Hỏi bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD.. Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD... Gọi V V V1, 2, 3lần lượt là thể tích của khối trụ ngoại tiếp, khối cầu nội ti
Trang 1HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG II CHỦ ĐỀ 3.5 Khối cầu: Một số bài toán liên quan mặt cầu nội, ngoại tiếp các khối đa
diện.
MỨC ĐỘ 3
Câu 1 [2H2-3.5-3] [THPT Hà Huy Tập] Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 1,
SA vuông góc với đáy, góc giữa mặt bên SBC và đáy bằng 60° Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC bằng bao nhiêu?
A 43
4
π
12
π
36
π
3 4 16
a
π .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
2
3
AG=
G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Dựng đường thẳng ∆ qua G và vuông góc mặt phẳng (ABC Suy ra) ∆là trục đường tròn ngoại tiếp hình chóp S ABC
Gọi J là trung điểm SA Trong mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng SA và ∆ kẻ đường
thẳng trung trực của đoạn SA cắt∆tại I I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC
(·SBC , ABC )=SMA· = °60
Tam giác SAM vuông tại A : tan· 3 3 3
SA
AM
3
SA
JA= =
IAG
R IA= = IG +AG = JA +AG = + =
2 129 43
144 12
S = πR = π = π
Câu 2 [2H2-3.5-3] [THPT Hà Huy Tập] Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật,
AB= a BC a= hình chiếu của S lên (ABCD là trung điểm H của AD , ) 3.
2
a
SH = Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD bằng bao nhiêu?
A
2 4 3
a
3
a
3
a
9
a
π .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Trang 22
a
SA SD= = SH +HD = + =a
Gọi O là tâm hình chữ nhật ABCD Dựng đường thẳng ∆ qua O và vuông góc mặt phẳng
(ABCD Suy ra ) ∆ là trục đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD
Tam giác SAD đều cạnh bằng a
Gọi G là trọng tâm tam giác SAD Dựng trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SAD cắt ∆tại I Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD 2 3
a
SG= SH = , IG HO a= =
2
R IS= = IG +SG = a + =
Vậy
= π = π ÷÷ =
Câu 3 [2H2-3.5-3] [THPT chuyên ĐHKH Huế] Cho tứ diện ABCD Có bao nhiêu mặt cầu tiếp
xúc với các mặt của tứ diện
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Gọi I là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện.
Khi đó I cách đều các mặt(ABC , ) (ACD nên I nằm trên mặt phẳng ) ( )P là phân giác của1 hai mặt phẳng(ABC ,) (ACD )
Tương tự
I nằm trên mặt phẳng ( )P là phân giác của hai mặt phẳng2 (ABC ,) (ABD )
I nằm trên mặt phẳng ( )P là phân giác của hai mặt phẳng3 (ABC ,) (BCD )
Gọi d là giao tuyến của ( )P và 1 ( )P và I là giao điểm của d và 2 ( )P 3
Điểm I tồn tại và duy nhất.
Câu 4 [2H2-3.5-3] [BTN 169] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và
2 ,
SA= a SA⊥(ABCD) Kẻ AH vuông góc với SB và AK vuông góc với SD Mặt phẳng (AHK cắt ) SC tại E Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp ABCDEHK
3 2
3 2
3 πa
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Trang 3,
B D nhìn AC dưới một góc 90°
SD a
1 5
a AK
SC =SD +CD ⇒ tam giác SCD vuông tại D
Khi đó tam giác KDC vuông tại D
5
a
Ta có: AK2 +KC2 = AC2 Vậy ·AKC= °90
Tương tự · 0
90
AHC=
Vậy AC chính là đường kính mặt cầu ngoại tiếp khối ABCDEHK
2
2
a
AC a= ⇒OA= .
3
a
V = πOA = π = πa
Câu 5 [2H2-3.5-3] [Chuyên ĐH Vinh] Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ′ ′ ′ có đáy ABC là tam
giác vuông tại A Biết rằng AB= AA′=a AC, =2a. Gọi M là trung điểm của AC Bán kính
mặt cầu ngoại tiếp tứ diện MA B C′ ′ ′ bằng
a 2
a 3
2 .
