4,0 điểm 1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho tam giác cân tại , phương trình đường thẳng lần lượt là Gọi là trung điểm của là trung điểm của là hình chiếu vuông góc của trên Tìm tọa
Trang 1UBND TỈNH BẮC NINH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNHNĂM HỌC 2015 – 2016
Môn thi: Toán – Lớp 12
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 24 tháng 3 năm 2016
==========
Câu 1 (3,0 điểm)
Cho hàm số có đồ thị và điểm Tìm để đường thẳng
cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt và sao cho tứ giác là hình bình hành ( là gốc tọa độ)
Câu 2 (5,0 điểm)
2) Giải hệ phương trình
Câu 3 (4,0 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho tam giác cân tại , phương trình đường thẳng lần lượt là Gọi là trung điểm của là trung điểm của là hình chiếu vuông góc của trên Tìm tọa độ các điểm
2) Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng và hai đường thẳng Viết phương trình đường thẳng song song với mặt phẳng và cắt lần lượt tại sao cho
Câu 4 (2,5 điểm)
Cho hai đường thẳng cố định và chéo nhau Gọi là đoạn vuông góc chung của và ( thuộc thuộc ) Trên lấy điểm (khác ), trên lấy điểm (khác ) sao cho
Biết góc giữa hai đường thẳng và bằng Tính thể tích khối tứ diện theo Khi thể tích khối tứ diện đạt giá trị lớn nhất hãy tính độ dài đoạn
Câu 5 (4,0 điểm)
1) Tính tích phân
2) Cho là số nguyên dương thỏa mãn Tìm biết
Câu 6 (1,5 điểm)
Cho là các số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng
-Hết -Thí sinh không được sử dụng tài liệu, giám thị coi thi không giải thích gì thêm
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2UBND TỈNH BẮC NINH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH HƯỚNG DẪN CHẤM
NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn: Toán – Lớp 12
Hoành độ của và là nghiệm của pt:
0,5
Vì và không là nghiệm của nên luôn có hai
nghiệm phân biệt khác luôn cắt tại hai điểm phân biệt 0,5
Do các điểm và thuộc đường thẳng nên để là hình bình hành thì
0,5
0,5
+ thì thẳng hàng nên không thỏa mãn
+ thỏa mãn
Chú ý:
Học sinh sử dụng điều kiện vẫn cho tối đa điểm
Nếu không loại trường hợp trừ 0,5đ
0,5
1,0
0,5
Vậy pt có nghiệm là ,
0,5
Điều kiện
0,5
Trang 3Phương trình
Trường hợp 1: , không thỏa mãn hệ phương trình
Chú ý:
Nếu không xét trường hợp thì trừ 0,25đ
Trường hợp 2:
0,5
Thế vào phương trình ta được
, ĐK Với ta có ( Theo bất đẳng thức Cauchy)
Kết hợp với phương trình ta có
1,0
Với thỏa mãn phương trình
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
0,5
Cách 2
Xét hàm số trên ,
trên
Sử dụng phương pháp hàm số ta được
Trang 4,
Từ đó phương trình có nghiệm duy nhất
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
B
A
Tọa độ điểm thỏa mãn
0,5
Cách 1: Xét hai tam giác và
( Vì là hai tam giác đồng dạng)
Do đó,
0,5
Đường thẳng qua , vectơ pháp tuyến có phương trình
Tọa độ điểm thỏa mãn
0,5
Gọi ta có
thỏa mãn
loại do nằm ngoài
Chú ý: Nếu không loại điểm trừ 0,25 điểm.
0,5
Trang 5Do song song với nên
Suy ra,
Do đó,
0,5
Suy ra,
(thỏa mãn) PT của
0,5
(thỏa mãn) PT của
Chú ý: Nếu học sinh không kiểm tra lại điều kiện thống nhất vẫn cho điểm tối đa
0,5
6
y
x
N M
B A
Dựng hình chữ nhật
Ta có
0,5 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 0,5 Khi đó
Lại có
Mặt khác hoặc
0,5
Trường hợp 1: đều
Trường hợp 2:
Chú ý: Nếu học sinh chỉ tính đúng được một kết quả của thì cho 0,5 điểm trong tổng số
1,0 điểm.
