MỘT số PHƯƠNG PHÁP GIẢI bài TOÁN cân BẰNG có cấu TRÚC

Giả sử tại bước lặp k, biết x k , ta tính xấp xỉ tiếp theo x k+1 = J λ fx k, trong đó, J λ f là giải thức của song hàm f với tham số λ >0, được cho bởi: ra, thao tác giải bài toán cân bằ

BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan những kết quả trình bày trong luận án này, dưới sự hướngdẫn của TS Lê Quang Thủy và GS TSKH Phạm Kỳ Anh, là trung thực và chưatừng được công bố trong bất kỳ công trình của ai khác Những kết quả viết chungvới thầy hướng dẫn và các cộng sự đã được sự đồng ý của các đồng tác giả khiđưa vào luận án

Hà nội, ngày 02 tháng 10 năm 2018

Tôi xin chân thành cảm ơn Viện Toán ứng dụng và Tin học, Viện Sau đại học,trường Đại học Bách Khoa Hà Nội đã tạo điều kiện cho tôi có nhiều thời gian tậptrung nghiên cứu để hoàn thành luận án và khóa học nghiên cứu sinh Công tácquản lý đào tạo và môi trường nghiên cứu của Trường đã góp phần không nhỏ

để cho luận án này được hoàn thành đúng dự định

Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy, các anh chị và các bạn trong nhómXêmina liên cơ quan Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Bách Khoa Hà Nội, Việnnghiên cứu cao cấp về Toán Nhóm đã tạo cho tôi nhiều cảm hứng trong nghiêncứu khoa học và sự gắn bó với môi trường nghiên cứu Đặc biệt, tôi xin gửi lờicám ơn chân thành tới GS TSKH Lê Dũng Mưu Thầy đã giúp đỡ tôi rất nhiều

về chuyên môn, gợi ý cho tôi những ý tưởng mới trong nghiên cứu

Bản luận án này sẽ không thể hoàn thành nếu không có sự thông cảm, chia sẻ

và giúp đỡ của những người thân trong gia đình Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâusắc tới bố mẹ, các anh chị em trong hai bên gia đình nội ngoại Đặc biệt xin cảm

ơn vợ và hai con gái yêu quý, những người đã vì tôi mà phải chịu nhiều thiệt thòivất vả; đã luôn cảm thông và sẻ chia gánh nặng cùng tôi suốt những năm thángqua để tôi có thể hoàn thành luận án này

MỤC LỤC

Trang

1.1 Các khái niệm và kết quả cơ bản 16

1.2 Bài toán cân bằng và mối liên hệ với các bài toán khác 20

1.2.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân 20

1.2.2 Bài toán cân bằng Nash trong trò chơi không hợp tác 22

1.2.3 Bài toán điểm yên ngựa 22

1.3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán cân bằng 23

Chương 2 Bài toán cân bằng với song hàm phân rã thành tổng hoặc hiệu các song hàm thành phần 27 2.1 Phân rã song hàm thành tổng của hai song hàm thành phần 28

2.1.1 Thuật toán phân rã tuần tự 31

2.1.2 Thuật toán phân rã song song 35

2.1.3 Trường hợp song hàm chứa nhiễu 37

2.1.4 Thử nghiệm số và ứng dụng 39

2.2 Phân rã song hàm thành hiệu của hai song hàm thành phần 46

2.2.1 Thuật toán và sự hội tụ 47

2.2.2 Thử nghiệm số 51

2.3 Phương pháp phân rã kết hợp ergodic 55

2.3.1 Phương pháp ergodic-phân rã tuần tự 55

2.3.2 Phương pháp ergodic-phân rã song song 60

2.3.3 Thử nghiệm số 63

Chương 3 Bài toán cân bằng hai cấp 67 3.1 Phương pháp chiếu dưới đạo hàm cho bài toán cân bằng hai cấp 68

3.1.1 Thuật toán và sự hội tụ 68

3.1.2 Áp dụng cho bài toán EP(f , Fix(T)) 75

3.1.3 Thử nghiệm số và ứng dụng 76

3.2 Phương pháp ánh xạ co cho bài toán EP(f , Fix(T)) 82

3.2.1 Tính co của ánh xạ nghiệm U λ 82

3.2.2 Thuật toán ánh xạ co cho bài toán cân bằng trên tập điểm bất động 87

3.2.3 Thử nghiệm số 92

Chương 4 Nghiệm chung của họ hữu hạn bài toán cân bằng và bài toán điểm bất động 96 4.1 Tìm nghiệm chung của họ hữu hạn các bài toán cân bằng và điểm bất động 97

4.1.1 Thuật toán Armijo lai ghép 97

4.1.2 Thử nghiệm số 109

4.2 Tìm nghiệm chung của họ hữu hạn các bài toán cân bằng và bài toán điểm bất động của nửa nhóm không giãn 113

4.2.1 Thuật toán đạo hàm tăng cường lai ghép 114

4.2.2 Thử nghiệm số 118

BẢNG KÍ HIỆU

R Tập hợp các số thực

R+ Tập hợp các số thực không âm

H Không gian Hilbert thực

⟨ x, y ⟩ Tích vô hướng của hai véc tơ x và y

∥ x ∥ Chuẩn của vectơ x trong không gian Hilbert H

x n → x Dãy{ x n } hội tụ mạnh tới x

x n ⇀ x Dãy{ x n } hội tụ yếu tới x

Rn Không gian Hilbert thực n chiều với tích vô hướng

Fix(S) Tập điểm bất động của ánh xạ S

VI(A, C) Bài toán bất đẳng thức biến phân của toán tử A trên C

Sol(A, C) Tập nghiệm của bất đẳng thức biến phân cho toán tử A trên C

EP(f , C) Bài toán cân bằng của song hàm f trên C

Sol(f , C) Tập nghiệm của bài toán cân bằng cho song hàm f trên C

EPS(f , C) Bài toán cân bằng với song hàm được phân rã thành tổng

BẢNG CÁC CHỮ VIẾT TẮT

CDMA Mạng đa truy cập phân chia theo mã

MỞ ĐẦU

Cân bằng (equilibria) thường được hiểu như là một trạng thái đồng đều giữacác quá trình hoặc lực lượng đối lập Trong Cơ học, hệ vật đạt được trạng tháicân bằng khi tổng các lực tác động vào hệ vật đó bằng 0 Trong Sinh học, một hệsinh thái ở trạng thái cân bằng khi số loài thú mồi và săn mồi đạt được tỉ lệ tươngđồng nhau Cân bằng là một trạng thái rất quan trọng của vạn vật Mọi sự tồn tạitrong tự nhiên muốn bền vững, phải đạt được trạng thái này

Trong Toán học, mô hình cân bằng có thể được xem như mở rộng của mô hìnhtối ưu hóa với nhiều chủ thể tham gia Mỗi chủ thể có mục tiêu khác nhau, thậmchí đối lập nhau Do đó, rất khó tìm được một phương án tối ưu cho tất cả cácchủ thể Trong tình huống này, mô hình cân bằng tỏ ra phù hợp, để giải quyết cácmâu thuẫn về lợi ích

