H10 c2 b3

Từ giá trị lượng giác của các góc đặc biệt đã cho trong bảng và tính chất trên, ta có thể suy ra giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt khác.Chẳng hạn: 22cos135 cos 180 45 cos45.. Ch

GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA

MỘT GÓC BẤT KỲ

1 Định nghĩa

Với mỗi gĩc a 0( 0£ £a 1800) ta xác định một điểm M trên nửa đường trịn

đơn vị sao cho ·xOM = và giả sử điểm M cĩ tọa độ a M x y( 0; 0)

Khi đĩ ta cĩ định nghĩa:

· sin của gĩc a là y kí hiệu 0, sina = y0;

· cosin của gĩc a là x kí hiệu 0, cosa = x0;

· tang của gĩc a là 0( )

0 0

0 ,

y x

0 ,

x y

y ¹ kí hiệu

0 0

1

tana 0 1

Trong bảng kí hiệu " "P để chỉ giá trị lượng giác không xác định

Chú ý Từ giá trị lượng giác của các góc đặc biệt đã cho trong bảng và tính

chất trên, ta có thể suy ra giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt khác.Chẳng hạn:

22cos135 cos 180 45 cos45

Cho hai vectơ ar và br đều khác vectơ 0.r Từ một điểm O bất kì ta vẽ OA auur=r

và OB buur=r. Góc ·AOB với số đo từ 00 đến 1800 được gọi là góc giữa hai vectơ ar

và .br Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ ar và br là ( )a br r, Nếu ( )a b =r r, 900 thì ta nói

rằng ar và br vuông góc với nhau, kí hiệu là a br^r hoặc b ar^r.

b) Chú ý Từ định nghĩa ta có ( ) ( )a br r, = b ar r,

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Vấn đề 1 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC Câu 1 Giá trị cos450+sin450 bằng bao nhiêu?

O

Câu 4 Tính giá trị biểu thức P =cos30 cos60 - sin30 sin60

Câu 6 Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?

A sin45O+cos45O= 2 B sin30O+cos60O=1

C sin60O+cos150O=0 D sin120O+cos30O=0

Câu 7 Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?

A sin0O+cos0O=0 B sin90O+cos90O=1

Câu 8 Trong các khẳng định sau đây, khẳng định nào sai?

A cos45O=sin45 O B cos45O=sin135 O

C cos30O=sin120 O D sin60O=cos120 O

Câu 9 Tam giác ABC vuông ở A có góc µ B =30 0 Khẳng định nào sau đây làsai?

Vấn đề 2 HAI GÓC BÙ NHAU – HAI GÓC PHỤ NHAU

Câu 11 Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

A sin 180( °- a)=- cos a B sin 180( °- a)=- sin a

C sin 180( °- a)=sin a D sin 180( °- a)=cos a

Câu 12 Cho a và b là hai góc khác nhau và bù nhau Trong các đẳng thức

sau đây, đẳng thức nào sai?

A sina=sin b B cosa=- cos b C tana=- tan b D cota=cot b

Câu 13 Tính giá trị biểu thức P =sin30 cos15° °+sin150 cos165 ° °

Câu 14 Cho hai góc a và b với a b+ =180° Tính giá trị của biểu thức

cos cos sin sin

A P =0 B P =1 C P =- 1 D P =2

Câu 15 Cho tam giác ABC Tính P=sin cosA (B C+ )+cos sinA (B C+ )

A P =0 B P =1 C P =- 1 D P =2.

Câu 16 Cho tam giác ABC Tính P=cos cosA (B C+ )- sin sinA (B C+ ).

A P =0 B P =1 C P =- 1 D P =2

Câu 17 Cho hai góc nhọn a và b phụ nhau Hệ thức nào sau đây là sai?

A sina=- cos b B cosa=sin b C tana=cot b D cota=tan b

Câu 18 Tính giá trị biểu thức S =sin 152 °+cos 202 °+sin 752 °+cos 1102 °

A S =0 B S =1 C S =2 D S =4

Câu 19 Cho hai góc a và b với a b+ =90° Tính giá trị của biểu thức

sin cos sin cos

A P =0 B P =1 C P =- 1 D P =2

Câu 20 Cho hai góc a và b với a b+ =90° Tính giá trị của biểu thức

cos cos sin sin

A P =0 B P =1 C P =- 1 D P =2

Vấn đề 3 SO SÁNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC

Câu 21 Cho a là góc tù Khẳng định nào sau đây là đúng?

