Bài toán ổn định và ổn định hóa đối với một số lớp phương trình vi phân bậc phân số (tt)

Bài toán ổn định và ổn định hóa đối với một số lớp phương trình vi phân bậc phân sốBài toán ổn định và ổn định hóa đối với một số lớp phương trình vi phân bậc phân sốBài toán ổn định và ổn định hóa đối với một số lớp phương trình vi phân bậc phân sốBài toán ổn định và ổn định hóa đối với một số lớp phương trình vi phân bậc phân sốBài toán ổn định và ổn định hóa đối với một số lớp phương trình vi phân bậc phân sốBài toán ổn định và ổn định hóa đối với một số lớp phương trình vi phân bậc phân sốBài toán ổn định và ổn định hóa đối với một số lớp phương trình vi phân bậc phân sốBài toán ổn định và ổn định hóa đối với một số lớp phương trình vi phân bậc phân sốBài toán ổn định và ổn định hóa đối với một số lớp phương trình vi phân bậc phân số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

Công trình được hoàn thành tại:

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Người hướng dẫn khoa học:

PGS.TS Lê Văn Hiện

Phản biện 1:

Phản biện 2:

Phản biện 3:

Luận án được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp Trường họp tại

vào hồi giờ ngày tháng năm 20

Có thể tìm hiểu luận án tại:

- Thư viện Quốc gia Việt Nam

- Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Giải tích bậc phân số với một lịch sử lâu dài như là một lĩnh vực toán học thuầntúy Trong vài thập kỷ trở lại đây, các phương trình vi-tích phân bậc phân số đã thuhút sự quan tâm của nhiều tác giả bởi các ứng dụng của chúng trong việc mô tả nhiềubài toán từ các mô hình thực tiễn Có nhiều khái niệm đạo hàm bậc phân số Trong

số đó, đạo hàm theo nghĩa Caputo và đạo hàm Riemann-Liouville được sử dụng rộngrãi hơn do các tính chất đặc thù của chúng

Lý thuyết định tính các phương trình vi phân nói chung, lý thuyết ổn địnhnghiệm nói riêng, là một hướng nghiên cứu quan trọng trong lý thuyết điều khiển

hệ thống, góp phần giải quyết nhiều vấn đề đặt ra trong thực tiễn Đối với các hệ

vi phân với bậc nguyên, hướng nghiên cứu về ổn định đã ghi nhận nhiều thành tựuquan trọng cả về lý thuyết và áp dụng Tuy nhiên, đối với các hệ vi phân bậc phân

số, các kết quả nghiên cứu về tính ổn định vẫn rất khiêm tốn Khó khăn chính làcác phương pháp và cách tiếp cận đã được phát triển cho lớp hệ vi phân bậc nguyênthường không còn hiệu lực, đặc biệt là đối với các hệ vi-tích phân bậc phân số trongcác không gian vô hạn chiều

Nhiều vấn đề mở trong hướng nghiên cứu về lý thuyết định tính và dáng điệutiệm cận nghiệm nói chung, tính ổn định và ổn định hóa nói riêng, đối với các hệđộng lực mô tả bởi hệ phương trình vi-tích phân bậc phân số, cả trong trường hợphữu hạn và vô hạn chiều, cần tiếp tục nghiên cứu và hoàn thiện

2 Đối tượng và nội dung nghiên cứu

2.1 Sự đồng bộ của mạng nơron Hopfield với hệ số biến thiên và trễ tỉ lệTrong hai thập kỷ gần đây, các hệ động lực có cấu trúc mạng nơron đã đượcnghiên cứu và ứng dụng thành công trong nhiều lĩnh vực Trong các công trình đãcông bố, tính ổn định hay đồng bộ mới chỉ được nghiên cứu cho một số mô hìnhmạng nơron với trọng số kết nối các nơron là hằng và trễ bị chặn Mặt khác, trongcác mô hình mạng nơron có trễ, mô hình với trễ tỉ lệ được sử dụng rất phổ biến Việcnghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm các mô hình mạng nơron có trễ tỉ lệ thườnggặp nhiều khó khăn Đến nay, chúng tôi chưa tìm thấy một kết quả nghiên cứu nào

đề cập đến tính ổn định hay tính đồng bộ của mô hình mạng nơron mô tả bởi hệ viphân bậc phân số với trễ tỉ lệ Trong Chương 2 của luận án này, dựa trên bài báo [1]trong Danh mục công trình công bố của luận án, chúng tôi nghiên cứu tính đồng bộvới tốc độ hội tụ kiểu đa thức cho mô hình mạng nơron Hopfield với hệ số kết nốibiến thiên chứa đa trễ tỉ lệ dạng sau đây:

Áp dụng quy tắc Leibniz về đạo hàm phân số và một số kĩ thuật trong nguyên

lý so sánh, chúng tôi thiết lập các điều kiện cho tính đồng bộ toàn cục với tốc độ đathức của mô hình (0.1) Cụ thể hơn, từ các điều kiện đặt ra, chúng tôi chỉ ra sự tồntại của các hằng số dươngβ vàγ sao cho hai nghiệm bất kìx(t)vàx(t) ˜ của (0.1) thỏamãn đánh giá

tuyến tính đóng không bị chặn trong không gian Banach X và F (.) là một ánh xạphi tuyến đa trị Dựa trên cách tiếp cận bằng lý thuyết điểm bất động đối với ánh xạ

đa trị, và bằng việc xây dựng một độ đo không compact chính quy, chúng tôi chứngminh sự tồn tại của một tập compact các nghiệm hút toàn cục đối với (0.2a)-(0.2c)

2.3 Ổn định hóa bằng điều khiển phản hồi phân quyền một số lớp hệ dương bậc phân số dạng kết nối

Thuật ngữ hệ kết nối thường được sử dụng để chỉ các hệ điều khiển được cấuthành từ hai hay nhiều hệ đơn lẻ hoạt động đồng thời và ảnh hưởng lẫn nhau thôngqua các kênh kết nối Trong điều khiển kĩ thuật, đối với các hệ dạng kết nối, haichiến lược điều khiển phổ biến nhất là kĩ thuật điều khiển trung tâm và điều khiểnphân quyền Trong phần thứ nhất của Chương 4 của luận án này, dựa trên bài báo[3] trong Danh mục công trình công bố, chúng tôi nghiên cứu bài toán ổn định hóacác hệ dương tuyến tính dạng kết nối mô tả bởi hệ phương trình vi phân bậc phân

số sau đây sau đây

Trong phần sau của chương, dựa trên bài báo [4] trong Danh mục công trìnhcông bố, chúng tôi mở rộng nghiên cứu tính ổn định hóa bền vững bằng điều khiểnphân quyền đối với lớp hệ dương bậc phân số chứa trễ và tham số không chắc chắn

ở đó τ ij (t) là độ trễ trạng thái trong liên kết giữa hệ địa phương thứ i và thứ j,

kiện ổn định và ổn định hóa vững đối với (0.4) cũng được chúng tôi thiết lập thôngqua các bài toán LP Các điều kiện này là cần và đủ trong trường hợp các ma trận

hệ số biết chắc chắn

3 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu sử dụng trong luận án là sự kết hợp của một số phươngpháp trong giải tích hàm phi tuyến, giải tích bậc phân số, giải tích đa trị, lý thuyết

ổn định Lyapunov, lý thuyết điểm bất động và lý thuyết nửa nhóm toán tử Chẳnghạn, khi nghiên cứu nội dung 1, dựa trên các biễu diễn tích phân bậc phân số vàquy tắc Leibniz đối với đạo hàm bậc phân số, chúng tôi phát triển kĩ thuật so sánhkiểu Lyapunov-Razumikhin để tìm kiếm các điều kiện đồng bộ của hệ Trong một sốtrường hợp đặc biệt, các điều kiện đó được xác định bởi tính chất phổ của các M-matrận Đối với nội dung 2, lý thuyết nửa nhóm, giải tích đa trị và giải tích bậc phân

số được sử dụng trong việc biểu diễn các công thức nghiệm của bài toán Từ đó, lýthuyết độ đo không compact và lý thuyết điểm bất động được vận dụng để nghiêncứu sự tồn tại nghiệm và nghiệm hút toàn cục

4 Kết quả đạt được của luận án

Luận án đã đạt được các kết quả sau đây:

1 Thiết lập được các điều kiện đồng bộ với tốc độ lũy thừa cho một lớp hệ phươngtrình vi phân bậc phân số với hệ số biến thiên mô tả mô hình mạng nơronHopfield với trễ tỉ lệ

2 Chứng minh được sự tồn tại nghiệm trên các đoạn compact và sự tồn tại nghiệmhút toàn cục cho lớp các bao hàm thức vi phân bậc phân số chứa xung với điềukiện đầu không cục bộ

3 Đưa ra các điều kiện cần và đủ cho tính ổn định và ổn định hóa bằng điều khiểnphân quyền đối với hai lớp hệ điều khiển bậc phân số dạng kết nối Các điềukiện ổn định và ổn định hóa đó được thiết lập thông qua các bài toán quy hoạchtuyến tính, cho phép ta có thể kiểm tra một cách hiệu quả bằng nhiều công cụtính toán dựa trên các thuật toán lồi

