Bài toán ổn định và ổn định hóa đối với một số lớp phương trình vi phân bậc phân số

số [29, 37, 83].Lý thuyết định tính các phương trình vi phân nói chung, lý thuyết ổn địnhnghiệm nói riêng, là một hướng nghiên cứu quan trọng trong lý thuyết điềukhiển hệ thống, góp phần

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS.TS LÊ VĂN HIỆN

XUÂN HÒA, 2018

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, được hoànthành dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Lê Văn Hiện Luận án sử dụng một sốkết quả viết chung với tác giả khác và đã được sự nhất trí của các đồng tác giảkhi đưa vào luận án Các kết quả trình bày trong luận án là mới và chưa từngđược công bố trong bất kì luận văn, luận án nào khác

Tác giả

LỜI CẢM ƠN

Luận án này được thực hiện tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, dưới

sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS Lê Văn Hiện Tôi xin tỏ lòng biết ơn chânthành và sâu sắc tới thầy, PGS.TS Lê Văn Hiện, người đã định hướng, chỉ dẫnsát sao và tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu vàhoàn thành luận án này Sự chuyên nghiệp, nghiêm túc trong nghiên cứu vànhững định hướng đúng đắn của thầy là tiền đề quan trọng giúp tôi có đượcnhững kết quả trình bày trong luận án này

Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới PGS.TS TrầnĐình Kế, người luôn đồng hành, ủng hộ và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập

và làm nghiên cứu sinh

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, các cô trong khoa Toán, trường Đạihọc Sư phạm Hà Nội 2, đã tạo điều kiện thuận lợi và giúp đỡ tôi trong thời gianhọc tập và làm nghiên cứu tại Khoa Đồng thời, tôi cũng chân thành cảm ơncác bạn nghiên cứu sinh và các thành viên trong xemina Giải tích, khoa Toán,trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, xemina Phương trình vi phân và tích phân,trường Đại học Sư phạm Hà Nội, đã quan tâm, trao đổi và góp ý cho tôi trongquá trình học tập và làm luận án

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Sau đại học, trường Đạihọc Sư phạm Hà Nội 2, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trìnhhọc tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban Giám đốc Sở Giáo dục và Đào tạo

Hà Nội, các thầy giáo, cô giáo của trường THPT Ngô Quyền, Ba Vì, Hà Nội,

đã động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình làm nghiêncứu sinh

Đặc biệt, tôi thực sự hạnh phúc và tự hào khi được đại gia đình luôn ởbên, chia sẻ và động viên, là động lực để tôi cố gắng và hoàn thành luận án này

Tác giả

MỤC LỤC

Trang

Lời cam đoan 1

Lời cảm ơn 2

Kí hiệu 5

MỞ ĐẦU 6

1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 16

1.1 M-ma trận 16

1.2 Một số không gian hàm 17

1.3 Lý thuyết nửa nhóm 18

1.4 Giải tích bậc phân số 19

1.5 Ánh xạ đa trị và một số định lí điểm bất động 21

2 SỰ ĐỒNG BỘ CỦA MẠNG NƠRON HOPFIELD VỚI HỆ SỐ BIẾN THIÊN VÀ TRỄ TỈ LỆ 26

2.1 Mô hình mạng nơron Hopfield bậc phân số 26

2.2 Sự đồng bộ nghiệm 28

2.3 Ví dụ minh họa 33

2.4 Kết luận chương 2 35

3 NGHIỆM HÚT TOÀN CỤC CỦA BAO HÀM THỨC VI PHÂN BẬC PHÂN SỐ KIỂU SOBOLEV TRONG KHÔNG GIAN BANACH 36 3.1 Sự tồn tại nghiệm trên khoảng thời gian hữu hạn 36

3.2 Tập nghiệm hút toàn cục 49

3.3 Ứng dụng 57

3.4 Kết luận chương 3 62

4 ỔN ĐỊNH HÓA MỘT SỐ LỚP HỆ DƯƠNG BẬC PHÂN SỐ DẠNG KẾT NỐI BẰNG ĐIỀU KHIỂN PHÂN QUYỀN 63

4.1 Hệ dương bậc phân số dạng kết nối 63

4.1.1 Mô tả hệ 63

4.1.2 Tính ổn định 65

4.1.3 Thiết kế điều khiển 67

4.1.4 Ví dụ minh họa 69

4.2 Tính ổn định và ổn định hóa vững của hệ điều khiển bậc phân số dạng kết nối với nhiễu dạng khoảng và trễ không đồng nhất 71

4.2.1 Hệ điều khiển bậc phân số dạng kết nối có trễ 71

4.2.2 Điều kiện hệ dương 72

4.2.3 Phân tích tính ổn định 75

4.2.4 Thiết kế điều khiển 77

4.2.5 Một số ví dụ minh họa 80

4.3 Kết luận chương 4 83

Kết luận chung 85

Danh mục công trình công bố 87

TÀI LIỆU THAM KHẢO 87

Rn Không gian Euclide n chiều

Rm×n Tập hợp các ma trận cấp m × n

A⊤ Ma trận chuyển vị của ma trận A

[A] ij Phần tử tại dòng i và cột j của ma trận A

A  0 Ma trận không âm, tức là [A] ij ≥ 0 với mọi i, j

A ≻ 0 Ma trận dương, tức là [A] ij > 0 với mọi i, j

x  y x i ≥ y i , ∀i ∈ [n], với x = (x i ) ∈Rn và y = (y i ) ∈Rn

Rn

+ Orthant dương {x ∈Rn : x  0}

λ(A) Tập hợp các giá trị riêng của ma trận A

λ max (A), λ min (A) max {Reλ : λ ∈ λ(A)}, min {Reλ : λ ∈ λ(A)}

LMIs Các bất đẳng thức ma trận tuyến tính

LP Bài toán quy hoạch tuyến tính

Ck(Ω) Không gian các hàm khả vi liên tục cấp k trong miền Ω

Lp(Ω) Không gian các hàm lũy thừa bậc p khả tích Lebesgue

trong miền Ω

L∞(Ω) Không gian các hàm đo được bị chặn hầu khắp trên Ω

Lploc(Ω), 1 ≤ p < ∞ Không gian các hàm lũy thừa bậc p khả tích địa phương

trên Ω PC([0, T ]; X) Không gian các hàm liên tục từng khúc trên [0, T ]

PC 0 Không gian các hàm liên tục từng khúc trên [0, ∞)

dần tới 0 khi t → ∞

D0αf (t) Đạo hàm Caputo bậc α của hàm f (t)

RL D0αf (t) Đạo hàm Riemann-Liouville bậc α của hàm f (t)

số [29, 37, 83].

