Vận dụng chuỗi điều hòa vào giải một số bài toán dành cho học sinh giỏi (Luận văn thạc sĩ)

Vận dụng chuỗi điều hòa vào giải một số bài toán dành cho học sinh giỏiVận dụng chuỗi điều hòa vào giải một số bài toán dành cho học sinh giỏiVận dụng chuỗi điều hòa vào giải một số bài toán dành cho học sinh giỏiVận dụng chuỗi điều hòa vào giải một số bài toán dành cho học sinh giỏiVận dụng chuỗi điều hòa vào giải một số bài toán dành cho học sinh giỏiVận dụng chuỗi điều hòa vào giải một số bài toán dành cho học sinh giỏiVận dụng chuỗi điều hòa vào giải một số bài toán dành cho học sinh giỏiVận dụng chuỗi điều hòa vào giải một số bài toán dành cho học sinh giỏiVận dụng chuỗi điều hòa vào giải một số bài toán dành cho học sinh giỏiVận dụng chuỗi điều hòa vào giải một số bài toán dành cho học sinh giỏiVận dụng chuỗi điều hòa vào giải một số bài toán dành cho học sinh giỏi

ĐAI HOC THÁI NGUYÊN

TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC

——————–o0o——————–

NGÔ KHAC KIÊN

V¾NDUNG CHUOI

ĐIEUHÒAVÀOGIAI M®T SO BÀITOÁN DÀNHCHO HOC

SINHG I O I

THÁI NGUYÊN -2 0 1 8

ĐAI HOC THÁI NGUYÊN TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC

——————–o0o——————–

NGÔ KHAC KIÊN

V¾NDUNG CHUOI ĐIEUHÒAVÀOGIAI M®T SO BÀITOÁN DÀNHCHO HOC

SINHG I O I

CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CAP MÃ

SO: 8 46 01 13

LU¾N VĂN THAC SĨ TOÁN HOC

NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC

PGS TS TR±NH THANH HAI

THÁI NGUYÊN -2 0 1 8

Mnc lnc

1.1 Chuoiso 3

1.1.1 Khái ni¾mchuoiso 3

1.1.2 Các tínhchatcnachuoiso 4

1.2 Chuoiđieuhòa 5

1.2.1 Khái ni¾mchuoiđieuhòa 5

1.2.2 M®t so tínhchatcnachuoiđieuh ò a 6

Chương 2.V¾ndnngchuoiđieu hòavàogiaitoán 13 2.1 V¾ndung tínhchatchuoiđieu hòavàogiai m®t so bài toánvebatđ a n g t h ú c 13 2.2 V¾ndungchuoiđieu hòavàogiai m®t so bài toánve chuoiso 3 2

Ma đau

Trongsách toánTrunghqc cơ so,Trunghqc pho thông đã có nhung bài toánvechuoiso đieu hòa Nhưng so lưong rat ít không đnchohqc sinh luy¾n t¾p, hơn nuavi¾c phân dang bài t¾pchưa đayđnvàk h ô n g c ó t í n h h ¾ t h o n g

Đ e c u n g c a p chohqc sinhven®i dung kien thúc, phương pháp giai toán.Đephucv u chocông tác đào tao đ®i tuyen hqc sinh gioi m®t cách bài ban hơnvechuoiso đieu hòa.Tôixin trìnhbàym®t cách h¾ thong khái ni¾mvàcáctínhchatcnachuoiđieu hòa Tù đó đưa ra m®t so ví du minh hqavi¾cv¾ndungchuoiđieu

hòavàogiaim®t sobàitoándànhchohqcsinhgioi, theocácdangbài t¾psau:

• Các bài toán liên quan đen bat đangthúc;

• Cácbàitoánliênquanđentínhchatsohqccnachuoiđieuhòa;

• Các bài toán liên quan đen tong cnachuoiđieuhòa;

• M®tsobàitoánkhácliênquanđenchuoiđieuhòa;

• M®t so bài toán dànhchohqc sinhg i o i

Vóimongmuoncungcapthêmm®ttàili¾utonghopkienthúcvechuoiđieu hòa, giúpcung cap thêm m®t phương pháphayvàratboíchđe rèn luy¾n n®i

dungnày,chúngtôichqnchnđe “V¾n dnngchuoiđieu hòavàogiai m®t

sob à i t o á n d à n h choh q c s i n h g i o i ”đ e làmđetàilu¾nvăncaohqc.

