Sự thác triển của các ánh xạ phân hình với giá trị trên những đa tạp phức không kahler

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ VÂN ANH SỰ THÁC TRIỂN CỦA CÁC ÁNH XẠ PHÂN HÌNH VỚI GIÁ TRỊ TRÊN NHỮNG ĐA TẠP PHỨC KHÔNG K�HLER LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ VÂN ANH

SỰ THÁC TRIỂN CỦA CÁC ÁNH XẠ PHÂN HÌNH VỚI GIÁ

TRỊ TRÊN NHỮNG ĐA TẠP PHỨC

KHÔNG K�HLER

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2016

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN THỊ VÂN ANH

SỰ THÁC TRIỂN CỦA CÁC ÁNH XẠ PHÂN HÌNH VỚI GIÁ

TRỊ TRÊN NHỮNG ĐA TẠP PHỨC

KHÔNG K�HLER

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS NGUYỄN THỊ TUYẾT MAI

THÁI NGUYÊN - 2016

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng các kết quả trình bày trong luận văn này là trungthực và không trùng lặp với các đề tài đã công bố Tôi cũng xin cam đoan rằngcác tài liệu trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Thái nguyên, tháng 04 năm 2016

Học viên

Nguyễn Thị Vân Anh

U

Trang bìa phụ

M C C

Trang

L i cam đoan i

Mục lục ii

LỜI MỞ ĐẦU 1

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Không gian phức 3

1.2 Đa tạp phức

4 1.3 Hàm chỉnh hình, hàm phân hình

6 1.4 Metric Hermit trên đa tạp phức

7 1.6 Hàm đa điều hòa

7 1.7 Dòng 8

1.8 Miền giả lồi 9

1.9 Mặt cầu

9 Chương 2 SỰ THÁC TRIỂN CỦA CÁC ÁNH XẠ PHÂN HÌNH VỚI GIÁ TRỊ TRÊN NHỮNG ĐA TẠP PHỨC KHÔNG K HLER 10

2.1 Ánh xạ phân hình và không gian chu trình 10

2.1.1 Không gian chu trình gắn với một ánh xạ phân hình 10

2.1.2 Tính giải tích của C f và cách xây dựng G f 14

2.2 Thác triển kiểu Hartogs của một ánh xạ phân hình

29 2.2.1 Tổng quát của lí thuyết đa thế vị 29

2.2.2 Thác triển kiểu Hartogs của một ánh xạ phân hình từ một hình Hartogs H n1 r  vào một không gian phức lồi đĩa

35

KẾT UẬN 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO 57

Trong luận văn này, tôi nghiên cứu vấn đề sau: Giả sử, cho một tập con

mở khác rỗng , ánh xạ f thác triển trên Vậy, giá trị cực đại nào của ̂ sao cho f thác triển phân hình trên ̂ ?

Vấn đề này được gọi là thác triển kiểu Hartogs Nếu ̂ với mọi f lấy giá trị trong X và mọi gốc (khác rỗng) U thì ta nói rằng định lý thác triển kiểu Hartogs vẫn đúng với các ánh xạ phân hình vào trong X này Với , tức là

với các hàm chỉnh hình, định lý thác triển kiểu Hartogs được chứng minh bởi F.Hartogs Nếu , tức là các hàm phân hình, kết quả được chứng minhbởi E Levi Từ đó, định lý thác triển kiểu Hartogs được chứng minh ít nhất hailần cho nhiều trư ng hợp tổng quát chứ không riêng những hàm chỉnh hìnhhay hàm phân hình

Để hệ thống lại các kết quả chính về sự thác triển của các ánh xạ phânhình với giá trị trên những đa tạp phức không K hler, tôi trình bày trong haichương của luận văn:

Chương 1: Trình bày những kiến thức cơ sở về không gian phức, hàmchỉnh hình, hàm phân hình, đa tạp phức, tập giải tích, đa điều hòa dưới,phủ, mặt cầu

Chương 2: Trình bày lại một cách chi tiết rõ ràng các kết quả nghiên cứuvềsự thác triển của các ánh xạ phân hình với giá trị trên những đa tạp phứckhông K hler

Để hoàn thành luận văn một cách hoàn chỉnh, em luôn nhận được sựhướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của TS Nguyễn Thị Tuyết Mai (Đại học sưphạm - ĐH Thái Nguyên) Em xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến

cô và xin gửi l i tri ân nhất của em đối với những điều cô đã dành cho em

Em xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo Phòng Đào tạo sau Đại học, quýthầy cô giảng dạy lớp Cao học K22A (2014 – 2016) Trư ng Đại học Sư phạm– Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện và tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cho em hoàn thành khóa học