Lý thuyết định tính các phương trình vi phân nói chung, lý thuyết ổn địnhnghiệm nói riêng, là một hướng nghiên cứu quan trọng trong lý thuyết điềukhiển hệ thống, góp phần giải quyết nhiều vấn đề đặt ra trong thực tiễn ứngdụng từ cơ học, vật lý, hóa học, công nghệ thông tin đến các mô hình trong sinhthái học quần thể, kinh tế và môi trường Đối với các hệ vi phân bậc nguyên,hướng nghiên cứu về ổn định nghiệm đã ghi nhận nhiều thành tựu quan trọng

cả về lý thuyết và ứng dụng Tuy nhiên, đối với các hệ vi phân bậc phân số,các kết quả nghiên cứu về tính ổn định vẫn rất khiêm tốn Khó khăn chính làcác phương pháp và cách tiếp cận đã được phát triển cho lớp hệ vi phân bậcnguyên thường không còn hiệu lực, đặc biệt là đối với các hệ vi-tích phân bậcphân số trong các không gian vô hạn chiều Chính vì vậy, vấn đề nghiên cứutính ổn định và ứng dụng trong các bài toán điều khiển đối với lớp hệ vi phânbậc phân số đang là một chủ đề thu hút sự quan tâm rất lớn từ cộng đồng cácnhà nghiên cứu trong và ngoài nước Một số kết quả nghiên cứu về định tính

đối với các phương trình vi phân bậc phân số đã được công bố gần đây như sựtồn tại nghiệm và nghiệm phân rã kiểu tích phân [2, 40, 41] hay tính điều khiểnđược, điều khiển được xấp xỉ [44, 70, 71] Các nghiên cứu về tính ổn định và ổnđịnh hóa cũng đã được phát triển cho các hệ vi phân và điều khiển bậc phân sốtrong các không gian hữu hạn chiều [5, 15, 46, 49–51, 74] Trong các kết quả nóitrên, phương pháp hàm Lyapunov đã được phát triển thích ứng với nhiều lớp hệ

vi phân bậc phân số [14,33,50] Nói riêng, đối với lớp hệ tuyến tính dừng (hệ sốhằng) có trễ và một số biến thể của nó như hệ tuyến tính có nhiễu dạng cấu trúchoặc nhiễu phi tuyến, cách tiếp cận rất phổ biến trong nghiên cứu tính ổn định

và ổn định hóa là sử dụng phương pháp hàm Lyapunov–Krasovskii để thiết lậpcác điều kiện ổn định và ổn định hóa thông qua các điều kiện đại số dạng cácbất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMIs) [10] Tuy nhiên, cách tiếp cận nói trênchỉ phù hợp và hiệu quả đối với các hệ động lực mô tả bởi hệ phương trình viphân bậc nguyên trong không gian hữu hạn chiều Việc phát triển các kết quảnghiên cứu tương tự cho các hệ vi phân bậc phân số trong các không gian vô hạnchiều gặp rất nhiều khó khăn, đặc biệt trong việc ước lượng đạo hàm bậc phân

số Chính vì vậy, các kết quả nghiên cứu về dáng điệu tiệm cận của nghiệm đốivới các hệ phương trình vi-tích phân bậc phân số, nhất là trong trường hợp hệ

vô hạn chiều, vẫn còn rất khiêm tốn Nhiều vấn đề mở trong hướng nghiên cứu

về lý thuyết định tính và dáng điệu tiệm cận nghiệm nói chung, tính ổn định và

ổn định hóa nói riêng, đối với các hệ động lực mô tả bởi hệ phương trình vi-tíchphân bậc phân số, cả trong trường hợp hữu hạn và vô hạn chiều, cần tiếp tụcđược nghiên cứu và hoàn thiện Đó cũng là lí do và là động lực chính chúng tôichọn chủ đề nghiên cứu về tính ổn định và ổn định hóa của các phương trình viphân và điều khiển bậc phân số

2 Đối tượng và nội dung nghiên cứu

2.1 Sự đồng bộ của mạng nơron dạng Hopfield với hệ số biến thiên và trễ tỉ lệ

Nhiều mô hình trong thực tiễn đời sống được mô tả bởi các hệ phương trình

vi phân có trễ Các ví dụ tiêu biểu cho những mô hình như thế có thể tìm thấy

trong cơ học, điều khiển tự động, các mạng viễn thông, các quá trình vật lí, hóahọc hay sinh học Một mặt, sự xuất hiện của các độ trễ đó làm thay đổi đáng kểdáng điệu nghiệm của hệ so với mô hình hệ không có trễ tương ứng, thậm chílàm mất tính ổn định của hệ [65] Mặt khác, vấn đề nghiên cứu các tính chấtđịnh tính các hệ có trễ khó khăn hơn rất nhiều so với các hệ vi phân thường bởitính vô hạn chiều của không gian pha Chính vì vậy, vấn đề nghiên cứu tính ổnđịnh và ổn định hóa các hệ có trễ là bài toán có ý nghĩa thực tiễn, đã và đangđược nhiều tác giả quan tâm trong những năm gần đây (xem [19, 31, 48, 59, 75]

và các tài liệu trích dẫn ở đó)

Trong hai thập kỷ gần đây, các hệ động lực có cấu trúc mạng nơron đãđược nghiên cứu và ứng dụng thành công trong nhiều lĩnh vực như xử lý tínhiệu, nhận dạng mẫu, ước lượng tham số và đặc biệt trong lĩnh vực về trí tuệnhân tạo [27,56,68] Trong các mô hình đó, việc đảm bảo tính ổn định của mạngnơron được thiết kế là hết sức quan trọng [79] Mặt khác, trong mô hình các hệnơron, yếu tố trễ truyền tải là không tránh khỏi do quá trình xử lý và truyềntín hiệu qua các kênh với băng thông hạn chế Sự xuất hiện của trễ thời gianthường dẫn đến hiệu suất kém và nguy cơ làm mất tính ổn định của mạng [6].Trong vài năm gần đây, vấn đề nghiên cứu tính ổn định hay tổng quát hơn làtính chất đồng bộ của các mô hình mạng nơron có trễ mô tả bởi các hệ vi phân

cả bậc nguyên và bậc phân số đã thu hút sự quan tâm của nhiều tác giả Đểliệt kê một số kết quả, chúng tôi giới thiệu độc giả các công trình công bố gầnđây [17, 18, 67, 69, 76] và các tài liệu trích dẫn ở đó Trong các công trình đãcông bố, tính ổn định hay đồng bộ mới chỉ được nghiên cứu cho một số mô hìnhmạng nơron với trọng số kết nối các nơron là hằng và trễ bị chặn Mặt khác,trong các mô hình mạng nơron có trễ, mô hình với trễ tỉ lệ được sử dụng rấtphổ biến [81] Chẳng hạn, với cấu trúc một mạng nơron có nhiều tầng (layers),quá trình xử lý và truyền tín hiệu giữa các tầng thường được mô tả bằng các tínhiệu trễ mà thời gian trễ tỉ lệ với thời gian hiện tại Về dáng điệu tiệm cận, trễ

tỉ lệ thuộc lớp trễ biến thiên không bị chặn, tăng trưởng tỉ lệ với khoảng thờigian Bởi vậy, việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm các mô hình mạngnơron có trễ tỉ lệ thường gặp nhiều khó khăn [30] Đến nay, chúng tôi chưa tìmthấy một kết quả nghiên cứu nào đề cập đến tính ổn định hay tính đồng bộ của