Ngoài phan mo đauvàketlu¾n, lu¾nvăngom 2c h ư ơ n g :

Chương 1 KienthNcchuanb%.Trongchươngnày,chúngtôi trìnhbàyđ%nh nghĩa,

ví duvàcác kien thúc cơ ban, nâng caove chuoisovàchuoiđieu hòa

Chương 2.V¾ndnngchuoiđieuh ò a vàogiai toán.Chương 2trìnhbàysnv¾ndung cnachuoiđieu hòavàovi¾c chúng minh bat đang thúc, cáctínhchatso hqc cna so hang, tong cnachuoiđieu hòa Cuoi Chươngnàychúngtôisưu tam,chqnlqc đe đưa ra m®t so bài toán trong các kỳ thi hqc sinh gioi cóliên quan đenchuoiđieuhòa

Lu¾nvănđ ư o c h o à n t h à n h t a i t r ư ò n g Đ a i h q c K h o a h q c , Đ a i h q c

T h á i

Nguyên Lòi đau tiên tác gia xin đưoc bày to lòng biet ơn sâu sac tói thay giáoPGS TS Tr%nh Thanh Hai Thay đã dành nhieu thòi gian hưóng dan cũng nhưgiai đáp các thac mac cna tôi trong suot quá trình làm lu¾n văn Tôi xin bày tolòng biet ơn sâu sac tói thay.

Tác gia xin chân thành cam ơn toàn the các thay cô trong Khoa Toán - Tin,trưòng Đai hqc Khoa hqc - Đai hqc Thái Nguyên đã t¾n tình hưóng dan, truyenđat kien thúc trong suot thòi gian theo hqc, thnc hi¾n và hoàn thành lu¾n văn.Cam ơn sn giúp đõ cna ban bè, ngưòi thân và các đong nghi¾p trong thòigian làm lu¾n văn

Thái Nguyên, tháng 05 năm 2018

Ngưòi viet lu¾nvăn

Ngô Khac Kiên

u n;u n làso hang tong quát;

s n =u1+u2+ .+u n làtong riêngthú ncna chuoi;r n =u n+1 +u n+2 + .gqi

làphan dưthú n Neul i m

n→∞ s n =s (huu han) thìchuoiđưoc gqi làh®i tnvà s l à tong cua chuoi Neudãy s n k h ô n g d a n t ó i m ® t g i á t r % h u u

= 1−

n+ 1,

n n+1

n=

1

u n suy ra sn phân kỳ cua

Σ Σ

h®i tn ho¾c cùng phân kỳ (hai chuoi tương đương nhau).

Neu k= 0thì tù sn h®i tn cua ∞

n=

1

v n suy ra sn h®i tn cua

C= 1: phai xét thêm bang phương pháp khác.

Đ%nh lý 1.1.10.(Đ%nh lývetiêuchuantíchphân)Cho chuoi so dương ∞

n=

1

u n , neu ton tai hàm f(x) sao cho u n =f(n) vói ∀n≥n0và f(x) liên tnc, đơn đi¾u

giam trên mien (n0; +∞)thì

Đ%nh lý 1.1.11.(Đ%nh lý ve chuoi so đan dau)Tiêu chuan Lepnit: Cho chuoi

so đan dau ∞( 1)n u n , neu ton tai dãy so u n đơn đi¾u giam (nghĩa là u1> u2>

trong đóm, dlà các so sao cho mau so khác không, đưoc gqi là chuoi đieu hòa

Ví dn 1.2.2.

(i) Chuoi so có tongr i ê n g là H (1,n) = 1

+1+ .+1,

(ii)Chuoi so có tong riêng làH (m,n) =1

m

hòa Ta luôn gia thiet rang1≤m < n

21+

dãy{H(1,n)}∞k=0phânkỳhaylim

k=0

H (1, n) = +∞ Lý lu¾n tương tn ta cũng

cóthe chi ra vói so nguyên dương tùy ýMthì

H (1,M k )≥1+k M− 1 Σ,k=0,1,2,

Tính chat 1.2.4.H (m, n) không phai là m®t so nguyên.