Các kết quả trên đây của luận án được công bố trong 04 bài báo trên các tạpchí quốc tế có uy tín (trong danh mục ISI)

5 Cấu trúc của luận án

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục công trình công bố và tài liệu thamkhảo, luận án gồm 4 chương Chương 1 là phần kiến thức chuẩn bị, ở đó chúng tôi

trình bày một số kiến thức cơ sở về giải tích bậc phân số, giải tích đa trị, một số định

lí điểm bất động, lý thuyết nửa nhóm và một số kết quả bổ trợ cho việc trình bàynội dung các chương sau của luận án Chương 2 nghiên cứu tính đồng bộ của mạngnơron dạng Hopfield bậc phân số với hệ số biến thiên và trễ tỉ lệ không đồng nhất.Chương 3 trình bày các kết quả nghiên cứu về lớp bao hàm thức vi phân bậc phân sốkiểu Sobolev trong không gian Banach vô hạn chiều Và cuối cùng, Chương 4 nghiêncứu bài toán thiết kế điều khiển phân quyền đối với hai lớp hệ dương dạng kết nối

mô tả bởi hệ vi phân điều khiển bậc phân số

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức cơ sở về giải tích bậcphân số, giải tích đa trị, một số định lí điểm bất động, lý thuyết nửa nhóm và một

Định nghĩa 1.4.1 Cho trước một số thực α > 0, tích phân bậc α của hàm f ∈

Định nghĩa 1.4.2 Cho N là một số nguyên dương Đạo hàm Caputo bậc α ∈ (N −

Γ(N − α)

Z t 0

f (s) − f(0) (t − s) α ds



,

ở đó D+ là đạo hàm Dini trên bên phải.

Định nghĩa 1.4.3 Đạo hàm bậc α theo nghĩa Riemann-Liouville của một hàm f (.)

được định nghĩa bởi

f (s) (t − s) α−n+1 ds, t > 0,

Với một hàm f (.) ∈ C1 [0, ∞) và một số thực0 < α < 1, mối liên hệ giữa đạo hàmRiemann-Liouville RL Dα0f (t) và đạo hàm Caputo D0αf (t) được cho bởi công thức

D0αf (t) =RLDαf (t) − f (0)

Γ(1 − α)t

−α

Bổ đề 1.4.1 (Quy tắc Leibniz ) Với một hàm f (.) ∈ C1 [0, ∞) và một số thực 0 < α <

1, giả sử rằng hàm ϕ(.) và mọi đạo hàm của nó liên tục trên đoạn [0, t], t > 0, ta cóquy tắc Leibniz sau đây cho đạo hàm bậc phân số

Z 1 0

F α (t, u, v)dudv

với F α (t, u, v) = f (vt)ϕ(n+1)(t(u + v − uv))

Định nghĩa 1.4.4 Hàm Mittag-Leffler một tham số E α (z) được định nghĩa bởi

Định nghĩa 1.4.5 Phép biến đổi Laplace của một hàm f (.) được cho bởi

Z ∞ 0

e−stf (t)dt.

Khi đó, L{Dα

0 f (t)} = sαF (s) − sα−1f (0).1.5 Ánh xạ đa trị và một số định lí điểm bất động

Cho X là một không gian Banach và B(X) là họ các tập con khác rỗng bị chặncủa X

Định nghĩa 1.5.1 Một hàm β : B(X) → R+ được gọi là một độ đo không compact(MNC) trong X nếu

ở đó co Ω là bao lồi đóng của Ω Hơn nữa, MNC β được gọi là:

i) Đơn điệu nếu Ω 0 , Ω 1 ∈ B(X), Ω 0 ⊂ Ω 1 suy ra β(Ω 0 ) ≤ β(Ω 1 )

ii) Không suy biến nếu β({a} ∪ Ω) = β(Ω) với bất kì a ∈ X, Ω ∈ B(X)

iii) Bất biến theo miền của tập compact nếu β(K ∪ Ω) = β(Ω) với mỗi tập compacttương đối K ⊂ X và Ω ∈ B(X)

iv) Nửa cộng tính dưới nếu β(Ω 0 + Ω 1 ) ≤ β(Ω 0 ) + β(Ω 1 ) với bất kì Ω 0 , Ω 1 ∈ B(X).v) Chính quy nếu β(Ω) = 0 tương đương với tính compact tương đối của Ω

