Công Thức giai nhanh Toán tài liệu ôn thi đại học Các em thân mến. Chúng tôi biết các em đang cố gắng hết sức mình chuẩn bị cho kì thi Trung học phổ thông quốc gia 2018 đang tới rất gần rồi. Và chúng tôi cũng biết rằng, nhu cầu tham khảo tài liệu của các em là vô cùng lớn, nhất là nhu cầu về Ebook của các tác giả tên tuổi, các Ebook độc đáo hay là đến từ những nhà xuất bản nổi tiếng.
Trang 1MỘT SỐ THỦ THUẬT CƠ BẢN LÀM NHANH
TRẮC NGHIỆM MÔN TOÁN
Sưu tầm – Biên soạn lại: Đoàn Công Chung
Một số công thức tính nhanh “ thường gặp “ liên quan cực trị hàm số y ax4 bx2 c
4 2
với b2 4ac
Gọi BAC , ta luôn có:
3 3
3
8
8
b a
a cos b cos cos
b a và
2
1
b b S
a
a
Phương trình đường tròn đi qua A B C x, , : 2 y2 c n x c n 0, với 2
4
n
b a
a 0: 1 cực tiểu
a 0: 1 cực đại
a 0: 1 cực đại,2 cực tiểu
a 0: 2 cực đại,1 cực tiểu
Tam giác
vuông cân
3
y x m x có 3 cực trị tạo thành tam giác vuông cân
Với a 1,b m 2015
Từ 8a b3 0 b3 8 m 2017 Tam giác đều 24a b3 0 m? để hàm số 9 4 2
8
y x m x có 3 cực trị tạo thành tam giác đều
8
a b m
Từ 24a b3 0 b3 27 m 2016
Trang 2BAC 3 2
2
a b m? để hàm số
y x m x có 3 cực trị tạo thành tam giác có một góc 120 0
Với a 3,b m 7
Từ 8a 3b3 0 b 2 m 5
0
ABC
0
32a S b 0 m? để hàm số y mx4 2x2 m 2 có 3 cực trị tạo
thành tam giác có diện tích bằng 1
Với a m b, 2
Từ 32a S3 20 b5 0 m3 1 0 m 1
0
32
b S
a
m? để hàm số y x4 2 1 m x2 2 m 1 có 3 cực trị tạo thành tam giác có diện tích lớn nhất
Với a 1,b 2 1 m 2
Từ S0 1 m2 5 1 m 0
0
ABC
1 1
b r
b a
a
2
y x mx có 3 cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1
Với 1,
2
a b m Từ r0 m 2
0
BC m 2
am b m? để hàm số y m x2 4 mx2 1 m có 3 cực trị mà
trong đó có BC 2
Với a m b2, m Từ am02 2b 0 m 1 vì m 0
0
0
16a n b 8b 0 m? để hàm số y mx4 x2 m có 3 cực trị mà trong
đó có AC 0,25
Với a m b, 1
Từ 16a n2 20 b4 8b 0 m 3 do m 0 ,
B C Ox 2
b ac m? để hàm số y x4 mx2 1 có 3 cực trị tạo thành
tam giác có B C Ox,
Với a 1,b m c, 1
Từ b2 4ac 0 m 2 do m 0
Tam giác cân
tại A
Phương trình qua điểm cực trị :
4
BC y
a và
3
, :
2
b
a
Tam giác có 3
góc nhọn
3
8a b 0 m? để hàm số y x4 m2 6 x2 m 2 có 3 cực
trị tạo thành tam giác có 3 góc đều nhọn
Với a 1,b (m2 6)
Trang 3Từ 8a b3 0 b 2 2 m 2 Tam giác có
trọng tâm O
b ac m? để hàm số y x4 mx2 m có 3 cực trị tạo thành
tam giác nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm
Với a 1,b m c, m
Từ b2 6ac 0 m 6 do m 0
Tam giác có
trực tâm O
3
b a ac m? để hàm số y x4 mx2 m 2 có 3 cực trị tạo
thành tam giác có trực tâm O
Với a 1,b m c, m 2
Từ b3 8a 4ac 0 m 2 do m 0
0
ABC
0
8 8
R
a b
m? để hàm số y mx4 x2 2m 1 có 3 cực trị tạo thành tam giác nội tiếp trong đường tròn có bán kính
9 8
R
Với a m b, 1 Từ
3 0
8
1 8
Tam giác
cùng O tạo
hình thoi
2
b ac m? để hàm số y 2x4 mx2 4 có 3 cực trị cùng gốc
tọa độ O lập thành hình thoi
Với a 2,b m c, 4
Từ b2 2ac 0 m 4 do m 0
Tam giác,
tâm O nội
tiếp
3
b a abc m? để hàm số y mx4 2x2 2 có 3 cực trị lập thành
tam giác có O là tâm đường tròn nội tiếp
