Điều kiện tối ưu của một số vấn đề lập kế hoạch thực hiện trên mô hình máy đơn và mô hình máy song song (NCKH)

Điều kiện tối ưu của một số vấn đề lập kế hoạch thực hiện trên mô hình máy đơn và mô hình máy song song.Điều kiện tối ưu của một số vấn đề lập kế hoạch thực hiện trên mô hình máy đơn và mô hình máy song song.Điều kiện tối ưu của một số vấn đề lập kế hoạch thực hiện trên mô hình máy đơn và mô hình máy song song.Điều kiện tối ưu của một số vấn đề lập kế hoạch thực hiện trên mô hình máy đơn và mô hình máy song song.Điều kiện tối ưu của một số vấn đề lập kế hoạch thực hiện trên mô hình máy đơn và mô hình máy song song.Điều kiện tối ưu của một số vấn đề lập kế hoạch thực hiện trên mô hình máy đơn và mô hình máy song song.Điều kiện tối ưu của một số vấn đề lập kế hoạch thực hiện trên mô hình máy đơn và mô hình máy song song.Điều kiện tối ưu của một số vấn đề lập kế hoạch thực hiện trên mô hình máy đơn và mô hình máy song song.Điều kiện tối ưu của một số vấn đề lập kế hoạch thực hiện trên mô hình máy đơn và mô hình máy song song.Điều kiện tối ưu của một số vấn đề lập kế hoạch thực hiện trên mô hình máy đơn và mô hình máy song song.

BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC

ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CỦA MỘT SỐ VẤN ĐỀ

LẬP KẾ HOẠCH THỰC HIỆN TRÊN MÔ HÌNH MÁY ĐƠN

VÀ MÔ HÌNH MÁY SONG SONG

Mã số: ĐH2015–TN08-10

Chủ nhiệm đề tài: TS Phạm Hồng Trường

THÁI NGUYÊN, 08/2018

TRƯỜNG ĐH KINH TẾ VÀ QUẢN TRỊ KINH DOANH

——————–o0o——————–

BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC

ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU CỦA MỘT SỐ VẤN ĐỀ

LẬP KẾ HOẠCH THỰC HIỆN TRÊN MÔ HÌNH MÁY ĐƠN

VÀ MÔ HÌNH MÁY SONG SONG

Mã số: ĐH2015–TN08-10

TS Phạm Hồng Trường

THÁI NGUYÊN, 08/2018

Mục lục

1.1 Bài toán lập lịch 4

1.1.1 Lời dẫn 4

1.1.2 Các định nghĩa 5

1.1.3 Phân loại các bài toán lập lịch 9

1.2 Tìm lời giải của bài toán lập lịch 11

1.2.1 Trình tự có thể thực hiện (trình tự khả thi) và trình tự tối ưu 11

1.2.2 Trình tự thực hiện không trì hoãn và trình tự thực hiện trì hoãn được 11

1.2.3 Sơ lược thuật toán và độ phức tạp của bài toán lập lịch 12 Chương 2 Một dạng điều kiện cần cực trị của bài toán tối ưu 18 2.1 Một số khái niệm và kết quả bổ trợ 19

2.2 Bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm bất động và bài toán cân bằng 21

2.2.1 Bất đẳng thức biến phân trong không gian hữu hạn

chiều 21

2.2.2 Bất đẳng thức biến phân trong không gian Banach và bài toán điểm bất động 22

2.2.3 Bài toán cân bằng trong không gian Hilbert 23

2.3 Một số phương pháp giải bất đẳng thức biến phân 24

2.3.1 Phương pháp hiệu chỉnh 24

2.3.2 Phương pháp lai ghép 34

Chương 3 Điều kiện tối ưu của một số bài toán lập biểu trên mô hình máy đơn, mô hình máy song song 36 3.1 Điều kiện tối ưu của bài toán tối thiểu hóa tổng thời gian hoàn thành thực hiện các công việc tương đương nhau trên mô hình máy đơn 38

3.1.1 Bài toán tối thiểu hóa tổng thời gian hoàn thành thực hiện các công việc tương đương nhau trên mô hình máy đơn 38

3.1.2 Điều kiện tối ưu của bài toán tối thiểu hóa tổng thời gian hoàn thành thực hiện các công việc tương đương nhau trên mô hình máy đơn 39

3.2 Điều kiện tối ưu của bài toán tối thiểu hóa tổng thời gian hoàn thành thực hiện các công việc có trọng số khác nhau trên mô hình máy đơn 41

3.2.1 Bài toán tối thiểu hóa tổng thời gian hoàn thành thực hiện các công việc có trọng số khác nhau trên mô hình máy đơn 41

3.2.2 Điều kiện tối ưu của bài toán tối thiểu hóa tổng thời gian hoàn thành thực hiện các công việc có trọng số khác nhau trên mô hình máy đơn 42

3.3 Điều kiện tối ưu của bài toán tối thiểu hóa thời gian trễ tối đa của các công việc có thời gian đến như nhau trên mô hình máy đơn 44

3.3.1 Bài toán tối thiểu hóa thời gian trễ tối đa của các công việc có thời gian đến như nhau trên mô hình máy đơn 44

tối đa của các công việc có thời gian đến như nhau trên mô hình máy đơn là tối ưu 45 3.3.3 Điều kiện cần và đủ của bài toán tối thiểu hóa thời

gian trễ tối đa của các công việc có thời gian đến như nhau trên mô hình máy đơn 45 3.4 Điều kiện tối ưu của bài toán tối thiểu hóa thời gian thực

hiện tối đa của công việc trên mô hình máy đơn với thời gian

tham gia vào quá trình thực hiện bất kì 47 3.4.1 Bài toán tối thiểu hóa thời gian thực hiện tối đa của

công việc trên mô hình máy đơn với thời gian tham gia vào quá trình thực hiện bất kì 47 3.4.2 Điều kiện cần và đủ của bài toán tối thiểu hóa thời

gian thực hiện tối đa của công việc trên mô hình máy đơn với thời gian tham gia vào quá trình thực hiện bất kì 48 3.5 Điều kiện tối ưu của bài toán tối thiểu hóa tổng các công

việc trễ trên mô hình máy đơn 50 3.5.1 Bài toán tối thiểu hóa tổng các công việc trễ trên mô

hình máy đơn 50 3.5.2 Điều kiện cần và đủ của bài toán tối thiểu hóa tổng

các công việc trễ trên mô hình máy đơn 51 3.6 Điều kiện tối ưu của bài toán tối thiểu hóa tổng thời gian

hoàn thành các công việc trên mô hình các máy sản xuất

song song đồng tốc độ 55 3.6.1 Bài toán tối thiểu hóa tổng thời gian hoàn thành các

công việc trên mô hình các máy sản xuất song song đồng tốc độ 55 3.6.2 Điều kiện tối ưu của bài toán tối thiểu hóa tổng thời

gian hoàn thành các công việc trên mô hình các máy sản xuất song song đồng tốc độ 56

Thành viên tham gia và đơn vị phối hợp

I Những thành viên tham gia nghiên cứu đề tài

1 PGS TS Nguyễn Thị Thu Thủy, Trường ĐH Khoa học – Đại học Thái Nguyên

2 TS Nguyễn Văn Minh, Trường ĐH Kinh tế & QTKD - Đại học Thái Nguyên

3 ThS-GVC Nguyễn Thị Thu Hường, Trường ĐH Kinh tế & QTKD – Đại học TháiNguyên

4 ThS-GVC Trần Thị Mai, Trường ĐH Kinh tế & QTKD – Đại học Thái Nguyên

II Đơn vị phối hợp chính

1 Department of Mathematics, East China University of Science and Technology, hai, China

Shang-2 Department of Mathematics, Luoyang Teachers Education University, Luoyang, Henan,China

3 School of Mathematical Science, Guangxi Teachers Education University, Nanning,Guangxi, China

các công việc tương đương

P

có trọng số khác nhau

P

tương đương

Danh sách hình vẽ

1.1 Ví dụ của đồ thị ràng buộc ưu tiên 7

1.2 Ví dụ của đồ thị ràng buộc ưu tiên (a) dạng xích; (b) dạng cây nhập; (c) dạng cây xuất 8

1.3 Trình tự tối ưu của Ví dụ 1.2.1 11

1.4 Sơ đồ Grant Charts của Ví dụ 1.2.2 11

1.5 Trình tự khả thi của Ví dụ 1.2.4 12

1.6 Quan hệ tổng quát hóa của một số bài toán lập lịch dựa theo điều kiện của máy xử lý 15

1.7 Quan hệ tổng quát hóa của một số bài toán lập lịch dựa theo điều kiện ràng buộc 15

1.8 Quan hệ tổng quát hóa của một số bài toán lập lịch dựa theo điều kiện hàm mục tiêu 16

1.9 Mối quan hệ giữa một số bài toán độ dài thời gian biểu tối đa 16

1.10 Mối quan hệ giữa một số bài toán trễ tối đa 16

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ VÀ QUẢN TRỊ KINH DOANH

THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

1 Thông tin chung:

- Tên đề tài: Điều kiện tối ưu của một số vấn đề lập kế hoạch thực hiện trên

mô hình máy đơn và mô hình máy song song

- Mã số: ĐH2015–TN08-10

- Chủ nhiệm: TS Phạm Hồng Trường

- Cơ quan chủ trì: Trường Đại học Kinh tế & Quản trị kinh doanh – Đại học TháiNguyên

