Đột phá tư duy giải nhanh trắc nghiệm hình học không gian

tam giác ABD và tam giác ABC.

Đ T P H Á T D U Y G I Ả I

N H A N H T R ẮC N G H I M

H N H H C K H N G G I A N

N H À X UẤT BẢ N DÂ N T R

:// /

Đi u khoản bản quy n theo luật s h u tr tu s 50/2005/QH11; bạn kh ng đ c ph p sao ch p tài li u này ngoại tr s cho ph p c a tác giả Bạn c th t m hi u th m v luật bản quy n tại http://www.cov gov.vn Ngoại tr s cho ph p c a tác giả, m i hành vi , , đ u

vi phạm bản quy n theo luật bản quy n.

Xuất bản lần đầu, Tháng 10 năm 2018

1 KH I ĐA DI N VÀ TH T CH KH I ĐA DI N 9

1.1 Đại c ng v kh i đa di n 9

1.1.1 Kh i đa di n 9

1.1.2 C bản v ph p bi n h nh trong kh ng gian 11

1.1.3 Kh i đa di n l i, đa di n đ u 14

1.1.4 Bài tập áp d ng 17

1.2 Th t ch kh i đa di n 18

1.2.1 Làm ch h nh v kh i ch p và lăng tr 18

1.2.2 T nh th t ch kh i ch p 24

1.2.3 Bài tập áp d ng 38

1.2.4 Th t ch kh i lăng tr 39

1.2.5 Bài tập áp d ng 43

1.2.6 Ph ng pháp t s th t ch 44

1.2.7 Bài tập áp d ng 51

1.2.8 Bài toán c c tr và bài toán th c t 52

1.2.9 Bài tập áp d ng 61

1.3 Khoảng cách và g c 62

1.3.1 Khoảng cách 62

1.3.2 Bài tập áp d ng 71

1.3.3 G c 72

1.3.4 Bài tập áp d ng 89

2 Kh i tr n xoay 90 2.1 Kh i n n và kh i tr 90

2.1.1 Đ nh ngh a và m t s thi t di n c bản 90

2.1.2 Th t ch và di n t ch 93

2.1.3 Bài tập áp d ng 100

2.2 Mặt cầu và kh i cầu 101

2.2.1 Đ nh ngh a và các v tr t ng đ i 101

2.2.2 Th t ch kh i cầu và di n t ch mặt cầu 104

2.2.3 Xác đ nh tâm và bán k nh kh i cầu ngoại ti p 105

2.2.4 Bài tập áp d ng 110

2.3 Th t ch l n nhất nh nhất và toán th c t đ i v i kh i tr n xoay 111

2.3.1 Ph ng pháp chung cho bào toán c c tr h nh h c 111

2.3.2 M t s v d v trải h nh và t nh toán th c t 114

2.3.3 Bài tập áp d ng 117

• M i cạnh c a đa giác nào c ng là cạnh chung c a đ ng hai đa giác.

• V i hai mặt S, S′ bất k lu n t n tại m t dãy các mặt S0, S1, , Sn sao cho S0 ≡ S,

Sn≡ S′ và bất k hai mặt li n ti p nào trong dãy này đ u c m t cạnh chung

M i đa giác nh th đ c g i là m t mặt c a h nh đa di n (H ) Các đ nh, cạnh c a các

đa giác ấy theo th t g i là các đ nh, cạnh c a h nh đa di n (H )

M i đa di n (H ) chia các đi m c n lại c a kh ng gian thành hai mi n kh ng giao nhau:

mi n trong và mi n ngoài c a (H ) Trong đ ch c duy nhất mi n ngoài là ch a hoàn toàn

H nh a) kh ng là kh i đa di n do c m t cạnh (tr n c ng) kh ng là cạnh chung c a hai mặt.

