xác định số hạng tổng quát của dãy số

DỰ ĐOÁN SỐ HẠNG TỔNG QUÁT VÀ CHỨNG MINH BẰNG QUY NẠP Câu 1.. a Xác định ba số hạng đầu của một cấp số cộng, biết tổng của chúng bằng 9 và tổng các bình phương của chúng là 125.. Hướng dẫ

1 XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TỔNG QUÁT

1.1 DỰ ĐOÁN SỐ HẠNG TỔNG QUÁT VÀ CHỨNG MINH BẰNG QUY NẠP

Câu 1.

a) Xác định ba số hạng đầu của một cấp số cộng, biết tổng của chúng bằng 9 và tổng các bình phương của chúng là 125

b) Cho dãy số  u n có  

1

1

16

1

n n

u

n u

n













 Tìm số hạng tổng quát u n

Hướng dẫn giải

a)Xác định ba số hạng đầu của một cấp số cộng, biết tổng của chúng bằng 9 và tổng các bình phương của chúng là 125

Gọi d là công sai, số hạng thứ 2 là a Khi đó 3 số hạng đầu của csc là a d a a d , , 

Theo giả thiết ta có hệ:  2 2  2

9 125

a d a a d







3 7

a

a d





 







 





Vậy có 2 cấp số thỏa mãn có 3 số hạng đầu là: -4;3;10 hoặc 10;3;-4

b)Cho dãy số  u n có

1

1

16

1

n n

u

n u

n













 Tìm số hạng tổng quát u n

Ta có:

1

n

n u

n





 n1u n115nu n14n1

(1)

Đặt v n nu n v116

(1) trở thành: v n1 15v n 14n 1 v n1 n1 15v n n

(2) Đặt wn v n n w1 15

(2) trở thành: w n1 15w n  wn

là csn có w1 15, 15 w 15n

n

q

Từ đó ta có:

15n n

n u

n





1.7 CÁC DẠNG KHÁC

Câu 2. Cho dãy số  u n

xác định bởi : u11;u2 4;u n2 7u n1 u n 2,  n * Chứng minh : u n là số chính phương với mọi n nguyên dương.

Hướng dẫn giải

Ta có u11;u2 4;u3 25

Đặt

2 5

n n

u v 

thì 1 2 3

Khi đó u n2 7u n1 u n 2,  n * 2 1

Ta có : v n2.v n v n21(7v n1 v v n) n v n21v n1(7v n v n1) v n2 v v n1 n1 v n2

Suy ra :

9

5

v  v  v  v v   v v v  v   n 

Suy ra :

2

Từ hệ thức u u n2 n (u n11) ;2   n * và u u1; 2 là các số chính phương suy ra u n là số

chính phương với mọi n nguyên dương

Câu 3. Cho dãy số  a n n1

 tăng, a n 0 n 1, 2,3, và  0 Xét dãy số  x n n1

 xác định bởi 1

1 1

n

i i n

i i i

x

a a



 



Chứng minh rằng tồn tại nlim x n

 

Hướng dẫn giải

Dễ dàng thấy rằng dãy  x n n1

 tăng ngặt Trường hợp 1 Nếu  1

1

1

i i







1

1

n

x

a

vậy dãy  x n n1



bị chặn trên do đó tồn tại nlim x n

 

Trường hợp 2 Nếu 0 1

 

1

*

i i







  thật vậy  * a i 11a i 1 a i a i 1 a i

 

1

1

1 1

**

i i

i

i i

a











 Ta chứng minh (**) Xét hàm số f x  x



Trên đoạn a a i; i1

rõ ràng hàm số thoả mãn điều kiện của định lí Lagrăng nên tồn tại số ca a i; i1 thoả mãn

 

1

i



Từ đó ta có

1

1

n

x

a



dãy  x n n1

 bị chặn trên do đó tồn tại nlim x n

 

2 MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH CHẤT CỦA DÃY SỐ

3 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

3.2 TÍNH GIỚI HẠN BẰNG CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN

Câu 4. Tính:

2

1

1

x

Lim

x





Hướng dẫn giải

1

2

3 2

x

x x





 

Câu 5. Cho dãy số  a n thỏa mãn:    

1

4

a













Tìm lima n.

