HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG I CHỦ ĐỀ 2.1 Thể tích khối chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy hoặc hai mặt bên liền kề vuông góc với đáy.. Cạnh bên SA vuông góc mặt đáy, thể tích của khối chóp
Trang 1HÌNH HỌC 12 - CHƯƠNG I CHỦ ĐỀ 2.1 Thể tích khối chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy (hoặc hai mặt
bên liền kề vuông góc với đáy).
MỨC ĐỘ 3
Câu 1 [2H1-2.1-3] [THPT Quảng Xương 1 lần 2] Cho hình chóp S ABC. có SA(ABC), ABC
vuông tạiB , AB a ,AC a 3 Biết góc giữa SB và mpABC bằng 300 Thể tích V của
khối chóp S ABC. là:
A 2 3 6
3
a
18
a
9
a
6
a
V
Hướng dẫn giải Chọn B.
2
ABC
a
S AB BC a a
;
.tan 30
3
a
.
S ABC ABC
Câu 2 [2H1-2.1-3] [THPT Ngô Sĩ Liên lần 3] Hình chóp tứ giác S ABCD có đáy là hình chữ nhật
cạnh AB a , AD a 2; SA(ABCD), góc giữa SC và đáy bằng 60 Thể tích khối chóp
S ABCD bằng.
Hướng dẫn giải Chọn C.
a
A S
AC AB2BC2 a2a 22 a 3
AC là hình chiếu vuông góc của SC trên ABCD
SC ABCD, SC AC , SCA 60o
SAC vuông tại A
S ABCD AB AD a a 2a2 2
.
S ABCD ABCD
Trang 2Câu 3 [2H1-2.1-3] [THPT chuyên Phan Bội Châu lần 2] Cho hình chóp S ABCD có
SA vuông góc với đáy Tam giác ABC vuông cân tại B SA AC 2a Tính theo a thể tích
của khối chóp S ABC
A 4 3
3
2
3a
Hướng dẫn giải Chọn B.
Chọn C.
2a
2a
C
S
Vì tam giác ABC vuông cân tại B 2
2
Diện tích tam giác vuông ABC là: 1 2
2
ABC
Thể tích khối chóp S ABC là: 1 2 3
Câu 4 [2H1-2.1-3] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 07] Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác
vuông tại ,A AB a AC a , 2, SA vuông góc với mp đáy Góc tạo bởi SBC và mặt đáy
bằng 0
30 Thể tích S ABC bằng
A
9
3
a
4
2
3
2
2
3
6
2
3
Hướng dẫn giải Chọn A.
Xét ABC vuông tại A.
Trang 32 2 2 2
BC AB AC BC a 22a2 BC a 3
AH BCAB AC AH
BC
AC
3
a a a
3
a
Góc tạo bởi SBC và ABC là góc SHA
0
30
.tan 30
SA AH
3
6
3 3
2
.
S ACB
3 SA 2 AB AC
2
a
9
3
a
Câu 5 [2H1-2.1-3] [Sở GD&ĐT Bình Phước] Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều
cạnh 2a Cạnh bên SA vuông góc mặt đáy, thể tích của khối chóp S ABC bằng
3
4
a
Tính độ dài đoạn SA
A 3
4
3
a
4
a
3
a
Hướng dẫn giải Chọn A.
B
S
3
a
Câu 6 [2H1-2.1-3] [Sở GD&ĐT Bình Phước] Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác đều cạnh
2a, SAABC Góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC bằng 30 o Thể tích khối chóp
S ABC là
A 3 3
6
12
3
8
Hướng dẫn giải Chọn C.