- Thời gian thực hiện: Từ tháng 09 năm 2015 đến tháng 09 năm 2017

2 Mục tiêu: Tìm điều kiện cần và đủ đối với vấn đề tối ưu của một số bài toán lập lịch

điển hình trên mô hình máy sản xuất đơn và mô hình máy sản xuất song song dưới đây

• Tối thiểu hóa tổng thời gian hoàn thành thực hiện các công việc tương đương nhautrên mô hình máy đơn

• Tối thiểu hóa tổng thời gian hoàn thành thực hiện các công việc có trọng số khácnhau trên mô hình máy đơn

• Tối thiểu hóa thời gian trễ tối đa của các công việc có thời gian đến như nhau trên

mô hình máy đơn

• Tối thiểu hóa tổng các công việc trễ trên mô hình máy đơn

• Tối thiểu hóa thời gian thực hiện tối đa của công việc trên mô hình máy đơn với thờigian tham gia vào quá trình thực hiện bất kì

• Tối thiểu hóa tổng thời gian hoàn thành các công việc trên mô hình các máy sản xuấtsong song đồng tốc độ

3 Tính mới và sáng tạo: Đề tài đã tập trung nghiên cứu và tìm ra điều kiện cần và đủ

đối với vấn đề tối ưu của một số vấn đề lập kế hoạch thực hiện điển hình trên mô hìnhmáy sản xuất đơn và hình máy sản xuất song song theo mục tiêu đặt ra đối với đề tài Cụthể, đề tài đã nghiên cứu và tìm ra điều kiện cần và đủ đối với vấn đề tối ưu của một sốvấn đề lập kế hoạch thực hiện sau đây:

• Tối thiểu hóa tổng thời gian hoàn thành thực hiện các công việc tương đương nhautrên mô hình máy đơn

• Tối thiểu hóa tổng thời gian hoàn thành thực hiện các công việc có trọng số khácnhau trên mô hình máy đơn

• Tối thiểu hóa thời gian trễ tối đa của các công việc có thời gian đến như nhau trên

mô hình máy đơn

• Tối thiểu hóa tổng các công việc trễ trên mô hình máy đơn

• Tối thiểu hóa thời gian thực hiện tối đa của công việc trên mô hình máy đơn với thờigian tham gia vào quá trình thực hiện bất kì

• Tối thiểu hóa tổng thời gian hoàn thành các công việc trên mô hình các máy sản xuấtsong song đồng tốc độ

4 Kết quả nghiên cứu: Đề tài đã mang lại nhiều lợi ích cho chủ nhiệm đề tài và tổ chức

chủ trì Nó đã giúp chủ nhiệm đề tài xuất bản 06 bài báo, hướng dẫn và bảo vệ thành công

06 học viên cao học Đề tài đã nghiên cứu và tìm ra điều kiện cần và đủ đối với vấn đề tối

ưu của một số vấn đề lập kế hoạch trên mô hình máy đơn và mô hình máy song song

5 Sản phẩm:

5.1 Sản phẩm khoa học:

- Bài báo đăng tạp chí trong nước (0,5 điểm do hội đồng chức danh Giáo sư Nhà nướcquy định): 02

(1) Phạm Hồng Trường, Nguyễn Việt Hưng, Nguyễn Quỳnh Hoa, Trần Đình Chúc (2016)

“Vấn đề tối thiểu hóa tổng thời gian hoàn thành các công việc trên mô hình máy đơn”,

Tạp chí Khoa học & Công nghệ, Đại học Thái Nguyên, 159(14), tr 71-74.

(2) Trần Thị Mai, Nguyễn Thị Thu Hường, Nguyễn Thị Thu Hằng, Phạm Hồng Trường(2016) “Điều kiện tối ưu của bài toán cân bằng vectơ cho nghiệm hữu hiệu yếu và nghiệm

hữu hiệu Henig”, Tạp chí Khoa học & Công nghệ, Đại học Thái Nguyên, 159(14), tr.

175-179

- Bài báo khoa học trên tạp chí chuyên ngành nước ngoài: 04

(1) Hieu P.T., Thuy Ng.T.T (2016), "Regularization methods for nonexpansive

semi-groups in Hilbert spaces", Vietnam J Math (SCOPUS, ESCI), 44(3), pp 637-648.

(2) Thuy Ng.T.T (2015), "An iterative method for equilibrium, variational inequality and

fixed point problems for a nonexpansive semigroup in Hilbert spaces", Bull Malays Math.

Sci Soc (SCIE), 38(1), pp 113–130.

(3) Buong Ng., Ha Ng.S., Thuy Ng.T.T (2016), "A new explicit iteration method for aclass of variational inequalities", Numerical Algorithms (SCIE), 72, pp 467-481

(4) Thuy Ng.T.T., Hieu P.T., J.J Strodiot (2016), "Regularization methods for accretivevariational inequalities over the set of common fixed points of nonexpansive semigroups",

Optimization (SCIE), 65(8), pp 1553-1567.

5.2 Sản phẩm đào tạo: Hướng dẫn và bảo vệ thành công 06 luận văn thạc sĩ.

(1) Nguyễn Việt Hưng (2016), Một số vấn đề sắp xếp lập kế hoạch thực hiện tối ưu trên

mô hình máy đơn, Luận văn thạc sĩ, Toán ứng dụng, Trường Đại học Khoa học - Đại học

Thái Nguyên

(2) Nguyễn Thị Việt Hà (2016), Hiệu chỉnh Tikhonov cho phương trình toán tử đặt không

chỉnh: tốc độ hội tụ và xấp xỉ hữu hạn chiều, Luận văn thạc sĩ, Toán ứng dụng, Trường

Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên

(3) Ngô Thùy Linh (2016), Bất đẳng thức biến phân và bài toán cân bằng kinh tế, Luận

văn thạc sĩ, Toán ứng dụng, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên

(4) Nguyễn Thị Mỵ (2016), Toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh và phương pháp hiệu chỉnh

cho bài toán đặt không chỉnh, Luận văn thạc sĩ, Toán ứng dụng, Trường Đại học Khoa học

- Đại học Thái Nguyên

(5) Bùi Thị Kiều Trang (2016), Phương pháp lặp Mann, phương pháp lặp Krasnoselskij và

bài toán điểm bất động, Luận văn thạc sĩ, Toán ứng dụng, Trường Đại học Khoa học - Đại

học Thái Nguyên

(6) Lê Thị Thanh Tâm (2016), Tốc độ hội tụ của hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán đặt

không chỉnh phi tuyến với toán tử nhiễu đơn điệu, Luận văn thạc sĩ, Toán ứng dụng, Trường

Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên

6 Phương thức chuyển giao, địa chỉ ứng dụng, tác động và lợi ích mang lại của kết quả nghiên cứu:

- Kết quả nghiên cứu của đề tài tạo điều kiện để sinh viên và cán bộ giảng dạy Toántrong Đại học Thái Nguyên được cập nhật với các vấn đề mang tính thời sự hiện nay trênthế giới

- Các kết quả trong đề tài sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích cho công tác nghiên cứu vàđào tạo ở trình độ Đại học và sau Đại học

Ngày tháng 6 năm 2018

Tổ chức chủ trì Chủ nhiệm đề tài

(ký, ghi rõ họ tên, đóng dấu) (ký, ghi rõ họ tên)

TS Phạm Hồng Trường

INFORMATION ON RESEARCH RESULTS

1 General information:

- Project title: The optimality conditions of the implementation on single and parallelmachine models

- Code number: ĐH2015–TN08-10

- Coordinator: Dr Pham Hong Truong

- Implementing institution: Thainguyen University of Economics and Business istration

Admin Duration: From 09/2015 to 09/2017

2 Objectives: Find necessary and sufficient conditions toward the optimization of

imple-mentation on the single and parallel models as follows:

• Minimizing the processing time of the same jobs on single machine models

• Minimizing the processing time of jobs with different weight on single machine models

• Minimizing the maximum tardiness of jobs atthe same time duration

• Minimizing the maximum tardiness on single machine models

• Minimizing the maximum processing time on single machine models and the menting time

imple-• Minimizing the amount of processing time on parallel machine models at the samespeed

3 Creativeness and innovativeness: The research focused on neccessary and sufficient

conditions toward the optimization of implementation on the single and parallel models as

in research goals part Specifically, the findings showed those conditions as follows:

• Minimizing the processing time of the same jobs on single machine models

• Minimizing the processing time of jobs with different weight on single machine models

• Minimizing the maximum tardiness of jobs atthe same time duration

• Minimizing the maximum tardiness on single machine models

• Minimizing the maximum processing time on single machine models and the menting time

imple-• Minimizing the amount of processing time on parallel machine models at the samespeed

4 Research results:

The project brought many benifits to the coordinator as well as the implementinginstitution It helped the coordinator to publish six papers, supervise six masters students

in Mathematics

5 Products:

5.1 Scientific products:

- National paper: 02

(1) Pham Hong Truong, Nguyen Viet Hung, Nguyen Quynh Hoa, Tran Đinh Chuc (2016)

“The minimum total completion time of jobs on the single machine model”, Journal of

Science and technology-TNU, 159(14), tr 71-74.

(2) Tran Thi Mai, Nguyen Thi Thu Huong, Nguyen Thi Thu Hang, Pham Hong Truong(2016) “Optimality conditions of vector equilibrium problems for weakly efficient solution

and Henig efficient solution”, Journal of Science and technology-TNU, 159(14), tr 175-179.

- International paper: 04

(1) Hieu P.T., Thuy Ng.T.T (2016), "Regularization methods for nonexpansive

semi-groups in Hilbert spaces", Vietnam J Math (SCOPUS, ESCI), 44(3), pp 637-648.