Cho C là tập lồi, đóng, khác rỗng trong không gian Hilbert thực H, f : C × C →

R là song hàm thỏa mãn tính chất cân bằng f(x, x) = 0 với mọi x ∈ C Xét bài

toán

tìm x ∗ ∈ C sao cho f(x ∗ , y) ≥0 ∀ y ∈ C. (EP(f , C))Bài toán EP(f , C)được H Nikaido và K Isoda [60] đề xuất lần đầu vào năm 1955nhằm tổng quát hóa bài toán cân bằng Nash Năm 1972, nó tiếp tục được Ky Fannghiên cứu dưới dạng bất đẳng thức minimax [31] Tên gọi Bài toán cân bằngđược GS Lê Dũng Mưu và W Oettli đưa ra vào năm 1992 [55] Điểm lý thú củabài toán này là nó bao hàm một loạt các bài toán riêng lẻ khác nhau trong mộtthể thống nhất, chẳng hạn như bài toán tối ưu, bài toán cân bằng Nash, bài toánđiểm bất động, bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm yên ngựa Ví dụ, khi

chọn f(x, y) := g(y)− g(x), trong đó g : C → R, bài toán EP(f , C) sẽ trở thànhbài toán tối ưu

tìm x ∗ ∈ C sao cho g(x ∗) ≤ g(y) ∀ y ∈ C. (OP(g, C))

Trong trường hợp f(x, y) := ⟨ Fx, y − x ⟩ , với F : C → C là một ánh xạ, bài toán

cân bằng sẽ trở thành bài toán bất đẳng thức biến phân

tìm x ∗ ∈ C sao cho ⟨ Fx ∗ , y − x ∗ ⟩ ≥ 0 ∀ y ∈ C. (VI(F, C))

Mặt khác, các phương pháp giải và kết quả nghiên cứu của từng bài toán riêng

lẻ nói trên có thể được mở rộng và tổng quát hóa để áp dụng trở lại cho bài toáncân bằng

Các nghiên cứu về bài toán EP(f , C) có thể tạm chia thành hai hướng: cácnghiên cứu định tính bao gồm nghiên cứu sự tồn tại nghiệm, cấu trúc tập nghiệm,

sự ổn định nghiệm [10, 12, 30, 45, 54] và các nghiên cứu định lượng, bao gồm đềxuất các giải thuật, nghiên cứu tốc độ hội tụ của các thuật toán [6,7,15,28,32,44,57,65,70], áp dụng bài toán cân bằng vào thực tế [36,38,64] Trong các hướng nghiêncứu trên, việc đề xuất các thuật giải cho bài toán cân bằng chiếm một tỉ trọnglớn Hai phương pháp chính để giải bài toán cân bằng là phương pháp điểm gần

kề [8] và phương pháp chiếu tổng quát [65] Phương pháp điểm gần kề (PPM Proximal Point Method) bao gồm việc giải một bài toán cân bằng hiệu chỉnh tại

-mỗi bước lặp Giả sử tại bước lặp k, biết x k , ta tính xấp xỉ tiếp theo x k+1 = J λ f(x k),

trong đó, J λ f là giải thức của song hàm f với tham số λ >0, được cho bởi:

ra, thao tác giải bài toán cân bằng phụ tại mỗi bước lặp khiến cho phương phápPPM khá phức tạp về mặt tính toán Phương pháp chiếu tổng quát có thể khắc

phục các nhược điểm này của PPM Tại bước lặp k, giả sử biết x k, ta tính xấp xỉ

tiếp theo x k+1 =U λ f(x k), trong đó, U λ f là ánh xạ nghiệm của song hàm f với tham

sốλ > 0, được cho bởi

bài toán VI(F, C) với giả thiết F giả đơn điệu mạnh và liên tục Lipschitz trên C.

Trong luận án, chúng tôi sẽ mở rộng kết quả này cho bài toán cân bằng

Để giảm nhẹ điều kiện đặt lên song hàm f , các tác giả trong [65] đã đề xuất

phương pháp đạo hàm tăng cường cho bài toán cân bằng:

điểm yên ngựa [48] Với giả thiết song hàm f giả đơn điệu, thỏa mãn điều kiện

Lipschitz, thuật toán đạo hàm tăng cường hội tụ yếu tới nghiệm của bài toán

EP(f , C)

Đặc điểm chung của các phương pháp giải xấp xỉ bài toán cân bằng là chúngsinh ra một dãy lặp hội tụ tới nghiệm của bài toán Nói chung, trên mỗi bước lặpcủa thuật toán, ta cần giải một bài toán phụ Chi phí tính toán để giải các bài toánphụ này là một trong những yếu tố chính ảnh hưởng đến tính hiệu quả và tốc

độ của thuật toán Một trong những ý tưởng để giảm chi phí tính toán cho các

bài toán phụ là phân rã song hàm f ban đầu thành tổng hoặc hiệu các song hàm thành phần: f = f1 ± f2 Khi đó, thay vì xử lí song hàm f , ta chỉ cần làm việc với từng song hàm thành phần Ý tưởng này đặc biệt hữu ích khi song hàm f có

dạng phức tạp, trong khi các song hàm thành phần có các dạng đơn giản hoặcđặc biệt Phương pháp phân rã đã được áp dụng rộng rãi cho các bài toán tối ưu

và bất đẳng thức biến phân [9, 37] và thu được các kết quả rất đáng khích lệ Tuynhiên, trong trường hợp của bài toán cân bằng, các kết quả thu được của phương

pháp này vẫn còn rất hạn chế Năm 2009, để giải bài toán cân bằng EP( f , C) với

f = f1+ f2, Moudafi [53] đã đề xuất phương pháp phân rã sau:

phương pháp này là tại mỗi bước lặp, ta cần tính giải thức của hai song hàm f1

và f2 Như đã phân tích ở trên, đây là các thao tác rất đắt về mặt tính toán, do đó,

ảnh hưởng nhiều đến tốc độ của thuật toán Để khắc phụ nhược điểm này, chúngtôi sẽ đề xuất các phương pháp phân rã kiểu mới cho bài toán cân bằng Khác vớicác thuật toán phân rã đã có trong [15, 53], tại mỗi bước lặp, thay vì phải tính giảithức của các song hàm thành phần, chúng tôi chỉ cần giải các bài toán quy hoạchlồi mạnh, có chi phí tính toán rẻ hơn rất nhiều Hơn nữa, do không sử dụng giảithức của các song hàm thành phần, nên điều kiện đơn điệu đặt lên các song hàmnày cũng được loại bỏ.

