Chuyên đề hình học phương pháp xác định góc, khoảng cách

Mục đích của cuốn sách Bài tập trắc nghiệm Hình Học 11 là giúp giáo viên có thêm tài liệu tham khảo, giúp phụ huynh có thêm tài liệu để kiểm tra kết quả học tập của các em, đồng thời giúp các em học tập tốt hơn, kiểm tra được phần bài làm của mình đã chính xác hay chưa. Khi sử dụng cuốn sách Bài tập trắc nghiệm Hình Học 11 này, các em nên lưu ý: Trước hết tự mình giải bài tập, sau đó mới tham khảo lời giải của cuốn sách, nghiên cứu kĩ cách giải mà sách đưa ra, không nên xem cách giải ngay từ đầu.

Ths Đỗ Chí Tâm Phương pháp xác định và tính góc, khoảng cách

a

P

a

PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH VÀ TÍNH GÓC, KHOẢNG CÁCH TRONG

HÌNH HỌC KHÔNG GIAN DẠNG 1 : Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng

1 Định nghĩa 1 (góc giữa đường thẳng và mặt phẳng ): là góc giữa đường thẳng đó

và hình chiếu của nó lên mặt phẳng



2 Định nghĩa 2 (góc giữa hai mặt phẳng): làgóc giữa hai đường

thẳng, một đường nằm trong mặt phẳng này, một đường nằm trong mặt phẳng kia,

cùng vuông góc với giao tuyến tại một điểm



Phương pháp 1 : Xác định góc giữa mặt bên và mặt đáy , ta thực hiện như sau:

B1 Xác định giao tuyến của và

   α  β d  1

B2 Từ chân đường cao H, kẻ HKd tại K (2)

SKd Do d SHK  (3)

(1)(2)(3)  , SKH

Ví dụ 1 Cho hình chóp S ABCD , SABlà tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Xác định góc giữa

a) Các cạnh bên và mặt phẳng đáy

b) Mặt phẳng SCD và mặt phẳng đáy

Giải

Gọi H là trung điểm của AB

Khi đó,

( )

( )









Tức là, H là chân đường cao của chóp ( S ABCD )

a) HB là hình chiếu của SBlên ABCD

SB ABCD,( ) SB HB, SBH

HC là hình chiếu của SC lên ABCD

SC ABCD,( ) SC HC, SCH

HD là hình chiếu của SD lên ABCD

SD ABCD,( ) SD HD, SDH

b)  SCD  ABCDCD (1)

 Kẻ HK CD tại K (2)

SKCD Do CDSKH  (3)

( )( )( )1 2 3 SCD , ABCD SKH

Nhận xét: Từ ví dụ trên ta thấy rằng, để tìm góc giữa cạnh bên và mặt đáy, các em chỉ cần nối giao điểm của cạnh bên đó với chân đường cao H sẽ tạo ra một góc, đó chính là góc giữa cạnh bên và mặt đáy

A

D

S

Ths Đỗ Chí Tâm Phương pháp xác định và tính góc, khoảng cách

Ví dụ 2 Cho hình chóp S ABCD , ABCDlà hình thang vuông tại A D Gọi , O là giao điểm của

AC, BD, SOABCD Xác định góc

a) Giữa các cạnh bên và mặt đáy

b) Góc giữa mặt phẳng SBCvà mặt đáy

c) Góc giữa SABvà mặt đáy

Giải

a) OD là hình chiếu của SD lên mặt đáy

SD ABCD,( ) SD OD, SDO

OA là hình chiếu của SA lên mặt đáy

SA ABCD,( ) SA OA, SAO

b)  SBC  ABCDBC (1)

 Kẻ OH BC tại H (2)

SHBC Do CBSHO  (3)

(1)(2)(3) (SBC),(ABCD) SHO

c) Tương tự câu b, ta có (SAB),(ABCD) SKO

O

C D

S

K H

M

H

P

d

P

B

A

H

a

A

B

P

a

b A

B

M

H

DẠNG 2 Xác định và tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng

1 Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P)

 / 

2 Khoảng cách từ các điểm trên đường thẳng song song với mặt phẳng

đến mặt phẳng là bằng nhau

d A P / d B P / d d P / AH

3 Tỷ lệ về khoảng cách

 

 

/ /

d B P OB

Nếu A là trung điểm của OB thì

  1  

2

Chú ý: Trong hình chóp, ta hay tính khoảng cách từ các điểm đến mặt phẳng thông qua chân đường cao của chóp.