mô hình mạng nơron mô tả bởi hệ phương trình vi phân bậc phân số với trễ tỉ

lệ Trong Chương 2 của luận án này, dựa trên bài báo [1] trong Danh mục côngtrình công bố, chúng tôi nghiên cứu tính đồng bộ với tốc độ hội tụ kiểu đa thứccho mô hình mạng nơron Hopfield với hệ số kết nối biến thiên chứa đa trễ tỉ lệdạng sau đây

và x(t) ˜ của (0.1) thỏa mãn đánh giá

vi phân trong không gian hữu hạn chiều đã được nghiên cứu từ khá sớm Cáckết quả về tính giải được và cấu trúc tập nghiệm đã được trình bày một cách

hệ thống trong các chuyên khảo [3,21] Bao hàm thức vi phân bậc nguyên trongkhông gian Banach và ứng dụng của nó cũng đã được nghiên cứu [39,66] TrongChương 3, dựa trên bài báo [2] trong Danh mục công trình công bố, chúng tôinghiên cứu bài toán Cauchy suy rộng đối với lớp bao hàm thức vi phân bậc

phân số kiểu Sobolev sau đây

D0αBu(t) ∈ Au(t) + F (t, u(t)), t 6= t k , t k ∈ (0, +∞), k ∈ Λ, (0.4a)

ở đó α ∈ (0, 1), A, B là các toán tử tuyến tính đóng không bị chặn trong khônggian Banach X và F (.) là một ánh xạ phi tuyến đa trị, I k (.) là hàm trạng tháixung tại thời điểm nhảy t k và g(.) là hàm biểu thị điều kiện đầu không cục bộ

Sự tồn tại, duy nhất và dáng điệu tiệm cận nghiệm của các phương trình

vi phân, phương trình đạo hàm riêng với điều kiện không cục bộ đã được nghiêncứu trong vài thập kỉ gần đây Trong thực tiễn, điều kiện không cục bộ thườngcho những mô tả tốt hơn so với điều kiện ban đầu cổ điển Ví dụ, các điều kiện

k(s)u(s)ds, b > 0, k(.) là một hàm thực,

cho phép ta thêm các đo đạc tại các thời điểm khác thời điểm ban đầu Kếtquả đầu tiên và ý nghĩa vật lí của bài toán với điều kiện không cục bộ có thểxem trong [13] Các phương trình vi phân với điều kiện không cục bộ đã đượcnghiên cứu bởi nhiều tác giả, điển hình là các kết quả [20, 34, 52, 83, 84] Mặtkhác, điều kiện xung được sử dụng để mô tả các hệ động lực có sự thay đổitrạng thái đột ngột tại một số thời điểm, thường gặp trong nhiều mô hình vật

lí, kĩ thuật Một số kết quả cơ bản về phương trình vi phân có xung có thể thamkhảo trong [45, 62]

Nghiên cứu các phương trình kiểu Sobolev có thể tìm thấy trong nhữngcông trình của Barenblat và các cộng sự [7], ở đó các tác giả đề xuất mô hìnhtoán học (các phương trình trong không gian trạng thái) mô tả sự rò rỉ của chấtlỏng đồng nhất trong khe đá nứt được cho bởi

∂ t [u(x, t) − ∂ x2u(x, t)] = ∂2xu(x, t).

Dựa trên các phép tính giải tích bậc phân số [54], mô hình trên được tổng quáthoá thành phương trình/bao hàm thức vi phân bậc phân số

Liên quan tới hệ (0.4a)-(0.4c), sự xuất hiện của ánh xạ phi tuyến đa trị F

là động cơ cho nhiều bài toán đối với các phương trình vi phân thường với vếphải không liên tục [26], các bất đẳng thức biến phân [57] hay điều khiển phảnhồi [39] Một câu hỏi quan trọng liên quan tới bài toán (0.4a)-(0.4c) là về dángđiệu tiệm cận của nghiệm khi thời gian đủ lớn Cần chú ý thêm rằng lý thuyếttập hút toàn cục (chẳng hạn, xem [16]) không thể áp dụng cho bài toán này vìthiếu tính chất nửa nhóm của toán tử nghiệm Thêm nữa, phương pháp hàmLyapunov để phân tích tính ổn định của nghiệm cũng không phù hợp do cáckhó khăn trong tính toán và ước lượng đạo hàm bậc phân số, thậm chí ngay cảtrong trường hợp hữu hạn chiều

Trong nội dung nghiên cứu này, chúng tôi sử dụng cách tiếp cận bằng lýthuyết điểm bất động dựa trên ý tưởng mà Burton và Furumochi đề xuất [11,12]

Sử dụng cách tiếp cận này, chúng tôi xây dựng một độ đo không compact chínhquy và áp dụng lý thuyết điểm bất động đối với ánh xạ đa trị nén Từ đó chúngtôi chứng minh sự tồn tại của một tập compact khác rỗng các nghiệm hút toàncục đối với bài toán (0.4a)-(0.4c) Một áp dụng đối với các phương trình đạohàm riêng bậc phân số cũng được trình bày để minh họa cho kết quả nhận được

2.3 Ổn định hóa bằng điều khiển phản hồi phân quyền một số lớp hệ dương bậc phân số dạng kết nối

Thuật ngữ hệ kết nối (interconnected systems) thường được sử dụng để chỉcác hệ điều khiển được cấu thành từ hai hay nhiều hệ đơn lẻ hoạt động đồngthời và ảnh hưởng lẫn nhau thông qua các kênh kết nối (interconnections) Đểminh họa, ta xét mô hình hệ kết nối trong điều khiển tần số hệ thống điện (chitiết, mời độc giả xem trong [60]) bao gồm N khu vực sử dụng điện năng Ở mỗikhu vực, mô hình điều khiển được mô tả bởi hệ điều khiển tuyến tính dưới đây

mà ta gọi là hệ địa phương (local systems)

˙x i (t) = A ii x i (t) + B i u i (t) + Γ i d i (t), i = 1, 2, , N, (0.5)

ở đó x i (t) ∈Rn i là vectơ trạng thái (tần số) ở khu vực thứ i, u i (t)là tín hiệu điềukhiển và d i (t) là nhiễu đầu vào Các khu vực sử dụng điện được kết nối bằngcác đường truyền tải (tie-line) tạo thành một hệ thống điều khiển dạng kết nối

được mô tả bởi hệ

u(t), (u1(t), u2(t), , uN(t))⊤= Kx(t). (0.7)Trong thực tế, kĩ thuật điều khiển trung tâm dạng (0.7) thường kém hiệu quả,nhất là với các hệ có quy mô lớn (large-scale systems), do các yếu tố kĩ thuậttrong đo đạc, truyền và xử lí tín hiệu [4] Điều khiển phân quyền dựa trên các

bộ điều khiển dạng

u i (t) = K i x i (t), i = 1, 2, , N, (0.8)

