THỂ TÍCH KHỐI CHÓP CÓ MỘT MẶT BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY

HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG ICHỦ ĐỀ 2.2 Thể tích khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy.. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy.. Hình chiếu của S trên mặt phẳ

HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG I

CHỦ ĐỀ 2.2 Thể tích khối chóp có một mặt bên vuông góc với đáy.

MỨC ĐỘ 3

Câu 1 [2H1-2.2-3] [THPT Ngô Sĩ Liên lần 3]Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a

Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính chiều cao của

tứ diện SACD xuất phát từ đỉnh C

2

4

3

6

a .

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Gọi H là trung điểm của AB

Có :



�

�

�

� 

�

Vì : BC/ /SAD Nên :  d C SAD��, � �� �d B SAD, ��2d H SAD��, ��.

Có : SH AD AD SAH



�



�

� 

�

HI SA



�

�

� 

�

3 3

2 2

� �

HI  � �d C SAD� ��

Câu 2 [2H1-2.2-3] [THPT THÁI PHIÊN HP] Cho hình chóp S ABC có tam giác SAB đều

cạnh ,a tam giác ABC cân tại C Hình chiếu của S trên mặt phẳng ABC là trung điểm của cạnh AB Đường thẳng SC tạo với mặt đáy một góc 30 � Tính theo a thể tích V của khối chóp S ABC

4

4

8

2

V  a

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Gọi H là trung điểm của AB �SH ABC.

 

SC ABC,  SC HC,  SCH� 30

SAB

 đều cạnh a 3

2

a

SH 

Xét SCH vuông tại H ,

�

3 3 2 tan 30 2 tan

a

CH

SCH

�

ABC

 cân tại C , 2 2.1 3 3 2

.

Câu 3 [2H1-2.2-3] [Chuyên ĐH Vinh] Cho hình chóp S ABC có SA a  , tam giác ABC đều, tam

giác SAB vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Thể tích

khối chóp S ABC bằng?

A 6 3

12

4

8

24

a .

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Tam giác SAB vuông cân tại S và SA a nên AB a 2

Gọi M là trung điểm AB , ta có SM AB và 2

AB a

SM   ( SM là đường trung tuyến của tam giác SAB vuông cân tại S ).

Mặt khác SAB  ABC, SM AB và SAB � ABC AB nên SM ABC

Suy ra SM là đường cao của hình chóp S ABC ứng với đáy là tam giác ABC

Thể tích khối chóp S ABC là.

 2

3

a

Câu 4 [2H1-2.2-3] [SỞ GD ĐT HƯNG YÊN] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang

vuông tai A và D ; biết AB AD 2 ,a CD a Góc giữa hai mặt phẳng SBC và

ABCD bằng  0

60 Gọi I là trung điểm của AD , biết hai mặt phẳng SBI và  SCI cùng vuông góc với mặt phẳng ABCD Tính thể tích của khối chóp  S ABCD

3

3 5 8

3 15 5

3 5 5

3 15 8

a .

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Như đã nhắc ở Câu trước thì do hai mặt phẳng  SBI và  SCI cùng vuông góc với ABCD nên SIABCD nên SI là đường cao của S ABCD

Kẻ IKBC tại K Khi đó ta chứng minh được SKI� �SBC ; ABCD   � 60 Ta vẽ hình phẳng của mặt đáy Ta có M AD BC� ta chứng minh được CD là đường tủng bình của tam giác

ABM Khi đó AM  4 ;a BM     2a2 4a2  2 5;a IM  3a Ta có KMI : AMB

Khi đó  tan60 �  3 3  3 3

SI IK  1 3 3 1 .   2 2 3 3 15

Câu 5 [2H1-2.2-3] [THPT LƯƠNG TÀI 2] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông

tâm O, mặt bên SAB là tam giác vuông cân tại  S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với

K I

S

B A

I

M

B A

K

đáy Biết thể tích của khối chóp S OCD bằng 3

3

a

Tính khoảng cách h từ A đến mặt phẳng

SBD ?

3

a

3

a

3

a

h D h2 3a

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Gọi x là độ dài AB ,kẻ SF AB tại F , ta có

3

.OCD ABCD

Do F là trung điểm của AB nên khoảng cách h từ A đến mặt phẳng SBD gấp 2 lần khoảng cách d từ F đến mặt phẳng SBD mà 

sin 45o 2 2

Tính d : kẽ FEDB; FH SE, ta chứng minh được SH SBD,

a

FH  FE FS a  a  a �   , vậy 2 2 6

3

a

h d 

Câu 6 [2H1-2.2-3] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a , AD a 3,

tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, khoảng cách giữa AB và

SC bằng 3

2

a Tính thể tích V của khối chóp S ABCD

3

a

V  B V 2a3 3 C V a3 3 D V 3a3 3

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Gọi H , I lần lượt là trung điểm của AB , CD , kẻ HK SI

Vì tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy suy ra SH ABCD

 ��� 

 � �HK SCD, CD AB// �dAB SC,  dAB SCD,  dH SCD,  HK

suy ra 3

2

a

HK HI AD a 3 Trong tam giác vuông SHI ta có

3

HI HK

Câu 7 [2H1-2.2-3] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 2] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là thoi

cạnh a với BAD�  120 0 Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABCD trùng với trung

điểm I của cạnh AB Cạnh bên SD hợp với đáy một góc 45 Thể tích khối chóp 0 S ABCD

là:

A. 3 21

3

a

9

a

12

a

15

a

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Tứ giác ABCD là hình thoi cạnh a , BAD�  120 0 nên �ABC 600

Do đó: ABC đều cạnh a nên 3 3

2

a

BO �BD a

S

A

D I

O

Nên

2

ABCD

a

Áp dụng định lí cosin trong tam giác AIB :

2

2 .cos120

4

a

ID AI AD  AI AD 

Tam giác SID vuông tại I có � SDI 450( vì góc giữa SD và đáy bằng 0

45 )

tan 45

2

SI ID ID

Vậy

3

a

Câu 8 [2H1-2.2-3] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 05] Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông

tại A, AB a 3, AC a Mặt bên SBC là tam giác đều và vuông góc với mặt đáy Tính thể tích khối chópS ABC

A

3

2 3

a

3

3

a

3

2

a

Hướng dẫn giải

Chọn D.

