cosx, được phương trình:

t  là tìm tất cả các số thực t làm cho đề cost = a là đúng, ẩn t không phải là

góc, là cung lượng giác, do đó không có số đo và đơn vị đo bằng độ

Hướng giải đúng: Giải phương trình cos t 3

Ví dụ 2: Giải phương trình: (cos2x - cos4x)2 = 4 + cos23x

Đây là phương trình không mẫu mực nên học sinh rất khó khăn khi chọnphương pháp giải, vì thế rất dễ mắc sai lầm Nhiều em nhận thấy vế trái xuất hiệnbình phương nên khai triển ra, sau đó dẫn đến phương trình phức tạp hoặc tìm cáchbiến đổi đưa về các hàm lượng giải của cùng một góc

Cách giải đúng: (cos2x - cos4x)2  4 x R

4 ) 4 cos 2

(cos

2

2

x x x

Giải hệ và kết hợp điều kiện, x   k

Rõ ràng, nếu k = 1 thì x=

2

 lại không phải là nghiệm, bởi vì các giá trị này khôngthoả mãn điều kiện cos 5x 0, cos7x0

Sai lầm ở đây là học sinh đã quên tìm tập xác định của phương trình Để khắcphục sai lầm này giáo viên cần nhắc nhở học sinh rằng: Nếu  là một số tuỳ ý thì

phương trình tanx = tan có nghiệm x  k khi  k , kZ

sinx + 3cosx = 2cos2x  3sin2x (1)

Ta gặp nhiều học sinh lập luận như sau:

Tập xác định của (1) là:

2 + cosx + 3sin2x  0  2+2( sin2x) 0

2

3x2cos2

Khi đó vế phải không âm mà vế phải bằng vế trái nên vế trái cũng không âm Vìvậy hai vế đều không âm, bình phương hai vế ta được phương trình tương đương:

(sinx + 3 cosx)2 = 2 + cos2x + 3 sin2x

12)

6x(cos(

Vậy nghiệm của phương trình (1) là với mọi x R

Đây là một lập luận sai, sai lầm cơ bản nhất là sử dụng các phép biến đổi khôngtương đương.

Cách lập luận trên đây của học sinh là đúng khi xét trên tập nghiệm của phươngtrình, nhưng giải phương trình lại là đi tìm tập nghiệm Do đó sau khi tìm được

những giá trị cần phải đối chiếu xem những x đó có thuộc tập nghiệm hay không,

tức là phải lần lượt kiểm tra từng giá trị, điều đó nói chung không khả thi Cần

nhấn mạnh để học sinh nắm được sự biến đổi:

0 ) ( )

( )

x g x f

x g x

g x f

x x

x x

2 sin 3 2 cos 2 ) cos 3 (sin

0 cos 3 sin

k k

R x

3

2 2 3 0

) 6 cos(

2

Z k k x







Ví dụ 5: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

)cot(tan

3

01)cot(tan

)cot1(tan

3

2 2

2 2

m x x

x x

m x x

Đặt tanx + cotx = t tan2 cot2 2 2

Phương trình (1) có nghiệm  phương trình (2) có nghiệm, vì phương trình (2)

có a.c = -12 < 0 nên phương trình (2) luôn có hai nghiệm phân biệt Do đó phương

trình (1) luôn có nghiệm

Học sinh đã mắc phải sai lầm trong lập luận ở chỗ đã không quan tâm gì đến

điều kiện của t và cho rằng phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình

(2) có nghiệm

Lời giải đúng cần bổ sung: Điều kiện của t là: t 2

Phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm thoả mãn t 2

Phương trình (2) luôn có hai nghiệm phân biệt t1, t2

Mặt khác, vì

3

4t

t1 2  nên phương trình (2) không thể đồng thời có hainghiệm t1, t2 thoả mãn t1 2 và t2 2

Do đó (1) có nghiệm <=> (2) có một nghiệm trong đoạn 2;2 và một

nghiệm ngoài khoảng (-2; 2) <=>f(2 f(2)0<=>(8 2m)(82m) 0

Chẳng hạn, khi giải phương trình tích các hàm lượng giác đều viết các họnghiệm chung kí hiệu nên dẫn đến thu hẹp tập nghiệm: Ví dụ như khi giải phương

trình sin2x.sin3x.sinx = 0, học sinh cho kết quả: ; ;

x k  x k  x k Trong đơn vị đo góc lượng giác là radian và độ, học sinh không hiểu đây làhai đơn vị đo khác nhau nên dẫn tới sai lầm viết nghiệm của các phương trình sin ( 2x - 1) = sin (x + 3) là x = 4 + k3600 hoặc x = 600 - 2 0

4

x k k Z *

Với điều kiện (*) pt (1)

Hướng giải đúng: Để loại nghiệm phương trình lượng giác ta cần biễu diễn lênđường tròn lượng giác (khi nghiệm là các góc đặc biệt) hoặc giải phương trìnhnghiệm nguyên Ở bài này các điểm ngọn đều là giá trị đặc biệt nên chỉ cần biễudiễn lên đường tròn lượng giác Nghiệm phương trình là 2  

4

x  n  n Z

Ví dụ 7: Tìm m để bất phương trình sau đúng với mọi x:

sinx + cosx ≤ m + sin2x (1)

Học sinh giải như sau: Do vế trái bằng sinxcosx 2 x,

Suy ra m + sin2x ≥m 1 x nên để sinx + cosx ≤ m + sin2x x thì 2 m 1  Nguyên nhân sai lầm: Học sinh đã áp dụng mệnh đề sai sau đây:

Nếu các hàm số y = f(x), y = g(x) xác định trên D và f(x) ≥ g(x) với mọi xD thì

min f(x)  max g(x) Mệnh đề sau là đúng:

Sai lầm khi lấy mệnh đề tương đương với mệnh đề cần chứng minh để làmtiền đề Chẳng hạn, ta cần chứng minh A B, thì phải chứng minh A-B > 0, nhưnglại lấy A – B > 0 xem như là giả thiết làm căn cứ để suy luận

b) Sai lầm khi giải các bài tập tổ hợp – Xác suất

Với toán Tổ hợp đã được đưa vào chương trình Toán phổ thông từ lâu và nộidung tương đối ổn định, nhưng đây là dạng Toán mà học sinh cảm thấy khó và rấthay mắc sai lầm Còn với nội dung về Xác suất thì lại hoàn toàn mới mẻ Ngay cảđối với giáo viên khi dạy phần này cũng không hào hứng, bởi vì các suy luậnkhông hoàn toàn giống suy luận toán học

- Sai lầm trong việc nắm ngữ nghĩa và cú pháp

Theo A.A.Stôliar thì, không ít học sinh còn yếu trong việc nắm cú pháp củangôn ngữ Toán học Học sinh vẫn hay nhầm giữa kí hiệu với khái niệm được địnhnghĩa

Theo Nguyễn Bá Kim trong [12]: “Trong Toán học, người ta phân biệt cái kíhiệu và cái được kí hiệu, cái biễu diễn và cái được biễu diễn Nếu xem xét phươngdiện những cái kí hiệu, những cái biễu diễn, đi vào cấu trúc hình thức và nhữngquy tắc hình thức để xác định và biến đổi chúng, thì đó là phương diện cú pháp.Nếu xem xét những cái được kí hiệu, những cái được biễu diễn, tức là đi vào nộidung, nghĩa của những cái kí hiệu, những cái biễu diễn thì đó là phương diện ngữnghĩa”

Nhiều thuật ngữ và kí hiệu toán học đã được mọi người thừa nhận và sửdụng thống nhất Nhưng do quan niệm hoặc do thói quen, một số nhà Toán họchoặc một số quốc gia có thể sử dụng những kí hiệu và thuật ngữ khác nhau ứng vớicùng một khái niệm, hoặc sử dụng cùng một thuật ngữ hoặc cùng một kí hiệu ứngvới những khái niệm khác nhau Chẳng hạn: Với cùng khái niệm số tổ hợp chập k

của tập hợp có n phần tử được kí hiệu là Cn k hoặc n k

  G.V.Leibnitz ví ngôn ngữ kíhiệu như sợi chỉ đỏ của nàng Ariane, ông cho rằng: “Chúng ta sử dụng kí hiệu khôngphải chỉ để diễn đạt sự suy nghĩ của ta cho người khác, mà còn để đơn giản hoá quátrình suy nghĩ của chúng ta”

Ví dụ 8: Do sự lẫn lộn giữa đối tượng được định nghĩa và kí hiệu dùng để chỉ

số đối tượng ấy nên học sinh thường hay nói “Tổ hợp chập k của n là Cn k ”, hoặc

“Chỉnh hợp chập k của n là A k

n ”, trong khi đó nói đúng phải là “ Số Tổ hợp

chập k của n là Cn k ”, hoặc“Số Chỉnh hợp chập k của n là A k

n ”,

Ví dụ 9: Với ngôn ngữ của Toán học cổ điển, trong lí thuyết tổ hợp người ta

hay sử dụng cụm từ “n phần tử” Với cách nói này, ta cần hiểu: hoặc n phần tử là

khác nhau (chẳng hạn xét n điểm trong không gian hay mặt phẳng), hoặc trong đó

có một phần tử “bằng nhau” (chẳng hạn: xem 13 chữ số, trong đó 5 chữ số 1, 3

chữ số 2, 2 chữ số 2 1 chữ số 4, 2 chữ số 5) Nhưng ta lại cần nhớ rằng trong líthuyết tập hợp, nói rằng một tập hợp gồm n phần tử đó là phải khác nhau Khi liệt

kê danh sách các phần tử của một tập hợp thì mỗi phần tử được nêu lên đúng mộtlần Chẳng hạn với bài toán:

Viết tập hợp các chữ số có mặt trong có mặt trong số 124325223441 thì tập hợp đó

Gọi số thỏa mãn là a a a a a a a a a1 2 3 4 5 6 7 8 9

Số a1 có 6 cách viết {1, 2, 3, 4, 5, 6}, chữ số a a a a a a a a có 8! cách viết.2 3 4 5 6 7 8 9

Nếu như coi 3 chữ số 1 là khác nhau thì số a a a a a a a a a có 6.8! cách1 2 3 4 5 6 7 8 9

viết

Với 3 vị trí nào đó của 3 chữ số 1 sẽ có 3! hoán vị như nhau

Vậy số a a a a a a a a a có 6.8! 403201 2 3 4 5 6 7 8 9 3!  cách viết

Với cách giải trên học sinh mắc phải sai lầm: Nếu coi 3 chữ số 1 là khác nhau thì a1 phải

có 8 cách viết Nghĩa là phải giả sử 3 chữ số 1 khác nhau ngay từ đầu

Ví dụ 10: Với những bài toán đếm ta hay gặp cụm từ “có thể lập được bao

nhiêu số gồm k chữ số khác nhau”, với cụm từ này thì dụng ý của tác giả viết sách

là số gồm k chữ số a a1 2 ak thì các ai (i 1,k) phải khác nhau từng đôi một Tuynhiên, có không ít người đọc, học sinh vẫn hiểu như sau: các số gồm k chữ số làkhác nhau, tức là a a1 2 ak b b1 2 bk