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Cách 1:
Ta có BC= AC2+AB2 =a 5
Gọi I là trung điểm của B C′ ′, suy ra I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A B C′ ′ ′
Gọi O là trung điểm của A C′ ′
Tam giác MA C′ ′ vuông cân tại M Suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp MA C D ′ ′
Ta có OI A C OI A B( ) ( )
OI ACC A
OI MO
P
Suy ra OI là trục của tam giác MA C′ ′
Suy ra IA′=IC′=IM =IB′
Trang 4Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tự diện MA B C′ ′ ′ bán kính R=1B C′ ′=1BC=a 5
Cách 2:
Do tam giác ∆A B C' ' ' vuông tại A' nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ∆A B C' ' ' là trung điểm O của đoạn ' '1 B C Dựng mặt phẳng trung trực của cạnh MC cắt ' O E tại O suy ra O1
là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp M A B C Dựng ' ' ' O H song song với 1 B A' ' suy ra tứ giác 1
MHO E là hình chữ nhật.
Ta có: MO2 =ME2 +OE2
MO =ME + EO − =ME + EO − MO −O B
2
Câu 6 [2H2-3.5-3] [Cụm 1 HCM] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng
1 Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Hỏi
bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD bằng bao nhiêu?
4
6
4
3
R= .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Gọi O là tâm của đáy, ∆ là trục của đáy ABCD Gọi G là trọng tâm tam giác SAB và d là trục của mặt bên SAB
Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD Ta có I là giao điểm của ∆ và d
Ta có
2 2
= = + = ÷ + ÷÷ = + = .
Trang 5Câu 7 [2H2-3.5-3] [208-BTN] Cho hình lập phương ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ có cạnh bằng a Gọi V V V1, 2, 3
lần lượt là thể tích của khối trụ ngoại tiếp, khối cầu nội tiếp, khối cầu ngoại tiếp hình lập phương ABCD A B C D ′ ′ ′ ′ Tính giá trị 1 2
3
V V P
V
+
3
9
3
3
P= .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Khối trụ ngoại tiếp hình lập phương có bán kính bằng đáy bằng 2
2
a và chiều cao bằng a
nên có thể tích
2
3 1
2
V π a π
= ÷÷ =
Khối cầu nội tiếp hình lập phương có bán kính bằng
2
a
nên có thể tích
2
4
V = π =π
÷
Khối cầu ngoại tiếp hình lập phương có bán kính bằng 3
2
a .
nên có thể tích
3 3 3
= ÷÷ =
Từ đó suy ra
3
2 3
a
3
:
P V
+
Câu 8 [2H2-3.5-3] [THPT Nguyễn Khuyến –NĐ] Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vuông cạnh
1, tam giác SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Gọi M , N lần lượt là trung điểm của BC và CD Tính bán kính R của khối cầu ngoại tiếp hình chóp
S CMN
12
6
8
12
R=
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Trang 6Gọi O là trung điểm AD Khi đó, SO vuông góc với (ABCD )
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta có:
(0;0;0)
O , 1;0;0
2
, M(0;1;0), 1;1;0
2
,
1 1
; ;0
2 2
,
3 0;0;
2
Gọi ( )S là phương trình mặt cầu đi qua S , M , N , C Ta có hệ phương trình:
3
4
5
4
1
0 2
c d
b d
a b d
a b d
− + =
− − + =
− − + =
4 3 4
5 3 12 1 2
a b c d
1
=
=
⇔
=
=
12
R= a + + − =b c d .
