TOM TAT LUAN AN một số PHƯƠNG PHÁP GIẢI bài TOÁN cân BẰNG có cấu TRÚC

EPf , CĐiểm lý thú của bài toán này là nó bao hàm một loạt các bài toán riêng lẻ khác nhautrong một thể thống nhất, chẳng hạn như bài toán tối ưu, bài toán cân bằng Nash,bài toán điểm bấ

MỞ ĐẦU

Cho C là tập lồi, đóng, khác rỗng trong không gian Hilbert thực H, f : C × C → R

là song hàm thỏa mãn tính chất cân bằng f(x, x) = 0 với mọi x ∈ C Bài toán cân bằng của song hàm f trên C được phát biểu như sau:

tìm x ∗ ∈ C sao cho f(x ∗ , y) ≥ 0 ∀ y ∈ C. (EP(f , C))Điểm lý thú của bài toán này là nó bao hàm một loạt các bài toán riêng lẻ khác nhautrong một thể thống nhất, chẳng hạn như bài toán tối ưu, bài toán cân bằng Nash,bài toán điểm bất động, bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm yên ngựa Mặtkhác, các phương pháp giải và kết quả nghiên cứu của từng bài toán riêng lẻ nóitrên có thể được mở rộng và tổng quát hóa để áp dụng trở lại cho bài toán cân bằng.Các nghiên cứu về bài toán EP(f , C) có thể tạm chia thành hai hướng: các nghiêncứu định tính bao gồm nghiên cứu sự tồn tại nghiệm, cấu trúc tập nghiệm, sự ổnđịnh nghiệm và các nghiên cứu định lượng, bao gồm đề xuất các giải thuật, nghiêncứu tốc độ hội tụ của các thuật toán , áp dụng bài toán cân bằng vào thực tế Trongcác hướng nghiên cứu trên, việc đề xuất các thuật giải cho bài toán cân bằng chiếmmột tỉ trọng lớn Các phương pháp chính để giải bài toán cân bằng có thể kể đếnnhư: phương pháp chiếu, phương pháp phân rã, phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov,phương pháp điểm gần kề, phương pháp hàm đánh giá Đặc điểm chung của cácphương pháp giải xấp xỉ bài toán cân bằng là chúng sinh ra một dãy lặp hội tụ tớinghiệm của bài toán Nói chung, trên mỗi bước lặp của thuật toán, ta cần giải mộtbài toán phụ Chi phí tính toán để giải các bài toán phụ này là một trong những yếu

tố chính ảnh hưởng đến tính hiệu quả và tốc độ của thuật toán Một trong những

ý tưởng để giảm chi phí tính toán cho các bài toán phụ là phân rã song hàm f ban đầu thành tổng hoặc hiệu các song hàm thành phần: f = f1± f2 Khi đó, thay vì xử

lí song hàm f , ta chỉ cần làm việc với từng song hàm thành phần Ý tưởng này đặc biệt hữu ích khi song hàm f có dạng phức tạp, trong khi các song hàm thành phần

có các dạng đơn giản hoặc đặc biệt Phương pháp phân rã đã được áp dụng rộng rãicho các bài toán tối ưu và bất đẳng thức biến phân và thu được các kết quả rất đángkhích lệ Chúng tôi cho rằng việc mở rộng phương pháp này sang bài toán cân bằng

là cần thiết Đây là một trong những vấn đề sẽ được giải quyết trong luận án

Khi áp dụng bài toán cân bằng vào trong thực tế, ta có thể gặp tình huống tậpràng buộc của bài toán không được cho dưới dạng hiển Chẳng hạn, mô hình điều

khiển công suất của mạng viễn thông CDMA có thể dẫn đến bài toán cân bằng với

tập ràng buộc cho bởi tập điểm bất động của ánh xạ không giãn T:

tìm x ∗ ∈ Fix(T) sao cho f(x ∗ , y) ≥ 0 ∀ y ∈ Fix(T), (EP(f , Fix(T)))