Em xin gửi l i cảm ơn chân thành nhất tới gia đình, bạn bè, những ngư i

đã luôn động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện cho em trong suốt quá trìnhhọc tập và thực hiện luận văn

Mặc dù đã cố gắng rất nhiều nhưng trong luận này không thể tránh khỏinhững thiếu sót Em rất mong có được những ý kiến đóng góp của các thầy cô

và các bạn

Xin trân trọng cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2015

Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Vân Anh

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian phức

1.1.1 Định nghĩa không gian phức

Định nghĩa 1.1: Xét không gian Oclit n chiều chẵn R2n , các điểm của nó là các

bộ có thứ tự 2n số thực  x1, x 2n  Ta đưa vào trong đó cấu trúc phức bằng

cáchđặt z v  x v  ix nv (v  1, n) Ta thư ng kí hiệu x nv  y v nên

z v  x v  iy v (v  1, , n) Không gian mà điểm là những bộ n số phức (hữuhạn) z   z1, z n   z v  sẽ gọi là không gian phức n chiều và kí hiệu Đặc

biệt, khi n = 1, ta có là mặt phẳng số phức Có thể xem rằng, với n tùyý,

không gian là tích n mặt phẳng phức ⏟

.

1.1.2 Không gian phức chuẩn tắc

Định nghĩa 1.2: Cho E là một không gian vecto phức Một giả chuẩn p trên E

là một ánh xạ từ E vào tập các số thực không âm thỏa

mãn:

(i) p( ) p( ) p( ) với mọi a, b E

(ii) p( ) | |p( ) với mọi , với mọi a E

Giả chuẩn p trên E xác định một tôpô trên E (* p( ) + là mộtlân cận mở của )

Không gian vecto phức E cùng với tôpô định nghĩa như trên được gọi làmột không gian giả chuẩn tắc

Nếu p là một chuẩn trên E thì không gian phức E được gọi là không gian

phức chuẩn tắc.

Nói một cách khác, một không gian phức E là không gian phức chuẩn tắcnếu p thỏa mãn các điều kiện (i) và (ii) và điều kiện sau:

(iii) p( ) nếu và chỉ nếu a = 0.

1.1.3 Không gian phức khả quy

Định nghĩa 1.3: Một cặp ( ) được gọi là một không gian vành phức nếu:

1 X là một không gian tôpô;

2  là một bó -đại số địa phương trên X

Định nghĩa 1.4:Một không gian phức khả quy là một không gian vành phức

( ) mà có những tính chất sau:

1 X là một không gian Hausdorff;

2 Với mọi điểm có một lân cận mở ( ) và một tập giải tích

A sao cho ( | ) ( ( ))

(A nằm trong một tập mở B

một bó ideal của A)

):=(( /(A)|A, trong đó (A) là

Định nghĩa 1.6: Họ   (V i ,i ) của M được gọi là một tập bản đồ giải tích

(atlas) của M nếu các điều kiện sau được thỏa mãn

i) V i  là một phủ mở của M,

một cấu trúc khả vi phức trên M M cùng với cấu trúc khả vi phức trên nó được

gọi là một đa tạp phức n chiều.

Ví dụ: Cho D

bản đồ địa phương  D, Id D  .

t miền Khi đó, D là một đa tạp phức n chiều với

Định nghĩa 1.7: Cho U là một miền trong ập con V của U là

một đa tạp con nếu với mọi z trong U có một lân cận U

* ( ) ( ) +

Định nghĩa 1.9: Một tập A trong đa tạp phức  được gọi là một tập giải tích

(địa phương) nếu M là tập các không điểm chung của một họ hữu hạn các hàm chỉnh hình trong một lân cận của mỗi điểm của nó

Nhận xét:

n n

+ Mọi miền D là tập giải tích trong nhưng nó là tập con giải

tch trong chỉ khi D 

n n

U = {x

+ Mọi tập giải tích (địa phương) trên một đa tạp phức là tập con giải tích của một lân cận của nó

Định nghĩa 1.10: Một tập giải tích A được gọi là khả quy nếu tồn tại các tập

con giải tích sao cho:

1 ;

Nếu A không khả quy thì A được gọi là bất khả quy.