Với a m b, 2,c 2
Từ b3 8a 4abc 0 m 1 do m 0
Tam giác,
tâm O ngọai
tiếp
3
b a abc m? để hàm số y mx4 x2 2m 1 có 3 cực trị lập
tam giác có O là tâm đường tròn ngoại tiếp
Với a m b, 1,c 2m 1
Từ b3 8a 8abc 0 m 0,25 do m 0
Tam giác
vuông cân
tại A
3
0
y x m x m có
3 cực trị tạo thành tam giác vuông cân
Với a 1,b m 2016
Trang 4Tam giác
đều
3
y x m x m
có 3 cực trị tạo thành tam giác đều
Với a 9,b m 2020 Từ
3
3a b 0 b 3 m 2017
2
trị tạo thành tam giác có một góc 120 0
Với a 3,b m 2018
Từ a b3.tan 602 0 0 b 1 m 2017
0
ABC
S S 3 2 5
a S b m? để hàm số y mx4 4x2 2017m 2016 có 3 cực trị
tạo thành tam giác có diện tích bằng 4 2
Với a m b, 2 Từ a S3 20 b5 0 m 1
0
ABC
0
1 2
a
b a
m? để hàm số y mx4 2x2 2017m3 2016 có 3 cực trị tạo thành tam giác có bán kính ngoại tiếp bằng 1
2
a
b a
0
ABC
1 1
b r
b a
a
cực trị tạo thành tam giác có bán kính nội tiếp bằng 1
4
m
m
Tiệm cận:Tổng khoảng cách từ điểm M trên đồ thị hàm số y ax b
cx d đến 2 tiệm cận đạt
2
c
Tương giao:Giả sử d y: kx m cắt đồ thị hàm số y ax b
cx d tại 2 điểm phân biệt M, N
Với kx m ax b
cx d cho ta phương trình có dạng:
2
0
Ax Bx C thỏa điều kiện cx d 0,
có B2 4AC
2
2
1 ,
k
MN
A
OMN cân tại O
2
OMN vuông tại O
Trang 5MN ngắn nhất khi tồn tại
min ,k const
Khối đa diện: loại n p có D đỉnh, C cạnh, M mặt thì , n M p D 2.C hoặc
Euler D M C
Khối đa diện đều Số đỉnh Số cạnh Số mặt Kí hiệu Thể tích
12
3
Khối thập nhị diện
(12 mặt) đều
4
a V
Khối nhị thập diện
(20 mặt) đều
15 5 5 12
a V
Một số công thức tính nhanh “ thường gặp “ liên quan thể tích khối chóp
Cho hình chóp SABC với các
mặt phẳng SAB , SBC ,
SAC vuông góc với nhau
từng đôi một, diện tích các
tam giác SAB, SBC, SAC lần
lượt là S S S 1, ,2 3
Khi đó . 2 S S1 2 3
3
S ABC
S V
Cho hình chóp S.ABC với các mặt phẳng
SAB SBC SAC vuông góc với nhau
từng đôi một, diện tích các tam giác SAB, SBC, SAC lần lượt là 15cm2,20cm2,18cm2
.Thể tích khối chóp là:
3 20 3
a
C
3
20 2
a
D
3
20 6
a
2
20 3
ABCD
S S S
Chọn đáp án A
C S
A
B
Trang 6Cho hình chóp S.ABC có SA
vuông góc với ABC , hai
mặt phẳng SAB và SBC
vuông góc với nhau,
,
BSC ASB
Khi đó:
3
.
.sin 2 tan 12
S ABC
SB
V
Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với
mặt phẳng ABC , hai mặt phẳng SAB
và SBC vuông góc với nhau, SB a 3,
45o BSC , ASB 30o Thể tích khối chóp
S.ABC là:
A.
3
3 8
a
B.
3 6 8
a
C.
3 2 2
a
D.
3 3 6
a
.
S ABC
V
Chọn đáp án A.
Cho hình chóp đều S.ABC có
đáy ABC là tam giác đều
cạnh bằng a, cạnh bên bằng b
Khi đó:
.
3 12
S ABC
V
Cho hình chóp đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên bằng a Thể tích khối chóp S.ABC là:
A.
3 3 24
a
B.
3 2 12
a
C.
3 2 24
a
D.
3 3 12
a
3 2 12
SABC
a
a b V Chọn đáp án B.
Cho hình chóp tam giác đều
S.ABC có cạnh đáy bằng a và
mặt bên tạo với mặt phẳng
đáy góc
Khi đó:
3
tan 24
S ABC
a V
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và mặt bên tạo với mặt phẳng
đáy góc 600 Thể tích khối chóp S.ABC là :
A.