Hướng dẫn giải

Dễ thấy a n    0, n * Từ giả thiết ta có

1

2

1

n



Với mỗi n  *, đặt

4

n n

y a

ta có y 1 1 và

2

n

n

n

2 2

2 2

n

n n a

n n



Vậy lima  n 4

Câu 6. Cho dãy số  x n thỏa mãn 1 1 3

1

1

4

n

a

x





Hướng dẫn giải

Ta có

4

1

1

4

n

a

x



với mọi n 2

Do đó dãy  x n bị chặn dưới.

Với mọi n 3 , ta có 1 41

1

n

x   x     x n x n–1

Do đó  x n là dãy giảm.

Từ đó suy ra dãy  x n có giới hạn và dễ dàng tìm được limx n 4 a

Câu 7. Cho dãy số thực  x n :

1 1

3 1

n

n

x

x













 Xét dãy số y n cho bởi :

1 2 3

; 1, 2,3,

2

n

n n

n

x x x x



Chứng minh dãy số y n

có giới hạn hữu hạn và tính giớn hạn đó

Hướng dẫn giải

 Ta có : 1 1

1

n

x

 Đặt : z n x x x x1 .2 3 n thì ta có z n2 x x x x x1 .2 3 n n1.x n2

z x n n1.x n2

z n.(3x n11)

3z x n n1 z n

3z n1 z n

Khi đó :

1 1

2 1 2

3 8

3













Suy ra  z n là dãy truy hồi tuyến tính cấp 2

Xét phương trình đặc trưng :

3 1 0

2

Dãy có số hạng tổng quát dạng

n

z      

trong đó :

3

8







5 3 5 10

5 3 5 10









 









 Lúc này, ta có

1 2 3

n

y



Suy ra :

lim

2

5 3 5

y











 Vậy :

3 5 5 2

n

Câu 8. Cho dãy số  u n

xác định bởi: u 0 1, 1 2 2 1

n n

n n

u

   Tìm

3

n n u

  

Hướng dẫn giải

Từ giả thiết 1 2 2 1

n n

n n

u

   ta có

*

1

n n

n

u

nên  v n xác định

bởi 0

n

k



có giới hạn hữu hạn, giả sử nlimv n c

  

(c hữu hạn)

Cũng từ 1 2 2 1

n n

n n

u

   ta có

2 1

n

2 1

n

Do đó

2 0

1 0

2 1

2 1

…

2 1 1

n n



Cộng theo vế ta được :

1

0 0

6

n k k n

u





1

1

6

n n

v

 

1

n

v n

 





( donlimv n c

  

) nên

n

   

hay

3

n n u

  

Câu 9. Cho dãy số  x n

xác định bởi : 1 1

4

1

n

n

x



 Chứng minh dãy  x n

có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó

Hướng dẫn giải

Hàm số

4 ( ) 1

1

f x

x

 

 liên tục và nghịch biến trên [0,+), 1 f x( ) 5

Ta có 1

4

1

n

x

  ( )x n bị chặn

1 3 ( )1 ( )3 2 4 ( )2 ( )4 3 5

x x  f x  f x  x x  f x  f x  x x 

suy ra dãy(x2n1) tăng và dãy(x2n)giảm suy ra (x2n1),(x2n) là các dãy hội tụ.