(2) Thuy Ng.T.T (2015), "An iterative method for equilibrium, variational inequality and

fixed point problems for a nonexpansive semigroup in Hilbert spaces", Bull Malays Math.

Sci Soc (SCIE), 38(1), pp 113–130.

(3) Buong Ng., Ha Ng.S., Thuy Ng.T.T (2016), "A new explicit iteration method for aclass of variational inequalities", Numerical Algorithms (SCIE), 72, pp 467-481

(4) Thuy Ng.T.T., Hieu P.T., J.J Strodiot (2016), "Regularization methods for accretivevariational inequalities over the set of common fixed points of nonexpansive semigroups",

Optimization (SCIE), 65(8), pp 1553-1567.

5.2 Training products: 06 masters ’ graduation thesis.

(1) Nguyen Viet Hung (2016), Some problems of the arrangement and plan for the optimal

process on the single machine model, Master’s thesis, Applied Mathematics, Thai Nguyen

University of Sciences

(2) Nguyen Thi Viet Ha (2016), Tikhonov regularization for ill-posed monotone equation:

convergence rates and finite-dimentional approximations, Master’s thesis, Applied

Mathe-matics, Thai Nguyen University of Sciences

(3) Ngo Thuy Linh (2016), Variational Inequalities and Economic Equilibrium, Master’s

thesis, Applied Mathematics, Thai Nguyen University of Sciences

(4) Nguyen Thi My (2016), Linear and strongly monotone operators in regularization for

ill-posed problem, Master’s thesis, Applied Mathematics, Thai Nguyen University of Sciences.

(5) Bui Kieu Trang (2016), Interative method Mann, Krasnoselskii and fixed point problems,

Master’s thesis, Applied Mathematics, Thai Nguyen University of Sciences

(6) Le Thi Thanh Tam (2016), Convergence rates of Tikhonov regularization for nonlinear

ill-posed problems for monotone perturbation, Master’s thesis, Applied Mathematics, Thai

Nguyen University of Sciences

6 Transfer alternatives, application institutions, impacts and benefits of search results:

re The results of the research subjects help students ans teachers of mathematics in ThaiNguyen University can be accessed with the current issues in the world

- The results of the subject will be an useful source reference dor researching and training

at graduate and postgraduate levels.

Mở đầu

1 Tính cấp thiết của đề tài

Tối ưu hóa là một trong những lĩnh vực kinh điển của toán học có ảnh hưởng đến hầuhết các lĩnh vực khoa học - công nghệ và kinh tế xã hội Hàng ngàn dạng vấn đề sắp xếptrong lĩnh vực của tối ưu hóa, trong đó rất nhiều kết quả lý thuyết được phát triển Đã

có rất nhiều ứng dụng của tối ưu hóa tổ hợp được ứng dụng và phát triển trong nhiều bàitoán liên quan đến việc lập lịch Trong đó nhiều kết quả lý thuyết đã được phát triển vàđược ứng dụng trong thực tế, trong các lĩnh vực khoa học, bao gồm cả trong các khía cạnhthuật toán, tính toán phức tạp, các thuật toán đa thức, các thuật toán xấp xỉ Trong cáckết quả đó, các kết quả liên quan đến việc nghiên cứu về tính chất, cấu trúc của các bàitoán lập lịch thực hiện trên các mô hình máy sản xuất đơn và mô hình máy sản xuất songsong là rất phong phú được nhiều nhà khoa học quan tâm

Đối với một số bài toán lập lịch với thời gian đa thức giải quyết được, có vẻ như mọingười đều hài lòng với điều kiện đủ (như quy tắc Smith, quy tắc EDD, quy tắc SPT đốivới máy đơn, quy tắc SPT đối với máy song song, quy tắc WSPT) và ít chú ý đến các điềukiện cần Tuy nhiên, trong thực tế, để tìm một giải pháp tối ưu cho một quá trình thựchiện, điều kiện đủ chỉ có thể thực hiện được mục tiêu đề ra là tìm một giải pháp tối ưu,trong khi việc nhận biết và mô tả một giải pháp tối ưu đó không thể thực hiện được nếukhông có điều kiện cần Cả điều kiện cần và đủ trong một Bài toán lập lịch đều rất quantrọng Điều kiện cần giúp cho việc nhận biết và mô tả giải pháp tối ưu, điều kiện đủ giúpcho việc tìm ra giải pháp tối ưu đó

Lập biểu thực hiện là một phần ứng dụng của tối ưu hóa Đó là một trong những hoạtđộng cơ bản của quá trình quản lý Xét về mặt bản chất, hoạt động này nhằm mục đíchxem xét các mục tiêu, các phương án kinh doanh, trình tự và cách tiến hành các hoạt độngsản xuất thực hiện

Lập biểu thực hiện là khâu đầu tiền, là chức năng quan trọng để thúc đẩy hoạt độngsản xuất kinh doanh hiểu quả, nhằm đặt được và nâng cao kết quả đã đề ra Các nhà quản

lý cần phải lập kế hoạt bời vì lập kế hoạch sẽ cho biết phương hướng hoạt động trongtương lại, làm giảm sự tác động của nhưng thay đổi từ môi trường, tránh được sự lãngphí, dư thừa nguồn lực, làm giảm giảm được sự chồng chèo và hoạt động không cần thiếtcủa quá trình thực hiện, từ đó sử dụng nguồn lực một cách hiệu quả, cực tiểu hóa chi phínhằm đạt được mục tiêu đã được lựa chọn Chính vì vậy việc nghiên cứu điều kiện tối ưucủa một số bài toán lập lịch trên mô hình máy đơn và mô hình máy song song trong sản

xuất ở các nhà máy đóng vai trò rất quan trọng.

2 Mục tiêu của đề tài

Trong đề tài này, chúng tôi tập trung nghiên cứu và tìm ra điều kiện tối ưu của một

số bài toán lập lịch trên mô hình máy đơn và mô hình máy song song dưới đây:

• Tối thiểu hóa tổng thời gian hoàn thành thực hiện các công việc tương đương nhautrên mô hình máy đơn

• Tối thiểu hóa tổng thời gian hoàn thành thực hiện các công việc có trọng số khácnhau trên mô hình máy đơn

• Tối thiểu hóa thời gian trễ tối đa của các công việc có thời gian đến như nhau trên

mô hình máy đơn

• Tối thiểu hóa tổng các công việc trễ trên mô hình máy đơn

• Tối thiểu hóa thời gian thực hiện tối đa của công việc trên mô hình máy đơn với thờigian tham gia vào quá trình thực hiện bất kì trên máy đơn

• Tối thiểu hóa tổng thời gian hoàn thành các công việc trên mô hình các máy sản xuấtsong song đồng tốc độ

• Nghiên cứu đề xuất phương pháp hiệu chỉnh, phương pháp lai ghép giải bất đẳng thứcbiến phân, một trong những dạng điều kiền cần cực trị của bài toán cực trị

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

• Đối tượng nghiên cứu: Đề tài nghiên cứu và tìm ra điều kiện tối ưu của một số bàitoán lập lịch trên mô hình máy đơn và mô hình máy song song

• Phạm vi nghiên cứu: Đề tài nghiên cứu điều kiện tối ưu của một số bài toán lập lịchtrên mô hình máy đơn và mô hình máy song song

4 Cách tiếp cận, phương pháp nghiên cứu

Đề tài dựa trên kết quả nghiên cứu của các nhà khoa học trong và ngoài nước đểnghiên cứu, tìm hiểu, phát triển và mở rộng các bài toán thuộc lĩnh vực sắp xếp tối ưu

5 Cấu truc của đề tài

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính của đề tài gồm 3chương

Trong chương 1, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kiến thức bổ trợ phục vụ choviệc nghiên cứu và trình bày các kết quả chính trong chương sau, như: tập hợp các nhiệm

vụ, tập hợp các máy xử lý, các loại máy xử lý, thời gian thực hiện, thời gian đến, kỳ hạn

và hạn định kế thúc, yếu tố ưu tiên, tổng thời gian hoàn thành, độ dài thời gian thực hiện,thời gian trễ, thời gian trễ tối đa, tổng thời gian hoàn thành, thời gian hoàn thành của cáccông việc có trọng số khác nhau, tổng công việc trễ tương đương nhau

Trong chương 2, chúng tôi nghiên cứu đề xuất phương pháp hiệu chỉnh, phương pháplai ghép giải bất đẳng thức biến phân, một trong những dạng điều kiền cần cực trị của bàitoán cực trị.

Nội dung của Chương 3 trình bày và chứng minh các kết quả cùng các ví dụ minh họađối với các kết quả được về điều kiện tối ưu của các bài toán lập lịch sau đây:

• Tối thiểu hóa tổng thời gian hoàn thành thực hiện các công việc tương đương nhautrên mô hình máy đơn

• Tối thiểu hóa tổng thời gian hoàn thành thực hiện các công việc có trọng số khácnhau trên mô hình máy đơn

• Tối thiểu hóa thời gian trễ tối đa của các công việc có thời gian đến như nhau trên

mô hình máy đơn

• Tối thiểu hóa tổng các công việc trễ trên mô hình máy đơn

• Tối thiểu hóa thời gian thực hiện tối đa của công việc trên mô hình máy đơn với thờigian tham gia vào quá trình thực hiện bất kì trên máy đơn

• Tối thiểu hóa tổng thời gian hoàn thành các công việc trên mô hình các máy sản xuấtsong song đồng tốc độ

kế hoạch trong giao thông vận tải, quản lý sản xuất (xem [4], [10], [12], [17], [18], [19]).