Chúng minh.(i)Đoivóitrưòng hop đ¾c bi¾t H (1,n), m= 1,chossaocho:2s ≤n

<2s+1 Chúng ta nhânH (1,n)vói2 s−1 Q, trong đóQlàtíchcna tat ca so nguyên

le trong đoan[1, n].Tatca các so hang trongH (1,n)se là so nguyên ngoai trù

so hang thú2s se tro thành so nguyênchia cho2 Đieunày chira

rangH (1,n)không phai là m®t son g u y ê n

(ii)Cách khác, đoivóitrưòng hopm= 1,choplà so nguyên to lón nhat không vưotquán.TheotiênđeBetrand,có1songuyêntoq vói p<q< 2p.Do

đó,chúngta cón < 2p Neu H (1,n)là m®t so nguyên, thì: n !H(n)=

n!

p

n n ! i=1 i

Σn n! i=1 i

i

không chia het chop, còn tat ca so hang khác se chia het chop

(iii)Trưòngh o p : m> 1.Gi a s u2a |k n h ư n g2a+1khônglà ưóccnak ( v i e t là

2a||K), thì chúng ta gqi a làthú tn chan lécna k Bây giò quan sát các so

là m®t so nguyên chia het chop Tuy nhiên, so hang trong tong

m m+1 n

2a ,3.2 a ,5.2 a , ,tatcacácsonàycùngthútnchanle.Giuanhungsonàycó2.2a ,4.2 a ,6 2a , , tatcađeucóthútnchanlelónhơn.Dov¾y,giua2sobat kỳ cùng thú tnchanle, có

1 sovóithú tnchanle lón hơn Đieunày chira duy nhat rang trong các som,

+ + += 3 4

10

73812520

Tính chat 1.2.6.Neu H (m, n) = q

p và m +n là m®t so nguyên to lé, thì (m+n)|q Chúng minh.Chú ý rang H (m, n)có m®t so chan so hang và nó bang vói

Σ

(modp)và tat ca các so hang

n2

làphânbi¾tvóin =1,2, , ( p−1),

2thì

Đ%nh lýWolstenholmeđưoc chúngm i n h

Cách 2(su dung đa thúc mod p): Chúng ta su dung đ%nh lý Lagrange, cu the

neuf (x) =c0+c1x + .+c n x n là m®t đa thúc b¾c n,vóih ¾ s o

n g u y ê n vàneuf (x)≡0(modp)có nhieu hơn nnghi¾m, trong đóplà so nguyên to,khi đó moi h¾ so cnaf (x)sechiahetcho p Phép chúng minh không khó Có

thechúngminh bang quy napvàthu¾ttoánchiamodp.M¾nh đe là sai neup k h ô n g

p h a i s o n g u y ê n t o V í d u : x2−1≡0(mod8)có 4nghi¾m

x p−1 −1≡x p−1 −s1x p−2 + −s p−2 x+s p−1 (1.3)theo đ%nh lý Wilson,s p−1 = (p−1)!≡−1(modp).Dođ ó ,

y a

thì114= 14641; ap −b= 893101 Do đó (ap−b) :p4= 61, thóa mãn p4|(ap−b).

Tính chat 1.2.12.Coi H (1, n) là 1 hàm so cua bien so tn nhiên n Chúng

minhrang H (1, n) không phai là hàm so huu ts đoi vói n

Đe chúng minh Tínhchat1.2.12 ta dùng Tínhchat1.2.3vàbođes a u :

Bo đe 1.2.13.Dãy H (1, n) thóa mãn

Chúng minh.De thay bat đang thúc trên đúng vói n = 1,2 Gia su Bat đang

thúc (1.4) đúng vóin =k, ta chúng minh nó cũng đúng vói n =k+ 1.

Th¾t v¾y, tù gia thiet quy nap, suy ra:

ChNng minh tính chat 1.2.12Ta chúng minh bang phan chúng Gia su

H (1, n)là hàm so huu ty cna ntúc là ta có bieu dien

Đâylà b®i cnapneu1≤i≤p−1.Vephai sau khi đemchiahetchopthì đong

dưvói(−1) .(−(i−1))= (−1)i−11

.Do đó, đieu phai chúng minh tro thành1−1+1− .+ (−1)k−11

Đieu này là đúng vói Đ%nh lý 1.2.8 Tù đó ta có đieu phai chúng minh.

n+ 1

31

Theo nguyên lýkeptac ó lim

n→∞ S 2n = ln 2.Vì dãy{Sn}có 2 dãy con{S2n}và{S2n+1}cùng h®i tu đen giói han chung làln 2nênlim S n = ln 2.Suy ra

n→∞

1

bài toánvebat đangthNc

Bài 2.1.1.Chúng minh rang

22

1+

sánhAvàB.