Trang 42a 2a
2a
30o
I
A
B
C S
Gọi I là trung điểm BC Góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC là SIA 30 SIA
nửa tam giác đều nên
2 3 2
a AI
Thể tích khối chóp S ABC là 1
3 ABC
V S SA 1 2 2 3
a
a
3
3 3
Câu 7 [2H1-2.1-3] [THPT chuyên Hưng Yên lần 2] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là
hình vuông cạnh bằng a Cạnh SA vuông góc với đáy và SA y Trên cạnh AD lấy điểm M
sao cho AM x Biết rằng x2y2 a2 Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S ABCM
A 3 3
2
4
8
a
8
Hướng dẫn giải Chọn D.
Ta có 0 x a ; y a2 x2
.
S ABCM ABCM
x a a
6a a x x a
Xét hàm số f x a2 x x a2
2 2
2x ax a
f x
Trang 5 0
2
x
nhận
2
a
x
2
Max f x f
3
3 8
S ABCM
a
Câu 8 [2H1-2.1-3] [THPT chuyên Hưng Yên lần 2] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là
hình vuông cạnh a và cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy Gọi E là trung điểm của cạnh
CD Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBE bằng 2
3
a
, tính thể tích khối chóp S ABCD
theo a
.
S ABCD
3
2 3
S ABCD
a
26
S ABCD
a
3
3
S ABCD
a
Hướng dẫn giải Chọn D.
Kẻ AK BE , AH SK nên , 2
3
a
AH d A SBE
2
a
BE BC CE
5
C B
E K
H S
Trang 6Nên
2 2
Do đó:
3
1
S ABCD
a
Câu 9 [2H1-2.1-3] [BTN 163] Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên
SA vuông góc với đáy Biết hình chóp S ABC có thể tích bằng 3
a Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng SBC
A 6a 195
65
65
195
195
Hướng dẫn giải Chọn B.
Gọi các điểm như hình vẽ
Ta có AIBC SA, BC suy ra BCAK AK dA SBC,
A
B
C S
I K
4
ABC
a
2
a
Trong tam giác vuông SAI ta có 1 2 12 12
AK AS AI .
65
d AK
Câu 10 [2H1-2.1-3] [THPT Tiên Lãng] Cho hình chóp S ABC có ABC là tam giác đều cạnh a và
SA vuông góc với đáy Góc tạo bởi mặt phẳng (SBC và mặt phẳng () ABC bằng ) 30 Thể tích của khối chóp S ABC là
A 3 3
24
a
3
12
a
3
4
a
8
a
zzzzz
zzzzz
Hướng dẫn giải Chọn D.
Gọi M là trung điểm BC Suy ra SMA 30
SA AM SMA
.
S ABC ABC
Trang 7
Câu 11 [2H1-2.1-3] [TT Hiếu Học Minh Châu] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình
vuông cạnh a, SA và vuông góc với mặt phẳng đáy Tính khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác SAB đến mặt phẳng SAC
A 3
2
a
B 2
6
a
C 3
6
a
D 2
4
a .
Hướng dẫn giải Chọn B.
Gọi M là trung điểm của AB , và gọi AC cắt BD tại O
Ta có
3 ,
d G SAC SG
SM
d M SAC , 2 ,
3
d G SAC d M SAC
Gọi H là hình chiếu của M trên AC
Khi đó MH SAC nên , 1 1 2
a
d M SAC MH BO BD
d G SAC
Câu 12 [2H1-2.1-3] [THPT THÁI PHIÊN HP] Cho hình chóp .S ABC có cạnh
SA SB SC a và SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau Tính theo a khoảng cách h từ điểm S đến mặt phẳng ABC
A
3
a
2
a
3
a
2
a
h .
Hướng dẫn giải Chọn A.
A
B
C S
J I
Trang 8
Gọi I là hình chiếu của S lên mặt phẳng ABC
Ta chứng minh I là trực tâm tam giác ABC
SA SB
SA BC
SA SC
SI BC BC SAI BCAI
Tương tự BI AC
Nên I là trực tâm tam giác ABC
SI SA SJ .
Mà 12 12 12
SJ SB SC .
3
a SI
SI SA SB SC a .