Các bài toán Tổ hợp trong các đề thi Đại học ta vẫn thường gặp, chẳng hạn như:

Trường Đại học An ninh năm 1997: Từ 7 chữ số 0,1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập

được bao nhiêu chữ số chẵn có 5 chữ số khác nhau

Trường đại học Ngoại ngữ - Tin học, khối D - 2000: Hỏi từ 9 chữ số 1, 2, 3,

4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu chữ số gồm 5 chữ số khác nhau sao chotrong các chữ số đó có mặt chữ số 1

Phải chăng để tránh trường hợp học sinh hiểu sai dụng ý của tác giả, trongcác bài tập hay các đề thi nên ghi rõ Chẳng hạn: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

có thể thành lập được bao nhiêu số tự nhiên, mà mỗi số có 5 chữ số khác nhau và

trong đó nhất thiết phải có chữ số 5

Ví dụ 11: Không phân biệt được A và A, biến cố A và tập con A củakhông gian mẫu các kết quả thuận lợi cho A Chẳng hạn bài toán sau:

Gieo hai con súc sắc cân đối

a) Mô tả không gian mẫu

b) Gọi A là biến cố “Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con xúc xắcnhỏ hơn hoặc bằng 7” Liệt kê các kết quả thuận lợi cho A, tính P(A)

Học sinh sẽ giải như sau:

a) Không gian mẫu là   a b a b N; / ,  *,1 a 6,1 b 6 , không gianmẫu có 36 phần tử

b) Các kết quả thuận lợi cho A là:

n A mô tả biến cố A do không nắm vững bản chất các khái niệm, học sinh có

cách nhìn rất hình thức Tuy nhiên kết quả vẫn đúng

Ví dụ 12: Sau khi biết

 

k n

n!

Ck! n k !

là số tập con có k phần tử của một tập hợp X gồm n phần tử, Cn n k là số tập con

có n - k phần tử của tập X Nếu tách ra từ X một tập con có k phần tử thì còn lạiphần bù có n - k phần tử và ngược lại Như vậy nếu một tập X (gồm n phần tử) cóbao nhiêu tập con gồm k (k n) phần tử thì sẽ có bấy nhiêu tập con gồm n k

phần tử

Trong toán học nắm vững được ngôn ngữ các kí hiệu toán học cũng có nghĩa

là nắm vững được những đặc trưng của tư duy toán học

- Sai lầm trong việc lựa chọn các khái niệm, quy tắc để vận dụng vào giải Toán.

Kiến thức về Tổ hợp và Xác suất có nhiều khái niệm, quy tắc mới mà khivận dụng vào giải Toán học sinh rất hay nhầm lẫn và dẫn đến sai lầm

Ví dụ 13: Hai quy tắc đếm cơ bản của Đại số tổ hợp là quy tắc cộng và quy

tắc nhân, trong khi vận dụng vào giải Toán học sinh vẫn thường nhầm Chẳng hạnbài toán sau:

Trong một lớp học có 20 nam và 23 nữ Giáo viên chủ nhiệm cần chọn 2 họcsinh: một bạn nam và một bạn nữ đi dự lễ kỉ niệm mừng Quốc khánh Hỏi giáoviên đó có bao nhiêu cách chọn?

Sai lầm phổ biến học sinh thường mắc phải khi giải bài này là dùng quy tắccộng, cho rằng có 20 + 23 = 43 (cách chọn) Thực ra ở đây phải dùng quy tắc nhân

là có 20.23 = 460 (cách chọn)

Ví dụ 14: Với hai khái niệm Chỉnh hợp và Tổ hợp, học sinh thường gặp khó

khăn khi phân biệt hai khái niệm này nên dẫn đến sai lầm khi vận dụng vào giảicác bài tập

Với bài toán: Một dạ tiệc có 10 nam và 6 nữ đều khiêu vũ giỏi Người ta chọn 3 nam và 3

nữ để ghép thành 3 cặp nhảy Hỏi có bao nhiêu cách ghép 3 cặp nhảy

Đa số học sinh sẽ giải như sau:

Mỗi cách sắp thứ tự 3 bạn nam trong 10 bạn nam là một chỉnh hợp chập 3 của 10,nên số cách chọn 3 bạn nam có thứ tự là 3A 10 8.9.10 720 cách

Tương tự số cách chọn 3 bạn nữ có thứ tự là 3 4.5.6 120A 6  cách

Vậy số cách bố trí 3 cặp nhảy là 3A A 10 6 3 720.120 86400 (?)

Cách giải này học sinh mắc phải sai lầm: Tại sao lại sắp thứ tự cả 3 bạn nam

và 3 bạn nữ Giả sử có 3 bạn nam theo thứ tự là A, B, C ghép nhảy với 3 bạn nữtheo thứ tự là a, b, c tức là ta có cặp nhảy (A, a), (B, b), (C, c) Nếu lấy thứ tự kháccủa 3 bạn nam là A, C, B và thứ tự khác của 3 bạn nữ là a, c, b thì ghép 3 cặp nhảy

là (A, a), (C, c), (B, b) vẫn là cách ghép 3 cặp nhảy trước Sai lầm dẫn tới số cáchghép lớn hơn thực tế vì có những cách ghép 3 cặp nhảy được tính nhiều lần.

Lời giải đúng là: Mỗi cách chọn 3 bạn nam trong 10 bạn là một tổ hợp chập

3 của 10 nên số cách chọn là 3C Tương tự số cách chọn 3 bạn nữ trong 6 bạn nữ10

Suy luận diễn dịch (hay còn gọi là suy diễn hay suy luận chứng minh) là suyluận theo những quy tắc (quy tắc suy diễn) xác định rằng, nếu tiên đề (các tiên đề)

là đúng thì kết luận ra cũng đúng Các quy tắc suy diễn nói đến ở đây là quy tắc

suy diễn của Logic hình thức “Suy luận chứng minh là suy luận đáng tin cậy,không chối cãi được và dứt khoát”.