ở đó trạng thái của khu vực iđược sử dụng như tín hiệu phản hồi để điều khiểnkhu vực đó Kĩ thuật điều khiển này có nhiều ưu điểm trong lắp đặt và vậnhành Tuy nhiên, về mặt lý thuyết, thiết kế các bộ điều khiển phân quyền ổnđịnh hóa toàn hệ thống khó khăn hơn rất nhiều so với việc thiết kế điều khiểndạng trung tâm Chính vì vậy, vấn đề nghiên cứu ổn định hóa các hệ điều khiểndạng kết nối bằng kĩ thuật điều khiển phân quyền thu hút sự quan tâm củanhiều tác giả với nhiều kết quả quan trọng đối với các hệ điều khiển bậc nguyên

đã được công bố Gần đây, hướng nghiên cứu này cũng đã được phát triển chomột số lớp hệ điều khiển bậc phân số Chẳng hạn, bài toán ổn định hóa và điềukhiển H ∞ bằng điều khiển phản hồi trạng thái dạng phân quyền đã được xétcho một số lớp hệ điều khiển tuyến tính bậc phân số chứa tham số không chắcchắn trong [47, 53] Dựa trên điều kiện ổn định của hệ vi phân tuyến tính bậcphân số, các điều kiện thiết kế được thiết lập thông qua các bất đẳng thức matrận tuyến tính Trong phần thứ nhất của Chương 4 của luận án này, dựa trênbài báo [3] trong Danh mục công trình công bố, chúng tôi nghiên cứu bài toán

ổn định hóa các hệ dương tuyến tính dạng kết nối mô tả bởi hệ phương trình vi

phân bậc phân số sau đây sau đây

ổn định hóa của hệ một cách hiệu quả bằng nhiều công cụ giải số Trong phầnsau của chương, dựa trên bài báo [4] trong Danh mục công trình công bố, chúngtôi mở rộng nghiên cứu tính ổn định hóa bền vững bằng điều khiển phân quyềnđối với lớp hệ dương bậc phân số chứa trễ và tham số không chắc chắn

ở đó τ ij (t) là độ trễ trạng thái trong liên kết giữa hệ địa phương thứ i và thứ j,

0 ≤ τ ij (t) ≤ τi+ Dựa trên tính chất đơn điệu cảm sinh bởi tính dương của hệ, cácđiều kiện ổn định và ổn định hóa vững đối với (0.10) cũng được chúng tôi thiếtlập thông qua các bài toán LP Các điều kiện này là cần và đủ trong trường hợpcác ma trận hệ số biết chắc chắn

3 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu sử dụng trong luận án là sự kết hợp của một

số phương pháp trong giải tích hàm phi tuyến, giải tích bậc phân số, giải tích

đa trị, lý thuyết ổn định Lyapunov, lý thuyết điểm bất động và lý thuyết nửanhóm toán tử Chẳng hạn, khi nghiên cứu nội dung 1, dựa trên các biễu diễn

tích phân bậc phân số và quy tắc Leibniz đối với đạo hàm bậc phân số, chúngtôi phát triển kĩ thuật so sánh kiểu Lyapunov-Razumikhin để tìm kiếm các điềukiện đồng bộ của hệ Trong một số trường hợp đặc biệt, các điều kiện đó đượcxác định bởi tính chất phổ của các M-ma trận Đối với nội dung 2, lý thuyếtnửa nhóm, giải tích đa trị và giải tích bậc phân số được sử dụng trong việc biểudiễn các công thức nghiệm của bài toán Từ đó, lý thuyết độ đo không compact

và lý thuyết điểm bất động được vận dụng để nghiên cứu sự tồn tại nghiệm vànghiệm hút toàn cục

4 Kết quả đạt được của luận án

Luận án đã đạt được các kết quả sau đây:

1 Thiết lập được các điều kiện đồng bộ với tốc độ lũy thừa cho một lớp hệphương trình vi phân bậc phân số với hệ số biến thiên mô tả mô hình mạngnơron Hopfield với trễ tỉ lệ

2 Chứng minh được sự tồn tại nghiệm trên các đoạn compact và sự tồn tạinghiệm hút toàn cục cho lớp các bao hàm thức vi phân bậc phân số chứaxung với điều kiện đầu không cục bộ

3 Đưa ra các điều kiện cần và đủ cho tính ổn định và ổn định hóa bằng điềukhiển phân quyền đối với hai lớp hệ điều khiển bậc phân số dạng kết nối.Các điều kiện ổn định và ổn định hóa đó được thiết lập thông qua các bàitoán quy hoạch tuyến tính, cho phép ta có thể kiểm tra một cách hiệu quảbằng nhiều công cụ tính toán dựa trên các thuật toán lồi

Các kết quả trên đây của luận án được công bố trong 04 bài báo trên cáctạp chí quốc tế có uy tín (trong danh mục ISI) và đã được báo cáo tại:

• Xemina Giải tích, Bộ môn Giải tích, khoa Toán, trường Đại học Sư phạm

Hà Nội 2

• Xemina Phương trình vi phân và tích phân, Bộ môn Giải tích, khoa Tin, trường Đại học Sư phạm Hà Nội

Toán-• Xemina Phòng Tối ưu và Điều khiển, Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoahọc và Công nghệ Việt Nam.

5 Cấu trúc của luận án

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục công trình công bố và tài liệutham khảo, luận án gồm 4 chương

• Chương 1 là phần kiến thức chuẩn bị, ở đó chúng tôi trình bày một số kiếnthức cơ sở về giải tích bậc phân số, giải tích đa trị, một số định lí điểm bấtđộng, lý thuyết nửa nhóm và một số kết quả bổ trợ cho việc trình bày nộidung các chương sau của luận án

• Chương 2 nghiên cứu tính đồng bộ của mạng nơron Hopfield bậc phân sốvới hệ số biến thiên và trễ tỉ lệ không đồng nhất

• Chương 3 trình bày các kết quả nghiên cứu về lớp bao hàm thức vi phânbậc phân số kiểu Sobolev trong không gian Banach vô hạn chiều

• Chương 4 nghiên cứu bài toán thiết kế điều khiển phản hồi phân quyền đốivới hai lớp hệ dương tuyến tính dạng kết nối mô tả bởi hệ phương trình viphân bậc phân số

λ(A) ⊂C−, và là M-ma trận nếu a ij ≤ 0 với mọii 6= j và các phần tử trên đườngchéo chính của A là dương.

Mệnh đề 1.1.1 ([8], Chương 6) Cho A ∈ Rn×n là một ma trận Metzler Cáckhẳng định sau là tương đương:

(i) A là ma trận Hurwitz;

(ii) Tồn tại một vectơ ζ ∈Rn, ζ ≻ 0, thỏa mãn ζ⊤A ≺ 0;

(iii) Tồn tại một vectơ η ∈Rn, η ≻ 0, sao cho Aη ≺ 0;

(iv) A là một ma trận không suy biến thỏa mãn A−1  0

Mệnh đề 1.1.2 ([8], Chương 6) Cho A = (a ij ) là một M-ma trận Các khẳngđịnh sau là tương tương:

(i) A là M-ma trận không suy biến;

(ii) Reλ k (A) > 0 với mọi giá trị riêng λ k (A) của A;

(iii) Tồn tại một ma trận B  0 và một số thực s > ρ(B) sao cho A = sI n − B, ở

.

