Các dạng vectơ lớp 10 từ cơ bản đến nâng cao

Cho ABC cĩ M là trung điểm của BC, G là trọng tâm, H là trực tâm, O là tâm đường trịn ngoại tiếp.. Cho hình bình hành ABCD cĩ O là giao điểm của hai đường chéo.. Cho ΔABC M, là trung đi

Bài 1 Cho hình bình hành ABCD , tâm O Gọi , M N là trung điểm AD BC ,

1) Cĩ bao nhiêu véctơ khác 0 cĩ điểm đầu và điểm cuối là một trong số các điểm , , , , , ,A B C D O M N

2) Chỉ ra các véctơ cĩ điểm đầu, điểm cuối là các điểm , , , , , ,A B C D O M N mà:

a) Cùng phương với véctơ AB b) Cùng hướng với véctơ AB c) ngược hướng với véctơ AB

Bài 2 Cho 3 điểm , ,A B C phân biệt và thẳng hàng Khi nào thì AB AC, cùng hướng, ngược hướng

Bài 3 Cho ABC cĩ A, B, C lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB

a) Chứng minh: BCC A A B   

b) Tìm các véctơ bằng B C C A   ,

Bài 4 Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, AD, BC Chứng

minh: MPQN MQ PN; 

Bài 1 Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F Chứng minh:

Bài 2 Cho 4 điểm A, B, C, D Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD Chứng minh:

CHUYÊN ĐỀ VÉCTƠ Giáo viên: Nguyễn Chí Thành 0975705122

DẠNG 1: VÉCTƠ CÙNG PHƯƠNG – CÙNG CHIỀU

DẠNG 2: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VÉCTƠ

BÀI MẪU

BÀI TẬP TỰ GIẢI

BÀI MẪU

a) Nếu AB CD thì ACBD b) AC BD AD BC   2IJ

c) Gọi G là trung điểm của IJ Chứng minh: GA GB GC GD   0

Bài 5 Cho tứ giác ABCD khơng phải là hình bình hành, cĩ hai đường chéo AC BD, cắt nhau tại O sao cho



OD OB Gọi M N, là trung điểm AB CD, MN cắt ACtại I Chứng minh MI IN

Bài 3 Cho tam giác ABC Gọi M là trung điểm của AB, D là trung điểm của BC, N là điểm thuộc AC sao

cho CN2NA K là trung điểm của MN Chứng minh:

Bài 4 Cho hình thang OABC M, N lần lượt là trung điểm của OB và OC Chứng minh rằng:

2

2

  c) MN 1OC OB

2

Bài 5 Cho ABC Bên ngồi tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS Chứng minh:

RJ IQ PS 0  

Bài 6 Cho tam giác ABC, cĩ AM là trung tuyến I là trung điểm của AM

a) Chứng minh: IA IB IC2   0

b) Với điểm O bất kỳ, chứng minh: OA OB OC2   4OI

Bài 7 Cho ABC cĩ M là trung điểm của BC, G là trọng tâm, H là trực tâm, O là tâm đường trịn ngoại tiếp

Chứng minh:

Bài 8 Cho hai tam giác ABC và ABC lần lượt cĩ các trọng tâm là G và G

a) Chứng minh AABB CC 3GG

b) Từ đĩ suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác cĩ cùng trọng tâm

Bài 9 Cho tam giác ABC và điểm G sao cho GA GB GC  0

a) Chứng minh rằng: G là trọng tâm tam giác

3

OG OA OB OC  thì G là trọng tâm tam giác ABC

BÀI TẬP TỰ GIẢI

Bài 10 Cho tam giác ABC Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC

Bài 11 Cho ABC Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC Chứng minh rằng:

Bài 12 Cho ABC cĩ trọng tâm G Gọi H là điểm đối xứng của B qua G

a) Chứng minh: AH 2AC 1AB

  và CH 1AB AC

3

b) Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh: MH 1AC 5AB

Bài 13 Cho tam giác ABC và một điểm M tuỳ ý

a) Hãy xác định các điểm D, E, F sao cho MD MC AB  , MEMA BC , MFMB CA Chứng minh các điểm D, E, F khơng phụ thuộc vào vị trí của điểm M

b) So sánh hai tổng véctơ: MA MB MC  và MDME MF

Bài 14 Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi I là trung điểm BC và G là trọng tâm ABC Chứng minh:

Bài 15 Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi I và J là trung điểm của BC, CD

a) Chứng minh: AI 1 D 2A AB

2

c) Tìm điểm M thoả mãn: MA MB MC 0  

Bài 1 Cho hình bình hành ABCD cĩ O là giao điểm của hai đường chéo Chứng minh:

a) ACBA AD ; AB AD AC 

b) Nếu AB AD  CB CD thì ABCD là hình chữ nhật

Bài 2 Cho hai véc tơ a b, Trong trường hợp nào thì đẳng thức sau đúng: a b  a b

Bài 3 Cho ABC đều cạnh a Tính AB AC ; AB AC

DẠNG 3: DỰNG VÉCTƠ- TÍNH ĐỘ DÀI

BÀI MẪU

Bài 4 Cho hình vuơng ABCD cạnh a Tính AB AC AD 

Bài 5 Cho ABC đều cạnh a, trực tâm H Tính độ dài của các véctơ HA HB HC, ,

Bài 6 Cho hình vuơng ABCD cạnh a, tâm O Tính độ dài của các véctơ AB AD , ABAC, AB AD

Bài 7 Cho tam giác ABC vuơng cân tại O, OA OB a  Dựng các vecto sau và tính độ dài của chúng

OA OB ; ; 3 4 ;21 2,5 ;11 3

OA OB OA OB OA OB OA OB

Câu 65 Cho ABC vuơng tại A và AB 3, AC 4 Véctơ CB AB cĩ độ dài bằng

Câu 66 Cho hình vuơng ABCD cĩ cạnh bằng a Tính AB AD,

Câu 67 Cho hình chữ nhật ABCD biết AB 4a và AD 3a thì độ dài AB AD ?

Câu 68 Cho tam giác ABC đều cĩ độ dài cạnh bằng a Độ dài AB BC bằng bao nhiêu

Câu 69 Cho tam giác đều ABC cĩ cạnh a Giá trị AB CA bằng bao nhiêu?

Câu 70 Cho ba lực F1 MA F, 2 MB F, 3 MC cùng tác động vào một vật tại điểm M và vật

đứng yên Cho biết cường độ của F F đều bằng 1, 2 50N và gĩc AMB 600 Khi đĩ cường

độ lực của F3 là:

Bài 1 Cho ABC Hãy xác định điểm M thoả mãn điều kiện: MA MB MC 0  

Bài 2 Cho hai điểm phân biệt A B Tìm tập hợp điểm O thỏa mãn: ,

1) OA OB  2) OA OB

Bài 3 Cho ABCΔ đều nội tiếp ( )O Xác định vị trí điểm M N P sao cho: , ,

Bài 4 Cho ABCΔ

DẠNG 4: TÌM QUỸ TÍCH ĐIỂM

BÀI TẬP TỰ GIẢI

BÀI MẪU

1) Tìm các điểm M N sao cho : , MA MB MC  0; 2NA NB NC  0

2) Với M N tìm được ở câu 1 Tìm các số , p q sao cho: , MN p AB q AC  

Bài 5 Cho hai điểm A và B Tìm điểm M sao cho 2MA3MB0

Bài 6 Cho vecto CD cố định và hai điểm A, B Tìm điểm M sao cho MA MB CD  

Bài 7 Cho các điểm A B C D E Xác định các điểm , ,, , , , O I K sao cho:

1) OA2OB OC3 0 3) IA IB IC ID   0 3) KA KB KC  3(KD KE ) 0

Bài 8 Cho tam giác ABC Tìm vị trí điểm M sao cho:

1) MB MC AB   2) 2MA MB MC  0

3) MA MB MC  0 4) MA2MB MC 0

Bài 9 Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn:

a) 3MA MB MC  2MBMC b) MA BC  MA MB

c) 2MA MB  4MB MC d) 4MA MB MC  2MA MB MC 

Bài 10 Cho tam giác ABC Tìm các điểm , , I K M sao cho:

1) IA2IB0 2) KA2KB CB  3) MA MB 2MC0

Bài 11 Cho đoạn thẳng AB cĩ trung điểm I M là điểm tuỳ ý khơng nằm trên đường thẳng AB Trên MI

kéo dài, lấy 1 điểm N sao cho IN = MI

a) Chứng minh: BN BA MB  b) Tìm các điểm D, C sao cho: NA NI ND NM BN NC;  

Bài 12 Cho hình bình hành ABCD

a) Chứng minh rằng: AB AC AD  2AC

b) Xác định điểm M thoả mãn điều kiện: AM3 AB AC AD 

Bài 13 Cho tứ giác ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC

2

MN AB DC b) Xác định điểm O sao cho: OA OB OC OD 0   

Bài 14 Cho 4 điểm A, B, C, D Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB, CD, O là trung điểm của MN

Chứng minh rằng với điểm S bất kì, ta cĩ: SA SB SC SD   4SO

Bài 15 Cho ABC Hãy xác định các điểm I, J, K, L thoả các đẳng thức sau:

BÀI TẬP TỰ GIẢI

c) KA KB KC  2BC d) LA LB3  2LC0

Bài 16 Cho ABC Hãy xác định các điểm I, J, K, L thoả các đẳng thức sau:

c) KA KB KC  BC d) LA2LC AB 2AC

Bài 17 Cho ABC Hãy xác định các điểm I, F, K, L thoả các đẳng thức sau:

a) IA IB IC BC    b) FA FB FC AB AC 

Bài 18 Cho hình bình hành ABCD cĩ tâm O Hãy xác định các điểm I, F, K thoả các đẳng thức sau:

c) KA4 3KB2KC KD 0

Bài 19 Cho tứ giác ABCD

a) Hãy xác định vị trí của điểm G sao cho: GA GB GC GD   0 (G là trọng tâm của tứ giác ABCD)

b) Chứng minh rằng với điểm O tuỳ ý, ta cĩ: OG 1OA OB OC OD

4

Bài 20 Cho ABC Tìm tập hợp các điểm M thỏa điều kiện:

c) MA MB  MA MB d) MAMB  MA MC

Bài 21 Cho 2 điểm cố định A, B Tìm tập hợp các điểm M sao cho:

a) MA MB  MA MB b) 2MA MB  MA2MB

Bài 22 Cho ABC Tìm tập hợp các điểm M sao cho:

2

e) MA MB  2AB

Bài 1 Cho tam giác OAB, gọi M là N là trung điểm OA và OB Tìm các số m, n thích hợp trong các đẳng

DẠNG 5: PHÂN TÍCH VECTO THEO NHIỀU VECTO - CHỨNG MINH THẲNG HÀNG

BÀI MẪU

thức vecto sau:

a) OM mOA nOB b) MNmOA nOB

c) ANmOA nOB d) MBmOA nOB

Bài 2 Cho ABC Trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho

MB3MC NA, 3CN PA PB,  0

a) Tính PM PN, theo AB AC, b) Chứng minh: M, N, P thẳng hàng

Bài 3 Cho ABCΔ cĩ trọng tâm G Gọi I là trung điểm AG và K AB sao cho AB5AK

1) Tính AI AK CI CK, , , theo CA CB, 2) Chứng minh C I K, , thẳng hàng

Bài 4 Cho tam giác ABC cĩ trọng tâm G Gọi D và E là các điểm xác định bởi AD2AB , AE 2AC

5

a) Tính AG DE DG theo AB và AC, , b) Chứng minh ba điểm D, E, G thẳng hàng

Bài 5 Cho ΔABC M, là trung điểm BC, gọi , ,O G H là tâm đường trịn ngoại tiếp, trọng tâm và trực tâm

tam giác Chứng minh:

1) AH 2.OM 2) HA HB HC  2HO 3) OA OB OC OH từ đĩ suy ra , ,   O G H thẳng hàng

Bài 6 Cho bốn điểm O, A, B, C sao cho : OA2OB OC3 0 Chứng tỏ rằng A, B, C thẳng hàng

Bài 7 Cho hình bình hành ABCD Trên BC lấy điểm H, trên BD lấy điểm K sao cho:

BH 1BC BK, 1BD

Bài 8 Cho ABC với I, J, K lần lượt được xác định bởi: IB2IC , JC 1JA

2

  , KA KB

a) Tính IJ IK theo AB và AC, (HD: IJ AB 4AC

3

b) Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng (HD: J là trọng tâm AIB)

Bài 9 Cho tam giác ABC Trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho

MB3MC , NA3CN , PA PB 0

a) Tính PM PN, theo AB AC, b) Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng

Bài 10 Cho hình bình hành ABCD Trên các tia AD, AB lần lượt lấy các điểm F, E sao cho AD = 1

2 AF, AB

BÀI TẬP TỰ GIẢI

= 1

2AE Chứng minh:

a) Ba điểm F, C, E thẳng hàng b) Các tứ giác BDCF, DBEC là hình bình hành

Bài 11 Cho ABC Hai điểm I, J được xác định bởi: IA3IC0, JA2JB3JC0 Chứng minh 3 điểm

I, J, B thẳng hàng

Bài 12 Cho ABC Hai điểm M, N được xác định bởi: 3MA4MB0, NB3NC0 Chứng minh 3 điểm

M, G, N thẳng hàng, với G là trọng tâm của ABC

Bài 13 Cho ABC Lấy các điểm M N, P: MB2MC NA 2NC PA PB  0

a) Tính PM PN theo AB và AC, b) Chứng minh 3 điểm M, N, P thẳng hàng

Bài 14 Cho tam giác ABC Gọi I là trung điểm của BC, D và E là hai điểm sao cho BD DE EC 

a) Chứng minh AB AC AD AE  

b) Tính ASAB AD AC AE theo AI   Suy ra ba điểm A, I, S thẳng hàng

 Sử dụng bất đẳng thức cơ bản:

Với mọi vectơ a b, ta luơn cĩ

+ a b a b, dấu bằng xảy ra khi a b, cùng hướng

+ a b a b, dấu bằng xảy ra khi a b, ngược hướng

 Đưa bài tốn ban đầu về bài tốn tìm cực trị của MI với M thay đổi

+ Nếu M là điểm thay đổi trên đường thẳng khi đĩ MI đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu của M lên

+ Nếu M là điểm thay đổi trên đường trịn (O) khi đĩ MI đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi M là giao điểm của tia OI với đường trịn; MI đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi M là giao điểm của tia IO với đường trịn

Bài 1 Cho tam giác ABC và đường thẳng d Tìm điểm M thuộc đường thẳng d để biểu thức sau đạt giá trị

DẠNG 6 * : CÁC BÀI TỐN BẤT ĐẲNG THỨC – CỰC TRỊ

Bài 2 Cho tam giác ABC và ' ' ' A B C là các tam giác thay đổi, cĩ trọng tâm G và G' cố định Tìm giá trị

nhỏ nhất của tổng T AA' BB' CC '

Bài 3 Cho tam giác ABC , đường thẳng d và ba số , , sao cho 0 Tìm điểm M thuộc đường thẳng d để biểu thức T MA MB MC đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 4 Cho tam giác ABC Tìm điểm M trên đường trịn (C) ngoại tiếp tam giác ABC sao cho

MA MB MC

Bài 5 Cho lục giác đều ABCDEF Tìm tập hợp các điểm M sao cho :

MA MB MC MD ME MF nhận giá trị nhỏ nhất

Bài 6 Cho tứ giác ABCD và ' ' ' ' A B C D là các tứ giác thay đổi, cĩ trọng tâm G và G' cố định Tìm giá trị

nhỏ nhất của tổng T AA' BB' CC' DD '