4 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: bằng độ dài đoạn vuông góc chung

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng b và song song với a

Thì d a b / d a P / d M P / MH

Ths Đỗ Chí Tâm Phương pháp xác định và tính góc, khoảng cách

Phương pháp 2: Để xác định khoảng cách từ chân đường cao H của chóp đến mặt bên

ta thực hiện như sau:

B1. Tìm giao tuyến d của và mặt đáy  

      d

B2. Từ chân đường cao H của chóp,

Kẻ HK d

Kẻ HJ SK  1

HJ d do d SHK   2

     

 

1 , 2

,

HJ





Ví dụ 1 Cho hình chóp S ABCD , ABCD là hình vuông tâm O cạnh bằng a; SAABCD,

2

SA a

a) Tính khoảng cách từ A đến SBC 

b) Tính khoảng cách từ O đến

c) Tính khoảng cách từ D đến SBC 

d) Tính khoảng cách từ A đến SBD 

e) Tính khoảng cách từ C đến SBD 

Giải

a) Kẻ AH SB  1

2

1 2

2 2

a

2a

O

S

H K

    2 5

,

5

a

b)    

,

CA

c)           2 5

5

a

d) Kẻ AK SO  1

     

2

2 2 2

2 2

3

a

e) ACSBDO, O là trung điểm AC         2

3

a

Ví dụ 2.Cho hình chóp S ABCD ABCD là hình vuông; SAB,  đều cạnh bằng a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy

a) Tính khoảng cách từ A đến SCD 

b) Tính khoảng cách từ B đến SCD 

c) Tính khoảng cách từ O đến SCD 

d) Tính khoảng cách từ A đến SBD 

Giải

a) Kẻ HK CD

Kẻ HJ SK  1

HJ CD Do CD SHK   2

  1 2 HJ SCDd H SCD ,  HJ

O

A

D

S

H

K J

E F

Ths Đỗ Chí Tâm Phương pháp xác định và tính góc, khoảng cách

2 2 2

3 2

7

a

7

a

c)    

,

DB

d) Kẻ HEBD

Kẻ HF SE  1

HF BD Do BD SHE   2

  1 2 HF SBDd H SBD ,  HF

2 2

7 ,

BH

Phương pháp 3: Xác định khoảng cách giữa đường thẳng d1 nằm trong mặt phẳng đáy

và d2 nằm trong mặt bên của chóp, ta có 2 trường hợp sau đây:

B1 Chọn mặt phẳng chứa d2 sao cho song song hay vuông góc với d1

B2a Nếu mp d1 tại O Kẻ OK d2 tại K (1)

OKd1 Do d1    2

(1),(2)OK là đường vuông góc chung của d d 1, 2

d d d1, 2 OK

B2b: Nếu mp d1 thì d d d1, 2 d d1, d M, với M bất kỳ thuộc d1

Chú ý: Trong nhiều trường hợp mặt phẳng không có sẵn, ta sẽ dựng mặt phẳng như sau:

Từ giao điểm của d2 và mặt phẳng đáy ta kẻ đường thẳng d3/ /d1

d1/ / d2 d d d1, 2 d d1, d M d1,

Ví dụ Cho hình chóp S ABCD ABCD là hình vuông cạnh bằng ; , a góc giữa SC và mặt phẳng đáy

30 , SA ABCD

a) Tính khoảng cách từ A đến SBC 

b) Tính khoảng cách từ AD đến SB

c) Tính khoảng cách từ BD đến SC

Giải

a) Kẻ AH SB  1

AH BC Do BC SAB   2

  1 2 AH SBCd A SBC ,   AH

2 2 2

2 3

5

a

5

a

c) BDSACSC tại O

Kẻ OK SC  1

OK BD Do BD SAC   2

  1 2 OK là đường vuông góc chung của BD SC, d BD SC , OK

OKC

 đồng dạng với

2

2 2 2

2

a

a O S

C D

B A

H

K

Ths Đỗ Chí Tâm Phương pháp xác định và tính góc, khoảng cách

BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1. Cho hình chóp S ABC , SAABC; ABC đều cạnh bằng a, góc giữa SB và mặt phẳng

đáy bằng 0

45

a) Tính A đến SBC 

b) Gọi O là trọng tâm tam giác ABC , tính khoảng cách từ O đến SBC 

c) Tính khoảng cách từ B đến SAC 

Giải

a) Kẻ AK BC

Kẻ AJ SK  1

AJ  BC Do BC SAK   2

  1 2 AJ SBCd A SBC ,   AJ

2

2 2

3 3

2

7

a

b)    

,

KA

c) Kẻ BH  AC  1

BH SA Do SA ABC   2

2

a

O

B

S

K J

H

Bài 2. Cho hình chóp S ABCD , ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a ; SAB  cân S và nằm trong

mặt phẳng vuông góc với mặt đáy; góc giữa mặt bên SCD và mặt phẳng đáy bằng  60 0

a) Tính khoảng cách từ B đến SCD 

b) Gọi O là tâm của hình vuông ABCD Tính khoảng cách từ

O đến SCD 

c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC

Giải

a) Kẻ HK CD

Kẻ HJ SK  1

HJ CD Do CD SHK   2

  1 2 HJ SCDd H SCD ,  HJ

2 2

3

a

b)    