Giả sử limx2n a;limx2n1b a b ( , 1)

Từ x2n1f x( 2n) limx2n1lim (f x2n) bf a( )

Từ x2n2 f x( 2n1) limx2n2 lim (f x2n1) af b( )

Giải hệ phương trình

4 1

4 1 1

b

a

b



 



  

3.3 TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH LÍ KẸP

Câu 10. Cho dãy số  b n được xác định bởi:

1

2 1

1 2

u











Chứng minh dãy số hội tụ và tìm limx u n

 

Hướng dẫn giải

Ta chứng minh 1

1

Thật vậy: n 1 : 1 1 1 1

cot

 (*) đúng với n 1

Giả sử (*) đúng tới n k , k *, nghĩa là có :

1 cot

1

u k







Ta chứng minh (*) cũng đúng với n= k+1 Thật vậy

2 1

u   u  u  

2







2

1





1

cot

2

k







  ( vì khi k   thì 2k 1 0; sin 0



) 2





 (*) cũng đúng với n k 1

1

1

u





Vậy dãy hội tụ và có

2 lim n

x u



  

Câu 11. Cho phương trình: x n x2 x 1 0 với n ¿ N, n 2

1) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên n 2 , thì phương trình có một nghiệm dương duy nhất x n

2) Xét dãy số sau đây: Un n x n 1

, n 2,3, 4, Tìm limU ?n

Hướng dẫn giải

Xét phương trình: f x   x n

−x2−x−1=0 , với n nguyên, n 2 (1)

+) Ta có: f x’  nx n 1– 2 –1x



Do n 2 , nên khi x 1 thì f x ’  0 Vậy f x  là hàm

số đồng biến trên (1;+∞)

Lại có: f  1 2 0

; f  2 2 – 7 0n 

( vì n nguyên và n 2 ⇒ n ¿ 3)

Ta có: f    1 f 2 0 và f x  liên tục, đồng biến nên phương trình f x   0 có nghiệm

duy nhất trên (1;+∞)

+) Mặt khác với 0 x 1 thì x n x2 ( do n 2 ) suy ra f x   0

với mọi 0 x 1

Như vậy ta đã chứng minh được (1) có nghiệm dương duy nhất với mọi n nguyên, n 2 Gọi x n là nghiệm dương duy nhất của phương trình 2

n

Bây giờ xét dãy U n

với U  n n (x n−1) , n 3, 4,5,

Ta có: x n n−x n2−x n−1=0 hay xn=n√ xn2+ xn+1

Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có:

x n=n√x n2+x n+1=n

√ (x n2+x n+1) 1 1 1⏟

n−1 sô 1 <

x n2+x n+1+1+ +1⏟

n so 1

n (2)

(Chú ý rằng ở đây 1x n nên x n2+x n+1≠1 , vì thế trong bất đẳng thức không có dấu bằng)

+) Mặt khác do x  n 2 , nên x n2+x n<6 , nên từ (2) có: 1<x n<1+6

n (3)

Bất đẳng thức (3) đúng với mọi n ¿ 3 và lim6

n=0 nên từ (3) ta có: lim xn=1

+) Ta có: x n n=x n2−x n−1 ⇒ n ln x n=ln(x n2

ln x n

Từ đó: n(x n−1)=

(x n−1)

ln x n ln(x n2+x n+1)

(5)

Đặt yn= xn−1 ⇒ lim yn=0

Ta có: suy ra từ (5) limU n limn x n1 ln 3

Vậy: limU  n ln 3

Câu 12. Cho số thực a,xét dãy số  x n n1

được

0

ln

1

n n

t

x

bởi

3

n



Tìm tất cả các giá trị của a để dãy số có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó?

Hướng dẫn giải

Với a 1thì x n 1, n 1nên nlim x n 1

  

Với a  1 thì

Do đó

1

1 1

n

n







Từ đó, tính được

n

Kết luận +

3

 

+

3

 

+

 

Câu 13. Cho dãy số ( )u n xác định như sau:

1 2

1

2012 2013

u









 

Hướng dẫn giải

Ta có :

2 2

1

n

u

Xét hàm số :

( )

'( )

f x x

Ta có :

Vậy :  n 2 thì  1 u n 0

2 2

1

2

n

u

Gọi a là nghiệm của :

x

Ta có : u n1 a  f u( )n  f a( )

Theo định lí La-grăng : f u( )n  f a( )  f a u'( ) n a

Do

2

n

   

1

2

n

Vậy : nlimu n 1 2

   