Định nghĩa 1.11: Tập con giải tích bất khả quy A của tập giải tch A được gọi

là thành phần bất khả quy của A nếu mọi tập con giải tch

Định nghĩa 1.12: Một hàm giá trị phức f xác định trên một tập con mở

D được gọi là chỉnh hình trên nếu với mỗi điểm w  D có một lân cận mở U, w U D sao cho hàm f có một khai triển thành chuỗi lũy thừa

1.4 Metric Hermit trên đa tạp phức

Định nghĩa 1.14: Cho E là một bó vecto phức C  trên một đa tạp (thực hoặc

phức) M Một cấu trúc Hermit hoặc metric Hermit h trên E là một C  trư ngcác tích trong Hermit của các thớ của E

Cho M là một đa tạp phức, g là một cấu trúc Hermit trên TM g được gọi

là một metric Hermit trên M

Một đa tạp phức M cùng với một metric Hermit g trên nó được gọi

là một đa tạp Hermit

1.5 Phủ

Định nghĩa 1.15: Cho X, Y là các đa tạp phức, A là một tập đóng địa phương

trên X và f : A  Y là ánh xạ hữu hạn, riêng, liên tục Bộ ba ( A, f ,Y ) được gọi một phủ giải tích trên Y nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:

số tự nhiên k sao choA \ f 1   là một đa tạp phức trong X và

f : A \ f 1    Y \  là một phủ k-tầng song chỉnh hình đại phương(tức f là một ánh xạ song chỉnh hình địa phương mà mỗi thớ của nó gồm

k điểm)

Một phủ giải tch thư ng được viết như là một ánh

1.6 Hàm đa điều hòa

Định nghĩa 1.16: Giả sử D là miền trong C Một xác định trên D

2h

được gọi là điều hòa nếuh : 4  0

z z trên D

Định nghĩa 1.17: Hàm u : D  ; )

nếu u thoả mãn hai điều kiện sau:

được gọi là điều hòa dưới trong miền D

h : G  R là điều hòa trong G và liên tục trong G ta có: nếu u  h

trên G thì u  h trên G

Ta có tiêu chuẩn điều hòa dưới sau:

Để hàm u nửa liên tục trên trong miền D là điều hòa dưới trong D cần và đủ

là với mỗi điểm z  D , tồn tại r0  z  

được gọi là đa điều hòa dưới nếu:

i)  là nửa liên tục trên và  không đồng nhất với  trên mọi thành

phần liên thông của G;

ii) Với mỗi z0  G và a  mà a  0 và với mỗi ánh xạ

 : z0  az , hàm  trên mỗi thành phần liên thông của

 (là các miền trong ) hoặc bằng

 hoặc là điều hòa dưới

Định nghĩa 1.19: Giả sử X là một không gian phức Hàm  : X  [  ; )

được gọi là hàm vét cạn nếu  1 [  ,

1.7 Dòng

Định nghĩa 1.20: Mỗi phần tử thuộc không gian đối ngẫu D ' mr  M



(hay còn

Định nghĩa 1.21: Cho  là các dòng trên một đa tạp phức, (  ) là khônggian đối ngẫu của (  ), (  ), T p,q xác định như sau:

 

Khi đó các dòng T p,q được gọi là các dòng song chiều  p, q  .

1.8 Miền giả lồi

Định nghĩa 1.22: Cho M là một đa tạp phức và D là một miền con của M D

được gọi là giả lồi tại y  D nếu có một lân cận U của y và một C 2

- hàm giátrị thực  xác định trên U sao cho:

với mọi t  0 , D được gọi là giả lồi

D được gọi là giả lồi Levi (chặt) nếu D là compact trong M và D giả lồi (chặt) tại mọi điểm y  D

1.9 Mặt cầu

Định nghĩa 1.23: Một mặt cầu (2-chiều) trong một đa tạp phức X là ảnh 

của hình cầu têu chuẩn qua một ánh xạ chỉnh hình từ lân cận của vào X sao cho  không tương ứng tới 0 trong X

f | k

Chương 2

SỰ THÁC TRIỂN CỦA CÁC ÁNH XẠ PHÂN HÌNH VỚI GIÁ TRỊ TRÊN NHỮNG ĐA TẠP PHỨC KHÔNG K HLER

2.1 Ánh xạ phân hình và không gian chu trình

2.1.1 Không gian chu trình gắn với một ánh xạ phân hình

Trong luận văn này, ta sẽ sử dụng khái niệm và kết quả nghiên cứu từ líthuyết không gian chu trình mà Barlet đã đưa ra (xem [3] hoặc [6]) Tất cả cáckhông gian phức trong luận văn đều được giả thiết là chuẩn tắc, khả quy và cóthể đếm được tại vô cực Tất cả các chu trình, nếu không nói gì thêm, được giảthiết là có giá liên thông

