Thuật toán ghép đôi với thông tin không đầy đủ

Cấu trúc của luận văn gồm có 3 Chương: Chương 1: Tổng quan một số vấn đề về lý thuyết đồ thị: Các định nghĩa, các loại đồ thị, đường đi, thuật toán ghép đôi, thuật toán giải quyết với th

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

LÊ VĂN ĐỨC

THUẬT TOÁN GHÉP ĐÔI

VỚI THÔNG TIN KHÔNG ĐẦY ĐỦ

Chuyên ngành: Cơ sở toán cho tin học

Mã số:60460110

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS Nguyễn Thị Hồng Minh

Hà Nội – Năm 2017

LỜI CẢM ƠN

Em xin gửi lời cảm ơn tới các thầy giáo, cô giáo, cán bộ khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội đã tận tình dạy dỗ và giúp đỡ em trong suốt thời gian học cao học

Trong quá trình thực hiện luận văn này cũng như trong suốt những năm học vừa qua, em đã nhận được sự chỉ bảo và hướng dẫn nhiệt tình của TS Nguyễn Thị Hồng Minh Em xin gửi tới Cô lời cảm ơn chân thành nhất

Em cũng xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã động viên, khuyến khích

và tạo điều kiện cho em trong quá trình học tập và thực hiện luận văn này

Mặc dù đã cố gắng để hoàn thành luận văn, nhưng do hạn chế về kinh nghiệm và thời gian, nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót Em mong nhận được sự cảm thông và những ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn

Xin chúc mọi người luôn mạnh khoẻ, đạt được nhiều thành tích cao trong công tác, học tập và nghiên cứu khoa học!

Trân trọng cảm ơn!

Hà Nội, tháng 11 năm 2017

Học viên

Lê Văn Đức

MỤC LỤC

LỜI MỞ ĐẦU 1

Chương 1.LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ VÀ BÀI TOÁN GHÉP ĐÔI 3

1.1 Khái niệm cơ bản 3

1.1.1 Đồ thị vô hướng 3

1.1.2 Đồ thị hai phía 3

1.1.3 Đồ thị hai phía đầy đủ 5

1.2 Bài toán ghép đôi 6

1.2.1 Bài toán ghép đôi không trọng và các khái niệm 6

1.2.2 Bài toán tìm bộ ghép đầy đủ với trọng số cực tiểu trên đồ thị hai phía 8

1.2.3 Bài toán tìm bộ ghép đầy đủ với trọng số cực đại trên đồ thị hai phía 11

1.3 Thuật toán ghép đôi với thông tin đầy đủ 12

1.3.1 Phát biểu bài toán 12

1.3.2 Bài toán hôn nhân bền vững 12

1.4 Kết luận chương 17

Chương 2.GHÉP ĐÔI VỚI THÔNG TIN KHÔNG ĐẦY ĐỦ 18

2.1 Giới thiệu bài toán 18

2.1.1 Các đặc trưng của bài toán 19

2.1.2 Điều kiện cần giải bài toán 20

2.2 Phát biểu bài toán, các khái niệm 21

2.2.1 Đặt bài toán 21

2.2.2 Khái niệm thông tin không đầy đủ 23

2.3 Tính ổn định thuật toán ghép đôi với thông tin không đầy đủ 28

2.3.1 Tính hợp lý riêng 28

2.3.2 Tính ổn định với thông tin đầy đủ 28

2.3.3 Tính ổn định với thông tin không đầy đủ 29

2.3.4 Mô tả về điểm cố định 33

2.4 Các phép suy luận của sự ổn định thông tin không đầy đủ 34

2.4.1 Giả định về mức thù lao 34

2.4.2 Hiệu suất theo tính siêu modul 35

2.4.3 Hiệu suất theo tính nghịch biến 37

2.4.4 Đối xử không bình đẳng 38

2.4.5 Mối quan hệ ổn định với thông tin không đầy đủ 40

2.5 Thuật toán ghép đôi đảm bảo tính ổn định 43

2.5.1 Ý tưởng 43

2.5.2 Thuật toán 43

2.6 Minh họa với bài toán cụ thể 44

2.6.1 Bài toán ghép đôi người lao động với công ty 44

2.6.2 Bài toán hôn nhân bền vững không đầy đủ thông tin 45

2.6.3 Bài toán tuyển sinh đại học 47

Chương 3.THỰC NGHIỆM BÀI TOÁN GHÉP ĐÔI THÔNG TIN KHÔNG ĐẦY ĐỦ 52

3.1 Bài toán 52

3.2 Phân tích yêu cầu bài toán 52

3.3 Thiết kế chương trình 53

3.3.1 Ngôn ngữ thực nghiệm 53

3.3.2 Kết quả thực nghiệm 53

KẾT LUẬN 57

TÀI LIỆU THAM KHẢO 58

DANH SÁCH HÌNH VẼ

Hình 1: Đồ thị vô hướng 3

Hình 2: Đồ thị hai phía không có chu trình 4

Hình 3: Đồ thị hai phía có chu trình 4

Hình 4: Đồ thị không phải đồ thị hai phía 4

Hình 5: Đồ thị hai phía đầy đủ hình sao 5

Hình 6: Đồ thị hai phía đầy đủ với m = n 5

Hình 7: Đồ thị hai phía đầy đủ với m ≠ n 6

Hình 8: Đồ thị hai phía và bộ ghép M 7

Hình 9: Chú thích trong 1 ô của 1 bảng bài toán hôn nhân bền vững 16

Hình 10: Ghép đôi thông tin đầy đủ không ổn định 24

Hình 11: Ghép đôi với thông tin không đầy đủ 25

Hình 12: Loại người lao động thấp nhất không ghép với công ty loại thấp nhất 27

Hình 13: Một kết quả ghép cặp không phải là Σ0-ổn định 31

Hình 14: Các khoản thanh toán và cặp ghép từ hình 11 với sự thực hiện loại người lao động khác nhau 32

Hình 15: Ghép đôi khi không có siêu modul 36

Hình 16: Người lao đông theo tính nghịch biến và giá trị lao động của công ty 37

Hình 17: Kết quả cặp ghép bên trái ổn định với thông tin đầy đủ 38

Hình 18: Kết quả của cặp ghép bên phải là không hiệu quả, bị chi phối bởi cặp ghép bên trái trong hình này 38