Khi áp dụng bài toán cân bằng vào trong thực tế, ta có thể gặp tình huốngtập ràng buộc của bài toán không được cho dưới dạng hiển Chẳng hạn, trong[38–40], các tác giả nghiên cứu bài toán điều khiển công suất của mạng viễnthông CDMA Mô hình này được miêu tả bởi bài toán cân bằng với tập ràng buộc

cho bởi tập điểm bất động của ánh xạ không giãn T:

tìm x ∗ ∈ Fix(T)sao cho f(x ∗ , y) ≥0 ∀ y ∈ Fix(T), (EP(f , Fix(T)))

trong đó Fix(T):={ t ∈ C : T(t) = t } Bài toán nói trên chính là một trường hợpriêng của bài toán cân bằng hai cấp, tức là bài toán cân bằng với tập ràng buộc làtập nghiệm của một bài toán cân bằng khác

tìm x ∗ ∈ Sol(g, C)sao cho f(x ∗ , y) ≥ 0 ∀ y ∈ Sol(g, C), (BEP(f , g, C))

với Sol(g, C) := { t ∈ C : g(t, y) ≥0 ∀ y ∈ C },

trong đó f , g là các song hàm cân bằng trên C Mặc dù bài toán cân bằng hai cấp

rất thú vị và có nhiều ứng dụng trong thực tế, việc giải nó còn gặp nhiều khó

khăn Một số trường hợp riêng của BEP( f , g, C) khi các bài toán cân bằng có dạng

bất đẳng thức biến phân, đã được xét đến trong [4,5,50] Năm 2014, PGS NguyễnVăn Quý [66] nghiên cứu bài toán:

Tìm x ∗ ∈ S :=Sol(g, C)∩

Fix(T)sao cho

f(x ∗ , y) ≥0 ∀ y ∈ S, (BEP(f , g, T, C))

với T : C → C là ánh xạ giả co và đề xuất giải bài toán này bằng phương pháp

điểm gần kề kết hợp với phép lặp Halpern:

trong đó ρ > 0,{ α k }, { t k }, { r k } ⊂ (0,∞) là các dãy tham số Với giả thiết song

hàm f đơn điệu mạnh, song hàm g đơn điệu, vi phân đường chéo theo biến thứ hai của song hàm f liên tục Lipschitz trên C, PGS Nguyễn Văn Quý đã chứng

minh dãy{ x k } hội tụ mạnh tới nghiệm duy nhất của bài toán BEP( f , g, T, C) Tuy nhiên, do phải tính giải thức J r g k tại mỗi bước lặp, phương pháp trên khá phứctạp về mặt tính toán Dựa trên các ý tưởng từ bài báo [50,70], chúng tôi sẽ đề xuấtmột thuật toán mới, hiệu quả hơn để giải bài toán cân bằng hai cấp Thay vì phải

tính giải thức của các song hàm f và g, chúng tôi chỉ cần tính các vectơ dưới đạo hàm của chúng và thực hiện các phép chiếu lên tập ràng buộc C Các thao tác này

có chi phí tính toán thấp hơn nhiều so với việc sử dụng ánh xạ J λ g

Ánh xạ U λ f được định nghĩa trong (0.2) đóng vai trò là ánh xạ nghiệm của

bài toán cân bằng, theo nghĩa, x ∗ là nghiệm của EP(f , C) khi và chỉ khi nó làđiểm bất động của ánh xạ này Rất nhiều tác giả đã sử dụng nó để đề xuất cácthuật toán cho bài toán cân bằng [2, 3, 36, 56, 64, 65] Tuy nhiên, theo hiểu biếtcủa tác giả, các nghiên cứu về ánh xạ này vẫn còn rất hạn chế Trong trường hợp

f(x, y) = ⟨ Fx, y − x ⟩ với F là ánh xạ trên C, U λ f có dạng

G λ F :C → C

x 7→ P C(x − λFx)

Năm 2001, Yamada [82] đã chứng minh G λ F là ánh xạ co với giả thiết F là đơn điệu

mạnh và liên tục Lipschitz Từ đây, nảy sinh câu hỏi: "Liệu kết quả này có thể mở

rộng cho trường hợp của bài toán cân bằng? Liệu U λ f có là ánh xạ co khi song

hàm f thỏa mãn điều kiện đơn điệu mạnh và Lipschitz?" Câu trả lời sẽ được đưa

ra trong luận án Cụ thể, chúng tôi sẽ chứng minh tính co của ánh xạ U λ f với các

giả thiết song hàm f đơn điệu mạnh và thỏa mãn điều kiện Lipschitz kiểu mới

và trên cơ sở đó, đề xuất thuật toán ánh xạ co cho bài toán EP(f , Fix(T))

Ngoài ra, việc kết hợp bài toán cân bằng và bài toán điểm bất động cũng làmột đề tài lý thú Trong khi bài toán cân bằng mới chỉ được nghiên cứu tập trungtrong khoảng 20 năm gần đây, bài toán điểm bất động đã có lịch sử phát triển trên

100 năm Có rất nhiều phương pháp lặp đã được đề xuất để tìm điểm bất độngcủa một hoặc một họ ánh xạ không giãn, ví dụ phương pháp lặp kiểu Halpern,phương pháp lặp kiểu Mann [17] Bằng việc kết hợp hai bài toán nói trên, tatận dụng được các kĩ thuật đã có trong lý thuyết điểm bất động để đề xuất vàchứng minh tính hội tụ của các thuật toán mới cho bài toán cân bằng Một trongnhững chủ đề nhận được sự quan tâm của rất nhiều nhà khoa học là bài toán tìmnghiệm chung của bài toán cân bằng và điểm bất động [2, 3, 36, 69] Trong luận

án, chúng tôi nghiên cứu hai dạng mở rộng của bài toán này, đó là:

trong đó, f i , i = 1, , n là các song hàm cân bằng trên C, T j , j = 1, , m là các

ánh xạ không giãn và { T s } s ≥0 là nửa nhóm không giãn trên C Một số trường

hợp riêng của hai bài toán (0.3), (0.4) đã được nhiều tác giả khác nhau nghiên

cứu Chẳng hạn, với m= n =1, bài toán (0.3) trở thành

đã được sử dụng trong các công trình của GS Phạm Kỳ Anh và cộng sự [1,35,36].Chúng tôi sẽ tập trung nghiên cứu các nội dung sau:

• Xây dựng thuật toán cho bài toán cân bằng với song hàm được phân rã thành

tổng hoặc hiệu các song hàm thành phần

• Xây dựng thuật toán cho bài toán cân bằng hai cấp cùng các trường hợp riêng

của nó

• Xây dựng thuật toán tìm nghiệm chung của bài toán cân bằng và bài toán

điểm bất động của các ánh xạ không giãn

Tất cả các thuật toán đề xuất trong luận án đều được chứng minh là hội tụ Chúngtôi cũng tiến hành một vài thử nghiệm số để so sánh các thuật toán mới với cácthuật toán đã có đồng thời áp dụng chúng vào một số mô hình thực tế Ngoàiphần mở đầu, kết luận, danh mục các công trình đã công bố của tác giả có liênquan đến luận án và danh mục tài liệu tham khảo, luận án gồm 4 chương Cáckết quả chính được tập trung trong các Chương 2, 3 và 4

Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị và kết quả bổ trợ được sử dụngtrong luận án Cụ thể, chương này nhắc lại các khái niệm và kết quả cơ bản củagiải tích lồi Sau đó, các kết quả về sự tồn tại và duy nhất nghiệm cũng như cấutrúc tập nghiệm của bài toán cân bằng được trình bày một cách sơ lược Để thấyđược vai trò của bài toán cân bằng, chúng tôi trình bày mối liên hệ của bài toánnày với một số bài toán quan trọng khác trong giải tích phi tuyến như: bài toán

bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm bất động, bài toán cân bằng Nash, bàitoán tối ưu, .

