Kỹ năng: - Tìm tọa độ véc tơ, tọa độ điểm, thực hiện các phép toán vec tơ, tích vô hướng của hai vec tơ, góc giữa hai vec tơ.. Hình chiếu vuông góc của 1điểm lên các trục tọa độ, các mặt
Trang 1HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
1 Kiến thức:
- Giúp học sinh hệ thống hoá toàn bộ các kiến thức về hệ tọa độ trong khụng gian
2 Kỹ năng:
- Tìm tọa độ véc tơ, tọa độ điểm, thực hiện các phép toán vec tơ, tích vô hướng của hai vec
tơ, góc giữa hai vec tơ
3 Thời lượng: 2 tiết
4 Tiến trình thực hiện
Tiết 1 Tọa độ của điểm
Lý thuyết
1 M x y z( ; ; ) OM xi y j zk
, ( Với Olà gốc tọa độ) Chú ý: +) MOx M x( ;0;0) +) M(Oxy) M x y( ; ;0)
+) MOy M(0; ;0)y +) M(Oyz) M(0; ; )y z
+) MOz M(0;0; )z +) M(Oxz) M x( ;0; )z
2 Hình chiếu vuông góc của 1điểm lên các trục tọa độ, các mặt phẳng tọa độ.
3 Cho A(xA;yA;zA) và B(xB;yB;zB) ta có:
( B A; B A; B A)
AB x x y y z z
; AB (x B x A) 2 (y B y A) 2 (z B z A) 2
2
; 2
; 2
B A B A B
x
A B C A B C A B C
x x x y y y z z z
Ví dụ 1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Cho các điểm A(1;2;0), ( 2;0;0), (0; 2; 2)B C (0; 2;0), (1;0;1), (0;0; 5)
D E G Trong các điểm trên điểm nào thuộc trục Ox,Oy Oz, , điểm nào thuộc mặt phẳng tọa độ
Gọi từng họ sinh đứng tại chổ trả lời:
B D Oy G Oz A y C Oyz E z
Ví dụ 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; 2;3) Xác định hình chiếu vuông góc của M
Giải
a Hình chiếu vuông góc của M lên các trục Ox,Oy Oz, lần lượt là:
1(1;0;0), 2(0; 2;0), 3(0;0;3)
b Hình chiếu vuông góc của M lên các mặt phẳng tọa độ (Ox ),(y Oyz),(Ox )z lần lượt là:
1(1;2;0), 2(0;2;3), 3(1;0;3)
Ví dụ 3 Trong không gian cho 3 điểm A(1;0;-2) ,B(2;1;-1) ,C(1;-2;2)
a) Tìm độ dài các cạnh tam giác ABC
b) Tìm tọa độ trung điểm của BC
c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC
Giải: a) Ta có AB= 3 ; BC= 19; AC=2 5
b) Gọi M là trung điểm của BC và có tọa độ là ( 3 1; ; 3)
2 2 2 c) Tọa độ điểm G 4; 1 1;
3 3 3
Bài tập trắc nghiệm
Trang 2Câu 1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Điểm nào sau đây nằm trên trục Ox ?
A M(2;0;0) B N(0;2;0) C P(0;0;2) D Q(2;2;2).
Câu 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Điểm nào sau đây nằm trên trục Oy?
A M(2;0;0) B N(0;2;0) C P(0;0;2) D Q(2;2;2).
Câu 3 Trong không gian Oxyz Điểm nào sau đây nằm trên măt phẳng tọa độ (Oxz) ?
A M(2;0;0) B N(0;-3;1) C P(1;0;2) D Q(0;0;-5).