Định nghĩa 2.1: Một k-chu trình giải tch trong một không gian phức Y là tổng

Z   j n j Z j , trong đó Z j  là một dãy hữu hạn địa phương các tập con giải tch (k chiều thuần túy) và n j là các số nguyên dương được gọi là các bội số của Z j

Cho X là không gian phức chuẩn tắc, khả quy được trang bị metric Hermit.

Cho một ánh xạ chỉnh hình f :   A n k  r,1  X Ta sẽ bắt đầu với không

gian của các chu trình gắn với f Cố định hằng số dương C và xét tập C f ,C củatất cả các k-chu trình giải tích Z trong Y :  nk  X sao cho:

f A

r,1 k k

z

z

(b) ( ) và giá | | của Z là liên thông.

Ta đặt C f : và chỉ ra rằng C f là một không gian giải tích hữuhạn chiều trong một lân cận của mỗi điểm của nó

Cho Z là một chu trình giải tích k chiều trong một không gian phứcchuẩn tắc, khả quy Y Trong phần này, Y là nk  X Bằng một biểu đồ tọa

độ tương thích với Z, ta sẽ hiểu một tập mở V trong Y như là | | cùng

với một phép đẳng cấu j từ V vào một đa tạp con ̃ trong lân cận của   k qsao cho ( ̅ ) | | Ta sẽ kí hiệu biểu đồ như vậy bởi V , j 

Ảnh j  Z



của chu trình Z qua phép đẳng cấu j chính là ảnh của tập giải tích

cơ bản cùng với các bội Đôi khi, theo Barlet, ta sẽ kí hiệu: k  U ,  q  B và gọi bộ bốn E  V , j,U , B là thang tương thích với Z

Nếu pr : là phép chiếu tự nhiên, thì hạn chế

pr | j Z 

: j  Z   k là phủ rẽ nhánh bậc d Số q phụ thuộc vào số chiều nhúng

của Y (hoặc X trong trư ng hợp này) Thỉnh thoảng, ta sẽ bỏ qua j trong phần

trong đó, Sym d q là lũy thừa đối xứng thứ d của q

Điều này cho phép tabiểu diễn một chu

trình Z   k q với | | ( ̅ ) như đồ thị của mộtánh xạ chỉnh hình d giá trị

được gọi là một phủ tương thích.

Kí hiệu hợp WZ  Lấy phủ  V , j   đủ nhỏ, ta có thể giả thiết rằng: (a) Nếu , thì trên mỗi thành phần bất khả quy của giao

Z , một điểm x1 được cố định sao cho: c1



hoặc tồn tại một lân cận

đa trụ 1k k của pr j    x sao cho biểu đồ V  j     là thích

1 1 12 1 k q1 1

ứng với Z và được chứa trong V , trong đó

V12

được cho như phép nhúng j ,1

c2  hoặc điều này được thực hiện cho V2 1 thay vì V ;

có thể được thực hiện khi chiều nhúng

chiều nhúng của V , và c2  trong trư ng hợp ngược lại (xem [3], pp 91-92)

là tập giải tích Banach của mọi tập

con giải tích d-tầng trên U  B , chứa trong j Y  Các tập con WZ cùng vớitôpô hội tụ đều

trên

H U , sym d  B

 

xác định một (metric) tôpô trên không

gian chu trình C f , và tương đương với tôpô của các dòng (xem [6], [9])

có thể được thay thế bởi một (nhiều) cấu trúc giải tch

khác nhiều tnh chất hơn Không gian giải tch mới này sẽ được kí hiệu bằng

H Y U , sym d  B   Tính chất chính của cấu trúc mới này là họ hằng đúng

H Y U , sym d  B  U '  sym d 

B 

là đẳng hướng trong

H U ', sym d  B

 với bất kì đa đĩa compact tương đối Trên thực tế, các họ đẳng hướng

Z s : s  S được tham số hóa bởi các tập giải tch Banach theo định lí phépchiếu thay đổi của Barlet cố định

Định lý (Barlet): Nếu họZ : s  S H U , sym d  B

s Y

với bất kì thang E1  V1 , j1 ,U1 , B1



trong U  B tương thích với Z , tồn tại0

một lân cận U của0 s0 trong S sao cho Z s : s U s  là đẳng hướng trong V1 .