Hình 19: Lỗi trong việc đối xử bình đẳng 40

Hình 20: Một kết quả cặp ghép ổn đinh với thông tin không đầy đủ 42

Hình 21: Kết quả đảm bảo tính ổn định với thông tin không đầy đủ 45

Hình 22: Chú thích trong 1 ô của 1 bảng bài toán tuyển sinh 50

Hình 23: Bộ dữ liệu thực nghiệm thứ nhất trong file input.txt 53

Hình 24: Kết quả thực nghiệm ghép đôi với 20 người lao động và 10 công ty 54

Hình 25: Bộ dữ liệu thực nghiệm thứ hai trong file input1.txt 55

Hình 26: Kết quả thực nghiệm ghép đôi với 5 người lao động và 10 công ty 55

Hình 27: Bộ dữ liệu thực nghiệm thứ ba trong file input2.txt 56

Hình 28: Kết quả ghép đôi với 20 người lao động và 20 công ty 56

1

LỜI MỞ ĐẦU

Lý thuyết Đồ thị là một trong những ngành khoa học ra đời khá sớm và có nhiều ứng dụng trong hiện đại Một trong những kết quả đầu tiên trong lý thuyết đồ thị xuất hiện trong bài báo của Leonhard Euler về Bảy cây cầu ở Königsberg Lý thuyết

Đồ thị giúp mô tả hình học và giải quyết nhiều bài toán thực tế phức tạp liên quan đến các khái niệm như: đường đi, chu trình, tập ổn định, chu số, sắc số, duyệt đồ thị, đường đi ngắn nhất, tâm đồ thị, luồng vận tải, đồ thị phẳng, cây bao trùm, cây biểu thức, cây mã tối ưu… Bằng các thuật toán ngắn gọn và lý thú, nó đã gắn kết nhiều ngành khoa học với nhau

Thuật toán ghép cặp trong lý thuyết đồ thị là một ví dụ cụ thể: Thuật toán ghép cặp đạt được những thành công nhất định và được áp dụng tại nhiều nước châu Âu

là thuật toán được nghiên cứu bởi hai nhà khoa học David Gale và Lloyd Shapley Thuật toán này đã được giới thiệu và đăng tải trên một tạp chí toán học vào năm

1962 Sau này, thuật toán còn được biết đến với tên gọi thuật toán Gale-Shapley Một trong những người tiên phong, và dũng cảm nhất, trong việc phát triển lý thuyết của Gale - Shapley là Alvin Roth, nhà kinh tế học của Trường đại học Harvard, khi đó ông đang phát triển các nghiên cứu kinh tế học thí nghiệm - tức là

mô phỏng các tương tác kinh tế trong môi trường có kiểm soát Ông cùng một số giáo sư khác như giáo sư Dale Stalh tổ chức các trò chơi kinh tếnhỏ và có thưởng để sinh viên tham gia Sau đó, các ông thu thập và phân tích kết quả của các trò chơi này và mô hình hóa các tương tác giữa những người chơi với nhau dựa trên quan sát thực tế

Năm 2012, Alvin Roth được nhận giải Nobel vì các công trình liên quan đến việc “thiết kế thị trường” Lưu ý là thuật toán Dale - Shapley bản chất cũng là việc thiết kế một luật chơi cho một dạng thị trường, tuy nhiên, trong ví dụ về gán ghép

áp dụng cho thị trường hôn nhân ở trên, khả năng áp dụng trên thực tế của nó hầu như không có mà chỉ có vẻ đẹp thuần túy về mặt lý thuyết Alvin đi xa hơn bằng việc sáng tạo ra các luật chơi áp dụng được, và đã áp dụng trong thực tế Nói cách

Cấu trúc của luận văn gồm có 3 Chương:

Chương 1: Tổng quan một số vấn đề về lý thuyết đồ thị: Các định nghĩa, các loại

đồ thị, đường đi, thuật toán ghép đôi, thuật toán giải quyết với thông tin đầy đủ

Chương 2:Phát biểu bài toán với thông tin không đầy đủ, tính ổn định với thông tin không đầy đủ, trình bày một số bài toán thực tế với thông tin không đầy đủ, minh họa thông tin không đầy đủ với bài toán tuyển dụng lao động của các công ty,

bài toán tuyển sinh đại học

Chương 3:Thực nghiệm: Là chương trình bày về một số thực nghiệm của thuật toán ghép đôi với thông tin không đầy đủ Trong đó, thực nghiệm và đưa ra kết quả đánh giá đối với bài toán đã trình bày trong Chương 2

3

Chương 1 LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ VÀ BÀI TOÁN GHÉP ĐÔI

Trong toán học và tin học, lý thuyết đồ thị nghiên cứu các tính chất của đồ thị

Đồ thị là một tập hợp các đối tượng được gọi là các đỉnh (hoặc nút) nối với nhau bằng các cạnh (hoặc cung) Cạnh có thể có hướng hoặc vô hướng Đồ thị thường được vẽ dưới dạng một tập các điểm (các đỉnh nối với nhau bằng các đoạn thẳng (các cạnh)

Đồ thị biểu diễn được rất nhiều cấu trúc, nhiều bài toán thực tế có thể được biểu diễn bằng đồ thị Ví dụ, cấu trúc liên kết của một website có thể được biểu diễn bằng một đồ thị có hướng như sau: các đỉnh là các trang web hiện có tại website,

tồn tại một cạnh có hướng nối từ trang X tới trang Y khi và chỉ khi X có chứa một liên kết tới Y Do vậy, sự phát triển của các thuật toán xử lý đồ thị là một trong các

mối quan tâm chính của khoa học máy tính

Kiến thức trong chương này được trình bày dựa vào các tài liệu [1], [2], [3], [4], [15]

1.1 Khái niệm cơ bản

1.1.1 Đồ thị vô hướng

Đồ thị vô hướng G = (V,E) gồm:

- Vlà tập hợp khác rỗng mà các phần tử của nó gọi là đỉnh (vertex) của G

- E là đa tập hợp gồm các cặp không sắp thứ tự của hai đỉnh Mỗi phần tử của

E được gọi là một cạnh (edge) của G

Đồ thị vô hướng không có cạnh song song và không có khuyên gọi là đồ thị đơn

Nếu |X|=|Y| thì G được gọi là đồ thị hai phía cân bằng

Hình 2: Đồ thị hai phía không có chu trình

Hình 3: Đồ thị hai phía có chu trình

Hình 4: Đồ thị không phải đồ thị hai phía

5

1.1.3 Đồ thị hai phía đầy đủ

Cho G =(V,E) là một đồ thị vô hướng hai phía, một phân hoạch V thành hai tập con Xvà Y(X≠≠Yvà X Y =), sao cho không có cạnh nối giữa hai điểm trong

cùng một tập con Khi đó G được gọi là hai phía đầy đủ nếu: Với mọi cặp đỉnh (i,j)

mà i Xvà jYthì có đúng một cạnh nối i và j, ij là một cạnh trong E

Một đồ thị hai phía đầy đủ với các phân chia kích thước |X| = m, |Y| = n được kí hiệu là K m, n Hai đồ thị mà có kí hiệu giống nhau thì chúng đẳng cấu.Đồ thị hai phía

