Kỳ dị của tập đạt được hệ điều khiển trên mặt cong có biên

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————-NGUYỄN NHƯ NHƯỜNG KỲ DỊ CỦA TẬP ĐẠT ĐƯỢC HỆ ĐIỀU KHIỂN TRÊN MẶT CONG CÓ BIÊN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60460102

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

——————-NGUYỄN NHƯ NHƯỜNG

KỲ DỊ CỦA TẬP ĐẠT ĐƯỢC HỆ ĐIỀU KHIỂN

TRÊN MẶT CONG CÓ BIÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

——————-NGUYỄN NHƯ NHƯỜNG

KỲ DỊ CỦA TẬP ĐẠT ĐƯỢC HỆ ĐIỀU KHIỂN

TRÊN MẶT CONG CÓ BIÊN

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Hy Đức Mạnh

LỜI CẢM ƠN

Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơnsâu sắc tới TS Hy Đức Mạnh, người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em để em cóthể hoàn thành luận văn này

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo trongkhoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Hà Nội

đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa

Hà Nội, ngày 12 tháng 11 năm 2017

Học viên

Nguyễn Như Nhường

Mục lục

Lời mở đầu 3

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị và ví dụ 4

1.1 Hệ điều khiển địa phương 4

1.2 Miền dốc đứng và vùng truyền hướng địa phương 6

1.3 Một vài loại kỳ dị đối chiều thấp 7

Chương 2 Kỳ dị của hệ điều khiển trên mặt cong có biên 10

2.1 Phân loại các kỳ dị trên biên mặt cong và tập ban đầu 10

2.1.1 Kỳ dị của trường các hướng tới hạn trên biên mặt M 10

2.1.2 Cấu trúc tập đạt được 12

2.2 Dạng chuẩn của các kỳ dị 19

Tài liệu tham khảo 24

LỜI MỞ ĐẦU

Lý thuyết kỳ dị là lĩnh vực rộng lớn của Toán học và được ứng dụng rất nhiềutrong các ngành khác nhau như Vật lý thiên văn, Hóa học, Sinh học, đến các ngànhkinh tế, kỹ thuật Một nhánh của lý thuyết này là nghiên cứu các vấn đề về kỳ dịcủa các hệ động lực mô tả bởi các phương trình vi phân có tham số điều khiển Đốivới một hệ điều khiển thì bài toán nghiên cứu tính đạt được của hệ là một trong cácbài toán cơ bản nhất Vấn đề đặt ra là làm sao phân loại được tất cả các điểm kỳ dịcủa tập đạt được hệ điều khiển? Bài toán này đã được Giáo sư A Davydov nghiêncứu đối với các hệ điều khiển trên một đa tạp không có biên với chiều bằng 2 vàonhững năm 90 của thế kỷ 20 Gần đây một nhóm các nhà toán học ở Đại học Tổnghợp MGU-Moscow đã mở rộng nghiên cứu bài toán trong trường hợp chiều bằng 3

và 4 Bài toán nghiên cứu các kỳ dị tập đạt được trên các đa tạp có biên (chiều 2)

là bài toán được đặt ra một cách tự nhiên từ bài toán trên Tôi tìm hiểu bài toán nàyvới giả thiết tập ban đầu hệ điều khiển nằm hoàn toàn trong tập đạt được từ bài báo:

A A Davydov, Hy Duc Manh, "Singularities of the attainable set on an orientablesurface with boundary", J Math Sci., New York 188, No 3, 185– 196 (2013) Nếu

bỏ qua giả thiết này thì ngay trên biên của tập ban đầu cũng xuất hiện các điểm

kỳ dị Tiếp theo là phân loại các kỳ dị xuất hiện trên biên của tập ban đầu hệ điềukhiển

Luận văn tập trung nghiên cứu các nội dung sau:

- Phân loại các kỳ dị tập đạt được trên biên mặt cong và biên tập ban đầu

- Đưa ra dạng chuẩn các kỳ dị

Sau phần mở đầu, các kết quả chính của luận văn được bố trí thành 2 chương

Chương 1: Một số khái niệm cơ bản và ví dụ.