Vậy ,
3
a
Câu 13 [2H1-2.1-3] [THPT CHUYÊN BẾN TRE] Khối chóp S ABC có SA vuông góc với ABC ,
đáy ABC là tam giác vuông tại B Biết SB2a, BC a và thể tích khối chóp là
3
3
a
Khoảng cách từ Ađến SBC là.
A 3
2
a
4
Hướng dẫn giải Chọn B.
BC SAB nên BCSB Tam giác SBC vuông tại B
2
SBC
.
3
2
1 ( ,( )).S 3
1
a
d A SBC a d A SBC
Câu 14 [2H1-2.1-3] [Cụm 1 HCM] Cho khối tứ diện ABCD có ba cạnh AB, AC , AD đôi một
vuông góc và có thể tích bằng V Gọi S , 1 S , 2 S theo thứ tự là diện tích các tam giác 3 ABC,
ACD , ADB Khi đó khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
Trang 9A 2 1 2 3
6
S S S
3
S S S
3
S S S
6
S S S
Hướng dẫn giải Chọn C.
1 2 3
S S S
1 2 3
2 3
S S S V
Câu 15 [2H1-2.1-3] [SỞ GD ĐT HÀ TĨNH] Cho hình chóp tứ giác S ABCD , đáy ABCD là hình
vuông cạnh a, cạnh bên SAvuông góc với mặt phẳng đáy và góc giữa SC và ABCD bằng 45 Thể tích khối chóp S ABCD là
A
3 2 4
a
3 2 3
a
3 2 6
a
Hướng dẫn giải Chọn C.
Ta có S ABCD a a a 2 Đường chéo AC a 2
Vì tam giác SAC vuông tại A và SCA 45
nên SA AC a 2
Thể tích khối chóp S ABCD là
3 2
2
a
Câu 16 [2H1-2.1-3] [THPT Lý Nhân Tông] Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy là hình thoi cạnh
o
a ABC , SC(ABCD) Mặt bên SAB tạo với đáy góc 45 Khoảng cách giữa
SA và BD tính theo a bằng:
A 5
10
a
5
a
10
a
5
a
Hướng dẫn giải
Chọn C.
S
D
B
A
C
45
Trang 10Gọi I là trung điểmCD, kẻ CJ / /BI J, AB
ta có SJC45o nên 3
2
a
SC CJ BI
Kẻ OH SA thì OH là đoạn vuông góc chung
của SA và BD nên OH d BD SA( , )
Từ tam giac vuông đồng dạng ta có : . 3 5
10
OH
SA
Câu 17 [2H1-2.1-3] [THPT Hoàng Quốc Việt] Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông cân
tại B, AB a ; SA vuông góc mặt phẳng ABC , Góc giữa mặt phẳng SBC và mặt phẳng
ABC bằng 30 Gọi M là trung điểm của SC, thể tích khối chóp S ABM là
A 3 3
36
18
18
6
Hướng dẫn giải Chọn A.
3
SABM
SABM SABC
V
Câu 18 [2H1-2.1-3] [THPT chuyên Vĩnh Phúc lần 5] Cho hình chóp S ABC có SA^(ABC),
2
SA=a và ¼ 0
60
ACB= Biết bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC. là a. Tính độ dài cạnh AB
2
a
2
a
2
a
AB= D AB=a 6
Hướng dẫn giải Chọn B.
S
C I D A
B J
O H
Trang 11M
A
B
K S
Gọi I là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC Khi đó kẻ đường thẳng D qua
I và vuông góc với mặt phẳng (ABC) Þ SA/ /D Trên trục D lấy K sao cho KA=KS, kẻ
KM ^SA với M là trung điểm SA Suy ra K là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC có bán kính KA=a Xét tam giác KMA vuông tại M
2
6
Câu 19 [2H1-2.1-3] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 04] Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là
hình vuông cạnh a, hai mặt bên SAB và SAD cùng vuông góc với mặt phẳng đáy Biết góc giữa SCD và ABCD bằng 45 0 Gọi H và K lần lượt là trung điểm của SC và SD Thể tích của khối chóp S AHK. là:
A 3
24
6
12
a
Hướng dẫn giải Chọn A.