6

- K m,n với m ≠ n

Hình 7: Đồ thị hai phía đầy đủ với m ≠ n

Đồ thị hai phía gặp rất nhiều mô hình trong thực tế Chẳng hạn quan hệ hôn nhân giữa tập những người đàn ông và tập những người phụ nữ, việc sinh viên chọn trường, thầy giáo chọn tiết dạy trong thời khóa biểu hay người lao động chọn công

ty làm việc

1.2 Bài toán ghép đôi

1.2.1 Bài toán ghép đôi không trọng và các khái niệm

1.2.1.1 Bài toán

Cho một đồ thị hai phía G =(X Y, E)ở đây X là tập các đỉnh trái và Y là tập các

đỉnh phải của G[4] X={x[1], x[2],…, x[m]}, Y = {y[1], y[2],…, y[n]}

Bộ ghép (matching):Một bộ ghép của G là một tập hợp các cạnh của G đôi một

- Các cạnh trong M gọi là các cạnh đã ghép, các cạnh khác là chưa ghép

Nếu định hướng lại các cạnh của đồ thị thành cung, những cạnh chưa ghép được

định hướng từX sang Y, những cạnh đã ghép định hướng từY về X.Trên đồ thị định

hướng đó:

- Một đường pha: Là một đường đi đơn trong G bắt đầu bằng một

7

X_đỉnhchưa ghép, đi theo một cạnh chưa ghép sang Y, rồi đến một cạnh đã

ghép về X, rồi lại đến một cạnh chưa ghép sang Y… cứ xen kẽ nhau như vậy

- Một đường mở: Là một đường pha Bắt đầu từ một X_đỉnh chưa ghép kết

thúc bằng một Y_đỉnh chưa ghép

Ví dụ 1: Với đồ thị hai phía trong (hình 8) và bộ ghép

M ={(x[1], y[1]),(x[2], y[2])}

x[3] và y[3] là những đỉnh chưa ghép, các đỉnh khác là đã ghép

Đường (x[3], y[2], x[2], y[1]) là đường pha

Đường (x[3], y[2], x[2], y[1], x[1], y[3]) là đường mở

Hình 8: Đồ thị hai phía và bộ ghép M 1.2.1.2 Thuật toán đường mở

Thuật toán đường mở để tìm một bộ ghép lớn nhất cho bài toán ghép đôi được phát biểu như sau [4]:

Bước 1: Bắt đầu từ một bộ ghép bất kỳ M (thông thường bộ ghép được khởi gán

bằng bộ ghép rỗng hay được tìm bằng các thuật toán tham lam)

Bước 2: Tìm một đường mở

Bước 3:

 Nếu bước 2 tìm được đường mở thì mở rộng bộ ghép M: Trên đường mở,

loại bỏ những cạnh đã ghép khỏi M và thêm vào M những cạnh chưa ghép

Sau đó lặp lại bước 2

 Nếu bước 2 không tìm được đường mở thì thuật toán kết thúc

8

Mã giả cho bài toán ghép đôi không trọng:

Input: Đồ thị hai phía G =(X Y, E),

X={x[1], x[2],…, x[m]},Y={y[1], y[2],…, y[n]}

Input: Đồ thị hai phía đầy đủG = (X Y,E)

X={x[1], x[2],…, x[m]}, Y = {y[1], y[2],…, y[n]}

Được cho bởi ma trận vuông C cỡ kk, c[i, j] bằng trọng số cạnh nối đỉnh x[i]

với y[j] Giả thiết c[i, j]0 (i, j)

Output: Bộ ghép đầy đủ trọng số cực tiểu

Hai định lý sau đây tuy rất đơn giản nhưng là những định lý quan trọng tạo cơ sở

9

cho thuật toán sẽ trình bày:

Định lý 1: Loại bỏ khỏi G những cạnh trọng số lớn hơn 0 Nếu những cạnh

trọng số 0 còn lại tạo ra bộ ghép k cạnh trong G thì đây là bộ ghép cần tìm

Chứng minh: Theo giả thiết, các cạnh của G mang trọng số không âm nên bất

kỳ bộ ghép nào trong G cũng có trọng số không âm, mà bộ ghép ở trên mang trọng

số 0, nên tất nhiên đó là bộ ghép đầy đủ trọng số nhỏ nhất

phần tử thuộc hàng i của ma trận C) thì không ảnh hưởng tới bộ ghép đầy đủ trọng

số nhỏ nhất

Chứng minh: Với một bộ ghép đầy đủ bất kỳ thì có một và chỉ một cạnh ghép

với x[i] Nên việc cộng thêm  vào tất cả các cạnh liên thuộc với x[i] sẽ làm tăng

trọng số bộ ghép đó lên  Vì vậy nếu như ban đầu, M là bộ ghép đầy đủ trọng số nhỏ nhất thì sau thao tác trên, M vẫn là bộ ghép đầy đủ trọng số nhỏ nhất

Nếu ta định hướng lại các 0_cạnh theo cách: Những 0_cạnh chưa ghép cho hướng

từ tập X sang tập Y, những 0_cạnh đã ghép cho hướng từ tập Y về tập X Khi đó:

- Đường pha: Là một đường đi cơ bản xuất phát từ một X_ đỉnh chưa ghép đi

theo các 0_cạnh đã định hướng ở trên Như vậy dọc trên đường pha, các

0_cạnh chưa ghép và những 0_cạnh đã ghép xen kẽ nhau Vì đường pha chỉ

là đường đi cơ bản trên đồ thị định hướng nên việc xác định những đỉnh nào

có thể đến được từ x  X bằng một đường pha có thể sử dụng các thuật toán

tìm kiếm trên đồ thị Những đỉnh và những cạnh được duyệt qua tạo thành

Bắt đầu từ đỉnh x*, thử tìm đường mở bắt đầu ở x* bằng thuật toán tìm kiếm trên

đồ thị Có hai khả năng có thể xảy ra:

- Hoặc tìm được đường mở thì dọc theo đường mở, ta loại bỏ những cạnh đã

ghép khỏi M và thêm vào M những cạnh chưa ghép, ta được một bộ ghép mới nhiều hơn bộ ghép cũ 1 cạnh và đỉnh x* trở thành đã ghép

- Hoặc không tìm được đường mở thì có thể xác định được:

VisitedX= {Tập những X_đỉnh có thể đến được từ x* bằng một đường pha} VisitedY= {Tập những Y_đỉnh có thể đến được từ x* bằng một đường pha}