3
3 48
24
a
C.
3
3 24
12
a
SABC
Cho hình chóp tam giác đều
S.ABC có các cạnh bên bằng b
và cạnh bên tạo với mặt
phẳng đáy góc
Khi đó:
.
3 sin cos
4
S ABC
b
V
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các cạnh bên bằng 2 và cạnh bên tạo với mặt
phẳng đáy góc 30 0
Thể tích khối chóp S.ABC là :
A. 3 3
4 B.
3
24 C.
3 3 6
D. 3
4
.
3 sin cos 3 3
S ABC
b
Chọn đáp án A
B
C A
S
C A
S
B
M G
C A
S
B
M G
B
S
M G
Trang 7Cho hình chóp tam giác đều
S.ABC có các cạnh đáy bằng
a, cạnh bên tạo với mặt
phẳng đáy góc
Khi đó:
3
.tan 12
S ABC
a V
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các cạnh đáy bằng a, mặt bên tạo với mặt
phẳng đáy góc 30 Thể tích khối chóp 0
S.ABC là :
A.
3
48
a
B.
3
24
a
C.
3 3 24
a
D.
3 3 36
a
SABC
Cho hình chóp tứ giác đều
S.ABCD có đáy ABCD là hình
vuông cạnh bằng a, và
SA SB SC SD b
Khi đó:
.
6
S ABC
V
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, và
SA SB SC SD a Thể tích khối chóp
S.ABCD là:
A.
3 6 6
a
B.
3 2 2
a
C.
3 2 6
a
D.
3 3 3
a
Chọn đáp án C
Cho hình chóp tứ giác đều
S.ABCD có cạnh đáy bằng a,
góc tạo bởi mặt bên và mặt
phẳng đáy là
Khi đó:
3
.tan 6
S ABCD
a V
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc tạo bởi mặt bên và mặt
phẳng đáy là 45 Thể tích khối chóp 0
S.ABCD là:
A.
3
12
a
B. 3 3
6
a
C.
3
6 2
a
D.
3
6
a
tan
SABCD
a a
Cho hình chóp tứ giác đều
S.ABCD có cạnh đáy bằng a,
SAB , với ;
4 2 Khi đó:
.
tan 1 6
S ABCD
a
V
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, SAB 600 Thể tích khối chóp
S.ABCD là:
A.
3 2 12
a
B.
3 2 6
a
C.
3 6 2
a
D.
3
6
a
SABCD
V
Chọn đáp án B
Cho hình chóp tứ giác đều
S.ABCD có các cạnh bên bằng
a, góc tạo bởi mặt bên và mặt
đáy là với 0;
2 Khi đó:
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bên bằng 1, góc tạo bởi mặt bên và
mặt đáy là 45 Thể tích khối chóp S.ABCD 0
là:
A. 4 3
7 B.
4 3
27 C.
3 2
D. 4
27
B
S
M G
O B
S
C
M
O C
S
B
M
O
C
A
D
S
B
M
O C
S
B
M
Trang 82
4 tan
3 2 tan
S ABCD
a V
.
4 3 27
S ABCD
V Chọn đáp án B
Cho hình chóp tam giác đều
S.ABC có cạnh đáy bằng a
Gọi P là mặt phẳng đi qua
A song song với BC và vuông
góc với SBC , góc giữa P
với mặt phẳng đáy là
Khi đó:
3
cot 24
S ABCD
a V
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a Gọi P là mặt phẳng đi qua A song song với BC và vuông góc với SBC , góc giữa P với mặt phẳng đáy là 30 0
Thể tích khối chóp S.ABC là:
A
3 3 24
a
B
3 3 8
8
a
D
3
3 8
a
cot 30 3
SABC
Khối tám mặt đều có đỉnh là
tâm các mặt của hình lập
phương cạnh a
Khi đó:
3
6
a V
Khối tám mặt đều có đỉnh là tâm các mặt
của hình lập phương cạnh a có thể tích là:
A
3
12
a
B 3 3
4
6
a
D
3 3 2
a
Chọn đáp án C.
Cho khối tám mặt đều cạnh
a Nối tâm của các mặt bên ta
được khối lập phương
Khi đó:
3
2 2 27
a V
Cho khối tám mặt đều cạnh a Nối tâm của
các mặt bên ta được khối lập phương có
thể tích bằng V Tỷ số
3
a
V gần nhất giá trị
nào trong các giá trị sau?
A. 9,5 B. 7,8 C. 15,6 D. 22,6
9,5
V
V
Chọn đáp án A.
x
N
C A
S
B
F
M G E
O1
O3
O
O'
C D
B'
C' D'
A'
B
D A
S
C
S'
N G2
M G1