Từ những sắp xếp kế hoạch trong cuộc sống hàng ngày, lập kế hoạch của nhân viên, xâydựng thời khóa biểu của nhà trường, từ những tính toán kế hoạch bay cho những chuyếnbay cho một sân bay lớn đều cần dùng đến phương pháp và lý luận của bài toán lập lịch.Trước khi đưa ra định nghĩa của bài toán lập lịch trên máy đơn và máy song song, chúngtôi xem xét một vài ví dụ ứng dụng thực tế trong lĩnh vực này

Ví dụ 1.1.1 Sắp xếp điều hành chuyến bay một sân bay Sân bay có vài chục cửa ra máy

bay, mỗi ngày có vài trăm chuyến bay cất cánh và hạ cánh Cửa ra sân bay có kiểu và kích

cỡ không giống nhau, kích cỡ của các máy bay cũng khác nhau (số lượng hành khách cóthể chứa khác nhau) một vài cửa chỉ cho phép sắp xếp máy bay cỡ lớn và một vài cửa chỉ

cho phép sắp xếp với máy bay cỡ nhỏ Các máy bay đều có thời gian biểu để hạ cánh vàcất cánh Do ảnh hưởng của thời tiết và các nhân tố khác của sân bay, thời gian biểu đó cótính ngẫu nhiên rất lớn Khi máy bay vào đến cửa ra vào để hành khách lên xuống, máybay cần bơm dầu, kiểm tra kỹ thuật, sửa chữa (nếu có), sắp xếp hành lý Nếu có máy baykhông thể hạ cánh đúng giờ sẽ ảnh hưởng đến các máy bay khác ở sân bay, ảnh hưởngđến việc chiếm hữu cửa ra vào, thời gian lên máy bay bị lùi lại và các máy bay khác khôngthể được đưa vào sử dụng Nhân viên phụ trách điều động của sân bay cần đưa ra phươngpháp sắp xếp các cửa ra vào cho các máy bay hạ cánh và cất cánh sao cho hiệu suất sửdụng của sân bay là cao nhất, số máy bay bị trễ thời gian cất cánh là ít nhất Đây cũng

là một bài toán lập lịch có ứng dụng rất lớn

Ví dụ 1.1.2 Trình tự xử lý trên máy tính khi thực hiện hệ thống thao tác đa nhiệm,

phát sinh thêm một nhiệm vụ Về tổng quan ta có thể hiểu là đồng thời tiến hành nhiềutiến trình Tuy nhiên tại một thời điểm bất kỳ CPU chỉ có thể tiến hành một tiến trình.Thời gian đạt đến của tiến trình là không như nhau Vấn đề đặt ra là sắp đặt như thếnào những tiến trình đó thì mới có thể làm cho hiệu suất sử dụng của CPU là cao nhấthoặc thời gian để thay đổi của tiến trình là ngắn nhất? Đây cũng là một bài toán sắp xếp.Ngoài ra thời gian đạt đến của mỗi tiến trình và thời gian thay đổi là không biết trước,nhưng kì vọng toán, phương sai của thời gian đạt đến ngẫu nhiên và thời gian thay đổi

đã được biết trước Lúc này mục tiêu là tối thiểu hóa kì vọng của thời gian trung chuyển.Như vậy bài toán sắp xếp suất hiện biến lượng ngẫu nhiên và được gọi là bài toán lập lịchngẫu nhiên

Bài toán lập lịch là loại bài toán tối ưu hóa tổ hợp quan trọng, đó là sử dụng một sốmáy xử lý, máy móc, nguồn lực để hoàn thành tối ưu một số lượng nhiệm vụ hoặc côngviệc đã cho Khi thực hiện giải quyết những nhiệm vụ hoặc những công việc này, cần thỏamãn một số điều kiện giới hạn như: thời gian đến, thời gian hạn định phải hoàn thành,thứ tự thực hiện các nhiệm vụ, Mục đích là làm cho hàm mục tiêu đạt giá trị tối ưu,trong đó hàm mục tiêu thông thường là khoảng thời gian thực hiện, cách thức hiệu suất

sử dụng của máy xử lý

Trong bài toán lập lịch, số lượng, chủng loại của máy xử lý, thứ tự của các công việc(nhiệm vụ), thời gian đến, hạn chế hoàn thành công việc, là những nhân tố rắc rối phứctạp, rất khó dùng toán học mô tả chính xác để đưa ra định nghĩa một thứ tự thông thường.Trong đề tài này, ta dùng cách thức sau đây để mô tả bài toán lập lịch

Tập hợp n nhiệm vụ: T = T1, , T n hoặc J = J1, , J n Tập hợp m máy xử lý:

P = P1, , P m hoặc M = M1, , M m Tập hợp s loại nguồn lực: R = R1, , R s

Mục đích của bài toán lập lịch đó là sắp xếp những điều kiện được đưa ra nhất định

để hoàn thành các hạng mục nhiệm vụ đưa ra, sắp xếp các máy xử lý và các nguồn lực(nếu có) phân phối sắp xếp đối với các nhiệm vụ để làm cho hàm mục tiêu đạt được tốiưu

Máy xử lý:

Bài toán lập lịch trên máy đơn là bài toán lập lịch chỉ có một máy xử lý Nếu số máy

xử lý nhiều hơn một, ta gọi là bài toán lập lịch đa máy bài toán lập lịch trên máy songsong là bài toán lập lịch đa máy, nếu tất cả các máy xử lý đều có công năng như nhau thì

ta gọi đó là bài toán lập lịch song song Máy song song phân thành 3 loại dựa vào tốc độ

xử lý:

• Đồng tốc độ: Tất cả các máy xử lý đều có tốc độ như nhau

• Hằng tốc độ: Tốc độ các máy không giống nhau, nhưng tốc độ xử lý của các máy đều

là hằng số, không phụ thuộc vào nhiệm vụ thực hiện

• Biến tốc độ: Tốc độ các máy phụ thuộc vào nhiệm vụ thực hiện

Một trường hợp khác của đa máy xử lý đó là đa loại hình Mục đích của loại bài toánnày là sử dụng các máy có các công năng khác nhau Trong trường hợp xử lý đa máy, cácnhiệm vụ cần thực hiện được thực hiện xử lý trên những máy khác nhau Trong trường hợp

này các nhiệm vụ được gọi cụ thể là công việc Giả sử có tập các nhiệm vụ T = T, , T n

Mỗi nhiệm vụ T j có n j quá trình thực hiện [T 1j , T 2j , T nj ] Nếu mỗi công việc đều cần

xử lý thực hiện trên các máy xử lý, tức là n j = m, j = 1, 2, , n mà quá trình thực hiện

của mỗi công việc đều như nhau, tức là thứ tự thực hiện trên mỗi máy giống nhau thì bàitoán này được gọi là cùng thứ tự tuần tự Nếu mỗi công việc đều cần thực hiện thực hiệntrên các máy xử lý, mỗi công việc có quá trình thực hiện không giống nhau thì được gọi làkhông cùng thứ tự tuần tự Nếu mỗi công việc đều cần thực hiện thực hiện trên các máy

xử lý, mỗi công việc có thể có thứ tự thực hiện xử lý bất kỳ thì được gọi là thứ tự thựchiện mở

Công việc:

Những điều kiện ràng buộc trong bài toán lập lịch chủ yếu là những hạn định, yêu cầutrong quá trình thực hiện và tính chất của công việc

(1) Véctơ thời gian thực hiện: Véctơ thời gian thực hiện của nhiệm vụ là p j (p 1j ; p 2j , , p nj)

trong đó p ij là thời gian thực hiện cần thiết của nhiệm vụ T j trên máy p i Đối với máy

đồng tốc, ta có p ij = p j với i = 1, 2, , m Đối với máy hằng tốc, ta có p ij = p j /b i với

i = 1, 2, , m Trong đó p j là thời gian thực hiện tiêu chuẩn (thông thường là thời gian

thực hiện trên máy xử lý có tốc độ chậm nhất), b i là tốc độ trên máy xử lý p i Trong

bài toán lập lịch, véctơ thời gian thực hiện của công việc T j là p j (p 1j ; p 2j , , p nj ) Trong đó p ij là thời gian thực hiện tương ứng trên máy xử lý của quá trình thực hiện

T ij

(2) Thời gian đến (thời gian chuẩn bị) r j: là thời gian đã chuẩn bị xong để có thể tham

gia vào quá trình thực hiện của nhiệm vụ T j Nếu tất cả các nhiệm vụ đều có thời

gian chuẩn bị đều như nhau, ta quy ước r j = 0, j = 1, 2, , n.