Câu 4 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M ( 2;1;5) Xác định hình chiếu vuông góc của M lên trục Oz
A (0;1;0) B ( 2;0;0) C (0;0;5) D ( 2;1;0)
Câu 5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M ( 2;1;5) Xác định hình chiếu vuông góc của M lên trục (Oyz)
A (0;1;5) B ( 2;0;0) C (0;0;5) D ( 2;1;0)
Câu 6 Cho hai điểm A(2;1;3) và B(2;3;1) Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là:
Câu 7 Trong không gian Oxyz Cho ba điểm A(-1; -2; -3), B(-2; -3; -1), C(0; -1; -2) Tọa độ
trọng tâm G của tam giác ABC là
A G(1; 2; 2); B G(-1;-2;-2); C G(-1/3;2; 8/3) D.G(-1;-2;2) ;
Câu 8 Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2; 2;1) Tính độ dài đoạn thẳng OA
A OA 3 B OA 9 C OA 5 D OA 5
Câu 9 Cho A1;2; 2 .Tìm điểm B trên trục Oy, biết AB 6
A.B 1;1;0 vàB 0;3;0 A.B 0;1;0 vàB 3;0;0 C.B 0;1;0 vàB 0;3;0 D.B 0;0;1 vàB 0;3;0
Tiết 2 Tọa độ véc tơ
Lý thuyết
4 a ( ; ; )a a a1 2 3 a a i a j a k 1 2 3; 2 2 2
a a a a
5 Cho a( ; ; )a a a1 2 3 và b( ; ; )b b b1 2 3 ta có
+)
a b
a b
+) a b (a1 b a1 ; 2 b a2 ; 3 b3 )
+) k a.(ka ka ka1; 2; 3)
+) a b a b c os(a; ) b a b a b1 1 2 2 a b3 3
os os(a, )
a b a b a b
a b
+) a và b vuông góc a b 0 a b1 1 a b2 2a b3 3 0
Ví dụ 4 Trong không gian với hệ tọa độ (Oxyz) Cho vecto: a2i3j4k, b i 2j 3k,
x i k
, y3k
, c j 3k i Tìm tọa độ của các vec tơ a, b,c, x, y, Giải
a2i3j4k a (2;3; 4); b i 2j 3k b(1;2; 3)
x i k x(1;0; 1) ; y3k y(0;0;3)
; c j 3k i c(1;1; 3)
Ví dụ 5 Trong không gian Oxyz, cho a (1;0; 2), b ( 2;1;3),c ( 4;3;5)
a Tìm toạ độ vectơ 3.a 4.b 2c ; 2a b c
Trang 3b Tính a b .
; c b c cos a b( , )
Lời giải.
a Tọa độ vectơ 3.a 4.b 2c
a (1;0; 2) 3.a (3;0; 6) ,
b ( 2;1;3) 4b (8; 4; 12),
c ( 4;3;5) 2.c ( 8;3;10),
Suy ra 3.a 4.b 2c 3 8 8;0 4 3; 6 12 10 3; 1;4
Tương tự: 2a b c (4; 2; 6)
b a b 1( 2) 0.1 ( 2).3 8
Tương tự: c b 26
c cos a b( , )a b a b. 5.5 28 4 1025
Bài tập trắc nghiệm Câu 1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Cho vecto: a2i 3j k
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A a 2;3;0 B a 2; 3;0 C a 2;3; 1 D a 2; 3;1
Câu 2 Tính góc giữa hai vectơa = (–2; –1; 2) và b = (0; 1; –1)
A 135° B 90° C 60° D 45°
Câu 3 Trong k.g Oxyz, cho 3 vectơ a 1;1;0; b1;1;0; c1;1;1 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai
A a 2
B.c 3
C ab D.bc
Câu 4 Trong không gian Oxyz, cho hai véc tơ a ( 1; 2; 1) , b(2; 1;1) Tọa độ của véctơ c2a b là:
Câu 5 Trong không gian Oxyz, cho 2 vecto a 1;2; 1 ; và cx; 2 x; 2 Nếu c 2a thì x bằng
Câu 6 Cho hai điểm A ( 1;1;0) và B(2;1; 1) Tọa độ véc tơ AB
là:
A (1; 2; 1) B (1;0; 1) C ( 3;0;1) D (3;0; 1)
Câu 7 Trong không gian với hệ tọa độ (Oxyz) Cho A(1; 2; 3), B(2; -1; 1), C(1; 1; -2) Tìm tọa
độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành
A D(0; 4; 0) B D(2; -2; -4) C D(2; 0; 6) D D(2; -2; -4).