Câu 9 [2H2-3.5-3] [THPT Nguyễn Chí Thanh - Khánh Hòa] Cho hình chóp SABCD có tất cả các
cạnh đều bằng a Xác định bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD
2
a
2
a
2
a
2
a
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Gọi O= AC∩BD
Ta có ABCD là hình vuông nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD Nên ta có
2 2
Mặt khác, ta có ∆SAC vuông cân tại S nên 2
2
= a
SO Vậy O cách đều 4 điểm , , , ,A B C D O
Vậy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD, bán kính 2
2
= = a
Câu 10 [2H2-3.5-3] [THPT Hoàng Văn Thụ - Khánh Hòa] Cho tứ diện ABCD có ABC và ABD là
các tam giác đều cạnh a và nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a
3πa D 2 aπ 2
Hướng dẫn giải
Trang 7Chọn B.
Gọi ,H F lầm lượt là trọng tâm của các tam giác ABC ABD ,
Gọi E là trung điểm của AB và G là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD thì HEFG là
HE= CE GF= = =
Khi đó diện tích của mặt cầu là 2 15 2 5 2
S = πR = π = π .
Câu 11 [2H2-3.5-3] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 05] Cho hình chóp S.ABC có SA = a, SB = b, SC = c
và 3 cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc Xác định bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
4
a +b +c . B 2 2 2
2
a +b +c . C 2 2 2
a +b +c D 2 2 2
3
a +b +c .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Gọi H là trung điểm của BC , gọi I là trung điểm của SA
Vẽ∆ đi qua H và vuông góc (SBC )
Vẽ đường trung trực d của SA cắt ∆ tại O Ta có OA OB OC OS= = =
2
a b c
R= OI +AI = + + .
Câu 12 [2H2-3.5-3] [TTGDTX Nha Trang - Khánh Hòa] Cho hình chóp S ABC , có SA vuông góc mặt
phẳng (ABC); tam giác ABC vuông tại B Biết SA=2a , AB a= , BC a= 3 Khi đó bán kính
R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Trang 8Ta có: SAC và SBC là hai tam giác vuông tại A và B
Nên tâm mặt cầu là I trung điểm SC
2
SC R
Có AC= AB2+BC2 =2a, SA=2a ⇒SC=2a 2⇒ =R a 2
Câu 13 [2H2-3.5-3] [TTGDTX Cam Lâm - Khánh Hòa] Cho hình chóp S ABC , SA^(ABC) Tam giác ABC
vuông tạiA, SA=BC=2a Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.
2
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Gọi M là trung điểm BC Gọi D là đường thẳng đi qua M và vuông góc với (ABC) Khi đó, D là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ( )1 .
Gọi N là trung điểm SA, dựng đường thẳng đi qua N song song với AM và cắt D tại I Khi đó,
NI là đường trung trực của đoạn SA ( )2 .
.
Từ ( )1 và ( )2 , suy ra IA=IB=IC=ID hay I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC , bán kính mặt cầu ngoại tiếp là.
2
SA BC
IA= NA +AM = + = a +a =a .
Câu 14 [2H2-3.5-3] [THPT Nguyễn Thái Học(K.H)] Cho hình chóp S ABC có SA SB SC= = =4,
đường cao SH 3= Tính bán kính r của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
3
3
r=
Trang 9Hướng dẫn giải
Chọn D.
Vì SH là đường cao của hình chóp và SA SB SC= = nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC
Khi đó tâm I của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp chính là giao điểm của SH và mặt phẳng trung trực cạnh SA
cos
Câu 15 [2H2-3.5-3] [BTN 165] Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và
3
BA BC Cạnh bên SA=6 và vuông góc với mặt phẳng đáy Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là?
A 3 6
3 2
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Gọi M là trung điểm AC , suy ra M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Gọi I là trung điểm SC, suy ra IM// SA nên IM ⊥(ABC)
Do đó IM là trục của ABC∆ suy ra IA IB IC= = (1)
Hơn nữa, tam giác SAC vuông tại A có I là trung điểm SC nên IS =IC=IA (2)
Từ (1) và (2), ta có IS =IA IB IC= = hay I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC
Câu 16 [2H2-3.5-3] [THPT Chuyên NBK(QN)] Cho tứ diện đềuABCD cạnh bằng x Mặt cầu tiếp
xúc với 6cạnh của tứ diện đều ABCD có bán kính bằng
2
6
4
4
x .