Nhà sư phạm Xôviết V V Firsov đã chỉ rõ rằng: “Việc dạy học một số yếu

tố của lí thuyết xác suất ở tường phổ thông (của Liên Xô trước đây) gặp phải nhữngkhó khăn ngầm, mà trong cuộc thử người ta không chú ý giải quyết chúng” và “Bảnchất của những khó khăn này ít liên quan đến trình độ giáo trình Do đó, những thayđổi về khối lượng và nội dung của tài liệu học tập (thuộc phần lí thuyết) sẽ không khắcphục được những khó khăn này Những khó khăn này có đặc tính phương pháp luận vàbản chất của chúng liên quan đến vấn đề định hướng ứng dụng của giáo trình Lí thuyếtxác suất ở trường phổ thông ở trường phổ thông, điều kiện chủ yếu và cần thiết để đạtđược mục đích dạy học”

Ngay trong khi học định nghĩa thống kê của xác suất học sinh đã phải tiếp thu “sựhợp lí”: Người ta chứng minh được rằng khi số lần thử N càng lớn thì tần suất của A

càng gần với một số xác định, số đó được gọi là xác suất của A theo nghĩa thống kê Như vậy tần suất được xem là giá trị gần đúng của xác suất.

Ví dụ 15: Chính vì chưa nắm được sự suy luận hợp lí trong suy luận diễn

dịch nên có học sinh giải thích như sau: Khi biết rằng “Xác suất để bạn H bắntrúng bia (khi bạn đó bắn vào bia một viên đạn) bằng 0,8” có nghĩa là cứ 10 lầncho bạn H bắn vào bia một viên đạn trong những điều kiện cơ bản không đổi củatrường bắn thì có đúng 8 lần bạn H bắn trúng bia

Khi giải các bài toán Xác suất có nội dung thực tiễn, học sinh buộc phải sửdụng kết hợp các suy luận hợp lí và các suy luận diễn dịch trong trình bày vàchứng minh các kết quả đã thu được Như đã nói kĩ năng này là hoàn toàn mới đốivới học sinh, vì thế học sinh không tránh khỏi những khó khăn nhất định, ta xét ví

dụ sau:

Ví dụ 16: Một con xúc xắc cân đối đồng chất được gieo 2 lần Tính xác suất

sao cho tổng số chấm trong hai lần gieo không nhỏ hơn 10, nếu số 5 xuất hiệntrong lần gieo thứ nhất

Giải bài toán này ta phải làm theo các bước sau:

Bước 1: Không gian mẫu là:   i j; /1 , i j6

Ký hiệu A : “Số 5 xuất hiện trong lần gieo thứ nhất”

B : “Tổng số chấm trong hai lần gieo không nhỏ hơn 10”

Trong lời giải trên có sự kết hợp cả của suy luận diễn dịch và suy luận có lí,

ta không bắt học sinh phải chỉ ra rõ ràng bước nào là bước suy luận diễn dịch, bướcnào là bước suy luận có lí Nhưng trong quá trình giải toán Xác suất học sinh phảihiểu được các bước cần làm, rèn luyện cho học sinh làm được những bước như vậy

là góp phần rèn luyện kĩ năng làm toán Xác suất đồng thời góp phần phát triển tưduy cho học sinh

Một sai lầm liên quan đến suy luận trong toán Tổ hợp qua ví dụ sau:

Ví dụ 17: Cho 2 người Việt Nam, 4 người Pháp và 5 người Nhật xếp thành

một hàng Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho mỗi người đứng cạnh có ít nhất mộtngười cùng quốc tịch

Một học sinh giải như sau: Do cứ mỗi người thì đứng cạnh phải có ít nhấtmột người cùng quốc tịch nên:

Bốn người Pháp tách thành hai nhóm (mỗi nhóm hai người đứng cạnh nhau,

kí hiệu là B, C )

Năm người Nhật tách thành hai nhóm (một nhóm hai và một nhóm ba ngườiđứng cạnh nhau, kí hiệu lần lượt là D, E)

Hai người Việt Nam luôn đứng cạnh nhau (kí hiệu là A)

Mỗi cách sắp xếp A, B, C, D, E thành một dãy là một hoán vị của 5 vị trí suy

ra có 5! cách sắp xếp A, B, C, D, E thành một dãy

Mặt khác: Đưa hai người Việt Nam vào nhóm A có 2! cách

Đưa hai người Pháp vào B có 2

4

A cách;

Đưa hai người Pháp vào C có 2! cách;

Đưa hai người Nhật vào D có 2

5

A cách;

Đưa ba người Nhật vào E có 3! cách;

Vậy số cách sắp xếp thỏa mãn bài ra là 5! 2! 2

5

A 3! 2

4

A 2! = 691200cách

Do còn yếu về năng lực suy luận hợp lí mà lời giải bài toán mắc phải sailầm: Số cách sắp xếp trên tăng lên nhiều so với thực tế bởi lẽ: Nếu gọi bốn ngườiPháp là P , P , P , P1 2 3 4 Xét hai cách sắp xếp sau: A, P , P , P , P1 2 3 4, D, E (1) và A,

B luôn đứng trước C; D luôn đứng trước E khi đứng cạnh nhau

Trước hết ta xếp B, C, D, E thành một dãy theo quy tắc trên: Có 9 cách sắpxếp BCDE (1); BDCE (2); BECE (3); BDEC (4); DBCE (5); DBEC (6); DEBC(7); EBCD (8); EBDC (9)