Câu 8 Cho 2 điểm A2; 1;3 ; B4;3;3 Tìm điểm M thỏa 3MA 2MB 0
A.M2;9;3 B.M 2; 9;3 C.M 2;9; 3 D.M2; 9;3
Câu 9 Cho a1;m; 1
;b2;1;3
.Tìm m để ab
A.m 1 B.m 1 C.m 2 D.m 2
Câu 10 Cho a (2; 1; 2) Tìm y z, sao cho c ( 2; y;z) cùng phương với a
A y1,z2 B y2,z1 C y1,z2 D y2,z1
Câu 11 Cho A2;5;3;B3;7;4;C x y ; ;6 Tìm x y, để 3 điểm A B C, , thẳng hàng
A.x 5;y 11 B.x 11;y 5 C.x 5;y 11 D.x 5;y 11
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1 Mục tiêu
Trang 4a Kiến thức cơ bản: Khái niệm vectơ pháp tuyến; Phương trình tổng quát của mặt phẳng; Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc; công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
b Kỹ năng:
- Nhận biết vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng;
- Kiểm tra điểm thuộc (hoặc không thuộc) mặt phẳng;
- Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
- Lập phương trình cơ bản;
2 Các dạng toán cơ bản
Dạng 1 Nhận biết véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng
Dạng 2 Kiểm tra điểm thuộc ( hoặc không thuộc) mặt phẳng;
Dạng 3 Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
Dạng 4 Lập phương trình cơ bản của mặt phẳng
3 Thời lượng: 4 tiết
4 Tiến trình thực hiện
Lý thuyết
1 Vectơ n 0 và có giá vuông góc với ( )P thì n đgl vectơ pháp tuyến của ( )P
2 Cho mp( )P : Ax By Cz D 0 thì:
+) ( )P có một véctơ pháp là n( ; ; )A B C
+) M x y z( ; ; )0 0 0 P Ax0By0Cz0D0
M x y z( ; ; )0 0 0 P Ax0By0Cz0 D0
+) Với M x y z( ; ; )0 0 0 thì d M P( ,( )) Ax0 2By0 2Cz0 2 D
3 Mặt phẳng đi qua điểm M x y z( ; ; )0 0 0 và có một vtpt nA B C; ; có phương trình là:
A x x 0B y y( 0)C z z( 0) 0
Tiết 1 Dạng 1: Nhận biết véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng.
Ví dụ 1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , tìm tọa độ hai vectơ pháp tuyến của các mặt
phẳng có phương trình sau: ( Gọi nhiều học sinh đứng tại chổ trả lời)
a ( ) :P x 2y z 5 0 b ( ) : x 2 y 3z 1 0Q c ( ) :R x 2z 1 0
d ( ) : 2 y 5 0 e ( ) : y 2x 3 0 g ( ) : z0 Giải
a u(1; 2;1), v ( 1;2; 1) b u ( 1; 2; 3), v(2; 4;6) c u(1;0; 2), v ( 1;0; 2)
d u(0;2;0), v(0;1;0) e u ( 2;1;0), v(1; ;0)12 g u(0;0;1), v(0;0; 2)
Tổng kết:
1 Vectơ n 0 và có giá vuông góc với ( )P thì n đgl vectơ pháp tuyến của ( )P
2 Cho mp( )P : Ax By Cz D 0 thì ( )P có một véctơ pháp là n( ; ; )A B C
Luyện tập:
Trang 5Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) : x 2 y 3z 1 0 ?
A n (1; 2; 3) B n ( 1; 2;3) C.n (1; 2;3) D.n ( 1; 2; 3)
Câu 2 Một véctơ pháp tuyến n của mặt phẳng ( ) : 5 2 0Q x y có tọa độ là
1; ;0
n 5
A B n 1;5; 2 C n 5;0;1 D n 5;1; 2
Câu 3 Một véctơ pháp tuyến n của mặt phẳng ( ) :R x có tọa độ là2 0
1; ;0
n 0
A B n 1;2;0 C n 1;1;0 D n 1;0;2
Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oyz) ?
Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oxz) ?