Chương 2 đề cập tới bài toán cân bằng với song hàm được phân rã thành tổnghoặc hiệu các song hàm thành phần Trong phần đầu, chúng tôi đề xuất hai thuậttoán phân rã tuần tự và phân rã song song cho bài toán cân bằng giả đơn điệumạnh Tiếp theo, phương pháp phân rã hiệu được áp dụng để giải một lớp bàitoán cân bằng không lồi và không đơn điệu Trong phần cuối Chương 2, nhằmgiảm nhẹ điều kiện đặt lên song hàm của bài toán, chúng tôi sẽ kết hợp phươngpháp phân rã với kỹ thuật ergodic để giải một lớp bài toán cân bằng giả đơn điệu

và không thỏa mãn điều kiện Lipschitz Nhìn chung, các phương pháp phân rã tỏ

ra đặc biệt hiệu quả khi song hàm gốc có dạng phức tạp, trong khi các song hàmthành phần có dạng đặc biệt hoặc đơn giản hơn Điều này đã được kiểm chứngbằng một vài thử nghiệm số và so sánh sơ bộ ở cuối chương

Trong phần đầu tiên của Chương 3, chúng tôi sử dụng phương pháp chiếudưới đạo hàm để giải bài toán cân bằng hai cấp với song hàm cấp trên đơn điệumạnh và song hàm cấp dưới para-giả đơn điệu Tại mỗi bước lặp, thay vì phảitính giải thức của các song hàm hoặc giải các bài toán quy hoạch lồi mạnh, thuậttoán chỉ đòi hỏi tính các vectơ dưới đạo hàm và thực hiện một phép chiếu lên tập

ràng buộc C Điều này giúp cho phương pháp mới có chi phí tính toán thấp hơn

nhiều so với các phương pháp khác Tiếp theo, thuật toán kể trên được áp dụngcho bài toán cân bằng trên tập điểm bất động Chúng tôi chỉ ra tập nghiệm của bàitoán cân bằng với song hàm para-đơn điệu trùng với tập điểm bất động của ánh

xạ không giãn Bài toán này được nghiên cứu trong phần tiếp theo của chương

ở một hướng tiếp cận khác Chúng tôi chứng minh một điều kiện đủ cho tính co

của ánh xạ nghiệm U λ, trên cơ sở đó, đề xuất thuật toán ánh xạ co cho bài toáncân bằng trên tập điểm bất động của ánh xạ không giãn Phần cuối chương trìnhbày một vài thử nghiệm số và so sánh với các thuật toán của các tác giả khác Đặcbiệt, chúng tôi sẽ áp dụng thuật toán của mình để giải bài toán cân bằng Nashcho thị trường sản xuất điện bán độc quyền Khác với mô hình đã được xét trongcác bài báo [64, 65], mô hình mới có thêm yếu tố bảo hộ doanh nghiệp Điều nàydẫn đến bài toán cân bằng với tập ràng buộc được cho dưới dạng tập điểm bấtđộng của ánh xạ không giãn

Trong Chương 4, chúng tôi xét bài toán

trong đó, f i : C × C → R, i = 1, , n là các song hàm cân bằng, T j : C → C,

j =1, , m là ánh xạ không giãn và { T s } s >0 là nửa nhóm không giãn trên C Để

giải quyết bài các toán này, chúng tôi kết hợp phương pháp đạo hàm tăng cường

và kỹ thuật tìm kiếm theo tia kiểu Armijo [65, 73] với các phương pháp lặp kiểuMann và Halpern Đây đều là các kỹ thuật quen thuộc của bài toán cân bằng và

lý thuyết điểm bất động, nhưng đã được chúng tôi phát triển cho lớp bài toántổng quát hơn Ngoài ra, thuật toán dựa trên các kỹ thuật này chỉ sinh ra các dãylặp hội tụ yếu tới nghiệm của bài toán Trong các phương pháp được đề xuất, sửdụng thêm các phép chiếu lên nửa không gian chứa tập nghiệm, chúng tôi thuđược các dãy lặp hội tụ mạnh tới hình chiếu của xuất phát điểm lên tập nghiệm.Các kết quả chính của luận án được công bố trong 7 bài báo trên các tạp chíthuộc danh mục ISI: Revista de la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas yNaturales Serie A Matemáticas, Numerical Algorithms, Optimization, Numer-ical Functional Analysis and Optimization, Journal of Optimization Theory andApplications, Journal of Fixed Point Theory and Applications, Miskolc Mathe-matical Notes và được báo cáo tại:

• 7th International Conference on High Performance Scientific Computing, Hà

Nội, 19-23/3/2018;

• Hội thảo Tối ưu và tính toán khoa học lần thứ 13, Ba Vì, Hà Nội, 23-25/4/2015;

• Hội thảo Tối ưu và tính toán khoa học lần thứ 16, Ba Vì, Hà Nội, 19-21/4/2018;

• Hội nghị Toán ứng dụng và Tin học, Đại học Bách Khoa Hà Nội, 12-13/11/2016;

• Hội nghị khoa học khoa Toán - Cơ - Tin học tại Đại học Khoa học Tự nhiên,

Đại học Quốc Gia Hà Nội, 01/10/2016;

• Xêmina "Bài toán cân bằng và các vấn đề liên quan", Viện Nghiên cứu Cao

cấp về Toán, 27/09/2016;

• Xêmina "Lý thuyết tối ưu và ứng dụng", Bộ môn Toán ứng dụng, Viện Toán

ứng dụng và Tin học, Đại học Bách Khoa Hà Nội, 22/10/2015;

• Xêmina "Bài toán cân bằng, bài toán điểm bất động và các vấn đề liên quan",

Viện Toán ứng dụng và Tin học, Đại học Bách Khoa Hà Nội, 09/01/2018

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở cần thiết cho cácchương tiếp theo Chương gồm ba phần Phần đầu tiên trình bày một số kháiniệm và kết quả cơ bản của giải tích lồi Hai phần tiếp theo dành để giới thiệubài toán cân bằng và các trường hợp riêng của nó cùng các điều kiện về sự tồn tại

và duy nhất nghiệm của bài toán này Nội dung của chương chủ yếu được thamkhảo từ các tài liệu [8, 67, 78]