SAB và SAD cùng vuông góc với mặt phẳng đáy SAABCD
SCD , ABCD SDA 45 0 SA AD a
.
3
.
.
S AHK
S ACD
Câu 20 [2H1-2.1-3] [THPT Quảng Xương 1 lần 2] Cho hình chóp S ABC. có SA(ABC), ABC
vuông tạiB , AB a ,AC a 3 Biết góc giữa SB và mpABC bằng 300 Thể tích V của
khối chóp S ABC. là:
A
3
3
a
3
6 18
a
3
6 9
a
3
6 6
a
V
Hướng dẫn giải Chọn B.
Trang 12ABC
a
S AB BC a a
;
.tan 30
3
a
.
S ABC ABC
Câu 21 [2H1-2.1-3] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 07] Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác
vuông tại ,A AB a AC a , 2, SA vuông góc với mp đáy Góc tạo bởi SBC và mặt đáy
bằng 0
30 Thể tích S ABC bằng
A
9
3
a
4
2
3
2
2
3
6
2
3
Hướng dẫn giải Chọn A.
Xét ABC vuông tại A.
BC AB AC BC a 22a2 BC a 3
AH BCAB AC AH
BC
AC
3
a a a
3
a
Góc tạo bởi SBC và ABC là góc SHA
0
30
.tan 30
SA AH
3
6
3 3
2
.
S ACB
3 SA 2 AB AC
2
a
9
3
a
Câu 22 [2H1-2.1-3] [Sở GD&ĐT Bình Phước] Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều
cạnh 2a Cạnh bên SA vuông góc mặt đáy, thể tích của khối chóp S ABC bằng
3
4
a
Tính độ dài đoạn SA
A 3
4
3
a
4
a
3
a
Hướng dẫn giải Chọn A.
Trang 13A C
B
S
3
a
Câu 23 [2H1-2.1-3] [Sở GD&ĐT Bình Phước] Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác đều cạnh
2a, SAABC Góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC bằng 30 o Thể tích khối chóp
S ABC là
A
3 3 6
a
3 3 12
a
3 3 3
a
3 3 8
a
Hướng dẫn giải Chọn C.
2a
30o
I
A
B
C S
Gọi I là trung điểm BC Góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC là SIA 30 SIA
nửa tam giác đều nên
2 3 2
a AI
Thể tích khối chóp S ABC là 1
3 ABC
V S SA 1 2 2 3
a
a
3
3 3
Câu 24 [2H1-2.1-3] [BTN 163] Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên
SA vuông góc với đáy Biết hình chóp S ABC có thể tích bằng a Tính khoảng cách 3 d từ điểm A đến mặt phẳng SBC
A 6a 195
65
65
195
195
Hướng dẫn giải Chọn B.
Gọi các điểm như hình vẽ
Trang 14Ta có AIBC SA, BC suy ra BCAK AK dA SBC, .
A
B
C S
I K
4
ABC
a
2
a
Trong tam giác vuông SAI ta có 1 2 12 12
AK AS AI .
65
d AK
Câu 25 [2H1-2.1-3] [BTN 161] Hình chóp tứ giác S ABCD có đáy là hình chữ nhật cạnh
AB a AD a , SAABCD, góc giữa SC và mặt phẳng đáy bằng 60 Thể tích khối
chóp S ABCD bằng:
A 3a3 B 3a3 2. C a3 2. D a3 6.
Hướng dẫn giải Chọn C.
SA ABCD nên AC là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng ABCD
Xét ABC vuông tại B, ta có
AC AB BC a a a
Xét SAC vuông tại A, SAABCD SAAC
Ta có:
tanSCA SA SA AC.tanSCA AC.tan 60 a 3 3 3a
AC
.
