bài toán thức tế (chọn hệ trục, tìm phương tình đường cong....) mức độ 3

Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ.. Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng như hình vẽ.. Trên đó người thiết kế hai phần đ

GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG III CHỦ ĐỀ 3.5 Bài toán thực tế (chọn hệ trục, tìm phương trình đường cong )

MỨC ĐỘ 3

Câu 1 [2D3-3.5-3] [THPT chuyên Lam Sơn lần 2] Trên quả địa cầu, vĩ tuyến 30 độ Bắc chia khối

cầu thành 2 phần Tính tỉ số thể tích giữa phần lớn và phần bé của khối cầu đó

A 27

9

24

27

5 .

Hướng dẫn giải Chọn D.

Thể tích chỏm cầu:

Tại điểm có hoành độ xR h R ;  dựng mặt phẳng () vuông góc Ox cắt mặt cầu (O,R) theo một đường tròn có bán kính rx

Gọi S(x) là diện tích hình tròn này

Thể tích khối chỏm cầu có chiều cao h của khối cầu bán kính R là :

 2  2 2

hom

3

( )

R

R h



Áp dụng bài toán: ta có

2

R

hIC Vậy hom

3

4

5 2

c cau

R

Vậy tỉ số là:

3 3

3

27

5 5

24

R R

R











Câu 2 [2D3-3.5-3] [THPT chuyên Hưng Yên lần 2] Vòm cửa lớn của một trung tâm văn hóa có dạng

hình parabol Người ta dự định lắp cửa kính cho vòm cửa này Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào biết rằng vòm cửa cao 8m và rộng 8m

A 28 2

3 m C 128 2

3 m D 131 2

3 m

ướng dẫn giải

Chọn C

Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ

Khi đó, vòm cửa được giới hạn bởi các

đường 1 2

2

y x y Phương trình hoành độ giao điểm

1 8

4 2

x x

x





   

Diện tích vòm cửa là

4

2 4

3

1

2 4

8

4



   





Câu 3 [2D3-3.5-3] [BTN 164] Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước Gọi h t là thể tích  

nước bơm được sau t giây Cho h t'  3at2bt và ban đầu bể không có nước Sau 5 giây thì thể tích nước trong bể là 150m , sau 10 giây thì thể tích nước trong bể là 3 1100m Tính thể tích3

của nước trong bể sau khi bơm được 20 giây

A 8400m 3 B 3

4200m C 600m 3 D 2200m 3

Hướng dẫn giải Chọn A.

Ta có:   ' d 3 2 d 3 2

2

t

h t h t t at bt t at b C.

Do ban đầu hồ không có nước nên    

2 3

2

t

h   C  h t at b Lúc 5 giây  

2

2

Lúc 10 giây  

2

3 10

10 10 1100

2

Suy ra a1,b 2 h t  t3 t2  h20 203202 8400m3

Câu 4 [2D3-3.5-3] [Minh Họa Lần 2] Ông An có một mảnh vườn hình Elip có độ dài trục lớn bằng

16m và độ dài trục bé bằng10m Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8m và nhận trục

bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ) Biết kinh phí để trồng hoa là 100.000 đồng/1m 2

Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn.)

A 7.826.000 đồng B 7.653.000 đồng C 7.862.000 đồng D 7.128.000 đồng

Hướng dẫn giải Chọn B.

Giả sử elip có phương trình

x y

a b  .

Từ giả thiết ta có 2a16 a8 và 2b10 b5

Vậy phương trình của elip là

2

2 1

5

64 ( ) 8

1

5

64 25

64 ( ) 8





   



Khi đó diện tích dải vườn được giới hạn bởi các đường ( ); ( );E1 E2 x4; x4 và diện tích của dải vườn là



Tính tích phân này bằng phép đổi biến x8sint, ta được 80 3

6 4

S    

Khi đó số tiền là 80 3 100000 7652891,82 7.653.000

6 4

T     

Câu 5 [2D3-3.5-3] [CHUYÊN VÕ NGUYÊN GIÁP] Một khuôn viên dạng nửa hình tròn có đường

kính bằng 4 5 (m) Trên đó người thiết kế hai phần để trồng hoa có dạng của một cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm nửa hình tròn và hai đầu mút của cánh hoa nằm trên nửa đường tròn (phần tô màu), cách nhau một khoảng bằng 4(m), phần còn lại của khuôn viên (phần không tô màu) dành để trồng cỏ Nhật Bản

Biết các kích thước cho như hình vẽ và kinh phí để trồng cỏ Nhật Bản là 100.000 đồng/m2 Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng cỏ Nhật Bản trên phần đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn)

A 2.388.000 (đồng) B 3.895.000 (đồng).