4n2−1 (2n−1)(2n+1) 2n−1 2n+

1Tùđó1 < 2. 1 − 1

Σ Cho n bang 3,4, ,50tađưoc

<2.1−1+1 −1+

+1− 1+ 1− 1Σ

5 101

1+5·6·7

16·7·8 + +

2 4·5 5·6 5·6 6·7 6·7 7·8 2003·2004 2004·2005

A <1 1

−1+1−1+1−1+ .+ 1 − 1

Σ

17·8·9 + +

Hãyso sánhA,B

B=

22+32+42+ .+502.1

vói 2

Giai.Su dungh¾thúc 1 =1−1 vóinbang3,4, ,49, ta tính đưoctong

1·5

+ +

1

14950

< 1

+1+1

.1 +1+ + 1

=1·2+2·3+3·4+ .+49·50−Broi áp dung (2.5) và thayB >1

2 se suy raA < 1

.2

Bài 2.1.6(THTT-1979).Chúng minh rang vói mqi so tn nhiênnta có bat đang

2 2n+

2 +1 + .+1<2.Bat đang thúc o

Bài 2.1.7.So sánh tong gom 1000 so hang

1+1·2·4 2·5·71 + 1

3·8·10 + +

11000·2999·3001 vói5.

24

1·2·4+2·5·71 +3·8·101 + + 1000·2999·30011 .Đ¾tA=1+1 +B

(2.6)

8 70

trong đóB = 1

3·8·10+4·11·131 + .+ 1000·2999·30011 . (2.7)Xét moi so hang cnaB(vóin≥3)

18·6 108

Tù (2.6)và(2.8) cóA=1

8

11+ +B<

11

Nh¾n xét 2.1.8.Ta có m®t so nh¾n xét sau:

1 Tathaycác so hang cna tongAl¾p thành m®tdãygiamvàgiam khá nhanh Do

đó neu giu lai m®tvàiso hang đau tiênvàchilàm tr®i các so hang sauđóroilaytongthìsenh¾nđưocgiátr%chilónhơnA khôngnhieu.

2 Có the làm tr®i so hang cnaB(vóin≥3) theo cách khác:

8+2·3·4

113·4·5 + +

60262008·2009·2010Hãy so sánhSvói 2

Giai.So hang tong quát cna tong Scód a n g

= 2 +

2009−1005< 2.V¾y S < 2.

Q

Giai.Bat đang thúc can chúng minh tương đương vói

Vóin= 1ta có đang thúc1 = 1 Vóin >1, áp dung bat đang thúc Côsi chon

so dương không bang nhau ta có:

và đeu chúng minh bang phương pháp qui nap Có the dùng ngay cách chúng

+3!

1

+3!

4!

11

+ +

1

20152016!

(n+1)!

=1!−2!+2!−3!+ .+2015!−2016!

1

= 1−

2016!< 1< B.

< +7!

V¾y

=6!−7!+7!−8!+8!− .+ (n−1)!−n!=6!−n!<6!.

206 2

= += 1206!

204120

< 1,72.

Bài 2.1.13.Chúng minh rang

1+√3

2+√33+ +√3

999> 147.

Giai.Vói n∈N∗ta có bat đang thúc Côsi:

3n+2=n+(n+1)+(n+1)>3√

3n (n+1)2.

3√3

2 √3

2

Lan lưot thayn = 1,2,3, ,999vào bat đang thúc (2.9) roi c®ng ve vói ve cna

999 bat đang thúc này ta đưoc

1

2010−√2011

Bài 2.1.14.Chúng minh rang

M¾t khác, ta laicó

a2+12

a3+ 23

(2) Xét hàm sog (x) =e x,vóix∈R,x >0batkỳ.Tù đ%nh lý Lagrange ton tai0< c <

xthoa mãng (x)−g(0) =gj(c)·(x−0)⇒e x −1 =e c ·x > x.Tù đó tacó

Chú ýhj(x) =e x −e x + (ln 2−x)e x = (ln 2−x)e x >0;∀x∈(0; ln 2).Suy ra

h (x)là hàm đong bien trên(0; ln 2).Ket hop vói (2.13) và (2.14) ta có

1+2·2!