Đi u này vi phạm đi u ki n th hai trongĐ nh ngh a 1.1.1

H nh b) kh ng là kh i đa di n do c m t mặt phẳng ch a m t đ nh c a các mặt khác Khi đ ,mặt phẳng này giao v i mặt phẳng khác nh ng lại kh ng c đ nh chung c ng kh ng c cạnhchung Đi u này vi phạm đi u ki n m t trongĐ nh ngh a 1.1.1

H nh c) kh ng là kh i đa di n do c m t cạnh là cạnh chung c a b n mặt Đi u này vi phạm

đi u ki n hai trongĐ nh ngh a 1.1.1

H nh d) kh ng là kh i đa di n do vi phạm đi u ki n th ba trongĐ nh ngh a 1.1.1

1.1.2 C bản v ph p bi n h nh trong kh ng gian

Đ nh ngh a 1.1.3: Ph p bi n h nh

Ph p bi n h nh trong kh ng gian là m t quy tắc F mà v i m i đi m M trong kh ng gian,

th c hi n theo quy tắc F , d ng đ c m t và ch m t đi m M′ Đi m M′đ c g i là ảnh

Ph p t nh ti n vect −→v bi n đa di n (H ) thành đa di n H′, ph p đ i x ng tâm O bi n

đa di n (H′)thành đa di n (H′′) Khi đ , ph p d i h nh c đ c bằng cách th c hi n

li n ti p ph p t nh ti n vect −→v và ph p đ i x ng tâm O bi n đa di n (H ) thành đa di n(H′′) Do đ , các đa di n (H ), (H ′)và (H′′)bằng nhau

V d : Ph p v t tâm O t s k ̸= 0 là ph p đ ng dạng t s |k|.

C : Ph p đ ng dạng t s k > 0 bi n kh i đa di n (H ) thành kh i đa di n (H′)th t s

th t ch c a (H′)và (H ) bằng k3(lập ph ng t s đ ng dạng) Ch này rất h u ch cho cácbài toán v t l th t ch các phần sau

V d 1.1.8

Cho t di n ABCD G i A′ là tr ng tâm c a tam giác BCD Các đ ng thẳng qua A′

lần l t song song v i AB, AC, AD lần l t cắt các mặt phẳng (ACD), (ABD), (ABC)tại B′, C′, D′ Ch ng minh rằng t di n ABCD và A′B′C′D′đ ng dạng

tam giác ABD và tam giác ABC

Trong tam giác ABM, g i G = AA′ ∩

1.1.3 Kh i đa di n l i, đa di n đ u

kh ng gian là các kh i đa di n l i và đi t nh các y u t li n quan

c a n nh th t ch, g c hay khoảng cách Nh ng tr c khi đi

vào các kh i h nh c th , ta cần phân bi t đ c kh i đa di n l i

v i các kh i kh ng l i và nắm đ c c bản các đặc đi m c a các

kh i đa di n đ u

Đ nh ngh a 1.1.6: Kh i đa di n l i

Kh i đa di n (H ) đ c g i là kh i đa di n l i n u

đoạn thẳng n i hai đi m bất k c a (H ) lu n thu c

(H ) Khi đ h nh đa di n t ng ng đ c g i là đa

di n l i

V d : Các kh i ch p tam giác (t di n), kh i ch p

đa giác l i, kh i h p là nh ng kh i đa di n l i

Ch : Kh i da di n là l i khi và ch khi mi n trong

L , ta c th t nh s đ nh và s cạnh c a kh i đa di n đ u n mặt loại {p; q} nh sau

S cạnh = n× p

2 ; S đ nh = n× p

q

N , m t s đặc đi m khác c a kh i đa di n đ u c ng đ c quan tâm nh s tr c đ i

x ng, g c nh di n gi a hai mặt k , g c tâm mặt cầu ngoại ti p chắn b i m t cạnh, th t ch, bán

k nh kh i cầu ngoại ti p Chẳng hạn, kh i t di n đ u c 3 tr c đ i x ng là các đ ng đi quatrung đi m c a hai cạnh đ i di n; kh i lập ph ng c 9 tr c đ i x ng bao g m: 3 đ ng đi quatâm hai mặt đ i di n, 6 đ ng đi qua trung đi m c a hai cạnh đ i di n; kh i bát di n đ u c ng

c 9 tr c đ i x ng bao g m: 3 đ ng đi qua hai đ nh đ i di n, 6 đ ng đi qua trung đi m c ahai cạnh đ i di n Vi c đ m s tr c đ i x ng c a kh i m i hai (thập nh ) mặt đ u và hai m i(nh thập) mặt đ u ph c tạp và kh h nh dung h n nhi u n n cu n sách này kh ng đ cập đây