A sina <0 B cosa >0 C tana <0 D cota >0

Câu 22 Cho hai góc nhọn a và b trong đó a< Khẳng định nào sau đây làb

sai?

A cosa<cos b B sina<sin b C cota>cot b D tana+tanb>0

Câu 23 Khẳng định nào sau đây sai?

A cos75°>cos50 ° B sin80°>sin50 °

C tan45°<tan60 ° D cos30°=sin60 °

Câu 24 Khẳng định nào sau đây đúng?

A sin90°<sin100 ° B cos95°>cos100 °

C tan85°<tan125 ° D cos145°>cos125 °

Câu 25 Khẳng định nào sau đây đúng?

A sin90°<sin150 ° B sin90 15° ¢<sin90 30 ° ¢

C cos90 30° ¢>cos100 ° D cos150°>cos120 °

Vấn đề 4 TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC Câu 26 Chọn hệ thức đúng được suy ra từ hệ thức cos2a+sin2a=1?

Câu 28 Cho biết tana =- 3 Giá trị của 6sin 7cos

Câu 33 Cho biết sina+cosa= Tính giá trị của sin cos a a a

A sin cosa a = a2 B sin cosa a =2 a

Vấn đề 5 GÓC GIỮA HAI VECTƠ

Câu 36 Cho O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều MNP Góc nào sau.đây bằng 120O?

A (MN NPuuuur uuur, ) B (MO ONuuur uuur, ) C (MN OPuuuur uur, ) D (MN MPuuuur uuur, )

Câu 37 Cho tam giác đều ABC Tính P=cos(AB BCuuur uuur, )+cos(BC CAuuur uur, )+cos(CA ABuur uuur, )

Câu 39 Tam giác ABC vuông ở A và có góc µ B =50 0 Hệ thức nào sau đây sai?

A (AB BC =uuur uuur, ) 130 0 B (BC AC =uuur uuur, ) 40 0

C (AB CB =uuur uur, ) 50 0 D (AC CB =uuur uur, ) 40 0

Câu 40 Tam giác ABC vuông ở A và có BC=2AC Tính cos(uuur uurAC CB, )

Câu 43 Tam giác ABC có góc A bằng 100o và có trực tâm .H Tính tổng

(HA HBuuur uuur, ) (+ HB HCuuur uuur, ) (+ HC HAuuur uuur, )

C cos(AC BA =uuur uuur, ) 0 D cos(AC BA =-uuur uuur, ) 1

Câu 45 Cho hình vuông ABCD tâm O Tính tổng (AB DCuuur uuur, ) (+ AD CBuuur uur, ) (+CO DCuuur uuur, )

Cho hai vectơ ar và br đều khác vectơ 0.r Tích vô hướng của ar và br là một

số, kí hiệu là ,abr r được xác định bởi công thức sau:

· Khi a br=r tích vô hướng aar r được kí hiệu là auur2 và số này được gọi là bình

phương vô hướng của vectơ ar

2 Các tính chất của tích vô hướng

Người ta chứng minh được các tính chất sau đây của tích vô hướng:

Với ba vectơ , , a b cr r r bất kì và mọi số k ta có:

3 Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trên mặt phẳng tọa độ (O i j; ; ,r r) cho hai vectơ ar=(a a1; 2), urb=(b b1; 2) Khi đótích vô hướng abr r là:

Độ dài của vectơ ar=(a a1; 2) được tính theo công thức:

2 2

1 2.

a r = a + a

b) Góc giữa hai vectơ

Từ định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra nếu ar=(a a1; 2) và( 1; 2)

ab a b ab

c) Khoảng cách giữa hai điểm

Khoảng cách giữa hai điểm A x y và ( A; A) B x y được tính theo công thức:( B; B)

.

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Vấn đề 1 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ

Câu 1 Cho ar và br là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ 0r Mệnh đềnào sau đây đúng?