C 1.194.000 (đồng) D 1.948.000 (đồng).

Hướng dẫn giải Chọn D.

Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ Khi đó phương trình nửa đường tròn là

Phương trình parabol  P có đỉnh là gốc O sẽ có dạng 2

y ax Mặt khác  P qua điểm

2;4

M do đó: 4a22 a1

Phần diện tích của hình phẳng giới hạn bởi  P và nửa đường tròn.( phần tô màu)

Ta có công thức 1 2 

2

11,9





Vậy phần diện tích trồng cỏ là 1  1

19, 47592654 2

trongco hinhtron

Vậy số tiền cần có là S trongxo 100000 1.948.000 (đồng).đồng

Câu 6 [2D3-3.5-3] [THPT NGUYỄN QUANG DIÊU] Ông An muốn làm cửa rào sắt có hình dạng

và kích thước như hình vẽ bên, biết đường cong phía trên là một Parabol Giá 1 m 2 của rào

sắt là 700.000 đồng Hỏi ông An phải trả bao nhiêu tiền để làm cái cửa sắt như vậy (làm tròn đến hàng phần nghìn)

A 6.417.000 đồng B 6.320.000 đồng C 6.520.000 đồng D 6.620.000 đồng

Hướng dẫn giải Chọn A.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Trong đó A  2,5;1,5 , B2,5;1,5, C0;2.

Giả sử đường cong phá trên là một Parabol có dạng y ax 2bx c , với a b c  ; ;

Do Parabol đi qua các điểm A  2,5;1,5 , B2,5;1,5, C0;2 nên ta có hệ phương trình.

2 2

2

25

2 2

a

c c









Khi đó phương trình Parabol là 2 2 2

25

y x 

Diện tích S của cửa rào sắt là diện tích phần hình phẳng giới bởi đồ thị hàm số 2 2

2 25

y x 

, trục hoành và hai đường thẳng x 2,5, x 2,5

Ta có

2,5

2

x

Vậy ông An phải trả số tiền để làm cái cửa sắt là

6

Câu 7 [2D3-3.5-3] [THPT chuyên Biên Hòa lần 2] Để trang trí toà nhà người ta vẽ lên

tường một hình như sau: trên mỗi cạnh hình lục giác đều có cạnh là 2 dm là một cánh hoa hình

parabol mà đỉnh parabol  P cách cạnh lục giác là 3dm và nằm phía ngoài hình lục giác, 2

đầu mút của cạnh cũng là 2 điểm giới hạn của đường  P đó Hãy tính diện tích hình trên (kể

cả lục giác)

A 8 3 12 dm  2 B 8 3 24 dm  2 C 6 3 24 dm  2 D 6 3 12 dm  2

Hướng dẫn giải Chọn C.

Xét 1 cánh hoa hình parabol như mô tả; đặt hệ trục như hình vẽ:

Khi đó ta được phương trình của parabol là 2

y x 

 diện tích mỗi cánh hoa là:      

1

1

1

1 1





Diện tích hình lục giác đều là  2

2 6 3

Vậy tổng diện tích của hình trang trí là  2

1 2

S S S   dm

Câu 8 [2D3-3.5-3] [BTN 173] Gọi h t là mức nước ở bồn chứa sau khi bơm nước được   t giây Biết

rằng   13

5

h t  t và lúc đầu bồn không có nước Tìm mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 10 giây (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

A 4,76cm B 4,75cm C 4,78cm D 4,77cm

Hướng dẫn giải Chọn D.

Mực nước sau 10 giây là

10 3 0

1

8 4,77

5 t dt cm

Câu 9 [2D3-3.5-3] [Cụm 4 HCM] Người thợ gốm làm cái chum từ một khối cầu có bán kính 5dm

bằng cách cắt bỏ hai chỏm cầu đối nhau Tính thể tích của cái chum biết chiều cao của nó bằng

6dm (quy tròn 2 chữ số thập phân).

A 135,02 dm 3 B 104,67 dm 3 C 428,74dm 3 D 414, 69dm 3

Hướng dẫn giải Chọn D.