Chương 2: Phân loại kỳ dị tập đạt được hệ điều khiển trên mặt cong có biên

cũng như đưa ra các dạng chuẩn của các kỳ dị này

Hà Nội, ngày 12 tháng 11 năm 2017

Học viên

Nguyễn Như Nhường

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị và ví dụ

Hệ điều khiểnđược cho bởi họ các trường vectơ trơn f được tham số hóa, trong

đó tham số điều khiển u chạy trên hợp hữu hạn của các đa tạp compact trơn rời nhau

Ui(i = 1, 2, ) và đa tạp U nhận ít nhất hai giá trị khác nhau Hệ đặc trưng hay hệ tổng quát đó là hệ lấy từ tập mở trù mật trong không gian tất cả các hệ điều khiểnđược trang bị bởi tô pô Whitney

Giả sử rằng không gian pha của hệ điều khiển là một mặt cong M trơn, địnhhướng và có biên Biên của mặt cong có thể cho bởi một phương trình G = 0, ở đó

G là một hàm trơn với mức 0 khác rỗng và không chứa các điểm tới hạn (dG 6= 0)

Vì có thể đổi dấu hàm G nên không giảm tổng quát ta xét các chuyển động hệ trên

miền G ≥ 0, miền này được gọi là miền cho phép của hệ Như vậy, hệ điều khiển

trong lân cận của điểm z ∈ G cho bởi phương trình

trong đó , z− là tọa độ địa phương trên G, ˙z = dz/dt, u ∈ U

Với mỗi điểm z ∈ M tập hợp

f(z,U ) = { f (z, u), u ∈ U }

gọi là indicatrix của hệ (1.1.1) tại điểm này Hàm liên tục từng khúc (hoặc chỉ cần

đo được) của thời gian nhận giá trị trong U gọi là điều khiển chấp nhận được của

hệ Khi cố định điều khiển chấp nhận được, trong lân cận của điểm z ta nhận đượcmột phương trình vi phân thường

Định nghĩa 1.1.1 Điểm z2 gọi là đạt được từ z1 sau thời gian T, T ≥ 0, nếu tồn tại chuyển động chấp nhận được z(t), 0 ≤ t ≤ T , sao cho z(0) = z1 và z(T ) = z2.

Định nghĩa 1.1.2 Tập tất cả các điểm đạt được từ điểm z gọi là quỹ đạo dương hay

tập đạt được của z, còn tập các điểm mà từ đó z đạt được gọi là quỹ đạo âm của z.

Ví dụ 1.1.1 Một người bơi trong dòng với trường vectơ (2; 0) được mô tả bởi hệ

điều khiển x˙= 2 + cosu, ˙y= sinu, u là góc tròn Tập các điểm đạt được trong thời gian t từ một điểm (x0; y0) là hình tròn có bán kính |t| với tâm tại (x0+ 2t; y0) Hợp của những hình tròn với t ≥ 0(t ≤ 0) là quỹ đạo dương (âm) của điểm đó (1.1)

Hình 1.1: Quỹ đạo âm và quỹ đạo dương

Ký hiệu quỹ đạo dương và âm tương ứng là O+(z) và O−(z)

Ví dụ 1.1.2 Xét hệ điều khiển cho bởi cặp vận tốc (0; 1) và (1; 0) trong hình tròn

đơn vị trên mặt phẳng R2(x,y) Tập tất cả các điểm đạt được từ O( 0; 0) là phần tư hình tròn ở góc phần tư thứ nhất, còn tập các điểm mà từ đó O( 0; 0) đạt được là phần tư hình tròn ở góc phần tư thứ ba (xem Hình 1.2).