Dạng 2 Kiểm tra điểm thuộc ( hoặc không thuộc) mặt phẳng;
Ví dụ 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , ( ) :P x 2y2z 1 0
a.Tìm tọa độ 3 điểm thuộc ( )P
b Các điểm (1;1;0), (2; ;1), ( 1;0;0), ( 1; 1;1)1
2
M N A B điểm nào không thuộc mặt phẳng ( )P
Giải
a Các điểm D(1;0; 1) , A ( 1;0;0), H(1; 1; 2) thuộc ( )P
b M(1;1;0) ( ) ì :1 2.1 2.0 1 0 P v ; N(2; ;1) ( ) ì : 2 2.12 P v 122.1 1 4 0
Tương tự: A( ),P B( )P
Tổng kết:
Cho mp( )P : Ax By Cz D 0 và M x y z( ; ; )0 0 0 thì:
+) M x y z( ; ; )0 0 0 P Ax0By0 Cz0 D0
+) M x y z( ; ; )0 0 0 P Ax0By0 Cz0 D0
Luyện tập:
Câu 1 Điểm M thuộc mặt phẳng ( )P : 4 4 6 – 2 0x y z có tọa độ là
A M0;1;1 B M1;1;1 C M1;0;1 D M1;1;0
Câu 2 Trong không gian Oxyz cho ( )P : 3x y z 1 0 Trong các điểm sau đây điểm nào thuộc ( )P
A(1;-2;-4) B(1;-2;4) C(1;2;-4) D(-1;-2;-4)
Câu 3 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( ) :P x 2y z 5 0 Điểm nào dưới đây thuộc ( )P ?
Câu 4 Cho mặt phẳng ( )P có phương trình x y 1 0 Điểm nào sau đây thuộc ( )P ?
A (0;1;1) B (1;1;0) C (1; 1;0) D ( 1; 1;0)
Câu 5 Điểm M(1; 2;3) không thuộc mặt phẳng nào ?
A ( ) : x y z 1 0 B ( ) : x z 2 0 C ( ) : 2P x y z 1 0 D ( ) : 3Q y 2z 1 0
Tiết 2.
Dạng 3 Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
Trang 6Ví dụ 3 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,Tính khoảng cách từ A(2; 4; 3) đến các mặt
phẳng sau: (Gọi 3 hs lên bảng tính)
a ( ) : 2 x y 2z 9 0 b ( ) :12 x 5z 5 0 c ( ) : z 6 0 d.(Oyz) Giải
a ( ,( )) 2.2 4 2( 3) 92 2 2 7
3
b ( ,( )) 12.2 5( 3) 52 2 2 1344
12 0 ( 5)
c ( ,( )) 2 3 62 2 9
d (Oyz) có phương trình là: x 0 ( ,( )) 22 2
1
d A Oyz
Ví dụ 4 Tính khoảng cách giữa hai mp song song (P) và (Q): ( Định hướng và gọi học sinh lên bảng giải)
a) (P): x 2y 2z 11 0
(Q): x 2y 2z 2 0
b) (P): 4x y 8z 1 0
(Q): 4x y 8z 5 0
HD:
a) Lấy M(0; 0; –1) (Q)
(( ),( )) ( ,( )) 3
b) Lấy M(0; 1; 0) (P)
(( ),( )) ( ,( )) 4
9
Tổng kết:
Cho mp( )P : Ax By Cz D 0 và M x y z( ; ; )0 0 0 thì: d M P( ,( )) Ax0 2By0 2Cz02 D
Lưu ý:
- Học sinh thường thay nhầm giữa tọa độ điểm và tọa độ VTPT
- Phương trình mặt phẳng khuyết học sinh thường lúng túng khi thay tọa độ điểm vào phương trình mặt phẳng và xác định tọa độ véc tơ pháp tuyến
Luyện tập:
Câu 1 Cho điểm A ( 1;3; 2) và mặt phẳng ( ) :P x 2y 2z 5 0 Khoảng cách từ A đến ( )P là
A 23 B 23 C 35 D 53
Câu 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , Khoảng cách từ điểm M(2; 1;1) đến mặt phẳng ( ) : 2P x2y z 0 là:
A 1