trong đó Fix(T) := { t ∈ C : T(t) = t } Bài toán nói trên chính là một trường hợpriêng của bài toán cân bằng hai cấp, tức là bài toán cân bằng với tập ràng buộc làtập nghiệm của một bài toán cân bằng khác

tìm x ∗ ∈ Sol(g, C) sao cho f(x ∗ , y) ≥ 0 ∀ y ∈ Sol(g, C), (BEP(f , g, C))

với Sol(g, C) := { t ∈ C : g(t, y) ≥ 0 ∀ y ∈ C },

trong đó f , g là các song hàm cân bằng trên C Mặc dù bài toán cân bằng hai cấp

rất thú vị và có nhiều ứng dụng trong thực tế, việc giải nó còn gặp nhiều khó khăn.Theo hiểu biết của người viết, cho đến nay có rất ít phương pháp giải cho bài toánBEP(f , g, C) Việc đề xuất các phương pháp mới, hiệu quả để giải bài toán cângbằng hai cấp cùng các trường hợp riêng của nó là rất cần thiết Các vấn đề này sẽđược giải quyết trong luận án

Ngoài ra, việc kết hợp bài toán cân bằng và bài toán điểm bất động cũng là một

đề tài lý thú Trong khi bài toán cân bằng mới chỉ được nghiên cứu tập trung trongkhoảng 20 năm gần đây, bài toán điểm bất động đã có lịch sử phát triển trên 100năm Có rất nhiều phương pháp lặp đã được đề xuất để tìm điểm bất động củamột hoặc một họ ánh xạ không giãn, ví dụ phương pháp lặp kiểu Halpern, phươngpháp lặp kiểu Mann Bằng việc kết hợp hai bài toán nói trên, ta có thể tận dụngđược các kĩ thuật đã có trong lý thuyết điểm bất động để đề xuất và chứng minhtính hội tụ của các thuật toán mới cho bài toán cân bằng Trong chương cuối củaluận án, chúng tôi sẽ xét bài toán tìm nghiệm chung của bài toán cân bằng và bàitoán điểm bất động của ánh xạ không giãn EP(f , C)∩ Fix(T) Trong luận án, chúngtôi sẽ tập trung nghiên cứu các nội dung sau:

• Xây dựng phương pháp giải bài toán cân bằng với song hàm phân rã thành

tổng hoặc hiệu các song hàm thành phần

• Xây dựng phương pháp giải bài toán cân bằng hai cấp cùng các trường hợp

riêng của nó

• Xây dựng phương pháp tìm nghiệm chung của bài toán cân bằng và bài toán

điểm bất động của các ánh xạ không giãn

Tất cả các thuật toán đề xuất trong luận án đều được chứng minh là hội tụ Chúngtôi cũng tiến hành một vài thử nghiệm số để so sánh các thuật toán mới với cácthuật toán đã có đồng thời áp dụng chúng vào một số mô hình thực tế Ngoài phần

mở đầu, kết luận, danh mục các công trình đã công bố của tác giả có liên quan đếnluận án và danh mục tài liệu tham khảo, luận án gồm 4 chương:

• Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị.

• Chương 2 Bài toán cân bằng với song hàm phân rã thành tổng hoặc hiệu các

song hàm thành phần

• Chương 3 Bài toán cân bằng hai cấp.

• Chương 4 Tìm nghiệm chung của bài toán cân bằng và bài toán điểm bất động.