Gọi  là trọng số nhỏ nhất của các cạnh nối giữa một đỉnh thuộc VisitedX với một đỉnh không thuộc VisitedY Dễ thấy >0 bởi nếu =0 thì tồn tại một 0_cạnh (x,

một 0_cạnh nên x* cũng đến được y bằng một đường pha, dẫn tới y VisitedY, điều

này vô lý

Biến đổi đồ thịG với x VisitedX, trừ  vào trọng số những cạnh liên thuộc

với x, với yVisitedY, cộng  vào trọng số những cạnh liên thuộc với y

Lặp lại thủ tục tìm kiếm trên đồ thị thử tìm đường mở xuất phát ở x* cho tới khi

tìm ra đường mở

11

Bước 3: Sau bước 2 thì mọi X_đỉnh đều được ghép, in kết quả về bộ ghép tìm được

1.2.3 Bài toán tìm bộ ghép đầy đủ với trọng số cực đại trên đồ thị hai phía

1.2.3.1 Bài toán

Input: Đồ thị hai phía đầy đủG = (X Y,E)

X={x[1], x[2],…, x[m]}, Y = {y[1], y[2],…, y[n]}

Được cho bởi ma trận vuông C cỡ kk, c[i, j]bằng trọng số cạnh nối đỉnh x[i]

với y[j] Giả thiết c[i, j]0 (i, j)

Output: Bộ ghép đầy đủ trọng số cực đại

- Khởi tạo hai dãy Fx và Fythỏa mãn: i, j: Fx[i] + Fy[j] c[i, j]; chẳng hạn

ta có thể đặt Fx[i] := Phần tử lớn nhất trên dòng i của ma trận C và đặt các

Fy[j] :=0

Bước 2: Với mọi đỉnh x* X ta tìm cách ghép x*:

Bắt đầu từ đỉnh x*, thử tìm đường mở bắt đầu ở x* Có hai khả năng xảy ra:

- Hoặc tìm đường mở thì dọc theo đường mở, ta loại bỏ những cạnh đã ghép

khỏi M và thêm vào M những cạnh chưa ghép

- Hoặc không tìm được đường mở thì xác định được:

VisitedX = {Tập những X_đỉnh có thể đến được từ x* bằng một đường pha} VisitedY = {Tập những Y_đỉnh có thể đến được từ x* bằng một đường pha}

Xoay trọng số cạnh:

Lặp lại thủ tục tìm đường mở xuất phát tại x* cho tới khi tìm ra đường mở

Bước 3: Sau bước 2 thì mọi X_đỉnh đều đã ghép, ta được một bộ ghép đầy đủ k

cạnh với trọng số lớn nhất

12

1.3 Thuật toán ghép đôi với thông tin đầy đủ

1.3.1 Phát biểu bài toán

Cho tập X = {x[1], x[2],…, x[n]} và Y = {y[1], y[2],…, y[n]}

Mỗi phần tử của X có thể ghép với một số phần tử của Y Vấn đề đặt ra là tìm cách ghép mỗi phần tử của X với một số phần tử của Y sao cho số cặp ghép là lớn

nhất

Bài toán ghép đôi với thông tin đầy đủ là bài toán ghép đôi đầy đủ thông tin các

phần tử củaX và Y

Một số định nghĩa sau đây được sử dụng trong bài toán ghép đôi([2], [15], [8])

Định nghĩa 1 (Ghép đôi): Cho 2 tập rời nhau X và Y

một tập cho một hoặc nhiều đối tượng trong tập khác hoặc một đối tượng rỗng Nếu một đối tượng được ghép đôi với một đối tượng rỗng, chúng ta nói rằng các đối tượng là "không ghép đôi được"

Định nghĩa 2 (Tính hợp lý riêng): Một phép ghép μ là hợp lý riêng nếu không

tồn tại trường hợp: đối tượng i đã được ghép đôi với μ(i) nhưng đối tượng này lại không thỏa mãn với μ(i)

chỉ nếu nó là hợp lý riêng và không tồn tại một đối tượng i, mà với μ(i) ≠ j nhưng i thích j hơn μ(i) và j cũng thích i hơn μ(i)

Một cặp ghép không ổn định là một phép ghép cặp mà nó không ổn định

Định nghĩa 4 (Ghép cặp tối ưu): Một phép ghép c ặp ổn định là tối ưu nếu tất

cả các đối tượng được ghép đều tốt hơn so với bất kỳ phép ghép cặp ổn định khác

1.3.2 Bài toán hôn nhân bền vững

1.3.2.1 Giới thiệu bài toán

Năm 1962 hai nhà kinh tế David Gale và Lloyd Shapley [8] đã nghiên cứu thuật toán ghép đôi giữa nhưng người đàn ông và phụ nữ độc thân muốn kết hôn

Có số lượng như nhau người đàn ông và người phụ nữ độc thân Mỗi người đàn ông có tiêu chuẩn lựa chọn nhưng người phụ nữ mà anh ta muốn ghép đôi Đối với

13

phụ nữ cũng vậy, họ có lựa chọn nhưng người đàn ông mà họ muốn ghép đôi

Thực tế không có trường hợp tất cả người đàn ông đều lấy được người phụ nữ tuyệt vời vì người đó chỉ có một Và ngược lại, không phải người phụ nữ nào cũng lấy được người đàn ông lý tưởng nhất

Bài toán giải quyết vần đề tìm số lượng tối đa các cặp vợ chồng phù hợp với nhau, giảm thiểu tình trạng độc thân

1.3.2.2 Mô tả bài toán

Cho một tập những người đàn ông M = {m 1 , , m n }

Do con người có những đặc điểm khác biệt, phức tạp về tâm lý, tình cảm nên bài toán hôn nhân bền vững có nhưng đặc trưng riêng:

- Những người đàn ông và những người phụ nữ trong thị trường hôn nhân đều muốn kết hôn người thích kết hôn với họ Tập có thứ tự về tiêu chuẩn lựa chọn của mỗi người có thể không rõ ràng nếu họ biết thứ tự của mình trong tiêu chuẩn lựa chọn của những người khác

- Trong quá trình trao đổi gặp gỡ, sự thay đổi về tâm lí, suy nghĩ, cảm xúc là điều không thể tránh khỏi Những thay đổi trong suy nghĩ này sẽ dẫn đến sự thay đổi về tập có thứ tự về tiêu chuẩn lựa chọn của mỗi người

- Trong số những người muốn kết hôn, chắc chắn sẽ có những người sẽ được yêu thích hơn, người được yêu thích này sẽ chỉ thích nhiều nhất một người