Đ nh ngh a 1.1.8: Nh di n và g c nh di n

Nh di n là h nh h p b i hai n a mặt phẳng c chung b là gia tuy n c a ch ng

Cho nh di n (P ) và (Q) c giao tuy n d T I ∈ (P) và J ∈ (Q) v i I, J /∈ d hạ

c a các kh i đa di n đ u bao g m s đo các g c α và

B

O

α

β RR

√2

3 cos β = −13

2 cos β = −13Bát di n đ u

√34

√2

3 cos α = −1

π2

√

3 +√

5)cos α = −

√5cos β =

√5

1.1.4 Bài tập áp d ng

đ ng cao đ ng trung tuy n, n a chu

vi lần l t là a, b, c, h a , m a , p nh th ng

l

Đ , đ i v i h nh th c thi và làm bài trắc nghi m th ngoài

y u t nắm r ph ng pháp giải toán h c sinh cần phải t nh toán

nhanh ra đáp s Ch nh v vậy, nh ng y u t c t nh chất quen

thu c, lặp lại nhi u lần trong quá tr nh giải bài n n đ c h c

2 a

Di n t ch:

√3

4 a

2.Bán k nh đ ng

Tâm ngoại ti p c ng là tr ng tâm

Tam giác vu ng cân cạnh b n bằng a

Cạnh huy n: √2a

Di n t ch: 1

2a

2.Bán k nh đ ng

tr n ngoại ti p:

Rđ=

√2

Tam giác cân g c 120◦ đ nh

a 2

√3a

120 ◦

Rđ= a; đ ng cao = a

2; di n t ch:

√3

4 a

2

Đáy là t giác đặc bi t: T m tắt đặc đi m c bản

AH2 = 1

AB2 + 1

AC2.AH.BC = AB.AC = 2S(ABC)

sin A =

bsin B =

csin C = 2Rđ.S(ABC) = 1

2bcsin A = 1

2a.ha

=√p(p− a)(p − b)(p − c) = pr

N , trong m t s t tr ng h p ta gặp phải đáy là h nh b nh hành hoặc n a l c giác đ u.Khi đ , m t s đặc đi m quan tr ng c a các h nh này c ng cần đ c ghi nh

Đáy là h nh b nh hành hoặc n a l c giác đ u

H nh b nh hành bi t g c-cạnh-g c

a

bα

là đ đ t nh toán m i th ng s c a h nh lăng tr ABC.A′B′C′ Do đ , h c sinh ch cần nắmchắc các tr ng h p xác đ nh đ ng cao đ i v i h nh ch p (xem H nh1.2)

A ′

A

B

C H

H nh 1.2: Quy h nh lăng tr v h nh ch p

M , bài toán kh ng cho ch nh xác v tr chân đ ng cao H ngay t đầu,

ta ch cần g i H là m t v tr nào đ d i đáy đ t đ khai thác các th ng tin v H d a vào cácgiả thi t Nh ng bài toán dạng này đ c x p vào bài toán m c đ vận d ng tr l n

Đ bài toán cho th ng tin v đ ng cao c a kh i ch p (lăng tr ) mà đ u c

th r i vào m t trong b n tr ng h p d i đây

đ n AB c a tam giác SAB

Đặc bi t: N u ∆SAB cân tại S th H là

trung đi m AB

G trong kh ng gian s đ c tr nh bày sâu h n trong m c1.3 Tuy nhi n,

đ h tr các t nh toán li n quan trong các bài toán t nh th t ch kh i đa di n, m c này s tr nhbày nh ng khái ni m c bản và cách xác đ nh g c c ng nh khoảng cách trong tr ng h p đ ngiản nhất

HI

gi a hai mặt phẳng nh h nh b n thay cho

Đ trong các bài toán t nh th t ch, tr c h t h c sinh cần

nắm v ng hai loại g c c bản: g c gi a cạnh b n và đáy và g c gi a mặt b n và đáy. m c

tr n, h c sinh đã làm ch đ c b n tr ng h p c bản xảy ra c a đ ng cao trong m t h nh

ch p (t ng t đ i v i h nh lăng tr ) Đi u đ c ngh a rằng ch ng ta đã làm ch đ c v trchân đ ng cao H nằm tr n mặt phẳng đáy V vậy, áp d ngĐ nh ngh a 1.2.1ta d dàng xác