A .abr r=a br r B .ab=r r 0 C .ab=-r r 1 D .abr r=- a br r

Câu 2 Cho hai vectơ ar và br khác 0r Xác định góc a giữa hai vectơ ar và br

khi abr r=- a br r

A a =180 0 B a =0 0 C a =90 0 D a =45 0

Câu 3 Cho hai vectơ ar và br thỏa mãn a =r 3, b =r 2 và a b =-rr 3 Xác định góc

a giữa hai vectơ ar và br

Câu 8 Gọi G là trọng tâm tam giác đều ABC có cạnh bằng a Mệnh đề nào

sau đây là sai?

Câu 9 Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a và chiều cao AH Mệnh đề

nào sau đây là sai?

A AH BC =uuur uuur. 0. B (AB HA =uuur uuur, ) 150 0 C . 2.

Câu 10 Cho tam giác ABC vuông cân tại A và có AB=AC= Tính a AB BCuuur uuur. .

A AB BCuuur uuur =- a2. B AB BCuuur uuur =a2 C 2 2

Câu 11 Cho tam giác ABC vuông tại A và có AB=c AC, =b Tính BA BCuuur uuur. .

A.BA BCuuur uuur =b2 B BA BCuuur uuur =c2 C BA BCuuur uuur =b2+c2 D.BA BCuuur uuur =b2- c2

Câu 12 Cho tam giác ABC có AB=2 cm, BC=3 cm, CA=5 cm Tính CA CBuur uur .

A CA CB =uur uur. 13. B CA CB =uur uur. 15. C CA CB =uur uur. 17. D CA CB =uur uur. 19.

Câu 13 Cho tam giác ABC có BC=a CA, =b AB, = Tính c P=(AB AC BCuuur uuur uuur+ )

-Câu 15 Cho ba điểm , , O A B không thẳng hàng Điều kiện cần và đủ để tích

vô hướng (OA OB ABuur uur uuur+ ) =0 là

A tam giác OAB đều B tam giác OAB cân tại O

C tam giác OAB vuông tại O D tam giác OAB vuông cân tại O

Câu 16 Cho M N P Q là bốn điểm tùy ý Trong các hệ thức sau, hệ thức nào, , , sai?

A MN NP PQuuuur uuur uuur( + )=MN NPuuuur uuur uuuur uuur +MN PQ B MP MNuuur uuuur. =- MN MPuuuur uuur. .

C MN PQuuuur uuur =PQ MNuuur uuuur D (MN PQ MNuuuur uuur uuuur uuur- )( +PQ)=MN2- PQ2.

Câu 17 Cho hình vuông ABCD cạnh a Tính AB ACuuur uuur

A AB ACuuur uuur =a2 B AB ACuuur uuur =a2 2 C . 2 2.

A AE ABuuur uuur =2 a2 B AE ABuuur uuur = 3 a2 C AE ABuuur uuur = 5 a2 D uuur uuurAE AB =5 a2

Câu 21 Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 2 Điểm M nằm trên đoạn thẳng

A MB MN =-uuur uuuur. 4. B MB MN =uuur uuuur. 0. C MB MN =uuur uuuur. 4. D MB MN =uuur uuuur. 16.

Câu 22 Cho hình chữ nhật ABCD có AB=8, AD= Tích 5 AB BDuuur uuur. .

A AB BD =uuur uuur. 62. B AB BD =uuur uuur. 64. C AB BD =-uuur uuur. 62. D uuur uuurAB BD =-. 64.

Câu 23 Cho hình thoi ABCD có AC = và 8 BD =6 Tính AB ACuuur uuur. .

A AB AC =uuur uuur. 24. B AB AC =uuur uuur. 26. C uuur uuurAB AC =. 28. D AB AC =uuur uuur. 32.

Câu 24 Cho hình bình hành ABCD có AB=8 cm, AD=12 cm, góc ·ABC nhọn

và diện tích bằng 54 cm Tính 2 cos(uuur uuurAB BC, )

Câu 25 Cho hình chữ nhật ABCD có AB= và a AD=a 2 Gọi K là trung

điểm của cạnh AD Tính BK ACuuur uuur. .

A BK AC =uuur uuur. 0. B BK ACuuur uuur =- a2 2 C BK ACuuur uuur =a2 2 D BK ACuuur uuur =2 a2

Cõu 27 Tỡm tập cỏc hợp điểm M thỏa món MB MA MB MCuuur uuur uuur uuur( + + )=0 với, ,

A B C là ba đỉnh của tam giỏc.