Vì vậy tối đa sẽ chỉ có một người đạt được lựa chọn yêu thích nhất của mình

14

Vì nhưng đặc trưng trên dẫn tới việc thực hiện bài toán hôn nhân bền vững phải

có điều kiện bắt buộc:

- Những người tham gia ghép đôi đưa ra tập có thứ tự về tiêu chuẩn lựa chọn của mình trước khi thực hiện thuật toán ghép đôi

- Tập có thứ tự này phải được cố định, không được phát sinh trong quá trình thực hiện thuật toán

- Tập có thứ tự này phải hoàn toàn xuất phát từ bản thân những người tham gia ghép đôi, nó không bị ảnh hưởng bởi bất kì yếu tố bên ngoài nào khác Nếu điều này không được thực hiện, kết quả bài toán sẽ bị ảnh hưởng về lâu dài

- Khi thực hiện thuật toán, chỉ xét tới những người nằm trong tập có thứ tự về tiêu chuẩn lựa chọn của mỗi người Không xét tới những người nằm ngoài tập có thứ tự về tiêu cuẩn lựa chọn này

Các điều kiện trên phải bắt buộc thực hiện mới dẫn đến kết quả ổn định bền vững của bài toán

1.3.2.3 Thuật toán Gale-Shapley

Thuật toán Gale-Shapley được xây dựng để giải quyết bài toán, là một dạng thuật toán khác để tìm bộ ghép cực đại trong bài toán ghép đôi không trọng

Kết quả bài toán sẽ khác nhau với trường hợp ai là người đề nghị trước Trong phần này, luận văn trình bày thuật toán với trường hợp những người đàn ông đề nghị trước

Thuật toán hoạt động theo cách sau đây:

Bước 1:

Sau khi mỗi người đưa ra tập có thứ tự về tiêu chuẩn lựa chọn của mình

Nhưng người đàn ông chưa đính hôn sẽ đồng thời cầu hôn người đang đứng đầu danh sách những cô gái mà họ chưa cầu hôn

Mỗi cô gái được cầu hôn sẽ so sánh những người cầu hôn và người mà cô đang đính hôn (nếu có) với nhau Trong những người đó, ai có thứ hạng cao hơn trong danh sách của cô thì sẽ đính hôn với cô, còn những người còn lại bị từ chối và người đang đính hôn (nếu có) với cô bị hủy hôn

Các định lý sau được đưa ra từ thuất toán Gale-Shapley

Định lý 3: Đối với bất kỳ sở thích nào được đặt ra t ừ cả hai bên, luôn luôn tồn

tại một tập hợp các cuộc hôn nhân ổn định

Chứng minh: Giả sử tồn tại một cuộc hôn nhân không ổn định, tức là tồn tại

trường hợp tuy một người đàn ông và một người phụ nữ đã kết hôn nhưng người đàn ông này lại thích người phụ nữ khác hơn vợ của mình, và đồng thời người phụ

nữ đó cũng thích anh ta hơn người chồng của mình

Ví dụ 2:

Cho một tập gồm 3 người đàn ông: M= {m 1 ,m 2 ,m 3 }

Cho một tập gồm 3 người đàn ông: W= {w 1 , w 2 , w 3 }

Tập có thứ tự về tiêu chuẩn lựa chọn của người đàn ông m 1 : Sm 1 = {w 1 , w 2 , w 3 }

Tập có thứ tự về tiêu chuẩn lựa chọn của người đàn ông m 2 : Sm 2 = {w 1 , w 2 , w 3 }

Tập có thứ tự về tiêu chuẩn lựa chọn của người đàn ông m 3 : Sm 3 = {w 2 , w 1 , w 3 }

Tập có thứ tự về tiêu chuẩn lựa chọn của người đàn ông w 1 : Sw 1 = {m 3 , m 2 , m 1 }

Tập có thứ tự về tiêu chuẩn lựa chọn của người đàn ông w 2 : Sw 2 = {m 2 , m 1 , m 3 }

Tập có thứ tự về tiêu chuẩn lựa chọn của người đàn ông w 3 : Sw 3 = {m 2 , m 3 , m 1 }

Chú thích: trong 1 ô của 1 bảng

Hình 9: Chú thích trong 1 ô của 1 bảng bài toán hôn nhân bền vững

17

Dựa vào tiêu chuẩn lựa chọn của nhưng người đàn ông m 1 , m 2 , m 3 và phụ nữ w 1 ,

w 2 , w 3 ta có tập thứ tự lựa chọn theo bảng sau:

Phần đầu của chương giới thiệu những khái niệm cơ bản về đồ thị vàđồ thị hai phía, một số dạngđồ thị Tiếp theo là các bài toán ghép đôi trên đồ thị hai phía Sau đó, trình bày về thuật toán ghép đôi với thông tin đầy đủ, áp dụng thuật toán ghép đôi với bài toán hôn nhân bền vững, thuật toán này rất quan trọng trong phần phân tích tính không đầy đủ của chương sau

18

Chương 2 GHÉP ĐÔI VỚI THÔNG TIN KHÔNG ĐẦY ĐỦ

Trong chương này, sẽ trình bày các khái niệm của thông tin không đầy đủ trong bài toán ghép đôi, tiếp theo chúng tôi tập trung chính vào tính ổn định cho các vấn

đề ghép đôi với điều kiện thông tin không đầy đủ Trong điều kiện chung, các kết quả ổn định với thông tin không đầy đủ tồn tại trong môi trường thông tin không được cân xứng [16]

2.1 Giới thiệu bài toán

Ghép đôi với thông tin không đầy đủ là một bài toán ghép đôi sử dụng thuật toán Gale-Shapley để giải quyết

Cho hai tập rời nhauX và Y Mỗi phần tử của X có thể ghép với một số phần tử của Y Tìm cách ghép mỗi phần tử của X với một số phần tử của Y sao cho số cặp

ghép là lớn nhất

Trong bài toán ghép đôi này thông tin không đầy đủ bao gồm các dạng sau:

- Lực lượng ghép đôi hai bên của hai tậpX và Ykhông bằng nhau

- Lực lượng ghép đôi hai bên của hai tậpX và Y bằng nhau nhưng thông tin lựa

chọn giữa các phần tử trong X và Ykhông đầy đủ và thiếu thông tin

- Lực lượng ghép đôi hai bên X và Ykhông bằng nhau và thông tin lựa chọn

giữa các phần tử trong X và Ykhông đầy đủ và thiếu thông tin

Hiện nay có khá nhiều ứng dụng mô hình ghép đôi được giới thiệu bởi Gale Shapley (1962) và Shapley-Shubik (1971)([8], [17]) vào phân tích thị trường với hai bên không đồng nhất, nghiên cứu các vấn đề như ghép đôi giữa sinh viên với trường đại học, vợ với chồng, người lao động với công ty Phân tích điển hình trong luận văn này giả định rằng các phần tử có đầy đủ thông tin, và kiểm chứng, xem xétkết quả ổn đinh của các cặp ghép này Cặp ghép dự kiến được coi là ổn định khi ghép đôi từng công ty với một người lao động dựa trên cùng một tiêu chí ghép (ví dụ như tiêu chí về số tiền thù lao) sao cho không có một cặp đôi không cân xứng nào kết hợp với nhau để tạo ra mức thù lao chấp nhận được và làm tăng lợi ích của cả hai bên