đ nh đ c hai loại g c c bản này

Đ ta c ng gặp phải m t s bài toán li n quan đ n khoảng cách m c đ c bản Khi đ ,

đ ch đ ng trong t nh toán h c sinh cần nắm đ c cách xác đ nh khoảng cách c bản nhất

T chân đ ng cao H n i v i giao c a cạnh

T chân đ ng cao H k HI vu ng g c v igiao tuy n c a mặt b n (mặt xi n) v i đáy.Chẳng hạn, g c ((SAB), (đáy)) = [SIH

KA

S đáy và đ ng cao c a m t kh i ch p hay lăng

tr th vi c t nh th t ch c a kh i ch p hay lăng tr đ tr n n

h t s c đ n giản Đ i v i bài toán cho bi t g c gi a cạnh b n và

đáy hoặc mặt b n và đáy lần l t là φ = [SAHhoặc φ = [SIHth

chi u cao h c a kh i ch p (hoặc lăng tr ) th ng đ c t nh theo

các giá tr l ng giác c a φ Chẳng hạn

D i đây, cu n sách s minh h a chi ti t cho các dạng toán

th ng gặp trong các k thi THPT Qu c gia

1.2.2 T nh th t ch kh i ch p

T c a m t kh i đa di n là đại l ng d ng đ đo phần

kh ng gian b n trong kh i đa di n đ , th ng k hi u là V

Sđáy

V d 1.2.1: Cạnh b n vu ng đáy bi t g c c a cạnh b n v i đáy

Cho h nh ch p S.ABCD c đáy là h nh ch nhật, AB = a, BC = 2a, SA⊥(ABCD) Bi t

g c gi a SC và đáy là 60◦, t nh theo a th t ch c a kh i ch p S.ABCD

(SBC)và (ABC) Vậy dSIA= 60◦

Tam giác ABC đ u cạnh a n n I là trung

đi m c a BC, do đ AI =

√3

2 a

Tam giác SAI vu ng tại A n n

SA= AI.tan 60◦=

√3

2 a.

√

3 = 3

2aVậy

60◦

V d 1.2.3: Hai mặt b n c ng vu ng v i đáy

Cho h nh ch p S.ABC c ABC là tam giác vu ng tại B v i AB = a, \BAC = 60◦ Hai mặtphẳng (SAB) và (SAC) c ng vu ng g c v i mặt phẳng (ABC) Bi t g c gi a (SBC) vàđáy bằng 45◦, t nh theo a th t ch c a kh i ch p S.ABC

2 a

2.Vậy

V = 1

3.

√3

2 .1a

3=

√3

Cho h nh ch p S.ABCD c đáy là h nh thoi cạnh a, \ABC = 60◦ G i H là trung đi m c a

AB, hai mặt phẳng (SHC) và (SHD) c ng vu ng g c v i (ABCD) Bi t khoảng cách t

2 a

2.Theo quy tắc chuy n khoảng cách:

8 a

3

AS

D

aH

K

Tam giác SAB đ u và nằm trong mặt phẳng vu ng v i đáy n n chân đ ng cao H c a

h nh ch p là trung đi m AB

2 a

3

=

√3

4 a

3

11

√32

S

A

DH

Mặt phẳng (SAC) vu ng v i đáy n n chân

đ ng cao H c a h nh ch p thu c AC

4 a.

Vậy SH = AH tan 60◦=

√6

4 a

⇒ V = 13Sđáy.SH =

√6

60◦

4 a

2.Theo Pi-ta-go ta c

4 .