Chú ý rằng Lp(Ω) là một không gian Banach phản xạ khi 1 < p < ∞

L∞(Ω) là không gian các hàm đo được bị chặn hầu khắp trên Ωvới chuẩn

kuk L ∞ (Ω) ,esssupx∈Ω|u(x)|.

Lploc(Ω), 1 ≤ p < ∞, là không gian các hàm khả tích Lebesgue địa phươngbậc p trên Ω,

Lploc(Ω) ,{f : f ∈ Lp(K) với mọi tập compact K ⊂ Ω}.

Cho (X, k · k X ) là một không gian Banach Trong luận án này chúng tôi sửdụng các không gian hàm sau đây

C([a, b]; X) là không gian các hàm liên tục từ [a, b] vào X với chuẩn

kuk C([a,b];X) := sup

t∈[0,T ] ku(t)k X

Cho trước T > 0, chúng tôi kí hiệu PC([0, T ]; X) là không gian các hàm

u : [0, T ] → X liên tục trên [0, T ] trừ một dãy điểm {t k : k ∈ Λ} và với mỗi t k,

k ∈ Λ, tồn tại các giới hạn

u(t−k) = lim

t→t − k

u(t), u(t+k) = lim

Không gian PC([0, ∞); X) được định nghĩa tương tự PC([0, T ]; X) khi T = ∞ và

PC 0 = {u ∈ PC([0, ∞); X)| lim t→∞ u(t) = 0 } với chuẩn kuk∞ = supt≥0ku(t)k Khi

đó, PC 0 là một không gian Banach

Lp(a, b; X) là không gian các hàm u : (a, b) → X sao cho

Định nghĩa 1.3.2 ([58], Định nghĩa 1.1) Một toán tử tuyến tính A được gọi làtoán tử sinh của nửa nhóm {S(t)}t≥0 nếu Ax = lim t→0S(t)x−xt với mọi x ∈ D(A),

ở đó D(A) = {x ∈ X|∃ lim t↓0 S(t)x−xt } là miền xác định của toán tử A

Định nghĩa 1.3.3 ([58], Định nghĩa 2.1) Nửa nhóm {S(t)}t≥0 được gọi là nửanhóm liên tục mạnh, C 0-nửa nhóm, nếu lim t→0 S(t)x = x với mọi x ∈ X

Định lí 1.3.1 ([58], Hệ quả 2.5) Giả sử Alà toán tử sinh của một C 0-nửa nhóm.Khi đó, A là một toán tử tuyến tính đóng và xác định trù mật

Định lí 1.3.2 ([58], Định lí 2.2) Giả sử {S(t)}t≥0 là một C 0-nửa nhóm Khi đó,tồn tại các hằng số ω và M ≥ 1 sao cho

kS(t)k ≤ Meωt, ∀t ≥ 0.

Nếu ω < 0 thì nửa nhóm {S(t)}t≥0 được gọi là ổn định mũ Nếu ω ≤ 0,

M = 1 thì nửa nhóm {S(t)}t≥0 được gọi là nửa nhóm co

Định lí 1.3.3 ([58], Định lí 5.3) Một toán tử tuyến tính A trên không gian nach X là toán tử sinh của một C 0-nửa nhóm {S(t)}t≥0 thỏa mãn kS(t)k ≤ Meωt

Ba-với các hằng số M ≥ 1 và ω ∈R nếu và chỉ nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn(1) A là toán tử tuyến tính đóng với miền xác định D(A) trù mật trong X;(2) Tập giảiρ(A)chứa tập{λ ∈C : Reλ > ω }và toán tử giảiR(λ, A) = (λI −A)−1

thỏa mãn điều kiện Hille-Yosida

kR(λ, A)nk ≤ M

(λ − ω) n

Định nghĩa 1.3.4 ([24], Định nghĩa 4.17; [58], Định nghĩa 4.1) Một C 0-nửanhóm {S(t)}t≥0 được gọi là

(a) nửa nhóm liên tục theo chuẩn nếu ánh xạ t 7→ S(t) liên tục tại mọi t > 0

theo chuẩn trongL(X);

(b) nửa nhóm khả vi nếu với mỗi x ∈ X ánh xạ t 7→ S(t)x khả vi tại mọi t > 0;(c) nửa nhóm compact nếu S(t) là toán tử compact với mọi t > 0

1.4 Giải tích bậc phân số

ChoX là một không gian Banach vàL1(0, T ; X)là không gian các hàm khảtích trên đoạn [0, T ] theo nghĩa Bochner

Định nghĩa 1.4.1 ([42], trang 69) Cho trước số thực α > 0, tích phân bậc α

của hàm f ∈ L 1 (0, T ; X) được định nghĩa bởi

I0αf (t) = 1

Γ(α)

Z t 0

D0αf (t) = 1

Γ(N − α)

Z t 0

f (s) − f(0) (t − s) α ds



,

ở đó D+ là đạo hàm Dini trên bên phải.

Tiếp theo, chúng tôi giới thiệu đạo hàm bậc phân số theo nghĩa Liouville (RL), mối liên hệ giữa đạo hàm Riemann-Liouville và đạo hàm Caputo

Riemann-và quy tắc Leibniz đối với đạo hàm bậc phân số

Định nghĩa 1.4.3 ([42], trang 70) Đạo hàm bậcαtheo nghĩa Riemann-Liouvillecủa một hàm f (.) được định nghĩa bởi

f (s) (t − s) α−n+1 ds, t > 0,

ở đó n = ⌈α⌉ là giá trị trần của α, đó là một số nguyên thỏa mãn n − 1 < α ≤ n.Với một hàm f (.) ∈ C 1 [0, ∞) và một số thực 0 < α < 1, mối liên hệ giữađạo hàm Riemann-Liouville RL Dα0f (t) và đạo hàm Caputo Dα0f (t) được cho bởicông thức sau (xem [42], trang 91)

D0αf (t) =RLDαf (t) − Γ(1f (0)

− α)t

−α

Bổ đề 1.4.1 (Quy tắc Leibniz [61], Mục 2.7.2) Cho α ∈ (0, 1) và hàm f (.) ∈

C1[0, ∞) Giả sử rằng hàm ϕ(.) và mọi đạo hàm của nó liên tục trên đoạn [0, t],

t > 0 Khi đó, ta có quy tắc Leibniz sau đây cho đạo hàm bậc phân số

Z 1 0

F α (t, u, v)dudv

với F α (t, u, v) = f (vt)ϕ(n+1)(t(u + v − uv))

Định nghĩa 1.4.4 Hàm Mittag-Leffler một tham số E α (z) được định nghĩa bởi

ở đó α > 0 vàz là biến thực hoặc phức

Chú ý rằng chuỗi ở trên hội tụ trên toàn mặt phẳng phức z ∈C và E α (z)

là một hàm nguyên trên C với mọi α > 0 [28] Hơn nữa, vì Γ(k + 1) = k!,

E 1 (z) =P∞

k=0 z

k k! = ez

Định nghĩa 1.4.5 Phép biến đổi Laplace của một hàm f (.) được cho bởi

F (s),L{f(.)}(s) =

Z ∞ 0

e−stf (t)dt.