A một điểm B đường thẳng C đoạn thẳng D đường trũn.

Cõu 28 Cho tam giỏc ABC Tập hợp cỏc điểm M thỏa món MA BC =uuur uuur 0 là:

A một điểm B đường thẳng C đoạn thẳng D đường trũn Cõu 29* Cho hai điểm , A B cố định cú khoảng cỏch bằng a Tập hợp cỏc

điểm N thỏa món AN ABuuur uuur =2a2 là:

A một điểm B đường thẳng C đoạn thẳng D đường trũn Cõu 30* Cho hai điểm , A B cố định và AB = Tập hợp cỏc điểm M thỏa8.món MA MB =-uuur uuur. 16 là:

A một điểm B đường thẳng C đoạn thẳng D đường trũn Vấn đề 3 BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA TÍCH Vễ HƯỚNG HAI VECTƠ

Cho tam giỏc ABC với ba đỉnh cú tọa độ xỏc định A x y( A; A), B x y( B; B), C x y( C; C)thỡ

• Trung điểm I của đoạn ;

HBCA

ỡù =ùù

ắắđớù

=ùùợ

uuur uuuruuur uur

• Tõm đường trũn ngoại tiếp

ắắđ = = Û ớù

=ùợ

• Chõn đường cao K hạ từ đỉnh A AK BC. 0

uuur uuuruuur uuur

• Chõn đường phõn giỏc trong gúc A là điểm D DB AB.DC

• Gúc A: cosA=cos(AB ACuuur uuur, )

• Tam giỏc ABC vuụng cõn tại A AB AC. 0

ỡù =ù

ắắđớù

=ùợuuur uuur

Cõu 31 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(3; 1 , 2;10 , - ) B( ) C(- 4;2 )Tớnh tớch vụ hướng AB ACuuur uuur. .

A AB AC =uuur uuur. 40. B AB ACuuur uuur. =- 40. C uuur uuurAB AC =. 26. D uuur uuurAB AC. =- 26.Câu 32 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(3; 1- ) và B(2;10) Tínhtích vô hướng AOOBuuur uur .

A AOOB =-uuur uur. 4. B AOOB =uuur uur. 0. C uuur uurAOOB =. 4. D uuur uurAOOB =. 16.Câu 33 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ ar=4ir+6rj và br= -3 7 ir rj

Tính tích vô hướng abr r

A .ab=-r r 30 B .ab=r r 3 C .ab=r r 30 D .ab=r r 43

Câu 34 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a= -r ( 3;2) và b= - -r ( 1; 7 )

Tìm tọa độ vectơ cr biết ca=r r 9 và cb=-r r 20

Câu 36 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a= -r ( 1;1) và b=r (2;0)

Tính cosin của góc giữa hai vectơ ar và br

Câu 37 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a= -r ( 2; 1- ) và b=r (4; 3- )

Tính cosin của góc giữa hai vectơ ar và br

Câu 38 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a=r (4;3) và b=r ( )1;7 Tính

góc a giữa hai vectơ ar và br

A a =90 O B a =60 O C a =45 O D a =30 O

Câu 39 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai vectơ , x =ur (1;2) và ury = -( 3; 1- )

Tính góc a giữa hai vectơ xur và ury

A a =45 O B a =60 O C a =90 O D a =135 O

Câu 40 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ a=r (2;5) và b=r (3; 7- ).

Tính góc a giữa hai vectơ ar và br

A a =30 O B a =45 O C a =60 O D a =135 O

Câu 41 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ , a=r (9;3) Vectơ nào sau đây

không vuông góc với vectơ ar?

A v = -ur1 (1; 3 ) B v =ur2 (2; 6 - ) C v =ur3 ( )1;3 D v = -uur4 ( 1;3 )

Câu 42 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm , A(1;2 , ) B -( 1;1) và C(5; 1- ).

Tính cosin của góc giữa hai vectơ ABuuur và ACuuur.

D - - Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Hai góc ·BAD và ·BCD phụ nhau B Góc ·BCD là góc nhọn.

C cos(uuur uuurAB AD, )=cos(CB CDuur uuur, ) D Hai góc ·BAD và ·BCD bù nhau.