Ứng với cách xếp (1) có 5 vị trí đưa A vào, trong trường hợp BCDAE còn cóthêm một cách nữa BCEAD, như vậy ứng với cách xếp (1) cho ta 6 cách xếp A, B,

C, D, E Tương tự như vậy với cách (4) và (7) Ứng mỗi cách còn lại ta có 5 cáchđưa A vào tạo thành một dãy Vậy tổng số cách xếp A, B, C, D, E thành một dãy là

Theo Đại Bách khoa toàn thư Xôviết thì trực giác là năng lực nhận thức được

chân lý bằng xét đoán trực tiếp không có sự biện giải bằng chứng minh

Trực giác toán học được hiểu với nhiều nghĩa khác nhau và trên thực tế tồn tạinhiều dạng khác nhau Trực giác có thể coi là sự bừng sáng đột ngột chưa nhận thứcđược, có thể là trực quan cảm tính "nhận thức trực tiếp không phải bằng suy luận của lýtrí" (Từ điển Bách khoa toàn thư Việt Nam, tr 1369), là sự "thấy trực tiếp" các kháiniệm hoặc sự kiện trong các tình huống toán học (được hiểu theo nghĩa rộng bao gồm

cả Toán học hình thức lẫn những tình huống thực tiễn mang đặc trưng toán học) Ởmức độ cao, trực giác toán học cho khả năng định hướng nghiên cứu trong các tìnhhuống toán học mới không quen biết, dự đoán được kết quả nghiên cứu và đường lốitìm ra kết quả đó, phát hiện những sai lầm rõ ràng, trực giác toán học là là một nhân tốquan trọng trong quá trình nhận thức logic các yếu tố của toán học, và trong quá trìnhvận dụng toán học vào thực tiễn

Nếu các yếu tố của Đại số và Hình học có được chỗ dựa là trực giác số vàtrực giác không gian tương ứng của học sinh, thì đối với các yếu tố của Lí thuyếtxác suất cơ sở tương tự là không có Chính điều này dẫn đến những khó khăn ởhọc sinh khi học các yếu tố của Lí thuyết xác suất

Trực giác xác suất là trực giác toán học được thể hiện trong nghiên cứu cáctình huống xác suất (được hiểu theo nghĩa rộng, bao gồm cả những tình huốngtrong các mô hình toán học – xác suất, lẫn những tình huống thực tiễn mang đặctrưng xác suất)

Ví dụ 18: Gieo 3 đồng xu đồng chất và đối xứng Hãy tìm xác suất của các

biến cố ngẫu nhiên sau đây:

Biến cố A1: Không có mặt sấp nào xuất hiện

Biến cố A2: Có một mặt sấp xuất hiện

Biến cố A3: Có hai mặt sấp xuất hiện

Biến cố A4: Có ba mặt sấp xuất hiện

Một học sinh giải như sau:

Ở kết quả của phép thử T: “Gieo 3 đồng xu đồng chất và đối xứng”, có thểxảy ra một và chỉ một biến cố ngẫu nhiên trong các biến cố ngẫu nhiên sau đây:

A1, A2, A3, A4 và các biến cố này là đồng khả năng Từ đó vận dụng định nghĩa cổđiển của xác suất sẽ tính được:

1( )1 ( 2) ( 3) ( 4)

A2 có thể xảy ra trong 3 trường hợp sau đây:

- Trường hợp 1: Trong kết quả của phép thử T, ở đồng xu thứ nhất xuất hiệnmặt sấp và ở hai đồng xu khác xuất hiện mặt ngửa

- Trường hợp 2: Trong kết quả của phép thử T, ở đồng xu thứ 2 xuất hiệnmặt sấp và hai đồng xu còn lại xuất hiện ngửa

- Trường hợp 3: Trong kết quả của phép thử T, ở đồng xu thứ 3 xuất hiệnmặt sấp, còn hai đồng xu khác xuất hiện ngửa

Vậy biến cố A2 có khả năng xảy ra nhiều hơn biến cố A1, khi phép thử T thựchiện Bởi vậy các biến cố A1, A2, A3, A4 là không đồng khả năng Như vậy việc phântích này bước đầu cho ta thấy “trực giác” trên cuả học sinh là sai

Ví dụ 19: Hai ông Hoà và Bình chơi đánh bạc với nhau theo quy tắc là: ở

mỗi lần chơi, ông Hoà sẽ ném 2 con xúc xắc 24 lần và sẽ được tính 1 điểm nếu có

ít nhất 1 lần xuất hiện 2 mặt có 6 chấm; còn ông Bình sẽ ném 4 con xúc xắc 1 lần

và sẽ được tính 1 điểm nếu xuất hiện ít nhất một mặt có 5 chấm hỏi rằng trongcuộc chơi này ông nào “có lợi” hơn? (các con xúc xắc trên là đều đồng chất và códạng hình lập phương)

Khi cho học sinh giải bài toán này có nhiều em sẽ dự đoán rằng: Vì ông Hoàđược ném 24 lần còn ông Bình chỉ được ném có 1 lần, nên ở mỗi lần chơi,

so với ông Bình, ông Hoà có khả năng được tính điểm nhiều hơn, từ đó suy ra ôngHoà “có lợi” hơn.

Đây là một trực giác xác suất sai của học sinh

Ta thấy: Nếu gọi A là biến cố “có ít nhất một lần xuất hiện 2 mặt có 6 chấm”(ứng với phép thử “ném 2 con xúc xắc 24 lần” ), và gọi B là biến cố “xuất hiện ítnhất một mặt có 6 chấm” (ứng với phép thử “ném 4 con xúc xắc 1 lần” ), ta sẽ tínhđược:

2435

Ví dụ 20: Chúng ta xem xét câu hỏi sau: Cần mời bao nhiêu người đến tham

dự một buổi dạ hội sao cho xác suất để hai người trong số họ có cùng ngày sinhlớn hơn 50%?