Khi đó, L{Dα

0 f (t) } = sαF (s) − sα−1f (0).1.5 Ánh xạ đa trị và một số định lí điểm bất động

Cho X là một không gian Banach và B(X) là họ các tập con khác rỗng bịchặn của X

Định nghĩa 1.5.1 ([39], Định nghĩa 2.1.1) Một hàm β : B(X) → R+ được gọi

là một độ đo không compact (MNC) trong X nếu

β(co Ω) = β(Ω) với mỗi Ω ∈ B(X),

ở đó co Ωlà bao lồi đóng của Ω Hơn nữa, MNC β được gọi là

i) đơn điệu nếu Ω 0 , Ω 1 ∈ B(X), Ω 0 ⊂ Ω 1 suy ra β(Ω 0 ) ≤ β(Ω 1 )

ii) không suy biến nếu β( {a} ∪ Ω) = β(Ω) với bất kì a ∈ X, Ω ∈ B(X)

iii) bất biến compact nếuβ(K ∪Ω) = β(Ω)với mọi tập compact tương đốiK ⊂ X

χ(Ω) = inf {ε| Ωđược phủ bởi một ε-lưới hữu hạn}.

Độ đo không compact Hausdorff còn có thêm một số tính chất:

• Nửa đồng nhất:χ(tΩ) ≤ |t|χ(Ω) với bất kì Ω ∈ B(X) và t ∈R

• Trong không gian Banach tách được X, χ(Ω) = lim m→∞ supx∈Ωd(x, E m ), ở

đó {Em } là một dãy các không gian con hữu hạn chiều của X thỏa mãn

E m ⊂ E m+1, m ≥ 1, và ∪ ∞

m=1 E m = X

Dựa trên độ đo không compact Hausdorff χ trong X, ta có thể định nghĩa

độ đo không compact χ 0 như sau

Cho χ là một độ đo không compact trên không gian Banach X, χ PC là

độ đo không compact Hausdorff trên PC([0, T ]; X) Với mỗi tập bị chặn D ⊂ PC([0, T ]; X), ta có [35]

• kT k χ = 0 khi và chỉ khi T là một toán tử compact

Mệnh đề 1.5.1 Cho χ là độ đo không compact Hausdorff trên X và Ω ⊂ X làmột tập con bị chặn Khi đó, với bất kì ǫ > 0, tồn tại một dãy {xn} ⊂ Ω thỏamãn

χ(Ω) ≤ 2χ({x n }) + ǫ.

Mệnh đề 1.5.2 ([39], Hệ quả 4.2.5) Nếu {wn } ⊂ L1(0, T ; X) thỏa mãn

kw n (t) k X ≤ ν(t) với hầu khắp t ∈ [0, T ],

ở đó ν ∈ L1(0, T ), thì ta có

χ( {

Z t 0

w n (s)ds }) ≤ 2

Z t 0

χ( {w n (s) })ds

với mọi t ∈ [0, T ]

Kết quả dưới đây cho một ước lượng đối với các độ đo không compact vớitrường hợp các tập không đếm được Chứng minh chi tiết có thể xem trong [39,Mục 4.2]

Mệnh đề 1.5.3 Cho D ⊂ L1(0, T ; X) thỏa mãn

(1) kξ(t)kX ≤ ν(t) với mọi ξ ∈ D và với hầu khắp t ∈ [0, T ];

(2) χ(D(t)) ≤ q(t) với với hầu khắp t ∈ [0, T ],

ở đó ν, q ∈ L1(0, T ) Khi đó,

χ(

Z t 0

D(s)ds) ≤ 4

Z t 0

q(s)ds,

với Rt

0 D(s)ds = {Rt

0 ξ(s)ds : ξ ∈ D}.Tiếp theo, chúng tôi nhắc lại một số kết quả trong giải tích đa trị Chokhông gian Banach X và không gian metric Y Kí hiệu P(X) là họ các tập concủa X

Định nghĩa 1.5.2 ([39]) Ánh xạ đa trị F : Y → P(X) được gọi là:

i) nửa liên tục trên nếu F−1 (V ) = {y ∈ Y : F(y) ∩ V 6= ∅} là một tập con đóngcủaY với mỗi tập con đóng V ⊂ X;

ii) nửa liên tục trên yếu nếu F−1 (V ) là một tập con đóng của Y với mỗi tậpcon đóng yếu V ⊂ X;

iii) đóng nếu đồ thị Γ F = {(y, z) : z ∈ F(y)} là một tập con đóng của Y × X;

iv) compact nếu F(Y ) là tập compact tương đối trong X;

v) tựa compact nếu hạn chế trên mọi tập con compact A ⊂ Y là compact

Bổ đề 1.5.4 ([39], Định lí 1.1.12) Cho G : Y → P(X) là một ánh xạ đa trị đóngtựa compact Khi đó G là nửa liên tục trên

Bổ đề 1.5.5 ([9], Mệnh đề 2) Cho X là một không gian Banach và Ω là mộttập con khác rỗng của không gian Banach Y Giả sử G : Ω → P(X) là một ánh

xạ đa trị nhận giá trị lồi, compact yếu Khi đó, G là nửa liên tục trên yếu nếu

và chỉ nếu ∀{xn} ⊂ Ω, x n → x 0 ∈ Ω và y n ∈ G(x n ) suy ra y n ⇀ y 0 ∈ G(x 0 ) theomột dãy con

ChoΦ(t, s)là một họ toán tử tuyến tính bị chặn trênX vớit, s ∈ [0, T ], s ≤ t.Kết quả sau đây được chứng minh trong [63, Bổ đề 1]

Bổ đề 1.5.6 Giả sử Φ(.) thỏa mãn các điều kiện

(Φ1) Tồn tại một hàm ρ ∈ Lq(0, T ), q > 1, thỏa mãn kΦ(t, s)k ≤ ρ(t − s) với mọi

Φ(t, s)g(s)ds

biến mỗi tập bị chặn thành một tập liên tục đồng bậc, ở đó q′ là số mũ liên hợpcủa q, tức là 1

q +q1′ = 1.Định nghĩa 1.5.3 ([39], Định nghĩa 2.2.6) Một ánh xạ đa trịF : Z ⊆ X → P(X)được gọi là nén theo độ đo không compact β (β-nén) nếu với mỗi tập bị chặn

Ω ⊂ Z, từ

β(Ω) ≤ β(F(Ω))

suy ra tính compact tương đối của Ω, ở đó P(X) là họ các tập con của X.Cho β là một độ đo không compact không suy biến, đơn điệu trên X Ápdụng lí thuyết bậc tôpô cho ánh xạ nén [1, 39] ta thu được nguyên lí điểm bấtđộng sau

Định lí 1.5.7 ([39], Hệ quả 3.3.1) Cho M là một tập con lồi đóng bị chặn của

X và F : M → Kv( M) là một ánh xạ đa trị β-nén và nửa liên tục trên Khi đó,tập các điểm bất động Fix( F) , {x ∈ F(x)} là một tập compact khác rỗng, với

K v ( M) là các tập con lồi compact khác rỗng của M

2.1 Mô hình mạng nơron Hopfield bậc phân số

Xét lớp hệ vi phân bậc phân số mô tả mạng nơron Hopfield sau đây:

Trong mô hình (2.1), các hệ số a ij (t), b ij (t) và d i (t) được giả thiết là cáchàm liên tục trên R+ Đồng thời, chúng tôi cũng giả thiết:

(A1)f j (0) = 0, g j (0) = 0, j ∈ [n], và tồn tại các số thực không âm l f j,l gj, j ∈ [n],sao cho

|f j (a) − f j (b) | ≤ l f j |a − b|, |g j (a) − g j (b) | ≤ l gj |a − b|, ∀a, b ∈R. (2.2)

Để thuận tiện, chúng tôi kí hiệu

Lf = diag {l f 1 , lf 2, , lf n}, L g = diag {l g1 , l g2 , , l gn }.