Câu 3 Cho điểm B ( 1;3;0) và mặt phẳng ( ) :P x 2y 2z 5 0 Khoảng cách từ B đến ( )P là
A 23 B 23 C 35 D 53
Câu 4 Cho điểm C(1;3; 2) và mặt phẳng ( ) : 3P x 4y 4 0 Khoảng cách từ C đến ( )P là
Câu 5 Cho điểm N0; 3; 2 và mặt phẳng ( ) :P y 0 Khoảng cách từ N đến ( )P là
Trang 7Câu 6 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song :( )P x y z 5 0 và( )Q 2 x2y 2z 3 0
A 2
3 B 2 C 7
2 D 7
2 3
Bài tập cũng cố tiết 1, tiết 2 Câu 1 Cho mặt phẳng ( ) : 2P x y z 5 0 Vectơ nào là vectơ pháp tuyến của ( )P
A n (2;1;1).B n (2;1; 1) C n ( 1;1; 2) D n ( 1; 1; 2)
Câu 2 Cho mặt phẳng ( ) :P x y 2z 2 0 Vectơ nào là vectơ pháp tuyến của ( )P
A n (1; 2; 2) B n (1;1; 2) C n ( 1; 1; 2) D n ( 1; 1; 2)
Câu 3 Một véctơ pháp tuyến n của mặt phẳng ( )P x y 2 0 có tọa độ là
1; ;0
n 0
A B n 1;1;2 C n 1;1;0 D n 1;0;2
Câu 4 Trong không gian Oxyzcho mp( )P : 3x y z 1 0 Trong các điểm sau đây điểm nào thuộc ( )P
A (1;-2;-4) B (1;-2;4) C (1;2;-4) D (-1;-2;-4)
Câu 5 Cho mặt phẳng ( )P có phương trình y z 2 0 Điểm nào sau đây thuộc ( )P ?
Câu 6 Điểm M(1; 2;3) thuộc mặt phẳng nào ?
A ( ) : x y z 3 0 B ( ) : x z 2 0 C ( ) : 2P x y z 1 0 D ( ) : 3Q y 2z 1 0
Câu 7 Cho mp( )P có phương trình x z 1 0 Điểm nào sau đây không thuộc ( )P
Câu 8 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng P : 3x 4y 2z 4 0và điểm
1; 2;3
A Tính khoảng cách d từ A đến ( )P
A 5
9
29
29
3
d
Câu 9 Cho điểm N0; 3; 2 và mặt phẳng ( ) :P z 2 0 Khoảng cách từ N đến ( )P là
Câu 10 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song ( )P :x y z 5 0 và( )Q 2 x2y z 1 0
A 6
7 B 2 C 4
3 D -2
Dạng 4: Lập phương trình cơ bản của mặt phẳng
Tiết 3 1) Lập phương trình cơ bản của mặt phẳng, trong đó véc tơ pháp tuyến tìm theo định nghĩa.
Ví dụ 5: Lập phương trình mặt phẳng ( ) , biết:
a) ( ) đi qua A(1;3; 2) có véc tơ pháp tuyến n (4;3; 2)
b) ( ) qua B và vuông góc với AB với A(1; 2;3), B(2; 3;5)
c) ( ) đi qua M(2; 3;1) và song song với mp( ) :P x 2y 3z 1 0
d) ( ) qua D(2;3;5) và song song với mặt phẳng (Oyz).
e) ( ) là mặt phẳng trung trực của EF với E(5;2;7), F(1;8;1).
(Gọi 1 HS lên làm ý a, ý b,c,d,e định hướng và gọi học sinh lên giải)
Giải:
a) Phương trình mặt phẳng ( ) là: 4(x1) 3( x 3) 2( z 2) 0
hay 4x3y 2z 9 0
Trang 8PTTQ là: 1(x 2) 5( y3) 2( z 5) 0 hay x 5y2z 27 0
c) Ta có n 1; 2; 3
là VTPT của ( )P
Vì ( ) / /( ) P nên n 1; 2; 3
cũng là VTPT của ( ) Vậy phương trình ( ) là: x 2y3z1 0
d) Phương trình mặt phẳng (Oyz) là x 0 n(Oyz) (1;0;0).