+ Diện tích đáy :

2

a

S 

Gọi H là trung điểm của BC Suy ra SH là chiều cao của khối chóp.

2

BC  a SH là đường cao tam giác đều cạnh 2a nên 3

2

SH  a a Vậy

3

2

a

V 

Câu 9 [2H1-2.2-3] [THPT Nguyễn Thái Học(K.H)] Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông

cạnh a , mặt bên ( SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mp đáy Thể) tích khối chóp S ABCD là:

S ABCD

3

3 2

S ABCD

a

3

3 6

S ABCD

a

3

3

S ABCD

a

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Gọi H là trung điểm AB Suy ra SH ^(ABCD) (vì tam giác ABC đều)

Ta có

( ),



�

�

�

Khi đó:

3 2

.

S ABCD

� chọn phương án D

Câu 10 [2H1-2.2-3] [BTN 165] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Mặt

phẳng SAB vuông góc với đáy  ABCD Gọi H là trung điểm của AB , SH HC SA AB ,  Gọi  là góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABCD Giá trị của tan  là:

A 1

2

1

2 .

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Ta có 1

a

AH  AB

SA AB a 

2

a

SH HC BH BC 

Có

2

4

a

AH SA  SH ���SAH vuông tại A nên SAAB

Do đó SAABCD nên SC ABCD�,  SCA�

Trong tam giác vuông SAC, có tan� 1 .

2

SA SCA

AC

Câu 11 [2H1-2.2-3] [BTN 162] Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tam

giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Biết thể tích của hình chóp

S ABCD là 3 15

6

a Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy ABCD là:

Hướng dẫn giải

S

A

D H

Chọn D.

Gọi H là trung điểm AB

Ta có:

3

2

�

SC, ABCD  SC, HC� SCH�

SCH SH  a �SCH  �

Câu 12 [2H1-2.2-3] [BTN 162] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông

2 ,

BD a SAC vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, SC a 3 Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng SAD là:

7

a

5

3

Hướng dẫn giải

Chọn A.

2

BD

BD AC  a CD a SA AC SC a

SH

2

AH  SA SH  a  

Ta có d B SAD ,  2d O SAD ,  4d H SAD ,  .

a

HI BD I� �BD HI  CD

Kẻ HK SI tại K �HK SAD.

3 2

7

4 16

�

Câu 13 [2H1-2.2-3] [Chuyên ĐH Vinh] Cho hình chóp S ABC có SA a  , tam giác ABC đều, tam

giác SAB vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Thể tích

khối chóp S ABC bằng?

A 6 3

12

4

8

24

a .

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Tam giác SAB vuông cân tại S và SA a nên AB a 2

Gọi M là trung điểm AB , ta có SM AB và 2

AB a

SM   ( SM là đường trung tuyến của tam giác SAB vuông cân tại S ).

Mặt khác SAB  ABC, SM AB và SAB � ABC AB nên SM ABC

Suy ra SM là đường cao của hình chóp S ABC ứng với đáy là tam giác ABC

Thể tích khối chóp S ABC là.

 2

3

a

Câu 14 [2H1-2.2-3] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a , AD a 3,

tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, khoảng cách giữa AB và

SC bằng 3

2

a Tính thể tích V của khối chóp S ABCD

3

a

V  B V 2a3 3 C V a3 3 D V 3a3 3

Hướng dẫn giải

Chọn C.

Gọi H , I lần lượt là trung điểm của AB , CD , kẻ HK SI

Vì tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy suy ra SH ABCD

 ��� 

 � �HK SCD, CD AB// �dAB SC,  dAB SCD,  dH SCD,  HK

suy ra 3

2

a

HK HI AD a 3 Trong tam giác vuông SHI ta có

3

HI HK

Câu 15 [2H1-2.2-3] [THPT Chuyên Quang Trung] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình

thoi cạnh a , � ABC1200, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Tính

bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC

41

37

39

6 a

Hướng dẫn giải

Chọn D.

Do �ABC120��BAD� 60� suy ra ABD đều

DA DB DC a  

� nên D là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC

Gọi M là trung điểm của AB , G là trọng tâm của SAB

Qua D kẻ d (ABCD), và qua G kẻ d�(SAB)

Gọi I  � d d�

Ta có IA IB IC  ID

Khi đó I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC có bán kính

2

a

Câu 16 [2H1-2.2-3] [THPT Ngô Quyền] Cho hình chóp .S ABC có SA SB SC   , 3 AC ;2

ABC là tam giác vuông cân tại B Tính thể tích V của khối chóp S ABC

3

3

V  D V 2 2

Hướng dẫn giải

Chọn B.

Gọi H là hình chiếu của S lên  ABC 

Ta có SHA  SHB SHC�HA HB HC 

H

� là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC

H

� là trung điểm của AC

1

2

ABC

S  HB AC  SH  SA AH 