Hình phẳng  H giới hạn bởi đồ thị hàm số x 25  y2 , trục tung và hai đường thẳng y 3,

3

y  Khi quay hình phẳng  H quanh trục tung ta được hình dạng cái chum

Vậy thể tích cái chum là: 3 22 3 2

Câu 10 [2D3-3.5-3] Cho hình thang ABCD vuông tại A và B có AB a , AD3a và BC x với

0 x 3a Gọi V , 1 V lần lượt là thể tích các khối tròn xoay tạo thành khi quay hình thang2

ABCD (kể cả các điểm trong) quanh đường thẳng BC và AD Tìm x để 1

2

7 5

V

V  .

A 5

7

a

4

a

2

a

x  .

Hướng dẫn giải Chọn B.

2 1

1 2 3

V a  a x

2 3

V a a  x

  Theo đề ta có 1

2

7 5

V

V 

       

Câu 11 [2D3-3.5-3] [TT Tân Hồng Phong] Cho hàm số f x có đạo hàm trên   , đồ thị hàm số

 

yf x như trong hình vẽ bên Hỏi phương trình f x  có tất cả bao nhiêu nghiệm biết  0

  0

f a  ?

Hướng dẫn giải Chọn B.

Ta có

Mặt khác

f x x  f x x  f x   f x  f b  f a   f c f b  f a  f c

Mà f a  nên phương trình vô nghiệm.  0

Câu 12 [2D3-3.5-3] [TTGDTX Vạn Ninh - Khánh Hòa] Vòm cửa lớn của một trung tâm văn hoá có

dạng hình Parabol Người ta dự định lắp cửa kính cường lực cho vòm cửa này Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào biết rằng vòm cửa cao 8m và rộng8m (như hình vẽ)∙

A 131 2

3 m B 28( 2)

3 m C 26( 2)

3 m D 128 2

3 m

Hướng dẫn giải Chọn D.

Chọn hệ trục tọa độ Oxy với gốc tọa độ O là trung điểm của cạnh đáy, trục Oy trùng với

chiều cao của vòm cửa

Gọi Parabol có dạng: y ax 2bx c

Vì Parabolcó đỉnh I0;8 và qua điểm 4;0 ; 4;0   nên ta có:

2

a













Vậy Parabol có phương trình là 1 2 8

2

y x 

Diện tích cái cổng chính bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

2

1 8 2 0 4 4

y x x

















Từ đó ta có

2

Câu 13 [2D3-3.5-3] [BTN 164] Một bác thợ xây bơm nước vào bể chứa nước Gọi h t là thể tích  

nước bơm được sau t giây Cho h t'  3at2bt và ban đầu bể không có nước Sau 5 giây thì thể tích nước trong bể là 150m , sau 10 giây thì thể tích nước trong bể là 3 1100m Tính thể tích3

của nước trong bể sau khi bơm được 20 giây

A 8400m 3 B 3

4200m C 600m 3 D 2200m 3

Hướng dẫn giải Chọn A.

Ta có:   ' d 3 2 d 3 2

2

t

h t h t t at bt t at b C.

Do ban đầu hồ không có nước nên    

2 3

2

t

h   C  h t at b Lúc 5 giây  

2

2

Lúc 10 giây  

2

3 10

10 10 1100

2

Suy ra a1,b 2 h t  t3 t2  h20 203202 8400m3

Câu 14. [2D3-3.5-3] [THPT Chuyên Thái Nguyên] Một công ty phải gánh chịu nợ với tốc độ D t  

đô la mỗi năm, với D t  90t6 t212t trong đó t là thời gian (tính theo năm) kể từ

khi công ty bắt đầu vay nợ Sau 4 năm công ty đã phải chịu 1626000 đô la tiền nợ nần Tìm hàm số biểu diễn tốc độ nợ nần của công ty này.

A D t  30 t212t3 1610640 B D t  30 t212t3 C.

C D t  303t212t2 1610640

D D t  30 t212t3 1595280 Hướng dẫn giải

Chọn A.

Ta có D t  90t6 t212 dt t45 2  t12 t212t12dt.