(3) Kỳ hạn và hạn định kết thúc: Kỳ hạn d j biểu thị thời gian hoàn thành hạn định của

nhiệm vụ T j, nếu không hoàn thành đúng kỳ hạn sẽ bị “phạt” Mốc thời gian tuyệtđối không được kéo dài quá được gọi là hạn định kết thúc

(4) Yếu tố ưu tiên: Yếu tố ưu tiên w j là một trọng số biểu thị mức độ ưu tiên quan trọng

của nhiệm vụ T j, đối với các nhiệm vụ khác để tiện cho trình bày, ta giả sử các tham

số p j , r j , d j và w j là các số có giá trị nguyên Trên thực tế chúng có thể là những sốhữu tỷ bất kỳ Ta dùng véctơ và ma trận để đưa ra các số liệu sau đây:

trong đó, véctơ (p i1 ; p i2 , , p in) trên dòng thứ i biểu thị thời gian thực hiện của n

nhiệm vụ trên máy thứ i Một ràng buộc quan trọng khi nhiệm vụ được thực hiện

đó là có thể gián đoạn hoặc không được gián đoạn Một hạn chế quan trọng khác khithực hiện nhiệm vụ đó là ràng buộc ưu tiên giữa các nhiệm vụ trên tập các nhiệm

vụ, thiết lập một quan hệ ưu tiên ≺ Nếu viết T i ≺ T j thì được hiểu là cần thiết phải

thực hiện xong T i rồi mới được bắt đầu thực hiện T j Ta dùng đồ thị ràng buộc ưu

tiên để biểu thị mức độ ưu tiên của những nhiệm vụ (xem [17], [18]) Điển hình, trongràng buộc ưu tiên có ba trường hợp ràng buộc đặc biệt quan trọng:

– Đồ thị ràng buộc ưu tiên dạng xích: Mỗi nhiệm vụ có nhiều nhất một nhiệm vụ

ngay trước nó và một nhiệm vụ tiếp ngay sau nó

Hình 1.1: Ví dụ của đồ thị ràng buộc ưu tiên

– Đồ thị ràng buộc ưu tiên dạng cây nhập: mỗi nhiệm vụ có nhiều nhất một nhiệm

vụ tiếp ngay sau nó

– Đồ thị ràng buộc ưu tiên dạng cây xuất: mỗi nhiệm vụ có nhiều nhất một nhiệm

vụ tiếp ngay trước nó

Hàm mục tiêu:

Hình 1.2: Ví dụ của đồ thị ràng buộc ưu tiên (a) dạng xích; (b) dạng cây nhập; (c) dạngcây xuất.

Kí hiệu C = (C1, C2, , C n) biểu thị thời gian thực hiện hoàn thành nhiệm vụ, mụctiêu là cực tiểu hóa thời gian hoàn thành các nhiệm vụ Hàm mục tiêu có một số loại chủyếu sau:

(1) Tổng thời gian hoàn thành thực hiện các công việc có trọng số khác nhau

n

X

j=1

w j C j

Trường hợp đặc biệt, khi w j = 1, ∀j = 1, 2, , n thì tổng thời gian hoàn thành thực

hiện các công việc có trọng số khác nhau trở thành tổng thời gian hoàn thành thựchiện các công việc tương đương nhau

(5) Tổng các công việc trễ của các nhiệm vụ có trọng số khác nhau: Tổng các công việctrễ được định nghĩa là

là đơn vị phạt của nhiệm vụ trễ hẹn T j Trường hợp đặc biệt, khi w j = 1, ∀j =

1, 2, , n thì tổng các công việc trễ của các nhiệm vụ có trọng số khác nhau trở

thành tổng các công việc trễ tương đương nhau

Trong phân loại bài toán lập lịch, nếu như tất cả những dữ liệu số liệu đều được biếttrước khi tiến hành thực hiện thì được gọi là bài toán lập lịch xác định Nếu như có một vài

dữ liệu số liệu chưa được biết, những số liệu đó là một vài biến lượng ngẫu nhiên, nhưng

sự phân bố của chúng là đã biết, khi đó bài toán này được gọi là bài toán lập lịch ngẫunhiên Dù là bài toán lập lịch sắp xếp ngẫu nhiên hay xác định, ta đều có thể giả sử nhưsau:

(1) Số nhiệm vụ (hoặc công việc) và số máy xử lý là hữu hạn

(2) Trong một khoảng thời gian trên bất kỳ, 1 máy xử lý chỉ được xử lý duy nhất mộtnhiệm vụ hoặc thứ tự nhiệm vụ nào đó

Ba yếu tố: máy xử lý, nhiệm vụ (hoặc công việc) và hàm mục tiêu tạo thành bài toánlập lịch Số lượng loại hình và điều kiện của các máy xử lý có gần 10 trường hợp khácnhau, điều kiện ràng buộc của các nhiệm vụ (công việc) và dữ liệu hiện có cực kỳ phứctạp và rắc rối, thêm vào đó là yêu cầu cần đặt ra không giống nhau của các hàm mục tiêu

đã tạo ra nhiều loại hình trình tự thực hiện phong phú đa dạng Ta dùng ba thành phần

cơ bản trong dạng thức các loại hình của bài toán lập lịch α|β|γ Trong đó:

- Vị trí α biểu thị số lượng loại hình, điều kiện máy xử lý, vị trí đó có thể là:

• 1: máy đơn (1 máy xử lý)

• P m : m máy đồng tốc.

• Q m : m máy hằng tốc.

• R m : m máy biến tốc.

- Vị trí β biểu thị tính chất, hạn chế, yêu cầu, chủng loại dữ liệu Số lượng và điều kiện

ràng buộc ảnh hưởng của các nhiệm vụ (hoặc công việc) Vị trí này có thể có cùng lúcnhiều điều kiện theo yêu cầu của bài toán Vị trí đó có thể là:

• r i : các nhiệm vụ có thời gian đến không giống nhau Nếu vị trí β không có mặt r i,

điều đó có nghĩa là r j = 0, ∀j = 1, 2, , m.

• pmtn: thời gian thực hiện có thể gián đoạn.

• prec, chains, intree, ontree: biểu thị tính tương quan giữa các nhiệm vụ, lần lượt biểu

thị là ràng buộc ưu tiên thông thường, xích, cây nhập, cây xuất

Nếu vị trí β không có xuất hiện những yêu cầu này, điều đó có nghĩa là tập nhiệm vụ

là không có quan hệ (các nhiệm vụ không có ràng buộc lẫn nhau)

- Vị trí γ biểu thị hàm mục tiêu cần tối ưu hóa, vị trí đó có thể là:

• C max: độ dài thời gian biểu tối đa

C j : tổng thời gian hoàn thành

w j C j : tổng thời gian hoàn thành của các công việc có trọng số khác nhau

• L max: thời gian trễ tối đa

w j U j: Tổng các công việc trễ của các nhiệm vụ có trọng số khác nhau

U j : Tổng các công việc trễ tương đương nhau

Ví dụ 1.1.3 Một số bài toán lập lịch trên mô hình máy đơn.

• Bài toán 1||P

C j là bài toán tổng thời gian hoàn thành thực hiện các công việc tươngđương nhau, hàm mục tiêu là tối thiểu hóa tổng thời gian hoàn thành thực hiện cáccông việc tương đương nhau

• Bài toán 1||P

w j C j là bài toán tổng thời gian hoàn thành thực hiện các công việc cótrọng số khác nhau, hàm mục tiêu là tối thiểu hóa tổng thời gian hoàn thành thựchiện các công việc có trọng số khác nhau

• Bài toán 1||Lmax là bài toán thời gian trễ tối đa, hàm mục tiêu là tối thiểu hóa thờigian trễ tối đa của các công việc có thời gian đến như nhau

Ví dụ 1.1.4 Bài toán 1|r j , pmtn|P

w j C j là bài toán lập lịch trên máy đơn, có thể giánđoạn, các nhiệm vụ có thời gian chuẩn bị không giống nhau, hàm mục tiêu cần cực tiểuhóa là tổng thời gian hoàn thành của các nhiệm vụ có trọng số khác nhau

Ví dụ 1.1.5 Bài toán P m||Cmax là bài toán lập lịch trên m máy đồng tốc, các nhiệm vụkhông có quan hệ với nhau, không được gián đoạn, hàm mục tiêu là cực tiểu hóa thời gianhoàn thành của nhiệm vụ có thời gian thực hiện lâu nhất (cực tiểu hóa độ dài thời gianbiểu dãy sắp xếp)

1.2 Tìm lời giải của bài toán lập lịch

trình tự tối ưu

Bài toán lập lịch là một bài toán của tối ưu hóa tổ hợp Do các nhiệm vụ, số lượngcác máy cần xử lý trong bài toán lập lịch đều là hữu hạn, nên lời giải tối ưu của đại bộphận ài toán lập lịch đều được tìm ra từ hữu hạn các lời giải khả thi của bài toán trật tựban đầu, làm cho hàm mục tiêu đạt giá trị tối ưu Trong bài toán lập lịch, ta gọi lời giảikhả thi là trình tự khả thi, lời giải tối ưu được gọi là trình tự tối ưu (optimal schedule).Trong bài toán lập lịch, một trình tự khả thi là một dãy thứ tự mà dựa vào đó có thể sắpxếp tất cả các nhiệm vụ thực hiện trên máy xử lý

Ví dụ 1.2.1 Cho bài toán lập lịch 1||P

w j C j , trong đó n = 6, p = (12, 4, 7, 11, 6, 5),

w = (4, 2, 5, 5, 6, 3) Một trình tự thực hiện bất kì của tập các công việc đều là trình tự

khả thi, trong đó xem [T5, T3, T6, T2, T4, T1] là trình tự tối ưu

Hình 1.3: Trình tự tối ưu của Ví dụ 1.2.1

Ví dụ 1.2.2 Cho bài toán lập lịch F 2||Cmax trong đó n = 5.

