DTHP GIỚI HẠN BỞI NHIỀU HƠN 2 ĐƯỜNG CONG, TRỤC HOÀNH VÀ CẬN

Hướng dẫn giải Chọn A.. Phương trình hoành độ giao điểm của parabol và đường thẳng.. Hướng dẫn giải Chọn D... Hướng dẫn giải Chọn A.. Hướng dẫn giải Chọn C... Hướng dẫn giải Chọn B.. Chọ

Trang 1

GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG III CHỦ ĐỀ 3.2 DTHP giới hạn bởi nhiều hơn 2 đường cong, trục hoành và cận.

MỨC ĐỘ 3

Câu 1. [2D3-3.2-3] [BTN 163] Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi parabol y = 2 x  2 và đường

thẳng y = x bằng:

A 9

2 (đvdt). B

9

4 (đvdt). C 18 (đvdt). D 9 (đvdt).

Hướng dẫn giải

Chọn A.

Phương trình hoành độ giao điểm của parabol và đường thẳng.

2

x





        

2 x x d x 2 x x d x

2

2 3

1

x



                

.

Vậy 9 9

2 2

S   (đvdt).

Câu 2. [2D3-3.2-3] [Minh Họa Lần 2] Cho hình thang cong   H giới hạn bởi các đường y e  x, y  0,

0

x  , x ln 4 Đường thẳng x k  (0  k  ln 4) chia   H thành hai phần có diện tích là S1 và S2

như hình vẽ bên Tìm k để S1 2 S2

A k  ln 2 B 8

ln 3

ln 4 3

k  D k  ln 3

Chọn D.

0

k

S   e x e   e  và

ln 4

2 xd x 4 k

k k

S   e x e    e

Trang 2

Ta có S1 2 S2  ek  1 2 4    ek  k  ln 3.

Câu 3 [2D3-3.2-3] [THPT Tiên Lãng] Gọi   H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số:

2 4 4

y x   x  , trục tung và trục hoành Xác định k để đường thẳng   d đi qua điểm A  0;4 

có hệ số góc k chia   H thành hai phần có diện tích bằng nhau.

A k 6 B k 2 C k 8 D k 4

zzzzz

Chọn A.

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y x  2 4 x  4 và trục hoành là:

2

x  x    x 

Diện tích hình phẳng   H giới hạn bởi đồ thị hàm số: y x  2 4 x  4, trục tung và trục hoành là:

S x  x xx  x x

2 3

2

0

8

x

     

Phương trình đường thẳng   d đi qua điểm A  0;4 có hệ số góc k có dạng: y kx   4

Gọi B là giao điểm của   d và trục hoành Khi đó 4

;0

B k



 

Đường thẳng   d chia   H thành hai phần có diện tích bằng nhau khi B OI và 1 4

OAB

S  S  4

6

OAB

k









Câu 4. [2D3-3.2-3] [BTN 173] Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x3 3 x  2 và

đồ thị hàm số y  x  2

A S 16 B S 4 C S 8 D S 2

Chọn C.

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số y  x3 3 x  2 và y  x  2 là:

2

x





          

Trang 3

2 0 2

Câu 5 [2D3-3.2-3] [THPT CHUYÊN VINH] Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

3

y x  , y   2 x và y  Mệnh đề nào sau đây đúng? 0

1 2 3

0 1

1 3 0

1

d 2

S    x x

2 3 0

2 d

1 3 0

S   x   x x

Chọn B.

1

2

S   x x    x x    x x

Câu 6. [2D3-3.2-3] [THPT Chuyên Hà Tĩnh] Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số

3x

y  và y  x2 3 x  7 Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau ?

A S   16; 17  B S   15; 16  C S   14; 15  D S   13; 14 

Chọn D.

14 12 10 8 6 4 2

2

g x ( ) = x2 3∙x + 7

3 7 3 x d 3 7 3 dx 13,4



Câu 7. [2D3-3.2-3] [THPT chuyên Vĩnh Phúc lần 5] Tính diện tích S của hình phẳng ( ) H giới hạn bởi đồ

thị hàm số y = x, trục hoành và đường thẳng y = - x 2

A S=2 B 10

3

Chọn B.