Nhận xét 2.1.1 Xét hàm F : R+ ×Rn ×Rn×n → Rn xác định bởi F (t, u, v) = (F i (t, u, v)) với u = (u i ) ∈Rn, v = (v ij ) ∈Rn×n và

Do giả thiết (A1), F (t, u, v) là hàm liên tục và Lipschitz địa phương trên R+ ×

Rn ×Rn×n Bằng các lập luận tương tự trong chứng minh Định lí 5.1 trong [77],với mỗi vectơ ban đầu x0 ∈Rn, tồn tại duy nhất một nghiệm x(t) = x(t, x0) của

hệ (2.1) xác định trên [0, ∞).

Định nghĩa 2.1.1 Hệ (2.1) được gọi là đồng bộ toàn cục với tốc độ lũy thừanếu tồn tại các hằng số γ > 0, β ≥ 1sao cho bất kì hai nghiệm x 1 (t) vàx 2 (t) của(2.1) tương ứng với điều kiện đầu x01 và x02 thỏa mãn đánh giá sau

kx 1 (t) − x 2 (t) k ∞ ≤ βkx

0

1 − x02 k ∞

(1 + t) γ , ∀t ≥ 0.

Ta gọi số γ là tốc độ đồng bộ lũy thừa của hệ (2.1)

Nhận xét 2.1.2 Đánh giá đưa ra trong Định nghĩa 2.1.1 chỉ ra tính hút vớitốc độ lũy thừa của một nghiệm cố định x 1 (t) bất kì Tính chất này được gọi là

O(t−γ) ổn định trong [17] Trong lý thuyết các mô hình mạng, khái niệm đồng

bộ được sử dụng phổ biến hơn để chỉ tính chất hội tụ của hai quỹ đạo trạngthái bất kì của cùng một mạng hoặc hai mạng có cấu trúc tương đồng Vì vậy,

ở đây chúng tôi sử dụng khái niệm đồng bộ với tốc độ lũy thừa

2.2 Sự đồng bộ nghiệm

Trong mục này, dựa trên một số kĩ thuật so sánh với hàm Mittag-Leffler,

lý thuyết M-ma trận và quy tắc Leibniz đối với đạo hàm bậc phân số, chúng tôiphân tích tính đồng bộ của mô hình (2.1)

Điều kiện (C1): Tồn tại số thực r > 0 và một vectơ ν = (ν i ) ∈Rn, ν ≻ 0, thỏamãn

Γ(2 − α) là một hàm lõm, đơn điệu giảm khi

α ∈ (0, 1/2) và tăng khi α ∈ (1/2, 1) nên 3

r >



2 √ π 3

1/α ∗

max {1, r ∗ }.

Kết quả chính của mục này được trình bày trong định lí dưới đây

Định lí 2.2.1 Giả sử giả thiết (A1) và điều kiện (C1) được thỏa mãn Khi đó,

hệ (2.1) là đồng bộ toàn cục với tốc độ lũy thừa Cụ thể, bất kỳ hai nghiệm x 1 (t)

và x 2 (t) của (2.1) tương ứng với các điều kiện đầu x01 và x02 thỏa mãn đánh giá

kx 1 (t) − x 2 (t) k ∞ ≤ C ν rαmkx01 − x02 k ∞

ở đó C ν = νuνl−1, νu = maxi∈[n]ν i, ν l = mini∈[n]ν i và r m = 12(r + 1 + |r − 1|)

Chứng minh Với mỗi vectơ ban đầu x0, hệ (2.1) có nghiệm duy nhất x(t) = x(t, x0) xác định trên [0, ∞) Giả sử x 1 (t) = (x 1i (t)) và x 2 (t) = (x 2i (t)) là hainghiệm bất kì của (2.1) ứng với điều kiện đầu x 1 (0) = x01 và x 2 (0) = x02 Đặt

Thật vậy, áp dụng quy tắc Leibniz với đạo hàm phân thứ (Bổ đề 1.4.1), ta có

V (t + θ) ≤ ˆ V (t) với mọiθ ∈ [0, δ), điều này cũng suy ra D0αV (t)ˆ ≤ 0 Do đó, chúng

ta có thể kết luận rằng Dα0V (t)ˆ ≤ 0 đúng với mọi t > 0 và V (t)ˆ ≤ ˆ V (0), ∀t ≥ 0

Từ đó ta nhận được

|x 1i (t) − x 2i (t) | ≤ ν i ϕ(t) = νiV (t)

(t + r) α ≤ (t + r)νiV (t)ˆ α

≤ νiV (0)ˆ(t + r) α = νir

α ϕ(0) ˆ (t + r) α ≤ νir

α kx01 − x02 k ∞

νl(t + r) α , t ≥ 0, i ∈ [n]. (2.13)Thêm nữa, từ (2.13)

Nhận xét 2.2.3 Phương pháp chúng tôi sử dụng trong mục này có thể áp dụngcho mô hình hệ nơron bậc phân số với trễ biến thiên bị chặn xét trong [17]

Bây giờ chúng ta xét một trường hợp hạn chế hơn của (C1) Giả sử rằng:(A2) Tồn tại các hằng số di, a ij và b ij, i, j ∈ [n], sao cho

i1 α

.Việc chứng minh Hệ quả 2.2.2 được thực hiện tương tự Định lí 2.2.1

Nhận xét 2.2.4 Vì −M là một M-ma trận, điều kiện đồng bộ của mô hình(2.1) cho trong Hệ quả 2.2.2 có thể kiểm tra bằng nhiều tiêu chuẩn khác nhau,chẳng hạn như các điều kiện trong Mệnh đề 1.1.2

2.3 Ví dụ minh họa

Mục này trình bày hai ví dụ mô phỏng các kết lý thuyết trong mục trước

Ví dụ 2.3.1 Xét mô hình mạng nơron bậc phân số sau đây

ở đó θ(t) = exp( −3 sin2(40t)) biểu diễn tham số không chắc chắn của hệ Các hệ

số d i, a ij và b ij của hệ được cho bởi D = diag {d i } = diag{3, 4, 3.5, 3.8} và