Các kết quả chính của luận án được công bố trong 7 bài báo trên các tạp chí thuộcdanh mục ISI: Revista de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales.Serie A Matemáticas, Numerical Algorithms, Optimization, Numerical FunctionalAnalysis and Optimization, Journal of Optimization Theory and Applications, Jour-nal of Fixed Point Theory and Applications, Miskolc Mathematical Notes và đượcbáo cáo tại:

• 7th International Conference on High Performance Scientific Computing, Hà

• Hội nghị khoa học khoa Toán - Cơ - Tin học tại Đại học Khoa Học Tự Nhiên,

Đại học Quốc Gia Hà Nội vào ngày 01/10/2016

• Xêmina Bài toán cân bằng và các vấn đề liên quan, Viện Nghiên Cứu Cao Cấp

Về Toán, ngày 27/09/2016

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

1.1 Các khái niệm và kết quả cơ bản

Cho H là không gian Hilbert thực được trang bị tích vô hướng ⟨., ⟩ và chuẩn tươngứng ∥.∥ Giả sử C ⊂ H là tập lồi, khác rỗng, x0 ∈ C Tập

được gọi là nón pháp tuyến (ngoài) của C tại x0 Dễ thấy N C(x0)là một nón lồi, đóng,

khác rỗng Cho x ∈ H là điểm bất kì Khi đó

d C(x) := inf

y ∈ C ∥ y − x ∥ được gọi là khoảng cách từ x đến tập C Giả sử tồn tại điểm x0 ∈ C thỏa mãn d C(x) =

x − x0 , ta gọi x0 là hình chiếu của x lên C, kí hiệu x0 = P C(x) Ánh xạ P C : H → C được gọi là phép chiếu (vuông góc) lên C Ánh xạ này là công cụ sắc bén, đóng vai trò

quan trọng trong các thuật giải bài toán cân bằng và bất đẳng thức biến phân

Mệnh đề 1.1.Cho C ∈ H là tập lồi, đóng, khác rỗng Khi đó,

• Với mọi x ∈ H, P C(x) luôn tồn tại duy nhất, đồng thời x0 = P C(x) khi và chỉkhi⟨

y − x0, x − x0⟩

≤ 0 ∀ y ∈ C.

• Ánh xạ P Ccó tính chất không giãn vững (hoặc 1-đơn điệu mạnh ngược), tức là,

∥ P C(x)− P C(y)∥2 ≤ ⟨ P C(x)− P C(y), x − y ⟩ ∀ x, y ∈ H.

• Với mọi x ∈ H, x0 = P C(x)khi và chỉ khi x − x0 ∈ N C(x0)

Định nghĩa 1.2. Cho g : H → R∪ {+∞} , x0 ∈ H Nếu tập

Định nghĩa 1.4. Song hàm f : C × C → R được gọi là

1 γ-đơn điệu mạnh trên C nếu tồn tại hằng số γ > 0 sao cho với mọi x, y ∈ C,

f(x, y) + f(y, x) ≤ − γ ∥ x − y ∥2;

2 đơn điệu chặt trên C nếu với mọi x ̸= y ∈ C, ta có f(x, y) + f(y, x ) < 0;

3 đơn điệu trên C nếu với mọi x, y ∈ C, ta có f(x, y) + f(y, x) ≤ 0;

4 γ-giả đơn điệu mạnh trên C nếu tồn tại hằng số γ > 0 sao cho với mọi x, y ∈ C,

f(x, y) ≥ 0 ⇒ f(y, x) ≤ − γ ∥ x − y ∥2;

5 giả đơn điệu trên C nếu với mọi x, y ∈ C, ta có f(x, y) ≥ 0 ⇒ f(y, x) ≤ 0

6 thỏa mãn điều kiện Lipschitz nếu tồn tại hai hằng số c1, c2 > 0 sao cho

f(x, y) + f(y, z) ≥ f(x, z)− c1∥ x − y ∥2− c1∥ y − z ∥2

1.2 Bài toán cân bằng và mối liên hệ với các bài toán

khác

1.2.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân

Cho F : C → C là một ánh xạ, bài toán bất đẳng thức biến phân của ánh xạ F trên tập C được phát biểu dưới dạng

tìm x ∗ ∈ C sao cho ⟨ Fx ∗ , y − x ∗ ⟩ ≥ 0 ∀ y ∈ C. (VI(F, C))