Hình 1.4: Sơ đồ Grant Charts của Ví dụ 1.2.2

thực hiện trì hoãn được

Trong quá trình giải quyết các bài toán lập lịch, có một loại trình tự khả thi rất quantrọng được định nghĩa như sau

Định nghĩa 1.2.3 Đối với một trình tự khả thi, nếu có các công việc đều được chuẩn bị

trước, máy xử lý không có thời gian nghỉ trong cả quá trình thực hiện, loại trình tự thựchiện này gọi là trình tự thực hiện không trì hoãn Nếu ngược lại, sẽ được gọi là trình tựthực hiện trì hoãn được

Trình tự thực hiện không trì hoãn tương đương với việc không được để máy xử lý cóthời gian nghỉ trong quá trình thực hiện Đối với đại đa số các bài toán lập lịch, bao gồmtất cả các trình tự thực hiện có thể gián đoạn, trình tự tối ưu là trình tự không trì hoãn,tuy nhiên cũng có một vài bài toán lập lịch có thể gián đoạn mà trình tự tối ưu của nó làtrình tự trì hoãn được

Định nghĩa 1.2.5 Một thuật toán để giải một bài toán (P) đã cho là một thủ tục được

chia ra thành các phép toán cơ bản, biến đổi một dãy các dấu hiệu diễn tả các dữ liệu,không quan trọng ở chỗ thuộc bản chất gì, của bài toán (P) thành một dãy các dấu hiệuđặc trưng cho các kết quả của (P)

Lý thuyết độ phức tạp tính toán là một nhánh của lý thuyết tính toán trong lý thuyếtkhoa học máy tính và toán học tập trung vào phân loại các vấn đề tính toán theo độ khó

nội tại của chúng Ở đây, một vấn đề tính toán được hiểu là một vấn đề có thể giải đượcbằng máy tính (nói chung có nghĩa là vấn đề có thể được diễn đạt dưới dạng toán học).Một vấn đề tính toán có thể hiểu là một tập các trường hợp và lời giải cho các trường hợp

đó Ví dụ như kiểm tra tính nguyên tố là vấn đề xác định xem một số cho trước có phải

số nguyên tố hay không Mỗi trường hợp của vấn đề là một số tự nhiên và lời giải cho mỗitrường hợp là có hoặc không tùy theo số đó có là nguyên tố hay không

Một vấn đề được coi là khó nếu lời giải của nó đòi hỏi nhiều tài nguyên, bất kể sử dụngthuật toán nào Lý thuyết độ phức tạp tính toán chuyển ý tưởng trực quan này thànhmệnh đề toán học chặt chẽ, bằng cách đưa ra các mô hình tính toán để nghiên cứu các vấn

đề này và tính lượng tài nguyên cần thiết để giải quyết chúng, chẳng hạn như thời gianhay bộ nhớ Ngoài ra còn có những tài nguyên khác cũng được sử dụng, chẳng hạn nhưlượng thông tin liên lạc (dùng trong độ phức tạp truyền thông), số lượng cổng logictrongmạch (dùng trong độ phức tạp mạch) và số lượng bộ xử lý (dùng trong tính toán songsong) Một trong những nhiệm vụ của lý thuyết độ phức tạp tính toán là xác định các giớihạn của những gì máy tính có thể làm và không thể làm

Hai ngành khác trong lý thuyết khoa học máy tính có liên hệ chặt chẽ với độ phức tạptính toán là phân tích thuật toán và lý thuyết khả tính Điểm khác biệt mấu chốt giữaphân tích thuật toán và lý thuyết độ phức tạp tính toán là ngành thứ nhất tập trung vàophân tích lượng tài nguyên cần thiết cho một thuật toán nhất định, trong khi ngành thứhai nghiên cứu các câu hỏi về tất cả các thuật toán có thể dùng để giải quyết vấn đề Cụthể hơn, nó tìm cách phân loại các vấn đề theo lượng tài nguyên cần thiết để giải quyếtchúng Việc giới hạn lượng tài nguyên là điểm khác biệt giữa độ phức tạp tính toán và lýthuyết khả tính: lý thuyết khả tính nghiên cứu xem những vấn đề nào có thể giải được vềmặt nguyên tắc, mà không giới hạn tài nguyên

Một vấn đề tính toán có thể xem là một tập vô hạn các trường hợp cùng với lời giảicho mỗi trường hợp Không nên nhầm lẫn giữa dữ liệu vào cho mỗi vấn đề tính toán, còngọi là một trường hợp, và bản thân vấn đề Trong lý thuyết độ phức tạp tính toán, mộtvấn đề là một câu hỏi trừu tượng cần giải quyết Một trường hợp là một trường hợp cụthể của câu hỏi trừu tượng đó Để rõ hơn, ta xem xét vấn đề kiểm tra tính nguyên tố Mộttrường hợp là một số nguyên (ví dụ như 15) và lời giải là "có" nếu như số đó là nguyên tố

và "không" nếu nó không là nguyên tố (trong trường hợp này, lời giải là "không")

Khi xem xét các vấn đề tính toán, một trường hợp là một xâu kí tự trong một bảngchữ cái nhất định Bảng chữ cái thường dùng là bảng chữ cái nhị phân (gồm 2 kí tự 0 và1) Cũng như trong máy tính trên thực tế, các đối tượng toán học cần phải được mã hóahợp lý dưới dạng các dãy bit Ví dụ như một số nguyên cần phải được biểu diễn dưới dạngnhị phân, đồ thị có thể được biểu diễn dưới dạng ma trận kề, hoặc mã hóa danh sách kềdưới dạng nhị phân

Mặc dù một số chứng minh của các định lý trong lý thuyết độ phức tạp tính toán giả

sử một mã hóa nhất định của dữ liệu vào, người ta thường cố gắng giữ cho các lập luận

đủ trừu tượng để không phụ thuộc vào cách mã hóa Điều này có thể đạt được bằng cáchđảm bảo có thể được chuyển từ cách mã hóa này sang cách mã hóa khác một cách hiệu

quả Bài toán quyết định dưới dạng ngôn ngữ hình thức.

Bài toán quyết định là một trong những đối tượng trọng tâm nghiên cứu của lý thuyết

độ phức tạp tính toán Một bài toán quyết định là một trường hợp đặc biệt của bài toántính toán, với câu trả lời là có hoặc không, hay nói cách khác là 0 hoặc 1 Một bài toánquyết định có thể được xem là một ngôn ngữ hình thức, trong đó các xâu kí tự thành viêncủa ngôn ngữ là các những trường hợp có câu trả lời là có, các xâu kí tự không là thànhviên là những trường hợp có câu trả lời là không Mục tiêu của bài toán là sử dụng mộtthuật toán để quyết định xem một xâu cho trước có là thành viên của ngôn ngữ hình thứcđang xem xét hay không Nếu thuật toán quyết định là có, thì ta nói thuật toán chấp nhậnxâu dữ liệu vào, nếu không thì ta nói thuật toán từ chối xâu dữ liệu vào

Một ví dụ của bài toán quyết định như sau Dữ liệu vào là một đồ thị bất kì Bài toányêu cầu quyết định xem đồ thị có liên thông hay không Ngôn ngữ hình thức tương ứngcho bài toán này là tập tất cả các đồ thị liên thông Dĩ nhiên để định nghĩa chặt chẽ bàitoán, cần phải quyết định xem đồ thị được mã hóa như thế nào dưới dạng xâu nhị phân.Bài toán hàm

Để đánh giá độ khó của một bài toán tính toán, một thước đo phổ biến là lượng thờigian thuật toán tốt nhất cần dùng để giải nó Tuy nhiên, thời gian cần thiết nói chungphụ thuộc vào từng trường hợp cụ thể Trường hợp lớn hơn thường đòi hỏi nhiều thời gianhơn Do đó thời gian cần thiết để giải quyết bài toán (hoặc bộ nhớ, hay bất kì một thông

số độ phức tạp nào) là một hàm số của kích thước trường hợp Kích thước thường được

đo bằng kích thước dữ liệu vào với đơn vị bit Lý thuyết độ phức tạp quan tâm đến hành

vi của thuật toán khi kích thước dữ liệu vào tăng lên Ví dụ như trong bài toán kiểm traxem một đồ thị có liên thông hay không, thời gian cần thiết để kiểm tra một đồ thị kích

thước 2n là bao nhiêu so với thời gian để kiểm tra đồ thị kích thước n? Khi kích thước dữ liệu vào là n, thời gian có thể được biểu diễn dưới dạng một hàm số của n Do thời gian

cần thiết cho các trường hợp cùng kích thước có thể khác nhau, thời gian trong trường hợp

xấu nhất T (n) được định nghĩa là lượng thời gian lớn nhất trong tất cả các trường hợp có kích thước n Nếu T (n) là đa thức của n thì ta nói thuật toán chạy thời gian đa thức.