√3a3 = 1

2 a

3 =

√2

1

1

1

V d 1.2.9: Bi t v tr chân đ ng cao cho tr c

Cho h nh ch p S.ABCD c AB ∥ CD và AB = 2CD = 2AD = 2a, \BAD = 60◦ G i O

là trung đi m c a AB, h nh chi u vu ng g c c a S tr n mp(ABCD) là trung đi m c a

DO Bi t g c gi a SB và mặt phẳng (SAC) bằng 30◦ T nh th t ch kh i ch p S.ABCD

H ng dẫn

T giả thi t thấy đáy ABCD là h nh thang

cân n a l c giác đ u nh trong m c 1.2.1

Do đ Sđáy = 3

√3

C BC⊥AC mà BC⊥SH (do SH⊥(ABCD))

n n BC⊥(SAC) Vậy C là h nh chi u c a

8 a

3.S

CD

O

H

V d 1.2.10: Chân đ ng cao là tâm đ ng tr n n i ti p đáy

Cho h nh ch p S.ABC c AB = 3, AC = 5, BC = 6 Các mặt b n c a h nh ch p c ngtạo v i đáy m t g c 60◦ T nh th t ch kh i ch p S.ABC bi t chân đ ng cao hạ t đ nh

Snằm mi n trong c a tam giác ABC

8√3

3 S

A

B

CH

I

K

Lr

60◦

5

V d 1.2.11: T nh đ dài đ ng cao bằng lập ph ng tr nh

Cho h nh ch p S.ABC c ABC là tam giác vu ng tại B, BC = 3a, cạnh b n SA⊥(ABC)

Bi t SB và SC tạo v i đáy các g c c s đo lần l t là 45◦ và 30◦ T nh th t ch c a kh i

√6

3 hay OH =

√6

3 ; h =

2√3

27 a

3.S

A

O

DI

Hh

x

2a

√ 6

3 a

βγa

Cho t di n ABCD c \BAC = α;

\BAD= β; \CAD= γ

G i φ là g c nh di n cạnh AB c a hai mặtphẳng (ABC) và ABD th φ đ c t nh b i

( 1.4 ):

D ng E sao cho BCDE là h nh b nh hành, ta c

VABCD = VABDEvà d(AB, CD) = d(D, (ABE))

Iα

( 1.6 ):

X t g c tam di n Axyz v i các s đo α, β, γ khác

90◦nh h nh v

Tr n tia Ax lấy đi m I sao cho AI = 1 T I k

IK, ILc ng vu ng g c v i Ax tại I (xem h nh b n)

φ1

Theo đ nh l hàm s Cosin cho tam giác IKL ta c :

KL2 = IK2+ IL2− 2IK.IL cos φ = tan2α+tan2β− 2 tan α tan β cos φ (2)

T (1) và (2) suy ra 1 −cos α cos βcos γ =−sin α sin β cos φ

cos α cos β .

Do đ cos φ = cos γ − cos α cos β

sin α sin β C ng th c vẫn đ ng khi α hoặc β bằng 90◦.

C ng th c (1.8) đ c suy ra t c ng th c (1.6) và (1.7) bằng cách thay sin x b i√1− cos2x

V d 1.2.13: T di n c đ dài hai cạnh đ i, khoảng cách và g c gi a ch ng

Cho t di n ABCD c AB = 2a, CD = 5a Bi t g c gi a hai đ ng thẳng AB và CDbằng 60◦ và khoảng cách gi a ch ng bằng 3a T nh th t ch t di n ABCD theo a

4

√ 2 2

3.1 a

3 =

√2

3 ⇒ sin φ =

√6

2 a;

DL= DAsin 45◦ = 3

√2

K

L

⇒ DH2 =

(27

a

bbc

c

x

yz

2 ; y =

√10

2 ; z =

3√10

2 ⇒ VABCD= 15

√6

4 .

Lại c SBCD =√

p(p− 4)(p − 5)(p − 6) v i p = 4 + 5 + 62 , suy ra SBCD = 15

√7

4 Vậy d(A, (BCD)) = 3VABCD

SBCD

= 3

√42

• H là h nh chi u c a O l n mp(ABC) khi

và ch khi H là tr c tâm tam giác ABC

O

A

BC

a

b

cHh

V d 1.2.17

Cho h nh ch p S.ABCD c đáy là h nh ch nhật, SA⊥(ABCD), AB = a, AD = 2a Bi tkhoảng cách t A đ n mặt phẳng (SBD) bằng