Điều này có nghĩa,trong trư ng hợp đặc biệt, ánh xạ:

đây được hiểu theo nghĩa là một lân cận trong không gian phức Banach, trong

đó S được xác định như một tập con giải tích

Định nghĩa2.2: Một họ Z của các chu trình giải tch trong một tập mở W Y , được tham số hóa bởi một không gian giải tch Banach S được gọi là giải tích trong một lân cận của s0  S nếu với mọi thang E tương thích với Z thì tồn tại0một lân cận U của s0 sao cho họ Z s : s U  là đẳng hướng.

2.1.2 Tính giải tích của C f và cách xây dựng G f

phủ hữu hạn V , j



thỏa mãn điều kiện (c) và (d) Đặt WZ  Ta cần chỉ

ra rằng C f là một không gian giải tch có số chiều hữu hạn trong một lân cậncủa Z Ta xét hai trư ng hợp của V :

Trường hợp 1: Với V như trong (d): Nếu y V với

Tất cả H là những tập mở trong những tập con giải tch Banach phức

và với V của trư ng hợp 1, H có số chiều n và trơn Từ định lí

Barlet-Mazet, ta có nếu h : A  S là đơn ánh chỉnh hình từ một tập giải tích hữu

hạn

chiều A vào một tập giải tích Banach S, thì

Banach hữu hạn chiều

h( A) cũng là một tập giải tích

x l

Với mọi thành phần bất khả quy của V , cố định một điểm

trên thành phần này (chỉ số dưới l biểu thị thành phần) và một đồ

thị

Vβ ⊃

1 2

V 1 2V   , thì trên mỗi thành phần bất khả quy của giao Z , một

điểm x1 được cố định sao cho:

c1  hoặc tồn tại một lân cận đa trụ 1 k k của pr j    x sao cho

1 1

đồ thị V  j 12 1 1 1 k  q là thích ứng với Z và được chứa trong 1 V , trong đó

V12được cho như phép

nhúng

j

1

c2  hoặc điều này được thực hiện cho V2 1 thay vì V

Đặt H l : H k , Sym d  l  p   Để thuận tiện hơn cho việc trình

bày,

từ đây ta sẽ đưa vào một thứ tự các phủ hữu hạn V  và viết V N

Xét các tích hữu hạn   H và  l  H l Trong tch thứ hai, ta chỉlấy bội ba với    Tích này là không gian giải tch Banach và theo định lí vềphép chiếu thay đổi của Barlet, với mỗi cặp    , ta có hai ánh xạ chỉnh hình

 : H  l H l  và  : H  l H l Hai ánh xạ này xác định haiánh xạ chỉnh hình ,  :  H    ,l H l Hạch A của cặp này, tức làtập h  h với  h   h , chứa các chu trình giải tích trong lân cận WZ

của Z Hạch này là tập giải tích Banach, và hơn nữa, họ A là một họ giải tích

trong WZ theo định nghĩa 1.1

ta xây dựng được một tập giải tích Banach A’ Ta có một ánh xạ chỉnh hình

K : A  A' xác định bởi ánh xạ hạn chế Vi phân dK  K của ánh xạ này là

một toán tử compact

α

Ta sẽ chỉ ra rằng có ánh xạ ngược giải tch F : A'  A Tính giải tích của

F , chính xác hơn, nó sẽ được xác định trong một số lân cận

của mỗi điểm của A’

như là một phần tử của H Điều này trực tiếp

xác định F trên toàn bộ H’ Tính giải tích là hiển nhiên

Đặt F :  F : A'  A F được xác định và giải tích trong một lân cận của mỗi điểm của A’ Hơn nữa, id - dKdF là Fredholm Vì