1.2.3.2 Độ phức tạp của bài toán lập lịch

Bài toán lập lịch là một loại hình của tối ưu hóa tổ hợp, ý tưởng cơ bản để giải quyếtbài toán này đó là: Sử dụng những phương pháp của các bài toán tối ưu hóa tổ hợp khác,tích cực sử dụng các tính chất đặc trưng của bản thân bài toán lập lịch, từ đó xác địnhtrình tự tối ưu thỏa mãn điều kiện ràng buộc Có một vài bài toán lập lịch có thể trực tiếpchuyển hóa thành các bài toán tối ưu hóa tổ hợp khác để giải quyết Đối với bài toán lậplịch có thuật toán đa thức, cần cố gắng tìm ra thuật toán tốt và độ phức tạp và thời giantính toán thuật toán đó Đối với những bài toán lập lịch mà chưa biết thuật toán có phải

là thuật toán đa thức hay không, trước tiên cần dùng lý luận về độ phức tạp tiến hànhphân tích xem xét bài toán đó có phải là NP-hard hay không để biết được độ khó của việcgiải quyết loại bài toán đó Thông thường có một số trường hợp sau, thuật toán của mộtloại bài toán lập lịch có thể dùng để giải quyết một bài toán lập lịch khác Ví dụ như bài

toán 1||P

U j là một trường hợp đặc biệt của 1||P

w j U j, do đó thuật toán giải quyết bàitoán 1||P

w j U j cũng có thể được dùng để giải quyết bài toán 1||P

U j Trong lý luận về độphức tạp, ta gọi quan hệ này là tổng quát hóa đa thức thời gian Ta nói 1||P

U j tổng quáthóa đến 1||P

w j U j, ký hiệu là 1||P

U j ∝ 1||P

w j U j Dựa trên định nghĩa cơ bản này, ta

có thể xây dựng được rất nhiều chuỗi tổng quát hóa

Ví dụ 1.2.6 1||P

C j ∝ 1||P

w j C j ∝ P m||P

w j C j Tổng quát hóa là một loại quan hệ

thứ tự, có rất nhiều bài toán không thể tổng quát hóa lẫn nhau, ví dụ như P m||P

w j C j

và J m||P

Cmax Hình 1.6, Hình 1.7, Hình 1.8 chỉ ra quan hệ tổng quát hóa của một sốbài toán lập lịch Trong đó, Hình 1.6 chỉ ra quan hệ tổng quát hóa của một số bài toánlập lịch dựa theo điều kiện của máy xử lý; Hình 1.7 chỉ ra quan hệ tổng quát hóa của một

số bài toán lập lịch dựa theo điều kiện ràng buộc thực hiện; Hình 1.8 chỉ ra quan hệ tổngquát hóa của một số bài toán lập lịch dựa theo điều kiện hàm mục tiêu Chú ý rằng quan

hệ ∝ được thay thế bằng ” −→ ” để biểu thị và ký hiệu trong Hình 1.7 biểu thị không

có ràng buộc tương ứng Nghiên cứu ranh giới giữa những bài toán có thể giải được theo

đa thức thời gian trong quan hệ tổng quát hóa và NP-hard là một việc rất quan trọng

Trong chuỗi tổng quát hóa trên, bài toán P m||P

w j C j là NP-hard, điều này nói lên rằng

Hình 1.8: Quan hệ tổng quát hóa của một số bài toán lập lịch dựa theo điều kiện hàmmục tiêu.

Hình 1.9: Mối quan hệ giữa một số bài toán độ dài thời gian biểu tối đa

Hình 1.10: Mối quan hệ giữa một số bài toán trễ tối đa

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1

Chương này đã trình bày một số khái niệm và kiến thức bổ trợ phục vụ cho việc nghiêncứu và trình bày các kết quả chính trong chương sau, như: tập hợp các nhiệm vụ, tập hợpcác máy xử lý, các loại máy xử lý, thời gian thực hiện, thời gian đến, kỳ hạn và hạn định

kế thúc, yếu tố ưu tiên, tổng thời gian hoàn thành, độ dài thời gian thực hiện, thời giantrễ, thời gian trễ tối đa, tổng thời gian hoàn thành, thời gian hoàn thành của các công việc

có trọng số khác nhau, tổng công việc trễ tương đương nhau Từ đó, chương sau sẽ đưa ra

và chứng mình các kết quả về điều kiện tối ưu của một số bài toán lập kế hoạch tối thiểuhóa một số hàm mục tiêu tương ứng trên mô hình máy đơn và mô hình máy song song

Chương 2

Một dạng điều kiện cần

cực trị của bài toán tối ưu

Chương này nghiên cứu một số phương pháp giải bất đẳng thức biến phân - một trongnhững dạng điều kiền cần cực trị của bài toán tối ưu

Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian vô hạn chiều được nhà toán họcngười Italia là G Stampacchia (xem [21]) và các đồng nghiệp đưa ra lần đầu tiên vàonhững năm đầu của thập niên 60 thế kỉ XX trong khi nghiên cứu về bài toán biên tự do.Bước đột phá trong lý thuyết bất đẳng thức biến phân hữu hạn chiều được đưa ra vàonăm 1980 khi Dafermos (xem [28]) phát hiện ra rằng các điều kiện cân bằng mạng giaothông của Smith (1979) (xem [16]) có cấu trúc của một bất đẳng thức biến phân Bất đẳngthức biến phân là công cụ để xây dựng các bài toán cân bằng, phân tích các vấn đề về

sự tồn tại, duy nhất nghiệm, tính ổn định và độ nhạy nghiệm, cung cấp thuật toán kèmtheo phân tích sự hội tụ cho mục tiêu tính toán Bất đẳng thức biến phân có vai trò quantrọng trong nghiên cứu toán học lý thuyết về bài toán tối ưu, bài toán điều khiển, bài toáncân bằng, bài toán bù, bài toán giá trị biên Bên cạnh đó, bất đẳng thức biến phân còn

có nhiều ứng dụng trong các bài toán thực tế như mô hình cân bằng trong kinh tế, giaothông, bài toán khôi phục tín hiệu, bài toán công nghệ lọc không gian, bài toán phân phốibăng thông Do đó, việc nghiên cứu các phương pháp giải bất đẳng thức biến phân đang

là một trong những đề tài thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán họctrong và ngoài nước và nhiều kết quả sâu sắc đã được thiết lập

Cho đến nay, nhiều bài toán mới và khó liên quan đến bất đẳng thức biến phân vàcác bài toán tối ưu - mà điều kiện cần cực trị của chúng được viết dưới dạng các bất đẳngthức biến phân - vẫn đang được quan tâm nghiên cứu bằng những công cụ toán học hiệnđại Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng hiện nay là xây dựng phương phápgiải bất đẳng thức biến phân với tập ràng buộc là tập điểm bất động chung của một họ

ánh xạ không giãn, tập không điểm chung của một họ ánh xạ loại j-đơn điệu, tập nghiệm

chung của bài toán cân bằng, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm bất độngtrong không gian Hilbert và không gian Banach

Chương này trình bày các kết quả nghiên cứu của nhóm tham gia thực hiện đề tài

về phương pháp hiệu chỉnh Browder–Tikhonov hiệu chỉnh bất đẳng thức biến phân trongkhông gian Hilbert và không gian Banach; phương pháp lai ghép tìm nghiệm chung củabài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm bất động và bài toán cân bằng trongkhông gian Hilbert Nội dung của chương được viết trên cơ sở các bài báo sau đây:(1) Hieu P.T., Thuy Ng.T.T (2016), "Regularization methods for nonexpansive semi-

groups in Hilbert spaces", Vietnam J Math (SCOPUS, ESCI), 44(3), pp 637-648.

(2) Thuy Ng.T.T (2015), "An iterative method for equilibrium, variational inequality and

fixed point problems for a nonexpansive semigroup in Hilbert spaces", Bull Malays.

Math Sci Soc (SCIE), 38(1), pp 113–130.

(3) Thuy Ng.T.T., Hieu P.T., J.J Strodiot (2016), "Regularization methods for accretivevariational inequalities over the set of common fixed points of nonexpansive semi-

groups", Optimization (SCIE), 65(8), pp 1553-1567.

2.1 Một số khái niệm và kết quả bổ trợ

Cho H là một không gian Hilbert, C là một tập con lồi đóng của H Ký hiệu P C là

phép chiếu mêtric chiếu H lên tập C.

Bổ đề 2.1.1 (xem [6]) Cho H là không gian Hilbert thực, C là tập con khác rỗng, lồi và

đóng trong H Khi đó,

(i) kx + yk2 = kxk2+ kyk2+ 2hx, yi với mọi x, y ∈ H;

(ii) ktx + (1 − t)yk2 = tkxk2 + (1 − t)kyk2 − t(1 − t)kx − yk2 với mọi t ∈ [0, 1], với mọi

x, y ∈ H;

(iii) kx − yk2 ≥ kx − P C xk2+ ky − P C xk2 với bất kỳ x ∈ H và với mọi y ∈ C.

Bổ đề 2.1.2 (xem [11]) Cho C là một tập con khác rỗng, lồi và đóng trong H Với bất kỳ

x ∈ H, tồn tại duy nhất z ∈ C sao cho kz − xk 6 ky − xk với mọi y ∈ C và

z ∈ P C (x) khi và chỉ khi hz − x, y − zi ≥ 0 với mọi y ∈ C, (2.1)

trong đó P C là ánh xạ chiếu mêtric từ H lên C.

Bổ đề 2.1.3 (xem [11] Nguyên lý nửa đóng) Nếu C là tập con lồi đóng của H, T là ánh

xạ không giãn trên C, {x n } là dãy trong C thỏa mãn x n * x ∈ C và x n − T x n → 0, thì

x − T x = 0.

Cho X là không gian Banach Ký hiệu X∗ là không gian đối ngẫu của X Để thuận tiện cho việc trình bày, chuẩn của X và X∗ đều được ký hiệu là k.k Ta viết hx, x∗i thay

cho x∗(x) với x∗ ∈ X∗ và x ∈ X.

Định nghĩa 2.1.4 Ánh xạ J q : X → 2 X∗, q > 1 (nói chung là đa trị) xác định bởi

được gọi là ánh xạ đối ngẫu tổng quát của không gian Banach X.

Khi q = 2, ánh xạ J2 được ký hiệu là J và được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của

Từ Định lý Hann–Banach ta thấy ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc tồn tại trong mọi không

gian Banach Ký hiệu ánh xạ đối ngẫu tổng quát và chuẩn tắc đơn trị tương ứng là j q và

j.

Mệnh đề 2.1.5 (xem [7]) Cho q > 1 là một số thực cho trước và X là không gian Banach

thực trơn Khi đó, các khẳng định sau là tương đương:

(i) X là q-trơn đều.