Một ví dụ quan trọng là độ đo không compact Hausdorff χ(·):

Định nghĩa 1.5.2 Một ánh xạ đa trị F : Z ⊆ X → P(X) được gọi là nén theo độ đokhông compact β (β-nén) nếu với mỗi tập bị chặn Ω ⊂ Z, từ

β(Ω) ≤ β(F(Ω))

suy ra tính compact tương đối của Ω, ở đó P(X) là họ các tập con của X

Định lí 1.5.1 Cho X là một không gian Banach và f : X → X là một ánh xạ co, tức

một điểm bất động

Định lí 1.5.2 Cho M là một tập con lồi đóng bị chặn của X và cho F : M → M làmột ánh xạ β-nén Khi đó, FixF := {x = F(x)} là một tập compact khác rỗng

Định lí 1.5.3 Cho M là một tập con lồi đóng bị chặn của X và F : M → Kv(M)

là một ánh xạ đa trị β-nén và nửa liên tục trên Khi đó tập các điểm bất động

compact khác rỗng của M

2.1 Mô hình mạng nơron Hopfield bậc phân số

Xét lớp hệ vi phân bậc phân số mô tả mạng nơron Hopfield sau đây

thứ i tại thời điểm t, I i (t) là tín hiệu đầu vào của nơron thứ i, d i (t) > 0 là tốc độ tự

ức chế của nơron thứi, a ij (t), b ij (t) là các trọng số kết nối giữa các nơron, f j (.), g j (.),

đồng nhất và x0 = (x0i) ∈Rn là điều kiện đầu Các hệ số aij(t), bij(t) và di(t) được giảthiết là các hàm liên tục trên R+ Đồng thời, chúng tôi cũng giả thiết:

(A1) f j (0) = 0, g j (0) = 0 và tồn tại các số thực không âm lf j, l gj, j ∈ [n], sao cho

|f j (a) − f j (b)| ≤ l f j |a − b|, |g j (a) − g j (b)| ≤ l gj |a − b|, ∀a, b ∈R. (2.2)

Để thuận tiện, chúng tôi kí hiệu

ở đó F (t, u, v) = (F i (t, u, v)), u = (u i ) ∈ Rn và v = (v ij ) ∈ Rn×n, là hàm liên tục vàLipschitz địa phương trên R+ ×Rn ×Rn×n Do đó, với mỗi vectơ ban đầu x0 ∈ Rn,tồn tại duy nhất một nghiệm x(t) = x(t, x0) của hệ (2.1) xác định trên [0, ∞).

Định nghĩa 2.1.1 Hệ (2.1) được gọi là đồng bộ toàn cục với tốc độ lũy thừa nếutồn tại các hằng số γ > 0, β ≥ 1 sao cho bất kì hai nghiệm x 1 (t) và x 2 (t) của (2.1)tương ứng với điều kiện đầu x01 và x02 thỏa mãn đánh giá sau

kx 1 (t) − x 2 (t)k ∞ ≤ βkx

0

1 − x02 k ∞

(1 + t) γ , ∀t ≥ 0.

Ta gọi số γ là tốc độ đồng bộ lũy thừa của hệ (2.1)

Nhận xét 2.1.2 Đánh giá đưa ra trong Định nghĩa 2.1.1 chỉ ra tính hút với tốc độlũy thừa của một nghiệm cố định x 1 (t) bất kì Tính chất này được gọi là O(t−γ) ổnđịnh trong một công trình công bố gần đây của các tác giả khác Trong lý thuyết các

mô hình mạng, khái niệm đồng bộ được sử dụng phổ biến hơn để chỉ tính chất hội

tụ của hai quỹ đạo trạng thái bất kì của cùng một mạng hoặc hai mạng có cấu trúctương đồng Vì vậy, ở đây chúng tôi sử dụng khái niệm đồng bộ với tốc độ lũy thừa.2.2 Sự đồng bộ nghiệm

Để phân tích tính đồng bộ của mô hình (2.1), chúng tôi xét điều kiện

Điều kiện (C1): Tồn tại số thực r > 0 và một vectơ ν = (ν i ) ∈Rn, ν ≻ 0, thỏa mãn

đủ cho sự tồn tại của hằng số r > 0 trong (2.3) là

2 √

2

nếu (2.3) được thỏa mãn với một α∗ cố định và r∗> 0 (ở đóqijα được thay bởiq ij như

đề cập trong Nhận xét 2.2.1) thì (2.3) thỏa mãn với bất kì α ∈ [α∗, 1) Hằng số r cóthể chọn bởi

r >



2 √ π 3

1/α∗

max{1, r ∗ }.