-19

Giả định thông tin đầy đủ làm cho việc phân tích dễ xử lý nhưng không kém phần chặt chẽ Bài luận kiểm định các mô hình ghép đôi trong đó các phần tử ở một bên thị trường sẽ không thể quan sát được các đặc tính của các phần tử khác ở phía bên kia thị trường, việc này dẫn đến các câu hỏi: Ý nghĩa của một cặp ghép ổn định trong điều kiện thông tin không đầy đủ là gì? Đâu là các đặc tính của các cặp ghép

ổn định? Trong chừng mực nào đó việc cung cấp thông tin không đầy đủ trong vấn

đề ghép đôi làm thay đổi kết quả tương ứng như thế nào?

2.1.1 Các đặc trưng của bài toán

Coi như mỗi người lao động và công ty trong bài toán ghép đôi người lao công ty có những phẩm chất riêng biệt và mỗi cặp ghép phù hợp tạo ra giá trị thặng

động-dư giúp tăng lợi ích của cả hai đối tượng tham gia Giả sử rằng các giá trị của các công ty thì dễ dàng nhận biết còn giá trị của người lao động thì không

Mỗi công ty biết rõ chất lượng của người lao động mà họ được ghép cùng, biết thù lao của các nhóm ghép khác nhưng lại không biết chất lượng của người lao động trong các nhóm này

Trong mô hình thông tin đầy đủ, có thể nói rằng kết hợp được coi là không ổn định nếu như có một cặp đôi không cân xứng kết hợp với nhau tạo ra sự sai lệch và làm tăng lợi ích cho nhau Nhưng làm thế nào mà các công ty ước tính được mức thù lao hợp lý khi có kết hợp sai lệch với người lao động không rõ chất lượng Họ nên dùng cơ sở nào để tính toán mức thù lao kì vọng?

Chúng tôi bắt đầu bằng việc nhận diện sự tin tưởng mà công ty có thể loại trừ, cung cấp cho họ kiến thức về sự phân phối và giả thiết rằng sự phân phối đó không

bị chặn Đặc biệt, công ty có thể tạo ra các suy luận về các kiểu người lao động

mà họ muốn chặn từ các cặp ghép khuyết thiếu Từ suy luận này lại suy ra nhiều suy luận khác Chúng tôi dựng lên một quy trình khởi tạo niềm tin có tính lặp lại, hợp lý hóa, và ghi nhận tất cả các kết luận mà công ty có thể làm Nhìn chung, điều đó tạo ra một bộ niềm tin hợp lý cho công ty Sau đó chúng tôi lại thấy phân bổ không đạt ổn định nếu như có những cặp ghép người lao động – công ty tạo ra lợi ích cho một bên

20

Phần tiếp chúng tôi muốn phân biệt giữa góc nhìn của công ty và nhà phân tích công ty có một số niềm tin riêng, xuất phát từ một hệ các niềm tin đang tin cậy, các niềm tin này có thể là thành phần tham gia vào việc tạo nên các cản trở trong ghép đôi, khi mà chính những niềm tin này đem lại cho công ty một mức hời kỳ vọng Tuy vậy, chẳng có một cấu trúc kinh tế hay một phân phối các ứng viên ổn định nào

có thể cung cấp cho nhà phân tích những dẫn chứng đâu là những niềm tin hợp lý của công ty Mục đích của chúng tôi là xác định các điều kiện cần của tính ổn định chỉ dựa trên 2 yếu tố duy duy nhất là cấu trúc kinh tế và giả thuyết về tính ổn định, và do

đó chúng tôi chỉ bỏ qua một phân phối nếu nó chắc chắn chặn thành công [16]

2.1.2 Điều kiện cần giải bài toán

Chúng tôi không đề cập đến việc làm thế nào để tạo ra các kết quả ổn định Chúng tôi coi khái niệm sự ổn định của thông tin không đầy đủ như được áp dụng

để nhận diện một bộ khả thi các kết quả thông tin không đầy đủ, không phân biệt chúng được tạo ra như nào, giống như vô số cách mà nghiên cứu để trực tiếp xác định một bộ kết quả khả thi Việc xác định kết quả ổn định nào sẽ xuất hiện đòi hỏi phải có thêm thông tin về thể chế giống như việc xác định kết quả nào sẽ được thực hiện cần thông tin về cơ chế gián tiếp thực tế

Phương pháp tiếp cận sự ổn định của thông tin không đầy đủ này giúp nhắc lại nghiên cứu về lõi được hợp thức hóa bởi Gillies (1959) [10] và được sử dụng để xác định thí sinh cho sự ổn định trước quy trình được xác định chắc chắn tạo ra kết quả lõi (Perry và Reny 1994) [14] Ngược lại, khái niệm tính ổn định và thuật toán tập trung để tính toán các phân phối ổn định cũng đồng thời xuất hiện trong nghiên cứu ghép đôi thông tin đầy đủ của Gale và Shapley (1962) [8] Có thể tưởng tượng là quá trình phần cấp sẽ tạo ra các kết quả ổn định trong môi trường thông tin đầy đủ - Các phần tử chưa được ghép đôi lại tiếp tục ngẫu nhiên gặp nhau rồi đưa ra đề nghị, quá trình ghép đôi dừng lại khi không có có một cặp ghép không cân xứng nào có thể cải thiện điều kiện có nó thông qua ghép đôi Tuy nhiên năm 2014 Lauren và Nöldeke [18] lại chứng minh rằng chỉ trong môi trường các giả định nghiêm ngặt thì quá trình trên mới tạo ra được kết quả ổn định Trong điều kiện thông tin không đầy

21

đủ các kết quả của quá trình ghép đôi thậm chí còn ít rõ ràng hơn bởi vì các phần tử đưa ra kết luận từ các kết quả trung gian trong quá trình ghép đôi, vì vậy mà tập hợp các kết quả thông tin không đầy đủ ổn định lại trở thành mục tiêu động Việc cung cấp nền tảng phi tập trung cho ghép đôi ổn định thông tin đầy đủ và không đầy đủ là một vấn đề rất mở và thú vị