Hình 1.2: Quỹ đạo âm và quỹ đạo dương

Định nghĩa 1.2.1 Đối với hệ điều khiển (1.1.1) bao tuyến tính dương của indicatrix

vận tốc tại một điểm được gọi là nón tại điểm đó.

Định nghĩa 1.2.2 Tập hợp các điểm của không gian pha mà nón tại mỗi điểm

không chứa vận tốc 0 được gọi là miền dốc đứng của hệ điều khiển.

Định nghĩa 1.2.3 Đối với hệ điều khiển (1.1.1) trong bao đóng của miền dốc đứng,

biên của nón tại một điểm cho ta các hướng tới hạn của các vận tốc tại điểm này Như vậy trong miền dốc đứng, tại mỗi điểm sẽ có 2 trường vận tốc tới hạn, các đường cong tích phân của chúng gọi là các đường cong tới hạn.

Định nghĩa 1.2.4 Hệ (1.1.1) được gọi là truyền hướng địa phương tại một điểm

nếu với mỗi lân cận V1 của điểm này tồn tại thời gian T dương đủ nhỏ và một lân cận V2 (thường nhỏ hơn V1) để 2 điểm bất kỳ trong V2 có thể đạt được từ nhau với một thời gian không vượt quá T và bởi các quỹ đạo không rời khỏi lân cận V1 Tập tất cả các điểm tại đó hệ truyền hướng địa phương được gọi là vùng truyền hướng địa phương của hệ.

Định lý 1.2.1 (TLTK[1]-A.Davydov): Vùng truyền hướng địa phương và miền dốc

đứng là rời nhau và có chung biên.

Định lý 1.2.2 (TLTK[1]-A.Davydov): Biên của bao lồi của indicatrix vận tốc tại

mỗi điểm trên biên của miền dốc đứng (cũng là biên vùng truyền hướng địa phương) chứa vận tốc 0.

Ví dụ 1.2.1 Xét hệ điều khiển cho bởi cặp trường vectơ (1; x) và (−1; x) trong hình

tròn (x −2)2+ (y − 2)2≤ 8 Khi đó miền dốc đứng là hình tròn bỏ đi trục tung Tại điểm A( 0; 4), O(0; 0) hệ không phải là truyền hướng địa phương, nên vùng truyền hướng địa phương là phần trục tung trong hình tròn bỏ đi hai điểm này.

Hình 1.3: Vùng truyền hướng địa phương và miền dốc đứng

Các loại điểm kỳ dị của hệ điều khiển tổng quát được A Davydov đưa ra đầy

đủ trong cuốn TLTK [1] Ở đây tôi đưa ra một số loại điểm kỳ dị đối chiều thấp màmột vài loại trong số đó có thể xuất hiện trên biên của mặt cong Xét một hệ songđộng lực trơn (#U = 2, hay nói cách khác đó là một hệ được cho bởi một cặp trườngvectơ trơn) trên mặt phẳng Ta ký hiệu cặp trường đó là v = (v1, v2) và w = (w1, w2),đặt

p(z) =

v1 v2

w1 w2

... M

Các kỳ dị trường hướng tới hạn hệ điều khiển đa tạp (mặt cong) compact trơn không biên A Davydov nghiên cứu vào năm 80-9 0của kỷ trước Đối với trường hợp mặt cong có biên, kỳ dị trường hướngtới... điểm biên mặt cong M biên miền dốcđứng hoành nhau, cịn hướng tới hạn khơng tiếp xúc với biên mặt cong M cũngnhư biên miền dốc đứng

Mệnh đề 2.1.3 Đối với hệ điều khiển tổng quát mặt cong. .. vectơ trơn mặt cong Tức họ đường tới hạn hệ điều khiển tổngquát hệ đầy đủ gần với chuyển thành phép đồngphơi gần với ánh xạ đồng Trong thân hướng tới hạn kỳ d? ?của phụ thuộc vào hệ điều khiển Đặc