13·3! + +

1

n ·n! + +

12013·2013!

Chúng minh rangA <3

.2

=1+

9Túc là ta nh¾n đưoc đieu phai chúng minhA<3

.2

Nh¾n xét 2.1.19.Neuthaybat đang thúc (2.15)vàobieu thúcAvóinlan lưotbang3,4, ,2013thìvanthoa mãnyêucau đe bài, nhưng cách giai trênchođánhgiá tot hơn Cách khácthayvi¾c su dung bat đang thúc (2.15) boi các bat đangthúc sauvàthaynlan lưot bang4,5, ,2013cũng dan đenketqua

• Vóin≥2thìn (n−1)>1hay n2> n+ 1nêncó

i=1

Q

Σ

Σ Σ

.Σ

(b) Chúng minh rangvóimoic >1thì luôn ton tai ít nhat m®t so tn nhiênn sao

cho có hai hoánv%thoa mãn đieu ki¾n trên và bat đang thúca k

đúng đoi vói ít nhat 1 giátr%k = 1, n.

+b

k

>4 − c k

• Loai 1 gomrc¾pvóia i >b i.

• Loai 2 gomsc¾pvóia i =b i.

• Loai 3 gomtc¾pvóia i <b i

Khi đó,r +s+t=kvà do tính đoi xúng giua a i , b i nên ta có the gia su

m®t c¾p loai 1 Vìv¾y,a+b≤a∗+b∗<2a∗≤ = < =

Trong ca hai trưòng hop, ta luôn có đpcm

(b) Xétn = 2m, m∈N∗thì ta xét hai hoánv % sau

k 1 2 3 4 k

Bài 2.1.22(So 406 THTT-2011).M®t con Rùachaytrên đưòng băng cao su dài

100 mét Moingàynóchayđưoc 10 mét, roi đêm nghi Nhưngveban đêm đưòngbăng lai dãn ra thêm 100 mét Do đó sau đêm đau nó đi đưoc 20 mét Nhưngcáchđích180m é t

Cuoi ngày thú hai Rùa đi đưoc 30 mét tính tù điem xuat phát, v¾y nó còncách đích 170 mét Nhưng đêm đen thì đưòng băng lai dãn dài đen 300 mét, vànhư the xem như Rùa đã đi đưoc 45 mét, nhưng cách đích 255 mét .Cú nhưthe, cu®c đua dien ra V¾y chú Rùa có ve đen đích đưoc không?

Giai.Gqi S n là quãng đưòng Rùa đi đưoc cuoi buoi chieungàythú n (n= 1,2,3, )vói S1= 10 Sau đêm thún, quãng đưòng đi đưoc cna Rùa dãn theođưòng băngvóicùngtyl¾l à

Saukngày thì đưòng băng dài100knên neu ton tai sokđeS k >100khay

A k >10thì Rùa se đi đen đích De thay

A k >10hayS k >100k, nghĩa là Rùa se điđenđích Q

Bài 2.1.23(THPT chuyên Nguyen Du, Đăklăk-2010).Chúng minh rang

Σ 1

≥lim

Σ 1

n→+∞

k=1 n+1

k=2

lim

Σ1

≤7 k=1

35

1998 Chú ý rang1999

p2<pq=1 2

23 19981999 99= 1.

.−

1199

3

3 + 1+43

1+

Giai Nh¾n xét:Neu d j là ưóc cnanthìn

d j cũng là ưóc cnan.Khi đó

U (n) ={d , d , , d}=.n,n, ,nΣ

.

Q

Vóin= 1, ta cód2= 1≤12√

1(đúng)

3( đ ú n g ) Vóin= 4, không mat tính tong quát, ta gia su1 =d1< d2< < d m, ta có

m

n2 1 +1

22

1+3

Bài 2.1.27(Iran 1998).Chon1< n2< làdãycác so tn nhiên saocho vóii

<j,bieu dien th¾p phân không xuat hi¾n trong so ngoài cùng bên trái cnabieudienth¾pphânn j.Chúngminhrang:

Giai.Rõ ràng ta chi can chúng minh vói dãy huu han là đn.