Dễ thấy bài toán VI(F, C) chính là trường hợp đặc biệt của EP(f , C) bằng cách đặt

f(x, y) := ⟨ Fx, y − x ⟩ Có thể nói bài toán bất đẳng thức biến phân chính là trườnghợp riêng quan trọng nhất của bài toán cân bằng Bản thân bài toán VI(F, C) cũng

là một đề tài lý thú, thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của đông đảo các nhàkhoa học trong và ngoài nước Rất nhiều phương pháp giải bài toán cân bằng được

mở rộng trực tiếp từ các phương pháp tương ứng dành cho bài toán bất đẳng thứcbiến phân Cần lưu ý rằng bản thân bài toán bất đẳng thức biến phân cũng bao hàmmột loạt các bài toán khác như: bài toán bù phi tuyến, bài toán điểm bất động

1.2.2 Bài toán cân bằng Nash trong trò chơi không hợp tác

Lý thuyết trò chơi hiện đại được cho là “con đẻ” của nhà toán học John von mann và nhà kinh tế học Oskar Morgenstern Đây là hai đồng tác giả của cuốn sách

Neu-có tựa đề "Theory of Games and Economic Behaviour" được xuất bản năm 1944.Đến đầu những năm 1950, Nash đưa ra khái niệm “điểm cân bằng Nash” trong tròchơi không hợp tác Cân bằng Nash đạt được khi không một người chơi nào có thểtăng được lợi ích bằng cách thay đổi chiến lược của mình trong khi các đối thủ khác

vẫn giữ nguyên chiến lược của họ Một cách tổng quát, giả sử có n người tham gia một trò chơi không hợp tác Người chơi thứ i có tập chiến lược là C i và có hàm lợi

ích là f i : C → R với C = C1× C n Mục tiêu của mỗi người chơi là tìm kiếm một

chiến lược cho riêng mình để tối đa hóa lợi ích f i Điểm x ∗ ∈ C được gọi là điểm cân bằng Nash nếu với mọi y = (y1, , y n) ∈ C,

bài toán tìm điểm cân bằng Nash có thể đưa về bài toán cân bằng EP(f , C) Song

hàm f được định nghĩa ở trên gọi là song hàm Nikaido-Isoda.

1.2.3 Bài toán điểm yên ngựa

Xét hai không gian Hilbert thực H1, H2 Giả sử C ⊂ H1, D ⊂ H2 là hai tập lồi, đóng,

khác rỗng, L : C × D → R là song hàm Bài toán điểm yên ngựa (Saddle point

problem) được phát biểu như sau

của EP(f , C) cũng được trình bày.

Định lý 1.8.1 Cho C ⊂ H là tập lồi, đóng, khác rỗng, f : C × C → R là song hàm cân

bằng, giả đơn điệu, thỏa mãn điều kiện: với mọi x ∈ C, hàm số f(., x) hê-mi liên tục và hàm

số f(x, ) lồi, nửa liên tục dưới trên C Giả sử điều kiện bức sau được thỏa mãn:

tồn tại một tập compắc B sao cho: ∀ x ∈ C \ B, ∃ y ∈ C : f(x, y ) < 0

Khi đó, bài toán cân bằng EP(f , C)có ít nhất một nghiệm.

Mệnh đề 1.2.1 Giả sử song hàm f giả đơn điệu mạnh (hoặc đơn điệu chặt) trên C Khi đó, bài toán EP(f , C) có tối đa một nghiệm.

Định lý 1.9.1 Cho C ⊂ H là tập lồi, đóng, khác rỗng, f : C × C → R là song hàm cân

bằng, giả đơn điệu mạnh và thỏa mãn điều kiện: với mọi x ∈ C, hàm số f(., x) hê-mi liên tục và hàm số f(x, ) lồi, nửa liên tục dưới trên C và khả dưới vi phân tại một điểm nào đó thuộc H Khi đó, bài toán cân bằng EP(f , C) có đúng một nghiệm.