Hướng dẫn giải
Chọn D.
M
H B
C
D
A
I
Gọi H là trọng tâm tam giác BCDsuy ra AH ⊥(BCD)
Trang 10Mặt trung trực của AB cắt AH tại I suy ra IA IB IC= = =ID hay I là tâm của mặt cầu
ngoại tiếp tứ diện ABCD
Vì ABCD là tứ diện đều nên tâm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện cũng chính là tâm của mặt
cầu tiếp xúc với 6 cạnh của tứ diện Suy ra bán kính mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh của tứ diện là ( , )
d I AB =IM (M là trung điểm của AB ).
2
3
4 3
9
x x
MI
x
−
Câu 17. [2H2-3.5-3] [THPT Chuyên Thái Nguyên] Hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 1,
BAD= ° (SCD) và (SAD) cùng vuông góc với (ABCD), SC tạo với (ABCD) góc 45 ° Tính
thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC ..
A 8
3
π
3
π
3
π
.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
.
SCD ABCD
⊥
Hình chiếu của SC lên (ABCD là CD )
SC ABCD SCD
.tan 45 1
SD CD
Tam giác ABD có AB AD= =1, ·BAD= °60
Nên tam giác ABD là tam giác đều.
Ta có : DA DB DC DS= = = =1
Nên D là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC Khi đó 4 3 4
V = πR = π
Câu 18 [2H2-3.5-3] [Chuyên ĐH Vinh] Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C ′ ′ ′ có đáy ABC là tam
giác vuông tại A Biết rằng AB= AA′=a AC, =2a. Gọi M là trung điểm của AC Bán kính
mặt cầu ngoại tiếp tứ diện MA B C′ ′ ′ bằng
a 2
a 3
2 .
Hướng dẫn giải
Trang 11Chọn A.
Cách 1:
Ta có BC= AC2+AB2 =a 5
Gọi I là trung điểm của B C′ ′, suy ra I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A B C′ ′ ′
Gọi O là trung điểm của A C′ ′
Tam giác MA C′ ′ vuông cân tại M Suy ra O là tâm đường tròn ngoại tiếp MA C D ′ ′
Ta có OI A C OI A B( ) ( )
OI ACC A
OI MO
P
Suy ra OI là trục của tam giác MA C′ ′
Suy ra IA′=IC′=IM =IB′
Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tự diện MA B C′ ′ ′ bán kính R=1B C′ ′=1BC=a 5
Cách 2:
Do tam giác ∆A B C' ' ' vuông tại A' nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ∆A B C' ' ' là trung điểm O của đoạn ' '1 B C Dựng mặt phẳng trung trực của cạnh MC cắt ' O E tại O suy ra O1
là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp M A B C Dựng ' ' ' O H song song với 1 B A' ' suy ra tứ giác 1
MHO E là hình chữ nhật.
MO =ME +OE
MO =ME + EO − =ME + EO − MO −O B
2
Câu 19 [2H2-3.5-3] [Cụm 1 HCM] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng
1 Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Hỏi
bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD bằng bao nhiêu?
4
6
4
3
R= .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Trang 12Gọi O là tâm của đáy, ∆ là trục của đáy ABCD Gọi G là trọng tâm tam giác SAB và d là trục của mặt bên SAB
Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD Ta có I là giao điểm của ∆ và d
Ta có
2 2
= = + = ÷ + ÷÷ = + = .
Câu 20 [2H2-3.5-3] [BTN 169] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và
2 ,
SA= a SA⊥(ABCD) Kẻ AH vuông góc với SB và AK vuông góc với SD Mặt phẳng (AHK cắt SC tại E Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp ABCDEHK )
3 2
3 2
3 πa
Hướng dẫn giải
Chọn C.