A' h   H ' : id  K F h 

đa tạp phức hữu hạn chiều

Do đó, C f là một không gian giải tích hữu hạn chiều trong một lân cậncủa mỗi điểm của nó.C f ,C là các tập con mở của C f Chú ý rằng C1  C2 , tập

hợp C f ,C1 là một tập con mở của C f ,C2 Điều này kéo theo với mỗi thành phần

bất khả quy K C của C f ,C có duy nhất một thành phần bất khả quy K của C f chứa K C và hơn thế nữa, K C là một tập con mở của K Tổng quát, số chiều của

các thành phần bất khả quy của C

f

không bị chặn và không gian C f là rất lớn

Kí hiệu G f là hợp của các thành phần bất khả quy của

C f mà chứa ít

nhất một chu trình bất khả quy hay nói cách khác, một chu trình có

với z  n

r

f

Kí hiệu Z f : Z a : a  C f  là họ phổ dụng Trong phần tiếp theo, kí hiệu

B k  X  là không gian Barlet các k-chu trình giải tích compact trong không gianphức X chuẩn tắc, khả quy

Bổ đề 2.2: Cho G f là hợp của các thành phần bất khả quy của C f mà chứa ít nhất một chu trình bất khả quy Khi đó:

1 Các chu trình bất khả quy tạo thành một tập con mở trù mật

0

G f

trong

2 Chiều của G f không lớn hơn n.

3 Nếu k  1 thì tất cả các thành phần bất khả quy, compact của các chu

(a) r q  K với mọi r;

(b) vol   C với mọi r;

Thì tồn tại một dãy con r

j  và một tập giải tích riêng A  q sao cho:

 hội tụ trên metric Hausdorff tới một tập con giải tích  của



q  X q chiều thuần túy;

(2)      , trong đó  là đồ thị của một vài ánh xạ phân hình

 : q  X và   là một tập con giải tích q-chiều thuần túy của q  X

được ánh xạ bởi phép chiếu p1 trên A;

 : C f  C f biến mỗi chu trình Z

thành một chu trình có được từ Z này bằng cách xóa tất cả các thành phần được

đánh dấu Ánh xạ  là một ánh xạ giải tch Mỗi chu trình bất khả quy rõ ràng

là một điểm cố định của  Do đó, tập hợp các điểm cố định là mở trong

  

Bây gi , ta sẽ chứng minh rằng mỗi điểm cố định Z của  là mộtgiới hạn của các chu trình bất khả quy Trong phần tiếp theo, chú ý rằng cáctch  : pev : Z f  nk và  : p ev  1 : C  n hoàn toàn xác định

Trong đó p :  nk  X   n là một phép chiếu tự nhiên và ev : Z  nk  X

là ánh xạ đánh giá tự nhiên Cho  Z   s 

2 Lấy Z  G0 , Z bất khả quy Lấy một lân cận V của Z,

V Re g G f chỉ bao gồm các chu trình bất khả quy Thì  |V :V   là nội

xạ và chỉnh hình Do đó dimG f  n

3 Vì mỗi chu trình từ G f đều là một giới hạn của các đĩa giải tch nên nếu

k  1 thì tất cả các thành phần bất khả quy compact của chu trình trong G f

là

C > 0 Z f ,C

Kí hiệu G f ,C là tập con mở của G f gồm có Z với vol  Z   C

Bây gi ,ta sẽ phát biểu và chứng minh bổ đề chính của bài, bổ đề 2.5

Từ gi trở đi, ta sẽ hạn chế họ phổ dụng Z f trên G f mà không thay đổi kí

hiệu Z f ,C : Z a : a G f ,C, Z f : và  : Z f  G f là phép chiếu tựnhiên Hơn nữa, Z f là không gian phức hữu hạn chiều Ta có một ánh xạ đánh

s0 trong V sao cho f thác triển phân hình tới V1  W1 .

Nhắc lại rằng, ta giả sử không gian phức X được trang bị metric Hecmit h.

Bổ đề 2.5: Cho X là một không gian phức, một ánh xạ chỉnh hình

2) Các khối của đồ thị của thác triển này bị chặn đều;

3) Tồn tại K compact , chứa f n  k r,1  và f k 

là khối cực tiểu của một tập con giải tích

compact k chiều trong K,   0 theo bổ đề 2.3 Kí hiệu W là tập con mở lớnnhất của n sao cho f thác triển phân hình

rằng S l 1 \ S là đa cực và theo định lí Josefson, S cũng đa cực Đặc biệt, .

Xét không gian giải tích

  c (1.3.3)

Trong đó 0  c  1 cố định Ở đây, C0 thỏa mãn vol  f   C0với mọi z  n

Từ đó, theo bổ đề 1.2, các chu trình của

hóa Harvey-Shiffman của định lí của Bishop Do đó  : G   o n là riêng