√2

3 =

4√3

A′ 1

Ta thấy AN, BB′, N P đ ng quy theo đ nh l v 3

giao tuy n c a 3 mặt phẳng (hoặc đ ng quy, hoặc

song song) Do đ ABN.MB′P là m t h nh ch p

c t

C SABN = 1

2SABC =

√3

32a

2.Theo c ng th c (1.11) ta c :

)

a3= 7

√3

1.2.3 Bài tập áp d ng

1.2.4 Th t ch kh i lăng tr

làm vi c v i kh i lăng tr t ng đ ng v i giải

bài toán h nh ch p, trong đ đáy ch p là m t đáy

ABCD c a lăng tr c n đ nh ch p là m t trong

các đ nh A′, B′hoặc C′v.v Vi c ch n đ nh này

ph thu c vào th ng tin v đ ng cao c a kh i

lăng tr Chẳng hạn, n u bài cho h nh chi u c a

A′ th ta làm vi c v i kh i ch p A′.ABCD M t

khi xác đ nh đ c đáy và đ ng cao c a kh i lăng

tr , th t ch c a n đ c t nh b i c ng th c

V = Sđáy.h (1.13)

Trong đ Sđáy là di n t ch m t đáy c a kh i lăng

tr , h là đ dài đ ng cao c a lăng tr

A

B

CD

2 .

√3a = 3

2a,vậy h = 3

2a

Áp d ng c ng th c (1.13) th t ch c

V = SACB.h=

√3

2 a

2.Tam giác ABD đ u cạnh a n n AG =

√3

3 a⇒ h =

√3

60◦

45◦

V d 1.2.22

Cho h nh lăng tr ABCD.A′B′C′D′ c đáy là h nh ch nhật v i AB = 2, BC = 5 Bi t

AA′ = 3và g c gi a hai mặt phẳng (AA′B′B), AA′D′Dv i đáy lần l t là 45◦ và 60◦

⇒ h2= 27

7 Vậy h = 3

√21

7 Vậy, th t ch kh i lăng tr bằng

53

Đặc bi t: T nh th t ch lăng tr xi n theo thi t di n vu ng

Cho kh i lăng tr A1A2 An.A′

A1

A2

A′ 1

A′ 2

A1

A2

A′ 1

A′ 2

(P )

B1

B2

B′ 1

B′ 2

3 T nh th

t ch kh i lăng tr

2 Theo h th c l ng trong tam giác

Do đ AA′ =√

A′M2+ AM2 =

√5

3 + 5 =

2√15

3

Áp d ng c ng th c (1.14) ta c Vl.tru = SAB 1 C 1.AA′ = 1.2

√15

2√15

1.2.5 Bài tập áp d ng

1.2.6 Ph ng pháp t s th t ch

K c a m t kh i đa di n mà n ch là m t phần

c a kh i đa di n ban đầu, r ràng ta kh ng th áp d ng tr c ti p

c ng th c t nh th t ch c a ch ng do rất kh khăn trong vi c xác

đ nh đáy và đ ng cao c a n Tuy nhi n, kh i đa di n ban đầu

th lại rất d dàng th c hi n đ c đi u đ Ch nh v vậy, ch ng ta

cần t m m i quan h (t m t l ) c a th t ch cần t nh (kh ng t nh

tr c ti p đ c) v i th t ch c a kh i đa di n ban đầu (d t nh

đ c ngay) Mu n vậy, h c sinh cần ghi nh ba dạng chuy n đ i

H nh 1.3: T s th t ch ch p t giác

Mà sin \A′SB′ = sin [ASB, d(C′,(SA′B′)) = d(C′,(SAB)) do

A′, B′c ng nằm trong tam giác SAB

Theo ti u m c t s khoảng cách trong m c1.2.1,

d(C′,(SAB))

d(C, (SAB)) =

SC′

SC.Mặt khác VS.ABC = 1

SA′.SB′.SC′

SA.SB.SC (1.16):

Ch ng minh hoàn toàn t ng t ta đ c b + d = 2k

Mà VS.ABC = VS.ADC = 1

2VS.ABCD (1.19)

T (1.17), (1.18) và (1.19) ta c VS.A ′ B ′ C ′ D ′ =

(1abc+ 1adc