Bằng trực giác, nhiều học sinh sẽ suy luận như sau: Một năm có 365 ngày(không tính năm nhuận), do đó có thể đoán rằng cần phải mời ít nhất 182 người(khoảng một nửa của 365) để có hai người có cùng ngày sinh

Tuy nhiên trên thực tế, từ quan điểm toán học xác suất, chỉ cần 23 ngườikhách mời là đủ

c) Sai lầm khi giải các bài tập Dãy số – Cấp số cộng và cấp số nhân

Học sinh hay sai lầm khi nghiễm nhiên áp dụng một công thức, một kháiniệm cho trường hợp suy biến, vì có trường hợp suy biến không thuộc ngoại diêncủa khái niệm, chẳng hạn đoạn thẳng không thuộc ngoại diên của tam giác

Một Ví dụ lịch sử điển hình về sai lầm khi vận dụng phép tương tự:

Tính tổng: S = 1- 1 + 1 – 1 +

Cách 1: S = (1 - 1) + (1 - 1) + … = 0

Cách 2: S = 1 – (-1 + 1) – (1 - 1) + … = 1

Cách 3 : S = - 1 + 1 – 1 + 1 - 1 = -1 + (1 -1) + (1 -1) + = -1

Cách 4: Nhà Toán học Gơviđơ - Gơzanđi người Italia nêu ra cách tính tổngnhư sau: S = 1 - 1 + 1 – 1 + nên S – 1 = -1 + 1 – 1 +

nghĩa là x – 1 = - x nên x =1

2 Với ba cách giải đầu đã áp dụng tính chất kết hợpcủa tổng hữu hạn các số hạng cho tổng vô hạn của các số hạng Một tổng hữu hạncác số hạng không phụ thuộc vào thứ tự các số hạng

2

2 lim 2

(!): Các định lý về phép toán Giới hạn chỉ phát biểu cho hữu hạn số hạng.Trong lời giải trên đã áp dụng cho giới hạn của tổng vô hạn các số hạng nên đã dẫnđến sai lầm Lời giải đúng là:

Do đó: nlim

2

2 1

1 1

d) Sai lầm khi giải các bài tập giới hạn

Khi học chủ đề Giới hạn học sinh sẽ làm quen với đối tượng mới, kiểu tưduy mang tính biện chứng hơn Do đó học sinh gặp phải rất nhiều khó khăn sai lầmkhông thể tránh khỏi Bởi vì, sai lầm có tác dụng tích cực, sai lầm cũng có íchtrong việc xây dựng tri thức, đặc biệt khi tạo nên sự xem xét lại các tri thức đã biếttrước đây Vì vậy trong quá trình dạy và học Toán ở trường THPT, việc tìm hiểunhững khó khăn, sai lầm và chướng ngại mà học sinh phải vượt qua để chiếm lĩnhmột tri thức toán học được đưa ra giảng dạy là bước đầu không thể bỏ qua trongquá trình tìm kiếm những phương pháp dạy học hiệu quả nhằm giúp học sinh nắmvững tri thức đó Hơn nữa, việc phát triển và biết khai thác các tình huống sai lầmlàm học sinh hay mắc phải trong học tập cũng chính là quá trình phát huy tínhsáng tạo của học sinh

Ở mức độ tri thức khoa học, giáo viên cần hiểu được lý do phát sinh và bảnchất của tri thức cần dạy, mặt khác là những trở ngại mà các nhà khoa học đã gặpphải trong quá trình xây dựng và phát triển tri thức này Đây là cơ sở cho việc xácđịnh nguồn gốc khoa học luận của những khó khăn mà học sinh phải vượt qua đểnắm vững tri thức đó.

Ở mức độ tri thức cần dạy, thông qua việc phân tích chương trình và SGK sẽlàm sáng tỏ những đặc trưng của việc dạy một tri thức trong quá trình chuyển hóa

sư phạm Nghiên cứu này sẽ giúp giáo viên xác định nguồn gốc sư phạm củanhững khó khăn mà học sinh thường gặp

Từ việc phát hiện những khó khăn và chướng ngại của từng tri thức Toánhọc, giáo viên có thể dự đoán được những sai lầm thường gặp ở học sinh khi lĩnhhội tri thức này

+ Ta nói rằng có một chướng ngại nếu vấn đề chỉ được giải quyết sau khi ta

đã cấu trúc lại những quan niệm hay thay đổi quan điểm lý thuyết

+ Ta nói rằng có một khó khăn nếu vấn đề được giải quyết mà không cần

phải xem xét lại những quan điểm của lý thuyết đang xét hay thay đổi quan niệmhiện hành

Như ta đã biết, sai lầm không phải là hậu quả của sự không biết, không chắcchắn, ngẫu nhiên, theo cách nghĩ của những người theo chủ nghĩa kinh nghiệm vàchủ nghĩa hành vi, mà còn có thể là hậu quả của những kiến thức đã có từ trước,những kiến thức đã từng có ích đối với việc học tập trước kia nhưng lại là sai lầmhoặc đơn giản là không còn phù hợp nữa đối với việc lĩnh hội kiến thức mới.Những sai lầm kiểu này không phải là không dự kiến trước được, chúng sẽ đượctạo nên từ những chướng ngại

Những sai lầm sinh ra từ một chướng ngại thường tồn tại rất dai dẳng và cóthể tái xuất hiện ngay cả sau khi chủ thể đã có ý thức loại bỏ quan niệm sai lầm rakhỏi hệ thống nhận thức của mình Vì vậy giúp học sinh tìm ra các sai lầm, phântích nguyên nhân dẫn đến các sai lầm và tìm cách khắc phục những khó khăn sailầm đó trong quá trình lĩnh hội khái niệm là việc làm mang nhiều ý nghĩa quan

trọng trong quá trình dạy học theo hướng phát huy tính sáng tạo của học sinh, gópphần nâng cao hiệu quả dạy học.