Mặt phẳng ( ) song song với mặt phẳng (Oyz) nên cũng có véc tơ pháp tuyến n(Oyz) (1;0;0),
Phương trình của mặt phẳng ( ) là: 1.(x 2) 0.(y 3) 0.(z 5) 0 x 2 0.
Vậy ( ) : x 2 0.
e) ( ) là mặt phẳng trung trực của EF với E(5;2;7), F(1;8;1).
Gọi I là trung điểm của EF, ta có I(3; 5; 4),EF( 4; 6; 6).
Mặt phẳng trung trực của EF là mặt phẳng đi qua I và có véc tơ pháp tuyến EF( 4; 6; 6),
phương trình của ( ) : 4(x 3) 6(y 5) 6(z 4) 0 2x 3y 3z 3 0.
Vậy ( ) : 2x 3y 3z 3 0.
Luyện tập:
Câu 1 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M1; 2;3 và nhận n 2;1; 5 làm vectơ pháp tuyến
A. P : 2x y 5z 15 0 B. P : 2x y 5z 0 C. P x: 2y 5z 15 0 D
P : 2x y 5z 15 0
Câu 2 Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(-2;3;1), B(3;1;-2) và C(4;-3;1) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng BC
A. x 4y 3z 11 0 B.x 4y 3z 11 0 C x 4y 3z 11 0 D x 4y 3z 11 0
Câu 3 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M 2;3;1và song song với mp (Q):
4x 2y 3z 5 0
A 4x-2y 3z 11 0 B.4x-2y 3z 11 0 C 4x+2y 3z 11 0 D.- 4x+2y 3z 11 0
Câu 4 Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M( 2;3;1) song song mp(Oxz)
A.x 3 0 B.x y z 3 0 C.y 3 0 D.z 3 0
Câu 5 Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB vớiA2;3;7 , B4; 3; 5
A.2x 6y 12z 0 B.2x 6y 12z 6 0 C.x 3y 6z 3 0 D.x 3y 6z 3 0
Câu 6 Trong không gian Oxyz, cho điểmA1; 2;3 và đường thẳng d có phương trình
Viết PT mặt phẳng đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d
A.2x y z 3 0 B.x 2y z 3 0 C.2x y z 3 0 D.2x y z 3 0
Tiết 4 2) Lập phương trình cơ bản của mặt phẳng, véc tơ pháp tuyến na b,
trong đó a b , không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng đó.
Ví dụ 6: Viết phương trình mặt phẳng
a) (α ) qua A(0; 1; 2) và song song víi gi¸ mçi vÐc t¬ n 1 (3; 2;1), n 2 ( 3;0;1)
b) ( ) qua ba điểm A(2;8;5),B(18;14;0),C(12;8;3).
c) ( ) qua các hình chiếu của điểm H( 2;1;5) trên các trục tọa độ
d) ( ) qua G(1; 3;2) và vuông góc với hai mặt phẳng
( ) : x 2y 5z 1 0, ( ) : 2x 3y z 4 0.
e) ( ) đi qua A2;1;1 , B 1; 2; 3 và ( ) vuông góc với ( ) : x y z 0;
g) ( ) chứa trục Ox và vuông góc với ( ) : 2Q x3y z 2 0
Gi¶i:
Trang 9a) mp (α ) // víi gi¸ cña hai vÐc t¬ nªn cã VTPT an n1; 2 2; 6;6
PT mp (α ) lµ : x 3y3z 9 0
b) Ta có AB(16;6; 5), AC(10;0; 2)
nên AB, AC ( 12; 18; 60) 6(2; 3; 10)
Do đó ( ) là mặt phẳng đi qua A(2;8;5) và có véc tơ pháp tuyến n(2;3;10) nên có phương trình:
2(x 2) 3(y 8) 10(z 5) 0 2x 3y 10z 78 0.
Vậy ( ) : 2x 3y 10z 78 0.
c) ( ) qua các hình chiếu của điểm H( 2;1;5) trên các trục tọa độ
Giải:Hình chiếu của điểm H( 2;1;5) lên các trục Ox,Oy,Oz lần lượt là
M( 2;0;0),N(0;1;0), P(0;0;5) Phương trình mặt phẳng (MNP) là
1 5x 10y 2z 10 0.