1.1 Các khái niệm và kết quả cơ bản

Một không gian vectơ thực H được trang bị tích vô hướng ⟨., ⟩và đầy đủ đối vớichuẩn

∥ x ∥ :=

√

⟨ x, x ⟩

được gọi là không gian Hilbert thực Từ đây đến hết luận án, ta luôn kí hiệu H

là không gian Hilbert thực Không gianRn là một không gian Hilbert (hữu hạnchiều) với tích vô hướng

được gọi là khoảng cách từ x đến tập C Nếu tồn tại điểm x0 ∈ C thỏa mãn d C(x) =

x0− x , ta gọi x0 là hình chiếu của x lên C, kí hiệu x0 = P C(x) Ánh xạ P C : H →

C được gọi là phép chiếu (vuông góc) lên C Ánh xạ này là công cụ sắc bén, đóng

vai trò quan trọng trong việc xây dựng các thuật toán giải bài toán cân bằng vàbất đẳng thức biến phân

Mệnh đề 1.1. Cho C ⊂ H là tập lồi, đóng, khác rỗng Khi đó,

(a) Với mọi x ∈ H, P C(x)luôn tồn tại duy nhất, đồng thời x0 = P C(x)khi và chỉ khi

(c) Với mọi x ∈ H, x0 = P C(x)khi và chỉ khi x − x0 ∈ N C(x0).

Định nghĩa 1.1. Cho f : H → R, x0 ∈ H Khi đó,

• Hàm f được gọi là hê-mi liên tục tại x0 nếu

• Hàm f được gọi là nửa liên tục trên (t.ư yếu) nếu − f nửa liên tục dưới (t.ư yếu) Hàm f được gọi là liên tục nếu nó vừa liên tục trên vừa liên tục dưới.

Định nghĩa 1.2. Cho f : H → R∪ {∞} , x0 ∈ H Nếu tập

khác rỗng thì f được gọi là khả dưới vi phân tại x0,∂ f(x0)được gọi là dưới vi phân,

mỗi vectơ w thuộc ∂ f(x0) được gọi là dưới đạo hàm của f tại x0 Hàm f được gọi

là khả dưới vi phân trên một tập nếu nó khả dưới vi phân tại mọi điểm thuộc tập

đó

Chú ý 1.1. Trong trường hợp f : C ⊂ H → R, bằng việc mở rộng hàm số này ra

toàn bộ không gian

Định nghĩa 1.3. Cho f : C → R∪ {∞} , x0 ∈ C Ta nói

• f(x) đạt cực tiểu (t.ư cực đại) địa phương tại x0 trên C nếu tồn tại lân cận U của x0 sao cho

Định lý 1.1. [8, Mệnh đề 26.5] Cho C ⊂ H là tập lồi, đóng, có miền trong khác rỗng,

f : C → R là hàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới và khả dưới vi phân trên C Khi

đó, x ∗ là điểm cực tiểu của f trên C khi và chỉ khi

0∈ ∂ f(x ∗) +N C(x ∗).Tiếp theo, chúng tôi trình bày một số bổ đề về dãy số, cần thiết cho việc chứngminh kết quả ở các chương tiếp theo

Bổ đề 1.1. [81, Bổ đề 2.5] Cho { α k } , { β k } , { λ k } là các dãy số dương thỏa mãn

α k+ 1 ≤ (1− λ k)α k+λ k γ k+β k ∀ k ≥1

Giả sử λ k ∈ (0, 1)với mọi k ≥ 1,∑∞k=1λ k = ∞, lim sup k →∞γ k ≤ 0 và∑∞k=1 β k < ∞ Khi đó lim k →∞α k =0.

Bổ đề 1.2. [76] Giả sử { a n } và { b n } là hai dãy số dương thỏa mãn điều kiện

a n+ 1 ≤ a n+b n ∀ n ∈ N, ∑∞

n= 1

b n <∞

Khi đó lim n →∞a n tồn tại và hữu hạn.

Bổ đề 1.3. [16] Cho { a n } và { λ n } là các dãy số dương thỏa mãn

• Tồn tại một dãy con { γ k i } ⊂ { γ k } sao cho lim i →∞γ k i = 0.

• Nếu tồn tại hằng số M > 0 sao cho γ k+ 1 − γ k ≤ Mλ k với mọi k ≥ 0, thì

limk →∞γ k =0.

Bổ đề 1.6. [80] Giả sử B r(0) ⊂ H là hình cầu đóng, tâm tại gốc tọa độ, bán kính r Khi đó, với mọi hệ vectơ { x1, x2, , x N } ⊂ B r(0)và các số thực dương λ1,λ2, ,λ N thỏa mãn∑N

i= 1λ i =1, tồn tại hàm lồi, tăng ngặt, liên tục g : [0, 2r)→ [0,∞)thỏa mãn

g(0) = 0, đồng thời với mọi i, j ∈ { 1, 2, , N } , i < j, ta có

1.2 Bài toán cân bằng và mối liên hệ với các bài toán khác

Cho C ⊂ H là tập lồi, đóng, khác rỗng, f : C × C → R là song hàm cân bằng, tức

là, f(x, x) = 0 với mọi x ∈ C Bài toán cân bằng của song hàm f trên tập C được

phát biểu như sau

tìm x ∗ ∈ C sao cho f(x ∗ , y) ≥0∀ y ∈ C. (EP(f , C))

Ký hiệu Sol(f , C)là tập nghiệm của bài toán cân bằng EP(f , C) Như đã biết, bàitoán này bao hàm một loạt các bài toán quan trọng trong tối ưu, chẳng hạn:

1.2.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân

Cho F : C → C là một ánh xạ, bài toán bất đẳng thức biến phân của ánh xạ F trên tập C được phát biểu dưới dạng

tìm x ∗ ∈ C sao cho ⟨ Fx ∗ , y − x ∗ ⟩ ≥ 0∀ y ∈ C. (VI(F, C))

Ký hiệu Sol(F, C)là tập nghiệm của VI(F, C) Dễ thấy bài toán này chính là trườnghợp riêng của EP(f , C) với f(x, y) := ⟨ Fx, y − x ⟩ Bản thân bài toán VI(F, C)

cũng là một đề tài lý thú, thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của đông đảocác nhà khoa học trong và ngoài nước [2, 9, 13, 18, 33, 39, 40, 43, 46, 62, 73] Rấtnhiều phương pháp giải bài toán cân bằng được mở rộng trực tiếp từ các phươngpháp tương ứng dành cho bài toán bất đẳng thức biến phân, chẳng hạn, phươngpháp đạo hàm tăng cường [65], phương pháp tìm kiếm theo tia kiểu Armijo [79],phương pháp phân rã [53] là kết quả mở rộng của các thuật toán tương ứngtrong [9, 48, 73] Cần lưu ý rằng bản thân bài toán bất đẳng thức biến phân cũngbao hàm một loạt các bài toán khác như:

• Bài toán bù phi tuyến

tìm x ∗ ∈ C sao cho Fx ∗ ∈ C ∗ và⟨ Fx ∗ , x ∗ ⟩ = 0, (NCP(F, C))

trong đó C ⊂ H là một nón lồi, đóng và

C ∗ :={ x ∈ H : ⟨ x, y ⟩ ≥ 0 ∀ y ∈ C }

là nón đối ngẫu của C ∗

Định lý 1.2. [47] Cho C ⊂ H là một nón lồi, đóng Khi đó, x ∗ là nghiệm của

NCP(F, C)khi và chỉ khi nó là nghiệm của VI(F, C).