Câu 45 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ 1 5

Câu 49 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vectơ ur=(4;1 , ) vr=(1;4) và

a u mvr= +r r với mÎ ¡ Tìm m để a r vuông góc với trục hoành

A m= 4 B m=- 4 C m=- 2 D m= 2

Câu 50 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ u=r (4;1) và v=r (1;4 ) Tìm

m để vectơ a mu vr= .r r+ tạo với vectơ b ir= +r rj một góc 45 0

7.5

Câu 54 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ u =r (3;4) và v = -r ( 8;6).Khẳng định nào sau đây đúng?

Dæç-ççè ö÷÷÷ø Mệnh đề nào sau đây đúng ?

A ABuuur cùng phương với CDuuur. B uuurAB=CDuuur

C AB CDuuur^uuur. D AB CDuuur=uuur.

Câu 56 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho bốn điểm , A(7; 3 , 8;4 , 1;5- ) B( ) C( ) và(0; 2)

D - Khẳng định nào sau đây đúng?

A ACuuur^CBuur.

B Tam giác ABC đều.

C Tứ giác ABCD là hình vuông

D Tứ giác ABCD không nội tiếp đường tròn

Câu 57 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A(- 1;1 , 0;2 , 3;1) B( ) C( ) và(0; 2 )

D - Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Tứ giác ABCD là hình bình hành.

B Tứ giác ABCD là hình thoi.

C Tứ giác ABCD là hình thang cân.

D Tứ giác ABCD không nội tiếp được đường tròn.

Câu 58 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(- 1;1 , 1;3) B( ) và(1; 1)

C - Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A Tam giác ABC đều B Tam giác ABC có ba góc đều nhọn.

C Tam giác ABC cân tại B D Tam giác ABC vuông cân tại A

Câu 59 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(10;5 , 3;2) B( ) và(6; 5)

C - Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Tam giác ABC đều B Tam giác ABC vuông cân tại A

C Tam giác ABC vuông cân tại B D Tam giác ABC có góc A tù.

Câu 60 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(- 2; 1 , 1; 1- ) B( - )

và C -( 2;2) Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Tam giác ABC đều B Tam giác ABC vuông cân tại A

C Tam giác ABC vuông tại B D Tam giác ABC vuông cân tại C

Vấn đề 5 TÌM ĐIỂM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC

Câu 61 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A -( 2;4) và B(8;4) Tìm

tọa độ điểm C thuộc trục hoành sao cho tam giác ABC vuông tại C

A C(6;0) B C(0;0), C(6;0) C C(0;0) D C -( 1;0 )

Câu 62 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1;2) và B -( 3;1 ) Tìm tọa

độ điểm C thuộc trục tung sao cho tam giác ABC vuông tại A

A C(0;6) B C(5;0) C C( )3;1 D C(0; 6 - )

Câu 63 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(–4;0 , –5;0) B( ) và C(3;0)

Tìm điểm M thuộc trục hoành sao cho MA MB MCuuur uuur uuur+ + =0.r

A M(–2;0) B M(2;0) C M(–4;0) D M(–5;0)

Câu 64 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm M(–2;2) và N( )1;1. Tìm

tọa độ điểm P thuộc trục hoành sao cho ba điểm M N P thẳng hàng., ,

độ điểm C thuộc trục hoành sao cho C cách đều hai điểm A và B

Cæ öçççè ÷÷÷ø C

3

;0 5

Cæç-ççè ö÷÷÷ø D

3

;0 5

Cæ öçççè ÷÷÷ø

Câu 67 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2;2 ,) B(5; 2 - ) Tìm điểm

M thuộc trục hoàng sao cho · AMB =90 ?0

A M(0;1 ) B M(6;0 ) C M(1;6 ) D M(0;6 )

Câu 68 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A -(1; 1) và B(3;2 ) Tìm M

thuộc trục tung sao cho MA2+MB2 nhỏ nhất

A M(0;1 ) B M(0; 1 - ) C 0; 1

2

Mæ öçççè ø ÷÷÷ D

10; 2

11; 4

5 5

A æç-ççè - ÷ö÷÷ø C

3 1' ;

5 5

Aæç-ççè ö÷÷÷ø D

3 1' ;

Câu 76 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2;4) và B( )1;1 Tìm tọa

độ điểm C sao cho tam giác ABC vuông cân tại B