Định lý 1.10.1 Cho C ⊂ H là tập lồi, đóng, khác rỗng, f : C × C → R là song hàm cân

bằng, giả đơn điệu và thỏa mãn: với mọi x ∈ C, các hàm số f(., x) nửa liên tục trên, f(x, )

lồi trên C Khi đó,

(a) S d = S,

(b) S là tập lồi, đóng.

1 L.D Muu, N.V Quy (2015) On existence and solution methods for strongly pseudomonotone equilibrium problems Vietnam J Math 43, 229 - 238.

Chương 2

Bài toán cân bằng với song hàm phân rã thành tổng hoặc hiệu các song hàm thành phần

Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày một số phương phân rã cho bài toán cânbằng Đây được biết đến như là một phương pháp hiệu quả trong tối ưu để giảiquyết các bài toán với hàm mục tiêu có dạng phức tạp, nhiều thành phần Ý tưởngchính của phương pháp là tách hàm mục tiêu thành tổng hoặc hiệu của các hàm códạng đơn giản hơn Khi đó, thay vì phải xử lí trực tiếp hàm mục tiêu ban đầu, ta chỉcần làm việc với các hàm thành phần, nhờ đó, ta có thể tận dụng được các tính chất

và dạng đặc biệt của chúng

2.1 Phân rã song hàm thành tổng của hai song hàm

thành phần

Cho C ⊂ H là tập lồi, đóng, có miền trong khác rỗng Ta xét bài toán EP( f , C) với

f := f1+ f2, trong đó f i : C × C → R, i = 1, 2, là các song hàm thành phần Ký hiệulớp bài toán này là EPS(f , C)

Định nghĩa 2.2. Song hàm f : C × C → R được gọi là thỏa mãn điều kiện Lipschitz

kiểu mới nếu tồn tại hằng số Q > 0 sao cho với mọi x, y, z ∈ C,

| f(x, y) + f(y, z) − f(x, z)| ≤ Q ∥ x − y ∥∥ y − z ∥

Định nghĩa 2.3. Song hàm f : C × C → R được gọi là liên tục τ-H¨older từng phần

trên C nếu tồn tại các hằng số L > 0 và τ ∈ (0, 1] sao cho với mọi x, y, z ∈ C, ít nhất

một trong hai điều kiện sau được thỏa mãn

(a) | f(x, y)− f(z, y)| ≤ L ∥ x − z ∥ τ;

(b) | f(x, y)− f(x, z)| ≤ L ∥ y − z ∥ τ.

Giả thiết 2.1.Ta xét bài toán EPS(f , C) với các giả thiết sau:

(A1) Với mọi x, hàm f(., x) nửa liên tục trên trên C.

(A2) Song hàm f là γ-giả đơn điệu mạnh trên C.

(A3) Với mỗi x ∈ C, các hàm số f i(x, ) nửa liên tục dưới, lồi, khả dưới vi phân trên

Nếu x k = y k = x k+1, dừng thuật toán Ngược lại, đi đến Bước 2.

Bước 2. Cập nhật k := k+1 quay trở lại Bước 1.

Định lý 2.1. Cho f : C × C → R là song hàm được phân rã thành f := f1+ f2 Giả sử các điều kiện của Giả thiết 2.1 được thỏa mãn, f1 thỏa mãn điều kiện Lipschitz kiểu mới với hằng số Q, f2 liên tục τ-H¨older từng phần trên C Khi đó, với mọi x0 ∈ C, với mọi dãy { λ k } thỏa mãn điều kiện

x k+1 = y k+z k

2 .

Nếu x k = y k = z k, thì dừng thuật toán Ngược lại, đi đến Bước 2.

Bước 2. Cập nhật k := k+1 và quay trở lại Bước 1.