• Bài toán điểm bất động.

tìm x ∗ ∈ C sao cho Tx ∗ = x ∗, (FP(T, C))

trong đó, T : C → C là ánh xạ trên C Đặt

Định lý 1.3. [47] Giả sử F là ánh xạ xác định bởi (1.1) Khi đó x ∗ ∈ C là nghiệm của FP(T, C)khi và chỉ khi nó là nghiệm của VI(F, C).

Ở chiều ngược lại, ta có thể chuyển bài toán bất đẳng thức biến phân về bài toántìm điểm bất động thông qua định lý sau

Định lý 1.4. [47] Cho C ⊂ H là một tập lồi, đóng, khác rỗng, F : C → C, λ > 0 Khi

đó, x ∗ là nghiệm của VI(F, C)khi và chỉ khi nó là điểm bất động của ánh xạ

Φ : H → C

x 7→ P C(x − λFx)

Từ Định lý 1.4 suy ra Φ đóng vai trò là ánh xạ nghiệm của bài toán bất đẳngthức biến phân, theo nghĩa, bất cứ điểm bất động nào củaΦ cũng sẽ là nghiệmcủa bài toán VI(F, C) Câu hỏi đặt ra là: liệu ta có thể xây dựng một ánh xạ nghiệm tương tự cho bài toán cân bằng? Để tìm câu trả lời, ta hãy bắt đầu bằng nhận xét

Thật vậy, giả sử x ∗ := argmin

{

λ f(x, y) + 12∥ y − x ∥2 : y ∈ C

}, theo Định lý 1.1,điều này tương đương với

0 =λFx+x ∗ − x+q, với q ∈ N C(x ∗) Áp dụng định nghĩa của N C(x ∗), ta có

⟨ x − x ∗ − λFx, y − x ∗ ⟩ ≤ 0 ∀ y ∈ C

⇔ x ∗ = P C(x − λFx).Nhận xét trên chính là gợi ý để ta mở rộng Định lý 1.4 cho trường hợp bài toáncân bằng

Định lý 1.5. [51] Cho C ⊂ H là tập lồi, đóng, có miền trong khác rỗng, f : C × C → R

là song hàm cân bằng trên C thỏa mãn điều kiện: với mọi x ∈ C, hàm số f(x, )lồi, khả dưới vi phân trên C Giả sử λ > 0 Khi đó, x ∗ là nghiệm của bài toán EP(f , C) khi và chỉ khi nó là điểm bất động của ánh xạ

Ánh xạ U λ là công cụ sắc bén để ta xây dựng các thuật toán giải EP(f , C)

1.2.2 Bài toán cân bằng Nash trong trò chơi không hợp tác

Lý thuyết trò chơi hiện đại được cho là "con đẻ" của nhà toán học John von mann và nhà kinh tế học Oskar Morgenstern Đây là hai đồng tác giả của cuốnsách có tựa đề "Theory of Games and Economic Behaviour" được xuất bản năm

Neu-1944 Đến đầu những năm 1950, Nash đưa ra khái niệm "điểm cân bằng Nash"trong trò chơi không hợp tác [59] Cân bằng Nash đạt được khi không một ngườichơi nào có thể tăng được lợi ích bằng cách thay đổi chiến lược của mình trongkhi các đối thủ khác vẫn giữ nguyên chiến lược của họ Một cách tổng quát, giả

sử có n người tham gia một trò chơi không hợp tác Người chơi thứ i có tập chiến lược là C i và có hàm lợi ích là f i : C → R với C = C1× C n Mục tiêu của mỗi

người chơi là tìm kiếm một chiến lược cho riêng mình để tối đa hóa lợi ích f i

Điểm x ∗ ∈ C được gọi là điểm cân bằng Nash nếu với mọi y = (y1, , y n)∈ C,

bài toán tìm điểm cân bằng Nash có thể đưa về bài toán cân bằng EP(f , C) Song

hàm f được định nghĩa ở trên gọi là song hàm Nikaido-Isoda [60].

Định lý 1.6. [60] Giả sử f là song hàm Nikaido-Isoda được định nghĩa bởi (1.2) Điểm

x ∗ ∈ C là điểm cân bằng Nash khi và chỉ khi nó là nghiệm của bài toán cân bằng

EP(f , C).

1.2.3 Bài toán điểm yên ngựa

Xét hai không gian Hilbert thực H1, H2 Giả sử C ⊂ H1, D ⊂ H2 là hai tập lồi,

đóng, khác rỗng, L : C × D → R là song hàm Bài toán điểm yên ngựa (Saddle

point problem) được phát biểu như sau

tìm(x ∗ , y ∗) ∈ C × D sao cho L(x ∗ , y) ≤ L(x ∗ , y ∗)≤ L(x, y ∗)∀ x ∈ C, y ∈ D

(SP(L, C, D))Bài toán trên có thể được đưa về bài toán EP(f , K) với K = C × D, f(u, v) :=

L(x, y ′)− L(x ′ , y)với mọi u = (x ′ , y ′), v = (x, y) ∈ K.

Định lý 1.7. [47] Điểm u ∗ ∈ K là nghiệm của SP(L, C, D)khi và chỉ khi nó là nghiệm của EP(f , K).

1.3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán cân bằng

Trong mục này, chúng ta sẽ xét một số điều kiện đủ cho sự tồn tại và duy nhấtnghiệm của bài toán cân bằng Một số tính chất miêu tả cấu trúc của tập nghiệmcủa EP(f , C)cũng được trình bày

Định lý 1.8. [11] Cho C ⊂ H là tập lồi, đóng, khác rỗng, f : C × C → R là song hàm

cân bằng, giả đơn điêu, thỏa mãn điều kiện: với mọi x ∈ C, hàm số f(., x)hê-mi liên tục

và hàm số f(x, )lồi, nửa liên tục dưới trên C Giả sử điều kiện bức sau được thỏa mãn:

tồn tại một tập compắc B sao cho: ∀ x ∈ C \ B, ∃ y ∈ C : f(x, y ) < 0

Khi đó, bài toán cân bằng EP(f , C)có ít nhất một nghiệm.