Bài 7 Cho tam giác ABC M, N, P lần lượt là các điểm trên các cạnh BC, CA, AB sao cho

BM kBC CN kCA AP kAB Chứng minh rằng các đoạn thẳng AM, BN, CP là ba cạnh của một tam giác nào đĩ Do đĩ các đoạn thẳng AM, BN, CP là ba cạnh của một tam giác nào đĩ

Bài 8 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng với mọi điểm M thuộc cạnh AB và khơng trùng với các

đỉnh ta cĩ: MC AB MA BC MB AC

 Để chứng minh hai điểm A và 1 A trùng nhau, ta lựa chọn một trong hai cách sau : 2

Cách 1: Chứng minh A A1 2 0

Cách 2: Chứng minh OA1 OA2 với O là điểm tuỳ ý

 Để chứng minh hai tam giác ABC và ' ' ' A B C cùng trọng tâm ta làm như sau:

Cách 1: Chứng minh G là trọng tâm ABC trùng với ' G là trọng tâm A B C ' ' '

Cách 2: Gọi G là trọng tâm ABC (tức ta cĩ GA GB GC 0) ta đi chứng minh GA' GB' GC' 0

Bài 1 Chứng minh rằng AB CD khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau

Bài 2 Cho tam giác ABC , trên các cạnh AB, BC, CA ta lấy lần lượt các điểm M, N, P sao cho

AB BC CA Chứng minh rằng hai tam giác ABC và MNP cĩ cùng trọng tâm

DẠNG 7 * : CHỨNG MINH HAI ĐIỂM TRÙNG NHAU – HAI TAM GIÁC CÙNG

TRỌNG TÂM

Bài 3 Cho lục giác ABCDEF Gọi M N P Q R S lần lượt là trung điểm của các cạnh , , , , ,

AB BC CD DE EF FA Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS cĩ cùng trọng tâm

Bài 4 Cho hai hình bình hành ABCD và AB C D chung đỉnh A Chứng minh rằng hai tam giác ' ' ' BC D '

và B CD cùng trọng tâm ' '

Bài 5 Cho các tam giác ABC A B C cĩ G, G’ lần lượt là trọng tâm Chứng minh rằng: , ' ' '

AA BB CC GG Từ đĩ suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác cĩ cùng trọng tâm

Bài 6 Cho tam giácABC , vẽ các hình bình hành ABIJ BCPQ CARS , ,

Chứng minh rằng RIP, JQS cĩ cùng trọng tâm

Bài 1 Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AD và DC của tứ giác ABCD Các đoạn thẳng AN và

;

PM BM AP AN Tứ giác ABCD là hình gì?

Bài 2 Cho tam giác ABC cĩ các cạnh bằng a, b, c và trọng tâm G thoả mãn: a GA b GB c GC2 2 2 0

ABC là tam giác gì ?

Bài 3 Cho tam giác ABC cĩ trung tuyến AA' và B' , C' là các điểm thay đổi trên CA, AB thoả mãn

AA BB CC Chứng minh BB', CC' là các trung tuyến của tam giác ABC

Bài 4 Cho tứ giác ABCD cĩ hai đường chéo cắt nhau tại O thoả mãn OA OB OC OD 0 tứ giác

ABCD là hình gì?

Bài 5 : Cho ABC cĩ BB', CC' là các trung tuyến, A' là điểm trên BC thoả mãn AA' BB' CC' 0 Chứng minh AA' cũng là trung tuyến của tam giác ABC

Bài 6 Cho ABC cĩ A', B', C' là các điểm thay đổi trên BC, CA, AB sao cho AA BB CC đồng quy và ', ', '

thoả mãn AA' BB' CC' 0 Chứng minh AA BB CC là các trung tuyến của tam giác ABC ', ', '

DẠNG 8 * : XÁC ĐỊNH ĐỐI TƯỢNG THỎA MÃN ĐẲNG THỨC VECTO