Vậy ( ) : 5x 10y 2z 10 0.
d) ( ) qua G(1; 3;2) và vuông góc với hai mặt phẳng
( ) : x 2y 5z 1 0, ( ) : 2x 3y z 4 0.
Giải:Ta có n( )(1;2; 5), n (2; 3; 1) ( )
Mặt phẳng ( ) vuông góc với hai mặt phẳng ( ),( ) nên n( ) n( ), n( ) ( 17; 9; 7)
Phương trình mặt phẳng ( ) cần tìm là: 17(x 1) 9(y 3) 7(z 2) 0 17x 9y 7z 4 0.
Vậy ( ) : 17x 9y 7z 4 0.
e) ( ) đi qua A2;1;1 , B 1; 2; 3 và ( ) vuông góc với ( ) : x y z 0;
Giải:
Ta có a 1;1;1 là VTPT của ( ) , AB 3; 3; 4 Suy ra a AB, 1;1; 0
Vì ( ) đi qua A B, và ( ) ( ) nên ( ) nhận na AB, 1;1; 0
làm VTPT Vậy phương trình ( ) là: x y 1 0
g) ( ) chứa trục Ox và vuông góc với ( ) : 2Q x3y z 2 0
Giải:Vì ( ) chứa trục Ox và vuông góc với ( )Q nên ( ) nhận na i,
làm VTPT Trong đó i1; 0; 0 , a (2; 3; 1)
là VTPT của ( )Q nên n 0;1; 3 Vậy phương trình ( ) là: y3z0
Tổng kết:
- Mặt phẳng đi qua điểm M x y z( ; ; )0 0 0 và có một vtpt nA B C; ; có phương trình là:
A x x 0B y y( 0)C z z( 0) 0
- Mặt phẳng đi qua 3 điểm A a( ;0;0), (0; ;0), (0;0; )B b C c có phương trình là:
x y z 1, ( , ,a b c 0)
Luyện tập:
Câu 1 Viết phương trình mp (Q) đi qua điểm A0; 1;2 và song song với giá của mỗi vectơ
3;2;1
u và v 3;0;1
A. Q x: 3y 3z 0 B. Q x: 3y 3z 9 0 C. Q x: 3y 3z 9 0 D. Q : 3x y 3z 9 0
Câu 2 Mặt phẳng qua 3 điểm A(1;0;0), B(0;-2;0), C(0;0,- 3) có phương trình là:
Trang 10A 1
x y z
D 1 2 3 1
Câu 3 Trong không gian Oxyz,cho ba điểm A(–1; 2; 1), B(–4; 2; –2), C(–1; –1; –2) Phương
trình mp(ABC) là:
A x + y – z = 0 B x – y + 3z = 0 C 2x + y + z –1 = 0 D 2x + y –2z + 2 = 0
Câu 4 Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểmA4; 1;2 và chứa trục
Ox ?
A x - 2 z = 0 B x + 4y = 0 C 2y + z = 0 D 2y - z =0
Câu 5 Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểmA1;0;1 , B5;2;3và vuông góc với mp
Q : 2x y z 7 0
A.x 2y 1 0 B.x 2z 1 0 C.2x z 1 0 D.x 2z 1 0
Bài tập về nhà: Lập phương trình của P trong các trương hợp sau:
1) P đi qua A1; 2;1 và song song với Q x y: 3z 1 0 ;
2) P đi qua M0;1; 2 , N0;1;1 , E2; 0; 0 ;
3) P là mặt phẳng trung trực của đoạn MNtrong đó M(0;1; 2), (0;1;1)N ;
4) P đi qua các hình chiếu của A(1; 2; 3) lên các trục tọa độ ;
5) P đi qua B1; 2; 0 , C0; 2; 0 và vuông góc với R : x y z 1 0 ;
6) P đi qua D 1; 2; 3 và vuông góc với hai mặt phẳng : :x 2 0 ; : y z 1 0