Ví dụ 2.3.2 Xét mạng nơron bậc phân số sau đây

"

#, B =

-0.8 -0.4 0 0.4 0.8

-0.8 -0.4 0 0.4 0.8 1

1+2e − σ ln q 4−σ

minh họa, chúng ta lấy α = 12 Khi đó, theo Hệ quả 2.2.2, mô hình mạng nơron(2.18) là ổn định tiệm cận toàn cục với tốc độ hội tụ lũy thừa với độ trễq ∈ (14, 1).Kết quả mô phỏng với điều kiện đầu x0 = (1, −1) vàx0 = ( −1, 1) và q ∈ [0.25, 0.7]

được trình bày trong Hình 2.2(a)–(b) Từ kết quả mô phỏng ta thấy các quỹđạo nghiệm x 1 (t) và x 2 (t) hội tụ như khẳng định bởi kết quả lý thuyết

0 0.05 0.1

Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm,

cụ thể là tính đồng bộ tại vô hạn, đối với lớp hệ phương trình vi phân bậc phân

số không dừng mô tả mô hình mạng nơron Hopfield với trễ tỉ lệ Dựa trên kĩthuật so sánh kiểu Lyapunov-Razumikhin đối với đạo hàm bậc phân số chúngtôi thiết lập được các điều kiện đảm bảo tính đồng bộ toàn cục với tốc độ lũythừa cấp α (Định lí 2.2.1) Trong trường hợp đặc biệt, điều kiện đó được xácđịnh bởi tính chất phổ của các M- ma trận (Hệ quả 2.2.2)

Chương 3

NGHIỆM HÚT TOÀN CỤC CỦA BAO HÀM THỨC VI PHÂN BẬC PHÂN SỐ KIỂU SOBOLEV TRONG KHÔNG GIAN BANACH

Chương này trình bày các kết quả nghiên cứu về một lớp bao hàm thức

vi phân bậc phân số kiểu Sobolev trong không gian Banach vô hạn chiều Dựatrên cách tiếp cận bằng các độ đo không compact và định lí điểm bất động củaánh xạ nén, trước tiên chúng tôi chứng minh sự tồn tại nghiệm tích phân trênkhoảng hữu hạn (Định lí 3.1.6) Sau đó chúng tôi thiết lập các điều kiện vàchứng minh sự tồn tại một tập compact khác rỗng các nghiệm hút toàn cục củabài toán (Định lí 3.2.5) và cuối cùng đưa ra một ví dụ áp dụng đối với một lớpphương trình đạo hàm riêng bậc phân số để minh họa cho các kết quả lý thuyết(Mục 3.3) Nội dung của chương này dựa trên bài báo [2] trong Danh mục côngtrình công bố

3.1 Sự tồn tại nghiệm trên khoảng thời gian hữu hạn

ChoX là một không gian Banach Xét một lớp bao hàm thức vi phân kiểuSobolev sau đây:

D0αBu(t) ∈ Au(t) + F (t, u(t)), t 6= t k , tk ∈ (0, +∞), k ∈ Λ, (3.1)

ở đó α ∈ (0, 1), A và B là những toán tử tuyến tính đóng không bị chặn trong

X, Λ ⊂N và toán tử xung∆u(tk) = u(t+k) − u(t−k) Các hàm phi tuyến F, g vàIk

sẽ được chỉ rõ trong các mục sau

Trước hết, chúng tôi xét bài toán (3.4)-(3.6) dưới đây

D0αBu(t) = Au(t) + f (t), t 6= t k , tk ∈ (0, +∞), k ∈ Λ, (3.4)

∆u(t k ) = I k (u(t k )), (3.5)

Giả thiết rằng D(B) ⊂ D(A) và B là song ánh có ánh xạ ngược bị chặn.Gọi {T (t)} là C 0-nửa nhóm sinh bởi AB−1 Kí hiệu v(t) = Bu(t), t ≥ 0 Ta viếtlại hệ (3.4)-(3.6) dưới dạng sau

(t − s)α−1P α (t − s)f(s)ds, t > 0, (3.10)

ở đó S α (t) và P α (t) là các toán tử nghiệm đặc trưng cho bởi công thức

S α (t)x =

Z ∞ 0

B−1φ α (θ)T (tαθ)xdθ,

P α (t)x = α

Z ∞ 0

và thỏa mãn tính chất sau (xem [82])

Z ∞ 0

θβφ α (θ)dθ = Γ(1 + β)

Cho{U(t)}t≥0 là một họ các toán tử tuyến tính bị chặn trên X Ta nói U( ·)

liên tục theo chuẩn nếu ánh xạ t 7→ U(t) là liên tục trên (0, ∞) Nếu U(t) ∈ L(X)

là một toán tử compact với mỗi t > 0 thì U( ·) gọi là compact

Bổ đề 3.1.1 Cho T ( ·) là C 0-nửa nhóm sinh bởi AB−1 Nếu T ( ·) bị chặn đều,tức là, supt≥0kT (t)k < ∞, thì ta có các tính chất sau:

(1) Nếu nửa nhóm T ( ·) liên tục theo chuẩn thì S α ( ·) và P α ( ·) cũng liên tục theochuẩn

(2) Nếu B−1 là một toán tử compact hoặc T ( ·) là một nửa nhóm compact thì

S α ( ·) và P α ( ·) là compact

Chứng minh Chứng minh của (1), chúng tôi chứng minh tính liên tục theochuẩn của họ S α, với họP α được lập luận tương tự Do giả thiết, kT (t)k ≤ M vớimọi t ≥ 0 Với ǫ > 0 cho trước, vì R∞

0 φ α (θ)dθ = 1 nên tồn tại δ 1 , δ 2 > 0 sao cho

Z δ 1 0

φ α (θ) kT (tα2 θ) − T (tα1 θ) kkxkdθ

≤ kB−1k

Z δ 1 0

φ α (θ)( kT (tα2 θ) k + kT (tα1 θ) k)kxkdθ + kB−1k

Z ∞

δ 2

φ α (θ)( kT (tα2 θ) k + kT (tα1 θ) k)kxkdθ + kB−1k

Ta định nghĩa các toán tử

Q α : Lp([0, T ]; X) → C([0, T ]; X),

Q α (f )(t) =

Z t 0

(t − s)α−1P α (t − s)f(s)ds. (3.13)Mệnh đề 3.1.2 Nếu nửa nhóm T ( ·) sinh bởi AB−1 bị chặn đều và liên tục theochuẩn thì toán tử Q α xác định bởi (3.13) ánh xạ một tập bị chặn bất kì trong

θφ α (θ) kT (tαθ) kdθ

≤ αkB−1kM

Z ∞ 0

θφα(θ)dθ = αkB−1kM

Γ(1 + α)

nên kΦ(t, s)k = (t − s)α−1 kP α (t − s)k ≤ αkBΓ(1+α)−1kM(t − s)α−1 và do đó (Φ1) đượcthỏa mãn với ρ(t) = αkB

−1 kM Γ(1+α) tα−1 và ρ ∈ Lq(0, T ), 1 ≤ q < 1−α1 Mặt khác, với