Trang 4

Hoành độ giao điểm x = - x 2 Û x = 4 ( x ³ 0)

x = Û x = ; x- 2= Û0 x=2

Diện tích

2

0 2

10 2

3

xdx + x - x + dx =

Câu 8. [2D3-3.2-3] [Sở GDĐT Lâm Đồng lần 2] Diện tích hình phẳng giới hạn bởi Parabol   P y :   3 x2,

đường thẳng d y: 2x, trục tung và x  2 là:

A 6 (đvdt) B 2 (đvdt) C 1 (đvdt) D 4 (đvdt)

Chọn D.

Phương trình hoành độ giao điểm: 3 2 2 2 2 3

3

x



Diện tích cần tìm được tính bằng công thức sau đây:

 

1 2 2 2

Câu 9. [2D3-3.2-3] [THPT Trần Cao Vân - Khánh Hòa] Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường

ln 2

x y

x

 , y 0, x 1, x e là:

A 2  e B 2  e C 1 2 e  D 3  e

Chọn A.

Diện tích hình phẳng được tính bằng công thức:

1

ln d 2

x

Đặt:

d ln

d d

d 2

x

u x x

v

x









Khi đó ta có:

Trang 5

Câu 10. [2D3-3.2-3] [THPT Nguyễn Khuyến –NĐ] Biết rằng hình phẳng   H giới hạn bởi các đường thẳng

2

y   x, y  0,x k ,x 3  k  2  và có diện tích bằng Sk Xác định giá trị k để S k 16

A k   2 15 B k   2 31 C k   2 15 D k   2 31

Chọn B.

k

S   x x   x x   x x   x x   x x    x  x      x  x  

.

           

k

  

 

Vì k 2 nên k   2 31

Câu 11. [2D3-3.2-3] [THPT Nguyễn Chí Thanh - Khánh Hòa] Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

hàm số y  x2  2 x và đồ thị hàm số y  x2 x bằng

A 10

3



8



Chọn B.

Phương trình hoành độ giao điểm: 2 2 2

0

2







 



x

3 2 2 0

9

3 d

8

S   x  x x  .

Câu 12. [2D3-3.2-3] [THPT Nguyễn Chí Thanh - Khánh Hòa] Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường

2

1

 

y x và y  0 quay xung quanh trục Ox Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

A 6

15



15



C 16

5



5



Chọn B.

Phương trình hoành độ giao điểm: 2 1

1





    



x x

1

2 2 1

16

15



Câu 13. [2D3-3.2-3] [BTN 165] Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y   e  1  x và

 x

A 1

4

e

2

e

4

e

2

e



Trang 6

Chọn D.

Phương trình hoành độ giao điểm:  1   1    0 0 0

1

x

e e





Vậy diện tích cần tính:    

S   x e e dx    x e e dx  Tới đây sử dụng công thức từng phần hoặc bằng casio ta tìm được 1.

2

e

S  

Câu 14. [2D3-3.2-3] [BTN 163] Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi parabol y = 2 x  2 và đường

thẳng y = x bằng:

A 9

2 (đvdt). B

9

4 (đvdt). C 18 (đvdt). D 9 (đvdt).

Chọn A.

Phương trình hoành độ giao điểm của parabol và đường thẳng.

2

x





        

2 x x d x 2 x x d x

2

2 3

1

x



                

.

Vậy 9 9

2 2

S   (đvdt).

Câu 15. [2D3-3.2-3] [BTN 161] Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x  3 x và đồ thị hàm

số y x  2 x

A 1

1

4.

Chọn A.

Phương trình hoành độ giao điểm 3 2 0

1

x





     



Vậy

1

3 2

1 d

HP

S  x  x x       

Câu 16 [2D3-3.2-3] [THPT TH Cao Nguyên] Gọi   H là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

3

4

y  x x  và trục hoành trên  0;2 Tìm m để đường thẳng  y mx chia hình   H thành hai

phần có diện tích bằng nhau.

A m   4 2 B m   4 3 2 C m   3 4 2 D m   4 2 2

Chọn D.

Trang 7

Ta có diện tích hình phẳng   H là:  

0 0

4

x

S  x x  x    x    

Xét pt hoành độ giao điểm:

 

3

2

0 4

x





   

 



Để đường thẳng y mx chia hình   H thành hai phần có diện tích bằng nhau  pt   1 có nghiệm 0

x   m  4

Khi đó   1  x  4  m

Vậy để thỏa mãn yêu cầu bài toán ta có:

0 0

m

x mx





 

1

m m

  

 

Vậy m   4 2 2

Câu 17. [2D3-3.2-3] [THPT Nguyễn Huệ-Huế] Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường parabol:

P y x   x  , tiếp tuyến của  P tại M3;5 và trục Oy Tính diện tích của hình H

A 15 đvdt  B 12 đvdt   C 18 đvdt   D 9 đvdt  

Chọn D.