S ABCD ABCD
V SA S a a a a
Trang 15
Câu 26 [2H1-2.1-3] [THPT Thanh Thủy] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật,
SA ABCD , AC2AB4a Tính thể tích khối chóp S ABC biết rằng góc giữa mặt phẳng
SBD và ABCD bằng 30
A 4 3
9
9
a . C 2 3 3
3
a . D 4 3 3
3
a .
Hướng dẫn giải Chọn C.
Ta có
2
( với O là giao điểm của AC và BD ) Suy ra AOB đều cạnh 2a AB AO OB 2a Gọi M là trung điểm của OB AM OB OB SM
mà SBD ABCD BD Suy ra SBD , ABCD SMA 30
2
a
AM a
1
3
SA
AM
3
S ABC
a
Câu 27 [2H1-2.1-3] [Cụm 1 HCM] Cho khối tứ diện ABCD có ba cạnh AB, AC , AD đôi một
vuông góc và có thể tích bằng V Gọi S , 1 S , 2 S theo thứ tự là diện tích các tam giác 3 ABC,
ACD , ADB Khi đó khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng?
A 2 1 2 3
6
S S S
3
S S S
3
S S S
6
S S S
Hướng dẫn giải Chọn C.
Trang 161 2 3
S S S
1 2 3
2 3
S S S V
Câu 28 [2H1-2.1-3] [Sở Bình Phước] Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông Biết
SA ABCD và
a
Tính thể tích khối chóp S ABCD
A
3
3
a
3
6
a
3
2
a
3
12
a
Hướng dẫn giải Chọn A.
Đặt cạnh hình vuông là x ACx 2 Áp dụng định lý Pi-ta-go cho các tam giác vuông
SAB và SAC ta có: SA2 SB2 AB2 SC2 AC2 2a2 x2 3a2 2x2 x a
Khi đó thể tích khối chóp là
3 2
a
V SA S a a
Câu 29 [2H1-2.1-3] [THPT chuyên Vĩnh Phúc lần 5] Cho hình chóp S ABC có SA^(ABC),
2
SA=a và ¼ACB=600 Biết bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC. là a. Tính độ
dài cạnh AB
2
a
2
a
2
a
AB= D AB=a 6
Hướng dẫn giải Chọn B.
Δ
M
A
B
K S
Gọi I là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC Khi đó kẻ đường thẳng D qua
I và vuông góc với mặt phẳng (ABC) Þ SA/ /D Trên trục D lấy K sao cho KA=KS, kẻ
KM ^SA với M là trung điểm SA Suy ra K là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC có bán kính KA=a Xét tam giác KMA vuông tại M
Trang 176
Câu 30 [2H1-2.1-3] [THPT Hùng Vương-PT] Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a ,
SA vuông góc với mặt đáy, SB tạo với mặt phẳng SAD một góc bằng 30o Tính thể tích V
của khối chóp S ABCD
3
a
V B V 2a3 3 C
3
2 3
a
6
a
V
Hướng dẫn giải Chọn A.
S
AB SA
nên SA là hình chiếu của SB lên mặt phẳng SAD
SB SAD, BSA 300; tan 300 BA SA a 3
SA
3 2
a
V SA S a a
Câu 31 [2H1-2.1-3] [THPT Quoc Gia 2017] Cho khối chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,
SA vuông góc với đáy và khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng 2
2
a Tính thể tích
V của khối chóp đã cho.
A
3
3
a
3
2
a
9
a
V a
Hướng dẫn giải Chọn A.
Kẻ AH vuông góc SB
Ta có AH (SBC nên ) AH chính là khoảng cách từ A đến mpSBC
Ta có 1 2 12 12 12 1 2 12 12
Suy ra SA a Thể tích cần tính là
3
1