,
B D nhìn AC dưới một góc 90°
SD a
1 5
a AK
SC =SD +CD ⇒ tam giác SCD vuông tại D
Khi đó tam giác KDC vuông tại D
5
a
Trang 13Ta có: AK2 +KC2 = AC2 Vậy ·AKC= °90
Tương tự · 0
90
AHC=
Vậy AC chính là đường kính mặt cầu ngoại tiếp khối ABCDEHK
2
2
a
AC a= ⇒OA=
3
a
V = πOA = π = πa
Câu 21 [2H2-3.5-3] [BTN 166] Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là 2 tam giác đều cạnh chung
2
BC = Cho biết mặt bên (DBC tạo với mặt đáy ) (ABC góc ) 2α mà cos 1
3 α
2 = − Hãy xác định tâm O của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đó
A O thuộc mặt phẳng (ADB ) B O là trung điểm của BD
C O là trung điểm của AD D O là trung điểm của AB
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Gọi M là trung điểm cạnh BC Vì ABC và DBC là 2 tam giác đều bằng nhau nên 2 trung
truyến AM và DM cùng vuông góc với BC và 3
2
a
AM =DM = Trong ∆MAD:
A =AM +DM − AM DM α
2
2
BA +BD =a +a = a =AD 0
90
ABD
CA +CD = AD 0
90
ACD
Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tâm O là trung điểm cạnh AD
Câu 22 [2H2-3.5-3] [THPT Chuyen LHP Nam Dinh] Cho hình chóp tam giác đều S ABC. có đáy
3
a
6
a
7
a
7
a
7
a
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Trang 14Gọi G là trọng tâm tam giác ABC thì SG⊥(ABC)
Do CB CA CD= = nên C là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD
Qua C kẻ đường thẳng d song song SG thì d là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD
Gọi I d∈ là tâm mặt cầu cần tìm, đặt IC= ⇒x SK = SG x−
Kẻ IK ⊥SG
IS =ID⇔IK +SK =IC +CD ⇔ + −a x =x +a ⇒ =x
Vậy tâm cầu I được xác định, bán kính mặt cầu là 2 2 37
6
a
R= x +a =
Câu 23 [2H2-3.5-3] [THPT Chuyên Bình Long] Cho hình chóp S ABC , đáy là tam giác vuông tại A
, AB=3, AC=4 SA vuông góc với đáy, SA=2 14. Thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC là
2
V = π
8
V = π
D V =36π
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Lấy H là trung điểm của BC , ta có H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Do đó trục đường tròn ngoại tiếp của hình chóp S ABC chính là đường thẳng d qua H và
vuông góc với mặt phẳng (ABC )
Trang 15Mặt phẳng trung trực của cạnh bên SA chính là mặt phẳng đi qua trung điểm I của SA và
song song với mặt phẳng (ABC Mặt phẳng này cắt trục d tại điểm J Ta có J là tâm mặt) cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC
2
14
JA IH= = AI +AH = + =
÷
Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC là: 9
2
R= Thể tích khối cầu là:
3 3
V = πR = × ×π = π
÷
(đvtt).
Câu 24 [2H2-3.5-3] [THPT Chuyên Bình Long] Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều
có cạnh bằng 1, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.
Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho
18
3
V = π
54
27
V = π .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Gọi ,G K lần lượt là trọng tâm tam giác ABC SAB ,
Dựng ,d d′ lần lượt là hai đường thẳng qua ,G K và vuông góc với (ABC) (, SAB )
Dễ thấy ,d d′ đồng phẳng Gọi I = ∩d d′ Tứ giác GIKH là hình vuông.
;
6
R IC
3
4 15 15 5 15
Câu 25 [2H2-3.5-3] Cho hình chóp S ABCD có SA⊥(ABCD), đáy ABCD là hình chữ nhật,
AB a AD= = a góc giữa đường thẳng SC và đáy bằng 45° Tính theo a thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD .
A
3
5 10 3
a
6
V = πa C
3 5 6
a
10 3
a
V = π .
Hướng dẫn giải