(ii) Tồn tại hằng số C q > 0 sao cho với mọi x, y ∈ X bất đẳng thức sau

kx + yk q 6 kxk q + qhy, j q (x)i + C q kyk q

thỏa mãn.

Hằng số C q trong Mệnh đề 2.1.5 được gọi là hằng số q-trơn đều, j q là ánh xạ đối ngẫu

tổng quát của X xác định trong Định nghĩa 2.1.4.

Bổ đề 2.1.6 (xem [33]) Cho C là tập con lồi trong không gian Banach X có chuẩn khả

vi Gâteaux đều Giả sử {x n } là một dãy bị chặn trong X, z là một điểm trong C và µ là

giới hạn Banach Khi đó,

µkx n − zk2 = min

u∈C µkx n − uk2

khi và chỉ khi µhu − z, j(x n − z)i 6 0 với mọi u ∈ C.

Bổ đề 2.1.7 (xem [23]) Cho C là tập con khác rỗng, bị chặn, lồi và đóng trong không

gian Banach lồi đều X và cho {T (t) : t ≥ 0} là nửa nhóm không giãn trên C Khi đó, với bất kỳ r > 0 và h ≥ 0, ta có

Bổ đề 2.1.8 (xem [35]) (Điều kiện Opial) Cho H là một không gian Hilbert Với mọi dãy

{x n } ⊂ H hội tụ yếu đến x khi n → ∞ thì bất đẳng thức sau

2.2 Bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm

bất động và bài toán cân bằng

hạn chiều

Trong tiểu mục này ta giả thiết RN là không gian Euclid với tích vô hướng và chuẩn

lần lượt được ký hiệu bởi h., i và k.k.

Định nghĩa 2.2.1 Cho C là tập con lồi đóng trong R N và F : C → R N là một ánh xạ

đơn trị Bài toán bất đẳng thức biến phân (VI - Variational Inequality) hữu hạn chiều với ánh xạ phi tuyến đơn trị F , ký hiệu là VI(F, C), được phát biểu như sau:

Ba tình huống sau đây có thể xảy ra:

(i) Nếu x0 ∈ (a, b) thì f0(x0) = 0;

(ii) Nếu x0 = a thì f0(x0) ≥ 0;

(iii) Nếu x0 = b thì f0(x0) 6 0

Những phát biểu trên được tổng hợp thành

f0(x0)(x − x0) ≥ 0 ∀x ∈ [a, b],

đây là một bất đẳng thức biến phân

Ví dụ trên là một minh họa cho thấy bất đẳng thức biến phân là một trong nhữngdạng điều kiện cần cực trị của bài toán tối ưu

Định nghĩa 2.2.4 Cho C là tập con lồi đóng trong R N và hàm f là khả vi liên tục trên một tập mở U ⊂ R N chứa C Bài toán cực trị (OP - Optimization Problem) được phát

biểu như sau:

Tìm điểm x∗ ∈ C thỏa mãn f (x∗) 6 f (x) ∀x ∈ C,

hay dưới dạng ngắn gọn

Ký hiệu ký hiệu bài toán (2.5) là OP(f, C) và S† là tập nghiệm của bài toán (2.5).

Trong trường hợp C = R n thì bài toán (2.5) trở thành bài toán không ràng buộc và

ta vẫn đưa được bài toán đó về bất đẳng thức biến phân Khi đó, ta có định lý sau về mối

quan hệ của bài toán OP(f, C) và VI(F, C).

Định lý 2.2.5 Giả sử hàm f : C → R là hàm khả vi Khi đó:

(i) S†⊆ S tức là, mỗi nghiệm của bài toán (2.5) là nghiệm của bài toán (2.4) với

F (x) = 5f (x); (2.6)

(ii) nếu f là hàm lồi và F xác định bởi F (x) = 5f (x) thì S ⊆ S† Khi đó, S = S†.

Từ Định lý (2.2.5) suy ra, bài toán cực trị lồi OP(f, C) tương đương với bài toán bất đẳng thức biến phân đơn điệu VI(F, C) với F = 5f Tuy nhiên, bất đẳng thức biến phân

thể hiện điều kiện tối ưu của bài toán cực trị có thêm một vài tính chất so với bất đẳngthức biến phân thông thường

Ba-nach và bài toán điểm bất động

Cho C là một con lồi đóng khác rỗng của không gian Banach X và A : X → X là một

toán tử Bài toán bất đẳng thức biến phân VI∗(A, C) trong không gian Banach X được

phát biểu như sau:

Tìm phần tử u ∈ C sao cho: hAu, j(v − u)i ≥ 0 ∀v ∈ C, (2.7)

ở đây j(v − u) ∈ J (v − u) Nếu X là không gian Hilbert H, thì bất đẳng thức biến phân

VI∗(A, C) được phát biểu dưới dạng

Tìm phần tử u ∈ C sao cho: hAu, v − ui ≥ 0 ∀v ∈ C, (2.8)

được ký hiệu là VI(A, C) Tập nghiệm của bất đẳng thức biến phân VI∗(A, C) hay VI(A, C)

ký hiệu là ΩA

Định nghĩa 2.2.6 Toán tử A : X → X được gọi là toán tử η-j-đơn điệu mạnh và γ-giả

co chặt nếu A thỏa mãn tương ứng các điều kiện:

Bổ đề 2.2.7 (xem [13]) Cho X là không gian Banach trơn và A : X → X là ánh xạ

η-j-đơn điệu mạnh và γ-giả co chặt với η + γ > 1 Khi đó,

(i) Ánh xạ I − A là ánh xạ co với hệ số co q(1 − η)/γ.

(ii) Với mọi λ ∈ (0, 1), I − λA là ánh xạ co với hệ số co 1 − λτ , trong đó τ = 1 −

q

(1 − η)/γ ∈ (0, 1).

Cho A : C → H là một ánh xạ đơn điệu Mối quan hệ của bất đẳng thức biến phân

và phương trình điểm bất động dựa vào tính chất đặc trưng của ánh xạ chiếu mêtric P C

được phát biểu trong định lý sau

Định lý 2.2.8 (xem [2]) Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert H

và A : C → H là một toán tử xác định trên C Khi đó u ∈ C là nghiệm của bất đẳng thức biến phân VI(A, C) khi và chỉ khi với mỗi λ > 0 cố định, u là điểm bất động của ánh xạ

P C (I − λA), tức là

u ∈ Ω A ⇔ u = P C (u − λAu) ∀λ > 0. (2.11)Tính chất lồi đóng của tập điểm bất động của ánh xạ không giãn được nêu trong định

lý sau đây

Định lý 2.2.9 (xem [9] và tài liệu dẫn) Cho X là không gian Banach lồi đều, C là một

tập con lồi đóng và bị chặn trong X và T : C → C là ánh xạ không giãn Khi đó, T có điểm bất động Hơn nữa tập điểm bất động Fix(T ) := {x ∈ X : T x = x} của ánh xạ T là một tập lồi đóng.

Định nghĩa 2.2.10 Cho H là một không gian Hilbert thực, C là một tập con lồi đóng

của H, G : C × C → R là một song hàm Bài toán cân bằng của song hàm G(u, v) xác định trên C × C được phát biểu như sau:

Tìm điểm u∗ ∈ C thỏa mãn G(u∗, v) ≥ 0 với mọi v ∈ C. (2.12)

Ký hiệu là EP(G) là tập nghiệm của bài toán (2.12) Cho ánh xạ B : C → H và

G(u, v) = hBu, v − ui với mọi u, v ∈ C Khi đó, w ∈ EP(G) khi và chỉ khi hBw, v − wi ≥ 0

với mọi v ∈ C, tức là w là nghiệm của bất đẳng thức biến phân.

Ta giả thiết song hàm G : C × C → R thỏa mãn các tính chất sau:

(A1) G(u, u) = 0 với mọi u ∈ C;

(A2) G là đơn điệu, tức là, G(u, v) + G(v, u) 6 0 với mọi (u, v) ∈ C × C;

(A3) Với mọi u ∈ C, G(u, ) : C → R là nửa liên tục dưới yếu và lồi;

(A4) limt→+0 G((1 − t)u + tz, v) 6 G(u, v) với mọi (u, z, v) ∈ C × C × C.

Bổ đề 2.2.11 Cho C là tập con khác rỗng, lồi và đóng trong không gian Hilbert H và G

là song hàm từ C × C vào R thỏa mãn các điều kiện (A1)-(A4) Cho r > 0 và x ∈ H.

Khi đó, tồn tại z ∈ C sao cho

(ii) T r là không giãn vững, tức là với bất kỳ x, y ∈ H,

kT r (x) − T r (y)k2 6 hT r (x) − T r (y), x − yi;

(iii) Fix(T r ) =EP(G);

(iv) EP(G) lồi và đóng.

2.3 Một số phương pháp giải bất đẳng thức

biến phân

Tiểu mục này đề xuất phương pháp hiệu chỉnh tìm nghiệm của bài toán bất đẳng thức

biến phân trong không gian Hilbert H và không gian Banach X với tập chấp nhận được

C xác định bởi

C := ˜F = ∩t≥0 Fix(T (t)), (2.15)

ở đây {T (t) : t ≥ 0} là nửa nhóm ánh xạ không giãn.

Cho X là một không gian Banach hoặc không gian Hilbert, C là một tập con lồi đóng của X.

Định nghĩa 2.3.1 Họ các ánh xạ {T (t) : t ≥ 0} từ C vào C được gọi là nửa nhóm không

giãn trên C nếu

(i) T (t) là ánh xạ không giãn với mỗi t > 0;

(ii) T (0)x = x với mọi x ∈ C;