0,5
Trang 65.1 2,0
Ta có
1,0
Đặt
Xét hàm số
1,0
Mà thỏa mãn Vậy là giá trị cần tìm
Chú ý: Nếu học sinh chỉ nhẩm được trường hợp cho 0,25 điểm.
1,0
Ta chứng minh
Ta có Thật vậy, xét hàm số
Từ BBT suy ra,
Do đó,
Tương tự
chỉ khi
0,75
Ta chứng minh
Xét hàm số
có nghiệm duy nhất trên
0,5
Trang 7Từ BBT suy ra
Do đó,
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
1 Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược một cách giải Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới được tính điểm tối đa
2 Với các cách giải đúng nhưng khác đáp án, tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi tiết nhưng không được vượt quá số điểm dành cho bài hoặc phần đó Mọi vấn đề phát sinh trong quá trình chấm phải được trao đổi trong tổ chấm và chỉ cho điểm theo sự thống nhất của cả tổ
3 Điểm toàn bài là tổng số điểm của các phần đã chấm, không làm tròn điểm
CÂU HỎI DỰ PHÒNG
Cho hàm số có đồ thi điểm Tìm để đường thẳng cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt và sao cho tứ giác là hình bình hành ( là gốc toạ độ)
Do các điểm và thuộc đường thẳng nên để là hình bình hành thì
Hoành độ của và là nghiệm của pt:
Vì ,nên luôn có hai nghiệm phân biệt , luôn cắt tại hai điểm phân biệt
Giả sử là nghiệm của ta có:
Gọi
+ thì thẳng hàng nên không thoã mãn
+ thoã mãn
Giải phương trình:
Pt cos4x + cos2x + sin(3x - ) + sin(x- ) = 0
2cos3x cosx + 2sin(2x- ) cosx = 0
Trang 8Với cosx = 0 x =
Với cos3x + sin(2x- ) = 0
ĐK :
Kiểm tra điều kiện ta được nghiệm
Cho các số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhấtcủa
Từ giả thiết ta có
Do đó, là nghiệm của phương trình
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
Phương trình có nghiệm
Trang 9Nhận xét Do đó, để tìm giá trị lớn nhất của ta chỉ cần xét trường hợp
Đặt
Xét hàm số
Từ bảng biến thiên suy ra,
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Cho là các số dương thỏa mãn Chứng minh rằng
Ta chứng minh
Ta có
Thật vậy, xét hàm số
Từ BBT suy ra,
Do đó,
Trang 10Tương tự
khi
Ta chứng minh
Ta có
Xét hàm số
có nghiệm duy nhất trên
Từ BBT suy ra
Do đó,
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
Giải hệ phương trình
Đặt Ta được
do
Do đó,
Trang 11Ta có
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho tam giác cân tại , phương trình đường thẳng
trung điểm của là hình chiếu vuông góc của trên Tìm tọa độ các điểm
Tọa độ điểm thỏa mãn
Trang 12Ta có đồng dạng nên hay
Do đó,
Đường thẳng qua , vecto pháp tuyến có phương trình
Tọa độ điểm thỏa mãn
Gọi ta có
thỏa mãn
loại
Trang 13cho hai đường thẳng và mặt phẳng
Lập phương trình đường thẳng (d) song song với mặt phẳng (P) và cắt lần lượt tại A, B sao cho
Do AB song song với (P) nên:
Suy ra,
Do đó,
Suy ra,
PT của
PT của
Cho tứ diện đều các cạnh bằng Gọi là trọng tâm của tứ diện, mặt phẳng qua cắt các cạnh lần lượt tại Xác định vị trí của mặt phẳng để thể tích khối chóp
đạt giá trị nhỏ nhất
H
N
M
S
C B
A
Trang 14Biết là số nguyên dương, và
Tìm Xét hàm số
Xét hàm số
Do đó, đồng biến trên