Để xét tính duy nhất nghiệm của bài toán cân bằng, ta cần một số khái niệm

về tính đơn điệu và Lipschitz của song hàm f Các khái niệm này được tổng quát

hóa từ các khái niệm tương ứng dành cho ánh xạ

Định nghĩa 1.4. [65] Ánh xạ F : C → H được gọi là

1 γ-đơn điệu mạnh trên C nếu tồn tại hằng số γ > 0 sao cho với mọi x, y ∈ C,

Song hàm f : C × C → R được gọi là

1 γ-đơn điệu mạnh trên C nếu tồn tại hằng số γ > 0 sao cho với mọi x, y ∈ C,

(t.ư đơn điệu mạnh, đơn điệu chặt, giả đơn điệu, giả đơn điệu mạnh)

(b) Các điều kiện đơn điệu trong Định nghĩa 1.4 quan hệ với nhau theo sơ đồsau:(1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (5);(1) ⇒ (4) ⇒ (5) Các mũi tên theo chiều ngược lạinói chung không đúng Thật vậy,

Chọn C := [1/2; 1], f(x, y) := x(x − y) Dễ thấy, f giả đơn điệu nhưng không đơn điệu trên C.

Chọn C := (−∞, 0], f(x, y) := e x(y − x) Khi đó, f đơn điệu chặt nhưng không đơn điệu mạnh trên C.

(c) Tổng của hai song hàm đơn điệu là một song hàm đơn điệu Tương tự, tổngcủa song hàm đơn điệu và song hàm đơn điệu mạnh là một song hàm đơn điệumạnh Tuy nhiên, tổng của hai song hàm giả đơn điệu có thể không giả đơn điệu.Điều này được minh họa bởi ví dụ sau

Mệnh đề 1.2. [56] Giả sử song hàm f giả đơn điệu mạnh (hoặc đơn điệu chặt) trên C Khi đó, bài toán EP(f , C)có tối đa một nghiệm.

Định lý 1.9. [56] Cho C ⊂ H là tập lồi, đóng, khác rỗng, f : C × C → R là song hàm

cân bằng, giả đơn điệu mạnh và thỏa mãn điều kiện: với mọi x ∈ C, hàm số f(., x)hê-mi liên tục và hàm số f(x, )lồi, nửa liên tục dưới trên C và khả dưới vi phân tại một điểm nào đó thuộc H Khi đó, bài toán cân bằng EP(f , C)có đúng một nghiệm.

Bài toán cân bằng EP(f , C)quan hệ chặt chẽ với bài toán cân bằng đối ngẫu:

tìm x ∗ ∈ C sao cho f(y, x ∗) ≤0 ∀ y ∈ C. (DEP(f , C))

Gọi S và S d lần lượt là tập nghiệm của bài toán cân bằng và bài toán cân bằng đốingẫu Mối quan hệ của hai tập này được miêu tả bởi định lý sau

Định lý 1.10. [42] Cho C ⊂ H là tập lồi, đóng, khác rỗng, f : C × C → R là song hàm

cân bằng, giả đơn điệu và thỏa mãn: với mọi x ∈ C, các hàm số f(., x)nửa liên tục trên,

f(x, )lồi trên C Khi đó,

(a) S d = S,

(b) S là tập lồi, đóng.

Chứng minh (a) Hiển nhiên từ tính giả đơn điệu của f , ta có S ⊂ S d Ta chứng

minh S d ⊂ S Lấy tùy ý x ∗ ∈ S d,λ ∈ (0, 1], y ∈ C và đặt x λ = λy+ (1− λ)x ∗ Sử

Suy ra f(x λ , y) ≥ 0 với mọi λ ∈ (0, 1] Choλ → 0+, và sử dụng tính nửa liên

tục trên của hàm số f(., y), ta thu được

Lưu ý rằng, trong Định lý 1.10, ta không cần sử dụng giả thiết nửa liên tục dưới

theo biến thứ hai của song hàm f như trong [42] Để có bao hàm thức S d ⊂ S, tính lồi theo biến thứ hai của song hàm f là không thể bỏ được Điều này được

minh họa bởi ví dụ sau

Ví dụ 1.1. Xét bài toán EP(f , C)và DEP(f , C)với C ⊂ R là tập lồi, khác rỗng bất

kì, f(x, y) = (x − y)(y − x) Song hàm f không lồi theo biến thứ hai Dễ dàng kiểm tra được trong trường hợp này, S =∅ và S d = C.

Với giả thiết song hàm f lồi theo biến thứ hai, ta có S d là tập lồi Thật vậy,

S d = ∩

x ∈ C L f(x), trong đó, L f(x) := { y ∈ C : f(x, y) ≤ 0}là tập lồi Tuy nhiên,

ta chưa thể khẳng định được gì về tính lồi của tập S.

Ví dụ 1.2. Giả sử C = [−1; 1] ⊂ R, f(x, y) = (x2−1)(y − x) Dễ dàng kiểm tra

được S ={±1} và S d = {1}

Kết luận

Trong chương này, chúng tôi đã trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản củagiải tích lồi phục vụ cho các chương tiếp theo Các nét khái quát về bài toán cânbằng cũng đã được giới thiệu Để thấy được ý nghĩa của bài toán này, chúng tôixét một số ví dụ, là các bài toán quen thuộc trong tối ưu và giải tích phi tuyến,cũng như các mô hình kinh tế trong lý thuyết trò chơi Có thể thấy, tất cả các bàitoán và mô hình nói trên đều có thể được phát biểu dưới dạng bài toán cân bằng

Chương 2

Bài toán cân bằng với song hàm phân rã thành tổng hoặc hiệu các song hàm

thành phần

Như đã biết, phương pháp phân rã là một phương pháp hiệu quả trong tối ưu

để giải quyết các bài toán với hàm mục tiêu có dạng phức tạp, nhiều thành phần

Ý tưởng chính của phương pháp là tách hàm mục tiêu thành tổng hoặc hiệu củacác hàm có dạng đơn giản hơn Khi đó, thay vì phải xử lí trực tiếp hàm mục tiêuban đầu, ta chỉ cần làm việc với các hàm thành phần, nhờ đó, có thể tận dụngđược các tính chất và dạng đặc biệt của chúng Năm 2012, Briceno-Arias đã đềxuất phương pháp phân rã Douglas-Rachford cho bài toán cân bằng [15] Trong

đó, song hàm cân bằng được tách thành tổng của hai song hàm đơn điệu Tại mỗibước lặp, thuật toán đòi hỏi phải giải hai bài toán phụ là các bài toán cân bằngđơn điệu mạnh Đây là các thao tác phức tạp về mặt tính toán Hơn nữa, phươngpháp này không thể áp dụng trong các trường hợp song hàm thành phần khôngđơn điệu