Định lý 2.2. Cho f : C × C → H, f = f1+ f2 Giả sử các điều kiện trong Giả thiết 2.1 được thỏa mãn, f i liên tục τ i -H¨older từng phần, i = 1, 2 Khi đó, với mọi x0 ∈ C và dãy { λ k } thỏa mãn điều kiện ∑∞k= 1λ k = ∞, ∑∞k= 1(λ k)2−2τ < ∞, trong đó, τ = min { τ1,τ2} , dãy { x k } sinh ra bởi Thuật toán 2.3 hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất x ∗ của bài toán

2.1.3 Trường hợp song hàm chứa nhiễu

Giả sử f = f1+ f2, trong đó song hàm f1 được cho chính xác còn f2 là song hàm

chứa nhiễu, tức là, thay vì biết được f2, ta chỉ biết được phiên bản nhiễu g δ(x, y)của

nó, g δ(x, y) thỏa mãn điều kiện

x k+1 = argmin

{

λ k g k(y k , t) + 12∥ t − y k ∥2 : t ∈ C

},

hội tụ mạnh tới nghiệm x ∗ của bài toán EP

S(f , C).

2.2 Phân rã song hàm thành hiệu của hai song hàm

Giả thiết 2.2.Ta xét bài toán EPD(f , C) với các giả thiết sau

(B1) Tập nghiệm của bài toán EPD(f , C) khác rỗng

(B2) f1đơn điệu mạnh trên C.

(B3) f1thỏa mãn điều kiện Lipschitz kiểu mới trên C.

(B4) f2liên tục τ-H¨older từng phần trên C.

(B5) Với mỗi x ∈ C, các hàm số f1(x, ) và f2(., x) nửa liên tục dưới, lồi và khả dưới

vi phân trên C.

Lưu ý rằng, với Giả thiết 2.2, song hàm f không nhất thiết phải lồi theo biến thứ

nhất hoặc thứ hai Ngoài ra, nó cũng không nhất thiết phải thỏa mãn bất cứ điều

kiện nào về tính liên tục và đơn điệu trên C Để giải bài toán EP(f , C), chúng tôi đềxuất thuật toán phân rã sau

Bước 2. Cập nhật k := k+1 và quay lại Bước 1.

Định lý 2.4. Cho f : C × C → R, f = f1 − f2 Giả sử các điều kiện trong Giả thiết 2.2 được thỏa mãn Khi đó, với mọi x0 ∈ C và với mọi dãy { λ k } thỏa mãn hai điều kiện (A4), (A5), dãy { x k } sinh ra bởi Thuật toán 2.4 hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất của bài toán

EPD(f , C).

Hệ quả 2.2. Giả sử các điều kiện (B1), (B2), (A4) và (A5) thỏa mãn Ngoài ra, giả sử rằng (C1) Với mọi x ∈ H, f1(x, )nửa liên tục dưới, lồi và khả dưới vi phân trên C,

(C2) Với mọi x ∈ C, f2(., x) nửa liên tục dưới, lồi và khả dưới vi phân trên H,

(C3) f1thỏa mãn điều kiện Lipschitz trên H,

(C4) f2liên tục τ-H¨older từng phần trên H.

Khi đó, dãy { x k } sinh ra bởi

x k+1 = argmin

{

λ k f2(t, y k) + 12∥ t − y k ∥2 : t ∈ H

}

hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất của bài toán EP D(f , C).

Giả sử tập dưới vi phân ∂ f2(., x)(x) có thể tính được dễ dàng với mọi x ∈ C, đồng

thời điều kiện sau được thỏa mãn

(C4’)Tồn tại hằng số M > 0 sao cho với mọi x ∈ C và với mọi ξ ∈ ∂ f2(., x)(x), ta có

Khi đó, dãy { x k } sinh ra bởi (2.40) hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất của bài toán EP D(f , C).

2.3 Phương pháp phân rã kết hợp ergodic

Ta xét bài toán EP(f , C) với song hàm f được phân rã thành tổng của hai song hàm thành phần f := f1+ f2 Để giảm nhẹ điều kiện đặt lên song hàm f cũng như các

song hàm thành phần, chúng tôi sẽ kết hợp thuật toán phân rã với phương phápergodic