1

3 2

Vì sau bốn năm số nợ là 1626000 đô la nên ta có:

D   C   C  C

Vậy    2 3

30 12 1610640

Câu 15 [2D3-3.5-3] [BTN 173] Gọi h t là mức nước ở bồn chứa sau khi bơm nước được   t giây Biết

rằng   13

5

h t  t và lúc đầu bồn không có nước Tìm mức nước ở bồn sau khi bơm nước được 10 giây (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

A 4,76cm B 4,75cm C 4,78cm D 4,77cm

Hướng dẫn giải Chọn D.

Mực nước sau 10 giây là

10 3 0

1

8 4,77

5 t dt cm

Câu 16 [2D3-3.5-3] [Cụm 4 HCM] Người thợ gốm làm cái chum từ một khối cầu có bán kính 5dm

bằng cách cắt bỏ hai chỏm cầu đối nhau Tính thể tích của cái chum biết chiều cao của nó bằng

6dm (quy tròn 2 chữ số thập phân).

A 135,02 dm 3 B 104,67 dm 3 C 428,74dm 3 D 414, 69dm 3

Hướng dẫn giải Chọn D.

Hình phẳng  H giới hạn bởi đồ thị hàm số x 25  y2 , trục tung và hai đường thẳng y 3,

3

y  Khi quay hình phẳng  H quanh trục tung ta được hình dạng cái chum

Vậy thể tích cái chum là: 3 22 3 2

Câu 17 [2D3-3.5-3] [THPT Chuyen LHP Nam Dinh] Trong Vật lý, công được hình thành khi một

lực tác động vào một vật và gây ra sự dịch chuyển, ví dụ như đi xe đạp Một lực F x( ) biến thiên, thay đổi, tác động vào một vật thể làm vật này di chuyển từ x=a đến x=b thì công sinh ra bởi lực này có thể tính theo công thức ( )

b

a

W=òF x dx Với thông tin trên, hãy tính công

W sinh ra khi một lực F x( ) = 3x- 2 tác động vào một vật thể làm vật này di chuyển từ x= 1

đến x= 6.

A W = 12 B W = 18 C W = 20 D W = 14

Hướng dẫn giải Chọn D.

Ta có

6

1

3 2

W  x dx Đặt

2 2

3

t

t x  x  khi x 1 thì t  khi 1, x 6 thì t 4

Do đó

1

W td  t dt  

Câu 18 [2D3-3.5-3] Cho hình thang ABCD vuông tại A và B có AB a , AD3a và BC x với

0 x 3a Gọi V , 1 V lần lượt là thể tích các khối tròn xoay tạo thành khi quay hình thang2

ABCD (kể cả các điểm trong) quanh đường thẳng BC và AD Tìm x để 1

2

7 5

V

V 

A 5

7

a

4

a

2

a

x 

Hướng dẫn giải Chọn B.

2 1

1 2 3

V a  a x

3

V a a  x

  Theo đề ta có 1

2

7 5

V

V 

       

Câu 19 [2D3-3.5-3] [THPT Quoc Gia 2017] Cho hàm số yf x  Đồ thị của hàm số yf x  như

hình vẽ Đặt g x  2f x x2 Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A g 1 g 3 g3 B g 3 g3 g 1

C g 1 g3 g 3 D g3 g 3 g 1

Hướng dẫn giải Chọn A.

Ta có g x  2f x 2x g x  0 x  3;1;3

Từ đồ thị của yf x  ta có bảng biến thiên.(Chú ý là hàm g x và   g x )

Suy ra g 3 g 1

Kết hợp với bảng biến thiên ta có:

 

g x dx g x dx

g x dx g x dx g g g g g g





Vậy ta có g3 g 3 g 1

Câu 20 [2D3-3.5-3] [BTN 170] Sau t giờ làm việc một người công nhân A có thể sản xuất với tốc độ

được cho bởi công thức p t'  100 e 0,5t

  đơn vị/giờ Giả sử người đó bắt đầu làm việc từ 8

giờ sáng Hỏi người đó sẽ sản xuất được bao nhiêu đơn vị từ 9 giờ sáng tới 11 giờ trưa ?

A 200 2e 0,5 2e 1,5

  B 200 2e 0,5 2e 1,5

C 200 2e 0,5 2e 1,5

  D 200 2e 0,5 2e 1,5

Hướng dẫn giải Chọn B.

Mốc thời gian là 8 giờ nên 9 giờ thì t 1, lúc 11 giờ thì t 3

Vậy số đơn vị công nhân A sản xuất được là:

t