,

DB

c) AB||SCDSCd AB SC , d AB SCD ,  d B SCD ,  a 3

Bài 3. Cho hình chóp đều S ABCD , AB2a, góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy bằng 45 0

a) Tính khoảng cách từ A đến SBC 

b) Tính khoảng cách từ C đến SBD 

c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD SC ,

O

A

D

S

H

K J

Ths Đỗ Chí Tâm Phương pháp xác định và tính góc, khoảng cách

Giải

SBC ABCD BC









Suy ra, góc giữa SBC và  ABCD là  SKO45 0

a) Kẻ OKBC

Kẻ OJ SK  1

OJ BC Do BC SOK   2

  1 2 OJ SBCd O SBC ,  OJ

2 2

,

CA

b)

2





c) AD||SBCSCd AD SC , d AD SBC ,  d A SBC ,  a 2

d) BDSACSC tại O

Kẻ OH SC  1

OH BD Do BD SAC   2

  1 2 OH là đường vuông góc chung của BD SC, d BD SC , OH

2 2 2

2 2

3

a

2a

O

S

K J

H

Bài 4. Cho hình chóp S ABC,SAB đều cạnh bằng 2a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với

mặt đáy, ABC vuông cân tại C

a) Tính khoảng cách từ A đến SBC 

b) Tính khoảng cách từ AB đến SC

c) Tính khoảng cách từ AC đến SB

Giải

Ta có 1

2

HC ABa AC2BC2  AB2 AC BCa 2

a) Kẻ HK BC

Kẻ HJ SK  1

HJ BC Do BC SHK   2

  1 2 HJ SBCd H SBC ,  HJ

 

2 2

2

7 ,

BH

b) ABSHCSC tại H

Kẻ HF SC  1

HF  AB Do AB SHC   2

  1 2 HF là đường vuông góc chung của AB SC, d AB SC , HF

 

2 2 2

3

2

a

c) Kẻ BE|| AC Khi đó thì ACBE là hình vuông

B

S

E

J

N M

Ths Đỗ Chí Tâm Phương pháp xác định và tính góc, khoảng cách

7

a

Bài 5 Cho hình chóp S ABCD , ABCD là hình thang vuông tại A,B ABBCa AD, 2 ;a

SAB

 đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Gọi H là trung điểm của AB

a) Tính khoảng cách từ H đến SCD 

b) Tính khoảng cách từ A đến SCD 

c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD SC ,

Giải

2

3 4

Gọi I là trung điểm của AD

2

CD CI ID CDa

2

HCD HCD

CD

a) Kẻ HK CD

Kẻ HJ SK  1

HJ CD Do CD SHK   2

  1 2 HJ SCDd H SCD ,  HJ

2 2

10

a

b)    

,

FH

c) AD||SBCSCd AD SC , d A SBC ,  2d H SBC ,  2HE

a

a

2a

A

B

C

D S

F

H

K J E

Bài 6 Cho lăng trụ đứng ABC A B C ABC ' ' '  đều cạnh bằng a AA, '2 a

a) Tính khoảng cách từ A đến A BC ' 

b) Tính khoảng cách từ C đến ' A BC ' 

c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AA và ' B C ' '

Giải

a) ) Kẻ AK BC

Kẻ AJ  A K'  1

AJ BC Do BC A AK'    2

  1 2 AJ A BC' d A A BC , '   AJ

 

2 2

2

19

a

b) B C' ' ||A BC' d C ',A BC'  d B ',A BC'  

B A' A BC' O , O là trung điểm của AB'd B ',A BC'  d A A BC , '  

        2 57

19

a

2

a

Bài 7 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B,

, AA ' 2 , ' 3

ABa  a A C a Gọi M là trung điểm của A C' ', I là giao điểm của AMvà A C'

a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (IBC)

b) Gọi N là điểm trên B'C' sao cho B'N=2NC' Tính khoảng cách giữa AA' và CN

O

B

A'

B'

C'

K J

Ths Đỗ Chí Tâm Phương pháp xác định và tính góc, khoảng cách

Giải

a) 2 2 2 2

' -A'A 5

2 2 2 2 2 2

BC  AC AB  a a  a BC a

I là trọng tâm AA'C' nên ' 2 1 '

3

IA  IO A C

CA

    

a) Kẻ HDBC HK, ID Khi đó, ta có

   /  







2 2

3 3

2 2 2 2 2 2

a HK

Mặt khác, ta có AH căt IBC tại C

( // ) 32  /  32  /  32 25

b) Mặt phẳng BCC'B' chứa CN và song song với AA' Nên ta có

 '/   '/ ' '   / ' ' 

a

2a

3a

O I M

B

A'

B'

C'

H D K