Kết quả chính của mục này được trình bày trong định lí dưới đây.

Định lí 2.2.1 Giả sử giả thiết (A1) và điều kiện (C1) được thỏa mãn Khi đó, hệ(2.1) là đồng bộ toàn cục với tốc độ lũy thừa Cụ thể, bất kỳ nghiệm x 1 (t) và x 2 (t) của(2.1) tương ứng với các điều kiện đầu x01 và x02 thỏa mãn đánh giá

kx 1 (t) − x 2 (t)k ∞ ≤ C ν rαmkx01 − x02 k ∞

ở đó C ν = νuνl−1, νu = maxi∈[n]ν i, ν l = mini∈[n]ν i và r m = 12(r + 1 + |r − 1|)

Nhận xét 2.2.3 Phương pháp chúng tôi sử dụng trong mục này có thể áp dụng cho

mô hình hệ nơron bậc phân số với trễ biến thiên bị chặn dạng sau đây:

Bây giờ chúng ta xét một trường hợp hạn chế hơn của (C1) Giả sử rằng:(A2) Tồn tại các hằng số di, a ij và b ij, i, j ∈ [n], sao cho

Chương 3 NGHIỆM HÚT TOÀN CỤC CỦA BAO HÀM THỨC VI PHÂN BẬC PHÂN SỐ KIỂU SOBOLEV TRONG KHÔNG GIAN BANACH

Chương này trình bày các kết quả nghiên cứu về một lớp bao hàm thức vi phânbậc phân số kiểu Sobolev trong không gian Banach vô hạn chiều Dựa trên cách tiếpcận bằng các độ đo không compact và định lí điểm bất động của ánh xạ nén, trướctiên chúng tôi chứng minh sự tồn tại nghiệm tích phân trên khoảng hữu hạn Sau

đó chúng tôi thiết lập các điều kiện và chứng minh sự tồn tại một tập compact khácrỗng các nghiệm hút toàn cục của bài toán và cuối cùng đưa ra một ví dụ áp dụngđối với một lớp phương trình đạo hàm riêng bậc phân số để minh họa cho các kếtquả lý thuyết Nội dung của chương này dựa trên bài báo [2] trong Danh mục côngtrình công bố

3.1 Sự tồn tại nghiệm trên khoảng thời gian hữu hạn

Cho X là một không gian Banach Xét một lớp bao hàm thức vi phân kiểuSobolev sau đây:

Λ ⊂N và toán tử xung ∆u(tk) = u(t+k) − u(t−k) Các hàm phi tuyếnF, g và Ik sẽ đượcchỉ rõ trong các mục sau

Để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán (3.1)-(3.3), chúng tôi xét các điềukiện sau:

(A) AB−1 là toán tử sinh của một C 0 - nửa nhóm {T (t)}t≥0 liên tục theo chuẩn

xạ đa trị thỏa mãn các điều kiện:

1 Với mỗi v ∈ X, ánh xạ đa trị F (·, v) có hàm chọn đo được mạnh và ánh xạ

đa trị F (t, ·) là nửa liên tục trên với hầu khắp t ∈ (0, T );

2 Tồn tại các hàm m ∈ Lp (0, T ), p > α1 và Ψ F là một hàm thực liên tục khônggiảm sao cho

và với hầu khắp t ∈ (0, T ), ở đây kF (t, v)k = sup{kξk : ξ ∈ F (t, v)};

3 Nếu B−1 và T (·) không compact thì với bất kì tập con bị chặn D ⊂ X,

χ(F (t, D)) ≤ k(t)χ(D)

với hầu khắp t ∈ (0, T ), ở đó k ∈ Lp (0, T ) là một hàm không âm

(G) Hàm không cục bộ g : PC([0, T ]; X) → D(B) thỏa mãn các điều kiện:

kBg(u)k ≤ Ψ g (kuk PC ), ∀u ∈ PC([0, T ]; X),

ở đó Ψg là một hàm liên tục không giảm trên R+;

2 Tồn tại η ≥ 0 sao cho

với mọi tập bị chặn D ⊂ PC([0, T ]; X)

(I) Toán tử Ik : X → D(B) thỏa mãn:

một dãy không âm {lk } k∈Λ sao cho

kBI k (x)k ≤ l k ΨI(kxk) với mọi x ∈ X, k ∈ Λ;

2 Tồn tại một dãy không âm {µk } k∈Λ sao cho

với mọi tập con bị chặn D ⊂ X;

3 Dãy {tk}k∈Λ thỏa mãn infk∈Λ{t k+1 − t k } > 0