Quan niệm của chúng ta về sự ổn định ngăn chặn được những sai lệch xảy ra với các cặp ghép sinh lời, nhưng lại không tính đến những sai lệch của một nhóm tác nhân lớn hơn Trong điều kiện thông tin đầy đủ, các cặp ghép có thể chặn bất kì kết quả nào đã bị chặn bởi một cặp chặn lớn hơn do đó có thể ngăn chặn việc hy sinh các cặp ổn định không có tính phổ quát Điều này cũng không nhất thiết phải áp dụng cho trường hợp thông tin không đầy đủ Với giả định của chúng tôi về một cặp ghép được đề xuất, các công ty biết chất lượng của lao động họ được ghép đôi, một liên minh nhiều công ty có khả năng có nhiều thông tin hơn một cặp tiềm năng đơn

lẻ, tiềm năng bởi vì mỗi công ty đều phải chi tiết quy trình của họ và họ có thể trao đổi cho nhau, hòng thu về phần lợi, và để cụ thể hóa các thông tin trong đề nghị của

họ Trong nhiều trường hợp, chúng tôi thấy nên sớm chặn các cặp ghép liên minh Chúng ta nhìn đơn thuần là một lao động tìm kiếm một công việc hay một công ty đang có chèo lái một lao động của họ, nhưng cũng ko loại bỏ được trường hợp các công ty liên kết với nhau để phân phối lại lực lượng lao động giữa họ Thêm nữa, nếu vẫn cho phép các cặp chỉ được sai lệch để tránh những khó khăn trong chia sẻ thông tin thì sẽ dẫn đến các liên minh lớn hơn nữa

2.2 Phát biểu bài toán, các khái niệm

2.2.1 Đặt bài toán

Trước hết tổng hợp về mô hình ghép đôi với thông tin đầy đủ được nghiên cứu bởi Shapley, Shubik (1971)[17] và Crawford, Knoer (1981) [7]

Cho hai tập rời nhau X và Y

 Một tập các người lao động hữu hạn X, với mỗi người lao động có ký hiệu là

i ∈ X

 Một tập các công ty hữu hạn Y, với mỗi công ty được ký hiệu là j ∈ Y

22

Vì chỉ số này nó không đóng vai trò trực tiếp trong sản xuất nên sử dụng đại từ nam cho người lao động và nữ cho công ty

Các đặc tính sản xuất của một phần tử được mô tả bởi loại của phần tử, với W ∈

loại công ty:

- Hàm số ánh xạ mỗi loại người lao động được ký hiệu là w: X → W

- Hàm số ánh xạ mỗi loại công ty được ký hiệu là f: Y → F

Giá trị được tạo ra bởi các lần ghép đôi Lấy giá trị ghép đôi chung đầu tiên của mỗi phần tử nhận được trong trường hợp không có bất kỳ khoản thanh toán nào giữa các tác nhân Theo Mailath, Postlewaite và Samuelson (2012, 2013) [12], gọi những giá trị này là các giá trị tiền thù lao Ví dụ, giá trị tiền thù lao của công ty có thể bao gồm sản lượng thuần của người lao động thuộc công ty đó, chi phí bảo hiểm thất nghiệp mà công ty phải trả và giá trị của bất kỳ bằng sáng chế nào được bảo đảm là kết quả của các hoạt động của người lao động Giá trị tiền thù lao của người lao động có thể bao gồm giá trị vốn có của người lao động mà người lao động tích lũy khi làm việc với công ty, giá trị các giao dịch mà người lao động làm trong quá trình làm việc và giá trị của bất kỳ bằng sáng chế nào được bảo đảm là kết quả của hoạt động của người lao động

Ghép đôi giữa loại lao động w ∈ Wvà loại hình công ty f ∈ F:

Gọi tổng của các giá trị tiền thù lao là v wf + φ wf là thặng dư của lần ghép đôi

Để tránh phải liên tục ghi nhận những trường hợp gây thiệt hại bằng cách xác định giá trị tiền thù lao của một người lao động chưa ghép đôi và một công ty chưa

ghép đôi, không mất tính tổng quát đặt nó bằng 0, biểu thị các giá trị này bằng ν w (∅),

f (j) cho người lao động và φ w (i), f (∅) cho công ty

Chỉ số của từng công ty được biết đến, như là hàm f, vậy loại công ty cũng được

phổ biến rộng rãi Mặt khác, mặc dù của người lao động được phổ biến rộng rãi,

nhưng hàm w (loại người lao động) nói chung sẽ không được phổ biến (mặc dù

23

người lao động sẽ biết loại của họ) Giả định rằng loại người lao động phân công w được rút ra từ một số phân phối với hỗ trợΩ⊂ W X

Các hàm ν: W × F → R và φ: W × F → R là công khai

Ghép đôi giữa người lao động i (của loại w (i)) và công ty j (của loại f (j)), lương

của người lao động sẽ là:

Hàm ghép đôi là hàm: μ: X → Y∪ {∅}, tỷ lệ 1:1 trên μ -1 (Y), phân công lao động i

đến công ty μ (i), trong đó μ (i) = ∅ nghĩa là người lao động i là thất nghiệp và μ -1

ghép đôi

Lược đồ thanh toán p gắn với một hàm ghép đôiμ là một véc tơ xác định một thanh toán p i,μ(i)∈ R với i ∈ X và p μ -1 (j), j∈ R với j ∈ Y Để tránh thiệt hại, liên kết các

khoản thanh toán bằng không với các tác nhân chưa được so sánh, p∅j = p i∅ = 0

Định nghĩa 5: Kết quả của việc ghép đôi (μ, p, w, f) xác định loại được thực

hiện (w, f) và một phân bổ (μ, p) Một phân bổ (μ, p) bao gồm một hàm ghép đôi μ

và một lược đồ thanh toán p liên kết với μ

2.2.2 Khái niệm thông tin không đầy đủ

Để giải thích rõ hơn khái niệm thông tin không đầy đủ, trong phần này sẽ xét một ví dụ minh họa cho thông tin đầy đủ và không đầy đủ

Xét ví dụ 3:

Có ba người lao động và công ty (X = Y = {a, b, c})

Tập hợp các loại người lao động có thể là W = {1, 2, 3}

Tập các loại công ty có thể là F = {2, 4, 5}

Sự phân công loại công ty được cho bởi f (a) = 2, f (b) = 4, và f (c) = 5

Một người lao động thuộc loại w và một công ty có loại f tạo ra một giá trị thù

24

lao wf cho mỗi phần tử là: ν wf = φ wf = wf

2.2.2.1 Ghép đôi với thông tin đầy đủ

Giả sử loại phân công lao động là w (a) = 1, w (b) = 3, và w (c) = 2, nó được

công khai Sự ổn định cho các thiết lập thông tin đầy đủ này từ Gale và Shapley (1962) [8] và Shapley và Shubik (1971)[17] Ghép đôi ổn định duy nhất phải tốt nhất trong tập loại, đó là ghép đôi hiệu quả theo nghĩa tối đa hóa tổng dư thừa