  P y x :  2 2 x  2 , y 2x 2.

PTTT của  P tại M3;5 : d y :  y     3 x  3   5 d y: 4x 7.

Diện tích hình H :    

3 2 0

S x  x  x x

3 2 0

6 9d

3

2 0

3 d

 

 3 3

0

3 3

x 

Câu 18 [2D3-3.2-3] [THPT Chuyên NBK(QN)] Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

3 3 2 2

yx  x  x, trục hoành, trục tung và đường thẳng x 3 là.

A 17

17

11

5

6.

Chọn C.

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số yx3 3x22xvà trục hoành là:

3 2

0

2

x







 



Diện tích hình phẳng cần tìm là:

S x  x  x dxx  x  x dx  x  x  x dx  x  x  x dx

    

Trang 8

Câu 19 [2D3-3.2-3] [THPT Kim Liên-HN] Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parbol ( ) P ,

tiếp tuyến với ( ) P tại điểm A ( 1; 1 - ) và đường thẳng x=2 ( như hình vẽ bên) Tính S.

A S=1 B 4

3

S =

Chọn D.

Parbol ( ) P qua O nên có dạng: y = ax2 Vì đồ thị hàm số qua A (1; 1) - nên a=- 1

Xét hàm số y =- x2 ta có: y ' =- 2 x Þ y '(1) =- 2

Phương trình tiếp tuyến của ( ) P tại A là: y =- 2( x - 1) 1 - Û y =- 2 x + 1

1

1 ( 2 1)

3

S = é - x + - - x dx ù =

Câu 20 [2D3-3.2-3] [Sở Hải Dương] Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y x  2,

2

27

x

y  , y 27

x



27 ln 3

3

S   B S 27 ln 3 C 26

3

Chọn A.

10

8

6

4

2

x

y

h x ( ) = 27 x

g x ( ) = x

2

27

f x ( ) = x 2

9 3

B A

O

Tìm giao điểm giữa các đồ thị:

 

2 2

0;0 :

27

y g x









;  

 

2

27 9;0 :

27

x

y g x B

y h x

x









  2

27 3;0 : y h x









Trang 9

Vậy diện tích

2

27

x

       

   26 3    27 ln 3  26 3    27 ln 3

(Hoặc bấm máy tính để tính tích phân – hiệu với từng đáp án để chọn kết quả bằng 0)

Câu 21. [2D3-3.2-3] [Sở Bình Phước] Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong y x  3 x

và y x x   2

A 37

12

6

4

37

Chọn A.

Ta có x3 x x x  2  x3x2 2x0

1 2 0

x x x







  

 



Vậy

3 2 3 2

37

12



Câu 22. [2D3-3.2-3] [BTN 175]   1 Cho y1  f x1  và y2  f x2  là hai hàm số liên tục trên đoạn  a b ; 

Giả sử trên  a b ;  phương trình f x1   f x2   0 chỉ có hai nghiệm  và  , với a      b Khi đó diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng và đồ thị được cho bởi công thức:

1 2 d 1 2 d 1 2 d

b

a





  2 Cũng với giả thiết như   1 , nhưng:

   

 1 2  d  1  2   d  1  2   d

b

a





A Cả   1 và   2 đều sai B   2 đúng nhưng   1 sai

C Cả   1 và   2 đều đúng D   1 đúng nhưng   2 sai

Chọn C.

Chú ý rằng với mọi x     ;  , f x1   f x2   0 Vì f x1  và f x2  để liên tục trên khoảng

   ;  , f x1   f x2  giữ nguyên dấu Nếu f x1   f x2   0 thì ta có:

               

Nếu f x1   f x2   0 thì ta có:

               

Vậy trong mọi trường hợp ta đều có: f x1  f x dx2   f x1  f x dx2  

Trang 10

Tương tự như thế đối với 2 tích phân còn lại vì vậy, hai công thức   1 và   2 là như nhau.

Câu 23. [2D3-3.2-3] [BTN 173] Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị hàm số y  x3 3 x  2 và

đồ thị hàm số y  x  2

A S 16 B S 4 C S 8 D S 2

Chọn C.