Thực tiễn cho thấy trong quá trình học tập học sinh thường gặp phải các khókhăn sai lầm:

- Khó khăn sai lầm về kiến thức, bao gồm:

+ Các khó khăn sai lầm liên quan việc nắm bản chất của khái niệm, định lý

Nếu xét Giải tích ở trường THPT nói chung khái niệm Giới hạn nói riêng rấtkhó hình thành cho học sinh vì học sinh chưa nhận thức hết tầm quan trọng cũngnhư các khía cạnh tinh vi trong lập luận xung quanh vấn đề này, nếu như muốnnắm vững được bản chất đích thực vấn đề này Còn bấy lâu nay khi tìm Giới hạnhay xét tính liên tục, học sinh vẫn đang còn nặng về thuật toán, nói cách khác là

thiên về cú pháp mà còn coi nhẹ ngữ nghĩa, chẳng hạn ngay sau khi học xong khái niệm giới hạn hàm số ( mà chưa học đến các định lý về giới hạn và hàm số f(x) liên tục)

thì học sinh cho rằng việc tìm giới hạn của f(x) khi x a rất đơn giản: chỉ việc thay

Với cách nghĩ như vậy nên việc tìm giới hạn chỉ là thay x = 9 vào

9

81 18 2

Ví dụ 24: Tính lim9



x  81  x2  x 9

(?): Học sinh cho rằng: limx9  81 2 9

x

, tức tập xác định là K = 9 Do đó

không thể áp dụng định nghĩa lim 9



x f(x) được không thể lấy bất kỳ dãy  x n nào cả

để thõa mãn điều kiện của định nghĩa đó là:  x n  K, x n  9 mà  x n  9, nênhàm số đã cho không có giới hạn tại x = 9

+ Khó khăn sai lầm về hình thức (như hiểu sai công thức, kí hiệu…)

Khi xét giới hạn vô cực của dãy số phải xét cụ thể chỉ rõ ràng, giới hạn +hay giới hạn -  tức là nlimun = +  hoặcnlimun = -  Bản chất của + và - không phải là những số thực cụ thể rất lớn nào đó, mà đúng ra nói đến lân cận của +

 tức là khoảng ( a, +) và lân cận của -  là khoảng (-; a) với a R, do đó

không thể thực hiện các qui tắc hay phép toán đại số trên chúng.

Chẳng hạn: lim     0

x f

a

x nếu limx a f x = L và limx a g x = +

Nhưng không thể viết:         0

x f x

g

x f

a x

a x a

Nhưng kết quả giới hạn ( nếu có) của dãy số un có thể là: Giới hạn hữu hạn ( 0,hằng số L0 ) hoặc Giới hạn vô cực ( ), nên ta có thể xem kí hiệu + và -  nh-

ư là giới hạn của dãy số Như vậy, khi thực hành trong giải toán học sinh dễ bị lẫn

lộn, giữa hai khái niệm ''giới hạn hữu hạn'' và ''giới hạn vô hạn vô cực'', trong việcbiến đổi các phép toán về giới hạn và dẫn đến sai lầm trong kí hiệu như:

( +) - ( + ) = 0 ?; 0. = 0 ?

Ví dụ 25: Tính  n n

nlim 2  1 

- Khó khăn sai lầm về kĩ năng:

Hiện nay ở trường THPT, nhìn chung tính tích cực, sáng tạo, của học sinhcòn yếu Học sinh ở các trường chuyên lớp chọn còn có ý thức tự học tự độc lậpsuy nghĩ để sáng tạo tự tìm tòi lời giải cho các bài toán, tự mình giải quyết cácnhiệm vụ học tập, còn đại đa số học sinh thì ỷ lại thầy cô, sách giải bài tập, thiếutính xem xét, phân tích đào sâu hay mở rộng việc khai thác các định lý dạng bài tập

cơ bản, dẫn đến học tập một cách máy móc, rập khuôn, không phát huy kỹ năngsáng tạo và không rèn được kỹ năng kỹ xảo giải bài toán cho nên khi giải toánthường gặp các khó khăn sai lầm

+Khó khăn sai lầm khi vận dụng: định nghĩa, định lý, công thức

Ví dụ 26: Tính

1

1 lim

x =  (!): Nhưng đúng ra kết quả này không tồn tại mà lúc này ta phải phân biệt ra:

 x

x không tồn tại ở ví dụ này thì ta thấy:

+ Điểm a = 1 là điểm “giáp ranh’’ cho nên khi x 1  tức là các dãy (xn

– 1) mang giá trị âm; còn khi x  1  tức là các dãy ( xn -1) mang giá trị dương

+ Điểm a 1 các dãy xn  a, (a 1) thì ta thấy rằng dù cho x a+ hay x

a- thì các dãy (xn -1) không đổi dấu

(!): Nhận xét: Tổng vô hạn các đại lượng có giới hạn 0 chưa chắc đã có giới hạn 0

(tức là các phép toán giới hạn tổng, hiệu, tích, thương chỉ phát biểu và

được sử dụng cho hữu hạn các số hạng )

Vì vậy thường sử dụng phép đánh giá kẹp giữa và phép biến đổi phân tích đểtính toán các tổng vô hạn các đại lượng có giới hạn 0