Gia suchom®tdãyh u u h a n , đ ¾ tM= 1 0 N+dlà phan tu lón nhat

nua,bođi10N,10N+1, ,10N+9khoidãyneuchúngxuat hi¾nvàthêmNvàodãykhácsaochotongngh%chđao là:

Σ1+1−Σ 1

k + 1

3n

+ 12

k+1 2n+

2011

Do đóa k <

b vóia b là phân so toi gian (các mau so o các so hang cna tong là các so

tn nhiên liên tiep tù 2 đen 18) Chúng minh rangbchia het cho 2431

Giai Taký hi¾u Mlà BSCNN cna các so tn nhiên liên tiep2,3, ,17,18vàlan lưot đ¾t:M =k1= 2k2= 3k3= .= 17k17=18k18

Quy đong mau so cna tong ta đưoc:

so còn lai đeuchiahetcho11 Do đó tong(k1+k2+ +k17+k18)khôngchiahetcho11

Cũnglýlu¾nhoàntoàntươngtn,tađưoctong(k1+k2+

+k17+k18)khôngchiahetcho13và17 M¾t khác, hien nhiên mau

13,17.Dođókhirútgqnphânsotrongvephaicna(2.18)đentoigiantađưoc

kb + +k18 =t·a, M =t·bthì tkhông chia het cho 11, 13, 17 nên

bvan chia het cho moi so nguyên to 11, 13, 17 Đieu đó có nghĩa làbchia hetcho tích11·13·17 = 2431

là phân so toi gian thìbchia het chop n−1 n b

Bài 2.2.3(IMO 1979).Cho nhung so tn nhiênpvàqthoa mãn đang thúc:

q= 1−

2+3−4+ .−1318+1319.Chúng minh rangp 1979

Giai.Ta có the viet:

=660+

31

661 + +

13191+

1318

21

1319

659

=1

Σ1+1+1+1+ .+1+1

Σ

2 6001979

=

1319+

6611979

1318

+ +

13191979

Nlàtíchcna các so nho hơn 1319 mà 1979 là so nguyên to nên khi

đưavephaivephân so toi gian ta đưocp= 1979m.V¾yp..1979 Q

(n+9)phaichiahetcho59 Do 59 là so nguyên to nên 59 phai là ưóc cna m®t thùa

son +rcna Mvói0≤r≤ 9 Son n h o n h a t t h o a m ã n đ i e u nàylà n=50k h in+ 9 = 59, lúcđó

M= 50·51·52·53·54·55·56·57·58·59

= 50m1= 51m2= 52m3= .= 59m10.

Ta se chúng minh rang khi son= 50thìqchia het cho 2006

• Som10=50·51·52·53·54·55·56·57·58khôngchiahetcho59,còn9so cònlaim1, m2, , m9đeuchiahetcho59 nênm =m1+m2+ +m9+m10khôngchiahetcho5 9 , s u y r a 5 9 k h ô n g l à ư ó c

s o chungc n am và M, dođ óqchiahetcho59(1)

• Som2=50·52·53·54·55·56·57·58·59khôngchiahetcho17,còn9socònlaim1, m3, , m10đeuchiahetcho51 = 3·17nênm =m1+m2+ +m9+m10khôngchiahetcho1 7 , s u y r a 1 7 k h ô n g l à ư ó c

s o chungc n am và M, dođ óqchiahetcho17(2)

• Xétlũythùacna2:So50 =2·25,52= 22·13,54 =2·27,56= 23·7,58

28·h vóiso h le,so m7chiahetcho25,còn các som1, m2, m3, m4, m5, m6, m8,

m9,m10đeuchiah e t cho26,do đóqchiahetcho23(3)

Tù (1), (2) và (3) các so 2, 17, 59 đeu là so nguyên to suy raqchia het cho

2·17·59 = 2006.V¾yso tn nhiênnnho nhat đeqchiahetcho2006 làn= 50.Q

Bài 2.2.5(So 333 THTT-2005).Chúng minh rang so tn nhiên

chia het cho 2005