Để khắc phục các nhược điểm này, chúng tôi đề xuất một số thuật toán táchkiểu mới cho bài toán cân bằng Các thuật toán được đề xuất đều có chung mộtđặc điểm: tại mỗi bước lặp, thay vì phải giải các bài toán cân bằng đơn điệumạnh, ta chỉ cần giải các bài toán quy hoạch lồi mạnh của các song hàm thànhphần Trong nhiều trường hợp, các bài toán này có các dạng đặc biệt rất dễ giải:chẳng hạn, dạng toàn phương, dạng tách biến, hay thậm chí, có công thức nghiệmtường minh Đây chính là ưu điểm nổi bật của các phương pháp phân rã kiểu mới

so với các phương pháp phân rã hiện có [15, 53] cho bài toán cân bằng

Chương gồm ba mục Trong mục đầu tiên, chúng tôi đề xuất hai phương phápphân rã tuần tự và phân rã song song giải bài toán cân bằng giả đơn điệu mạnh.Mục tiếp theo giới thiệu phương pháp phân rã hiệu cho một lớp bài toán cân

bằng không lồi và không đơn điệu Trong mục cuối cùng của chương, phươngpháp phân rã kết hợp với kĩ thuật ergodic được áp dụng cho bài toán cân bằnggiả đơn điệu Nội dung của chương được trình bày dựa trên các kết quả đã đượccông bố trong ba công trình: 1, 2, 3 trong Danh mục các công trình công bố củaluận án.

2.1 Phân rã song hàm thành tổng của hai song hàm thành phần

Cho C ⊂ H là tập lồi, đóng, có miền trong khác rỗng Ta xét bài toán EP( f , C) với

f := f1 + f2, trong đó f i : C × C → R, i = 1, 2, là các song hàm thành phần Kýhiệu lớp bài toán này là EPS(f , C)

Nhắc lại, một ánh xạ F : C → C được gọi là liên tục L-Lipschitz trên C nếu tồn tại hằng số L > 0 sao cho ∥ F(x)− F(y)∥ ≤ L ∥ x − y ∥ với mọi x, y ∈ C Việc mở

rộng khái niệm này cho song hàm vẫn là một câu hỏi mở Khi đưa ra một khái

niệm Lipschitz mới cho song hàm f , ta cần chú ý đến điều kiện, trong trường hợp f(x, y) := ⟨ Fx, y − x ⟩, thì khái niệm mới này phải trùng với khái niệm liên

tục Lipschitz quen thuộc cho ánh xạ F Ta sẽ liệt kê một số điều kiện Lipschitz

cho song hàm được đề xuất bởi các tác giả khác nhau, thỏa mãn yêu cầu nói trên

Định nghĩa 2.1. Song hàm f : C × C →R được gọi là

(a) thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo Antipin [7], nếu tồn tại hằng số K >0 sao

cho với mọi x, y, z, t ∈ C,

| [ f(x, y)− f(z, y)]− [ f(x, t)− f(z, t)]| ≤ K ∥ x − z ∥∥ y − t ∥; (2.1)

(b) thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo Mastroeni [51], nếu tồn tại các hằng số c1,

c2 > 0 sao cho với mọi x, y, z ∈ C,

f(x, y) + f(y, z) ≥ f(x, z)− c1∥ x − y ∥2− c2∥ y − z ∥2 (2.2)

Dễ thấy, nếu đặt f(x, y) = ⟨ F(x), y − x ⟩ và F liên tục L-Lipschitz, thì

(a) f thỏa mãn điều kiện (2.1) với hằng số K = L;

(b) f thỏa mãn điều kiện (2.2) với hằng số c1 = c2 = L2

Điều kiện (2.1) được Antipin [7] đề xuất để đánh giá tốc độ tăng của song hàm

f(x, y)trong lân cận của điểm (x, y) ∈ C × C Điều kiện này rất gần gũi với điều

kiện liên tục Lipschitz truyền thống cho ánh xạ, tuy nhiên, nó khá phức tạp vàkhó kiểm tra Chúng tôi sẽ đưa ra một định nghĩa mới, được nới lỏng từ điều kiệncủa Antipin

Định nghĩa 2.2. Song hàm f : C × C → R được gọi là thỏa mãn điều kiện Lipschitz

kiểu mới nếu tồn tại hằng số Q > 0 sao cho với mọi x, y, z ∈ C,

| f(x, y) + f(y, z)− f(x, z)| ≤ Q ∥ x − y ∥∥ y − z ∥ (2.3)

Mệnh đề 2.1. Giả sử f : C × C → R là song hàm cân bằng trên C Khi đó,

(a) Nếu f thỏa mãn điều kiện (2.1) thì nó cũng thỏa mãn (2.3).

(b) Nếu f thỏa mãn điều kiện (2.3) thì nó cũng thỏa mãn (2.2).

(c) Nếu đặt f(x, y) = ⟨ F(x), y − x ⟩ , trong đó ánh xạ F : C → H liên tục L-Lipschitz, thì f thỏa mãn (2.3) với hằng số Q = L.

Chứng minh (a) Trong (2.1) chỉ cần chọn t =z t.

Sau đây là một số ví dụ minh họa Định nghĩa 2.2

Ví dụ 2.1. Cho song hàm f : C × C → R,

f(x, y) := ⟨ F(x) +G(y) +q, y − x ⟩ + φ(y)− φ(x)∀ x, y ∈ C,

với F, G : C → H là các ánh xạ liên tục Lipschitz trên C với hằng số lần lượt là

L1, L2, q là vectơ tùy ý trong H và φ : C → R là một hàm bất kì Song hàm f này

là tổng quát hóa của các song hàm cho bởi mô hình Cournot-Nash trong [64, 65]

Dễ thấy f thỏa mãn điều kiện (2.3) Thật vậy, với mọi x, y, z ∈ C, ta có

với φ : C × C → R là song hàm cho bởi

ví dụ này xuất phát từ hàm SINR trong bài toán điều khiển công suất của mạng

CDMA, được xét trong [39,40] Ta sẽ chứng minh f thỏa mãn điều kiện (2.3) Thật vậy, với mọi x= (x1, , x n), y = (y1, , y n), z= (z1, , z n) ∈ C, ta có

=

=

... này, chúng tơi áp dụng thuật toán để giải toán cânbằng Nash, xuất phát từ mơ hình sản xuất điện Mơ hình nghiên cứutrong nhiều báo, chẳng hạn, [23, 64]

Giả sử có N cơng ty sản xuất điện,... C )có nghiệm

x ∗ Để tìm nghiệm này, chúng tơi đề xuất hai thuật toán phân rã: thuật toán phân

rã thuật toán phân rã song song

2.1.1 Thuật toán. .. bước lặp, ta phải giải hai toán phụ Tuy nhiên, ưuđiểm bật thuật toán so với Thuật toán Đạo hàm tăng cường là: ta

phải giải toán phụ song hàm thành phần f ithay phải xử lý