3

1, không tăng cũng không giảm

(!): Lời giải đưa ra không đúng, vì định lý về dãy đơn điệu bị chặn thì cógiới hạn chỉ là nêu lên điều kiện đủ mà không phải là điều kiện cần để dãy số cógiới hạn

Mặt khác cũng cần lưu ý rằng: Những số hạng đầu tiên của dãy số khôngảnh hưởng tới sự tồn tại giới hạn của dãy số Chẳng hạn, kể từ số hạng thứ 102007

dãy số bắt đầu tiến và bị chặn trên thì dãy số vẫn có giới hạn, còn các số hạng từ (

Vậy thường sử dụng phép đánh giá kẹp giữa hai đại lượng có cùng giới hạn

đó là:

n n

n n

n n n

n

1 1

1 1

1 1

1 1

2

1

2 2

2 2



 = 0 nên  

1

1 lim

đ-Học sinh áp dụng định lí nhưng không hiểu rõ phạm vi áp dụng của định lí

Nhiều ví dụ khác xung quanh chủ đề giới hạn, xét tính liên tục, khả vi củahàm số cho bởi nhiều công thức, tập xác định chia thành nhiều khoảng,

Ví dụ30: Tìm giới hạn của hàm số f(x) =

g(x) khi x ah(x) khi a x b(x) khi x b

Rất nhiều học sinh suy nghĩ rằng do x   ; a do đó lim g(x)x a g(a)

  Thực ra lờigiải đúng phải xét giới hạn bên phải, bên trái tại x = a

+ Khó khăn sai lầm về kĩ năng biến đổi

Ví dụ 31: Tìm

1

1 lim 2

3 2 lim

2 2

x

x

(?): Học sinh biến đổi là:

1 1 16

3 2 lim

2 2

x

x x x

1

1 16

3 2 1 1 lim

2

2

=

x x

x x

1

1 16

3 2 1 1 lim

(!): Thực ra ở đây học sinh thường hay nhầm lẫn khi đưa biểu thức ra khỏi dấu căndạng x 2 x, kết quả trên chỉ đúng khi x  + nên phải biến đổi

1 2

x x x x

16 1

16

x x

Khi đó:

1 1 16

3 2 lim

2 2

x x x

x

x x x x

16

3 2 1 1 lim

1 16

3 2 1 1 lim

5

4 1 1

1 16

3 2 1 1 lim

2 2 2 2

x x

x x

x x

x x

x x

Một sai lầm mà học sinh hay mắc phải là khi đã định hướng phân chia ra haitrường hợp x  và x   rồi nhưng khi biến đổi chỉ xét có một trong haitrường hợp thường là với x  ra đến kết quả, lấy kết quả này thay đổi dấu vàkết luận là của trường hợp x   , nhưng qua ví dụ này kết quả lại không nhưvậy

+ Khó khăn sai lầm về định hướng kĩ năng tính toán

Ví dụ 33: Tính

n n n

n n

2 2

(?):

Thực hiện:

n n n

n n

1 2

1 4 lim

2

2

n n n

n n

1 2

1 4 lim

2 2

n n

n n

(!): Khi tìm giới hạn, một số học sinh không có thói quen định hướng và xácđịnh dạng, trước khi biến đổi tính toán đại số, nếu ngay từ đầu xác định được khi n

 thì tử số và mẫu số đều có dạng vô định (-) thì ta phải khử dạng vô địnhnày trước, cụ thể:

Tính:

n n n

n n

2

1 4

1 1 4 1 1

4

4 lim

1 2 1 4

1 4 1

4

1 2 1

4

lim

2

2 2

2 2

2 2

2

2 2

n n

n n

n n

n

n n

n n

n

n

n n

n n

Khi tìm giới hạn, một số học sinh không có thói quen xác định đúng dạngthuộc lọai vô định nào trước khi định hướng biến đổi tính toán đại số, do đó xemcác dạng: (-) + (-), (+) + (+), (+) - (-), (-) - (+) đều thuộc dạng vôđịnh là () - (), nên hay áp dụng các kỹ thuật tính toán khử dạng vô định này đểgiải Đôi khi việc áp dụng cho phép tính được kết quả giới hạn, nhưng đa số các tr-ường hợp khác chỉ dẫn tới các dạng vô định loại khác nữa, chẳng hạn:

1 lim

1

1 1

1 lim

1

1 lim

1

2 2

2 2

x x

x x

x

x x

0

0)

Nên đối với những dạng đó nếu hiểu được bản chất và kết hợp với các bảng kết quả phép toán vô cực đã lập thì sẽ có ngay đáp số:

Ví dụ 35: xlim  (x2 – x) = xlim  x2 - xlim  x = +

x x

x

x

+ Sai lầm trong giải tích do quen với tính hữu hạn trong đại số

Các đối tượng trong môn đại số gắn liền với quá trình hữu hạn, trong khi đócác vấn đề trong giải tích thường liền với quá trình vô hạn Vì vậy, tính hữu hạncủa đại số có thể khiến học sinh gặp khó khăn trong nhận thức hay sai sót khi xemxét các vấn đề trong giải tích

Ví dụ 39: Đối với bài toán: tính lim

2

2 1 2



n + lim

2

2 2



n + + lim

2 2

+ Sai lầm do vận dụng máy móc các phép toán trong đại số vào giải tích

Ví dụ 40: Khi tính lim

1

cos 4 sin 3





n

n n

Có học sinh giải như sau:

Vì lim

1

cos 4 sin

= lim

1

sin 3





n

n n

= 0+ 0 = 0

Bình luận: phải chứng tỏ lim

1

sin 3