Để minh hoạ cho lý do đằng sau kết quả này, hãy xem xét sự ghép đôi được thể hiện trong hình 10

Vì sự ghép đôi người lao động b (có loại 3) với công ty b (có loại 4) tạo ra thặng

dư là 24, ta có 𝜋𝑏𝑤 + 𝜋𝑏𝑓 = 24 và tương tự 𝜋𝑐𝑤 + 𝜋𝑐𝑓 = 20

Nhưng thặng dư tạo ra bởi ghép đôi các loại phù hợp theo loại của hai người lao

động và công ty hàng đầu là 46

Ghép đôi trong hình 10, 𝜋𝑏𝑤 + 𝜋𝑐𝑓 < 30 hoặc 𝜋𝑐𝑤 + 𝜋𝑏𝑓 < 16, và do đó người lao

động b và công ty c hoặc người lao đông c và công ty b có thể tạo ra một cặp chặn

(có thể kết hợp và tạo ra một thanh toán theo đó cả hai nhận được nhiều hơn so với các ứng cử viên phù hợp)

Hình 10: Ghép đôi thông tin đầy đủ không ổn định

2.2.2.2 Ghép đôi với thông tin không đầy đủ

Bây giờ giả sử rằng các công ty biết chỉ số của người lao động, biết loại người

lao động có thể có W = {1, 2, 3}, và biết loại người lao động mà họ được ghép đôi,

nhưng không biết hàm w gán các loại cho chỉ số Các loại thực hiện và ghép đôi của

25

các công ty với người lao động như trong hình 10, với các khoản thanh toán và hoàn

trả thể hiện trong hình 11 Các công ty tin rằng tập Ω của các vectơ có thể (w (a), w

(b), w(c)) là tập các hoán vị của (1, 2, 3) Do đó, mỗi công ty đều biết rằng có một

người lao động thuộc loại 1, một người lao động loại 2, và một người lao động loại

3, người lao động biết loại hình của mình, nhưng không biết loại hình của hai người

lao động kia

Hình 11: Ghép đôivới thông tin không đầy đủ

Xem xét một khái niệm ổn định tương tự như trường hợp thông tin đầy đủ, cụ thể là không có cặp ghép nào có thể tìm thấy một thỏa thuận mà cả hai đều thích kết

quả dự kiến Xem xét một cặp ứng cử viên bao gồm người lao động c, công ty b, và

một số thanh toán 𝑝 ∈ (-2, 0) Dưới thông tin đầy đủ, điều này thực sự là một cặp

chặn Theo thông tin không đầy đủ, ngay lập tức bất kỳ thỏa thuận nào làm cho

người lao động loại 2 tốt hơn so với kết quả dự kiến, và do đó thỏa mãn một điều kiện để trở thành một cặp chặn Tuy nhiên, công ty b không biết liệu người lao động

c có thuộc loại 1 hay loại 2 Đề xuất thuận lợi cho công ty b nếu người lao động là

người loại 2 nhưng không phải là người lao động loại 1

Đây có phải là một cặp chặn? Để trả lời câu hỏi này, cả ở đây và nói chung, phải dựa vào sự tin tưởng mà công ty có thể sẽ có về loại người lao động trong một cặp chặn dự kiến Yêu cầu sẽ là một cặp có thể chặn chỉ khi cả hai người lao động mong đợi thu nhập cao hơn, với bất kỳ sự tin tưởng hợp lý nào mà công ty có thể có đối

26

với sự hỗ trợ của các loại người lao động có thể Liệu công ty có mong muốn nhân

viên c trở thành loại 1? Ban đầu nó xuất hiện trong trường hợp này, vì công ty b chỉ biết rằng người lao động c không thuộc loại 3 Tuy nhiên, công ty có thể tinh chỉnh niềm tin của mình, trong thực tế người lao động c sẵn sàng tham gia Để theo đuổi điều này, hãy chú ý rằng nếu nhân viên c là loại 1, thì khoản hoàn trả hiện tại của anh ta là 1, trong khi anh ta sẽ nhận được một khoản hoàn trả 4+𝑝 trong cặp ứng cử viên Vì 4 + 𝑝 > 1 đúng với 𝑝 ∈ (−2, 0), cặp chặn ứng cử viên cũng là thuận lợi cho

một người lao động thuộc loại 1 Công ty b không chắc chắn liệu dự kiến liên quan đến người lao động loại 1 hay loại 2 Do đó, công ty có thể tin tưởng người lao động

là loại 1, làm cho dự kiến bất lợi cho công ty Sự phân bổ được minh hoạ trong hình

11 với thông tin ổn định không đầy đủ

Tuy nhiên, lập luận không kết thúc ở đây Sử dụng thông tin của công ty và giả

sử rằng việc phân bổ ứng viên được biết là không bị chặn Trong trường hợp này,

công ty b có thể lý luận như sau: Giả sử người lao đông c thuộc loại 1 Sau đó công

ty c sẽ nhận được một khoản hoàn trả là 9, người lao động a là loại 2 và nhận được lương 4, và công ty c chắc chắn biết rằng người lao động đó của loại ít nhất là 2 Người lao đông a và công ty c sau đó có thể khớp với khoản thanh toán là 0, cho

mỗi mức lương cao hơn so với phân bổ ổn định của ứng viên và tạo thành một cặp

chặn Tuy nhiên, giả sử công việc của công ty b là việc phân bổ đề xuất không bị chặn, và do đó không có cặp chặn nào như vậy Sau đó người lao động c không thể thuộc loại 1 mà phải thuộc loại 2 Điều này đảm bảo rằng khối dự kiến ban đầu là

có lợi cho công ty c, và thực sự có một khối thành công Việc phân bổ minh họa

trong hình 11 không phải là ổn định với thông tin không đầy đủ

2.2.2.3 Suy luận với thông tin không đầy đủ

Công ty b trong phần trên không bao hàm chặt chẽ về những giả định phân bố

loại người lao động có thể có Cụ thể, xem xét một kết quả tổng quát: nếu các giá trị tiền thù lao đang tăng lên, sau đó chỉ các ghép cặp được chia loại tích cực có thể được ổn định

Các loại của các công ty được cho bởi f (a) = 2, f (b) = 4, và f (c) = 5 Giả sử