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số y  x3 3 x  2 và y  x  2 là:

2

x





          



Câu 24. [2D3-3.2-3] [BTN 166] Ở hình bên, ta có parabol y x  2 2 x  2, tiếp tuyến với nó tại điểm M  3;5 

Diện tích phần gạch chéo là:

Chọn B.

Đặt f x1   x2 2 x  2 Ta có f x1    2 x  2, f1   3  4 Tiếp tuyến của parabol đã cho tại điểm

 3;5 

M có phương trình y  5 4   x  3   y  4 x  7

Đặt f x2   4 x  7 Diện tích phải tìm là:

2

1 2

3 3

2 2

0

3

x

Câu 25. [2D3-3.2-3] [THPT chuyên Vĩnh Phúc lần 5] Tính diện tích S của hình phẳng ( ) H giới hạn bởi đồ

thị hàm số y = x, trục hoành và đường thẳng y = - x 2

A S=2 B 10

3

Chọn B.

Trang 11

Hoành độ giao điểm x = - x 2 Û x = 4 ( x ³ 0)

x = Û x = ; x- 2= Û0 x=2

Diện tích

2

0 2

10 2

3

xdx + x - x + dx =

Câu 26 [2D3-3.2-3] [THPT Chuyen LHP Nam Dinh] Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các

đường y=x2- 2x+4 và y= +x 2..

A 1

1

2.

Chọn B.

2

x





          

 Diện tích cần tính là    

S   x  x   x  dx   x  x  dx

Rõ ràng trên khoảng  1; 2  phương trình x2 3 x   2 0  

2 2 1

1

3 2

6

Câu 27. [2D3-3.2-3] [THPT Chuyên Hà Tĩnh] Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số

3x

y  và y  x2 3 x  7 Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau ?

A S   16; 17  B S   15; 16  C S   14; 15  D S   13; 14 

Chọn D.

14 12 10 8 6 4 2

2

g x ( ) = x2 3∙x + 7

Trang 12

Ta có    

3 7 3 x d 3 7 3 dx 13,4



Câu 28 [2D3-3.2-3] [THPT Chuyên SPHN] Gọi S là phần diện tích phần mặt phẳng giới hạn bởi

parabol y x  2 2 x  3 và đường thẳng y kx 1với k là tham số thực Tìm k để S nhỏ

nhất :

A k  2 B k  2 C k  1 D k  1

Chọn B.

Phương trình hoành độ giao điểm của parabol và đường thẳng :

x  x   kx   x   k x  

2 k2 16 0

     Gọi x x1, 2 là nghiệm của phương trình   *

2

3

1

2

x

S  x   k x x x   k x  x    x  x S

3 3

2 2

2 1

2 1 2 1

2

4

 2

2

2 1 4 2 16

x  x  S  P  k  

2 1 2 1 2 1 4 2 2 16

x  x  x  x x  x  S S  P  k  k  

2 1 2 1 2 1 2 1 4 2 4 2 16

x  x  x  x x x x x  S  P S  P  k   k 

1

2 2

k



S nhỏ nhất khi k  2 0   k  2

Câu 29 [2D3-3.2-3] [THPT Chuyên SPHN] Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

2

1

y   x , y x  2 1 là.

A S  2 B 8

3

S  D S  4.

Chọn B.

Phương trình hoành độ giao điểm: 1 2 2 1 2 1 1

1

x





       

Diện tích S của hình phẳng cần tìm là:

1

Trang 13

Câu 30. [2D3-3.2-3] [THPT Trần Phú-HP] Cho m là một số thực và kí hiệu S m   là diện tích hình phẳng

giới hạn bởi đường thẳng y m x và parabol y x  2 2 x  2 Hỏi S m   đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

A 8 2

7

Chọn A.

Phương trình hoành độ giao điểm : x2  2 x  2  mx  x2  2  m x   2 0  có hai nghiệm x x1 ; 2 Diện tích hình phẳng là :

2 2

3 3 3

2 1 2 1

x x

2 1 2 1 4 2 1 2 8

x  x  x  x  x x  m  

2 2

2 1 2 1 2 1 2 2 8

x  x  x  x x  x  m  m  

3 3 2 2

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 8

x  x  x  x x  x  x x  x  x  x  x  x x    m    m  



2

m

Định dạng
Số trang	13
Dung lượng	1,27 MB