Câu 14. Cho dãy số  u n

xác định như sau:  

0

2 1

1 2

5 ,

n n

n

u

u

u

















2

 

 

8



1 2



0

Chứng minh rằng dãy số  u n

có giới hạn và tìm giới hạn đó

Hướng dẫn giải

* Vì 0u0 1 nên 0u n    1, n

* Áp dụng BĐT Cauchy ta có

9

2

n

n

u

u

 Dấu bằng xảy ra u n 1



9

2

n

n

u

u

2 1

n

u





1

n

u



Xét hàm số

 

1

x

 

x

  f x  nghịch biến trên 1; 

1

 u n



giảm và bị chặn dưới   u n

có giới hạn hữu hạn

* Giả sử limu n a 1 a   Từ  

2 1

5

n n

n

u u

u







 chuyển qua giới hạn ta có

a a

a

a







* Vậy limu  n 1

Câu 15. Cho dãy số ( )u n được xác định bởi: u 1 4 và 2

u  u  , với n  *

Tìm

1

1 2

lim

n n

n

u

u u u



 

Hướng dẫn giải

Với mọi n 1, 2, ; ta có

2 2 2 2 2  2

u u n n u u u( 4) 12 u u n n u

(1)

2 1

2

4

n

u

n



Mặt khác, vì u  1 4 2 nên từ 2

u  u  và chứng minh bằng quy nạp ta thu được

2

n

u  với mọi n 1, 2,

Do đó 1 .2 2 ;n *

n

u u u    n Khi đó,  1 2 2 2

2

u u u

nên theo nguyên lý kẹp giữa ta có:  1 2 2

4

n

n

u u u

Vậy, từ (2) suy ra:

2 1

1 2

n n

n

u

u u u



 



Mặt khác, hàm số f x( ) x liên tục trên nửa khoảng [0; ) nên

Kết luận:

1

1 2

n n

n

u

u u u



Câu 16. a) Chứng minh rằng có đúng một dãy số thực ( )x n n0thỏa mãn

0 1,

x  0x n   1 n 1và

1

2

n n





b) Với dãy ( )x n xác định như trên, xét dãy ( )y n n0 xác định bởi

y x x  x n  Chứng minh rằng dãy ( )y n n0có giới hạn hữu hạn khi

n   Hãy tìm giới hạn đó.

Hướng dẫn giải

a) Bằng quy nạp ta sẽ chỉ ra rằng x n xác định duy nhất với mỗi n 0. Để làm được điều này

ta cần dùng kết quả (chứng minh của nó là đơn giản) sau: Với mỗi số thực m [0;1],

phương trình

2

t m

có đúng một nghiệm trên [0;1]

Ta có giới hạn cần tìm bằng

3 2

Câu 17. Giả sử F n n 1, 2,  là dãy Fibonacci (F1F2 1;F n1F nF n1 với ) Chứng minh

rằng nếu

1

n n

F a F





với mọi n 1, 2,3, thì dãy số  x n , trong đó

1

1

n

n

x



 là xác định và nó có giới hạn hữu hạn khi n tăng lên vô hạn Tìm giới hạn đó

Hướng dẫn giải

Giả sử x x1, , ,2 x m đã được xác định Khi đó x m1 được xác định khi x  m 1.

* Nếu x  m 1 thì do 1

1 1

m

m

x

x 



 nên x m1 2

Từ giả thiết F1 F2 1;F n1F nF n1 ta viết

2 1

m

F x

F



,

3 1 2

m

F x

F

 

Giả sử

2 1

i

m i

i

F x

F









, với i nào đó, 0  i m 2

1 1

m i

m i

x

x



 



 nên

1

1

m i

x

 

Khi đó

1

m

F x

F





Mâu thuẫn với giả thiết

1

m

F x

F





Như vậy ( )x n là dãy số xác định.

Phương trình

2

1

1 0 1

x

,

Có hai trường hợp xảy ra:

Trường hợp 1: x1v Khi đó x n x1, n 1 Do đó

5 1 lim

2

n

n x

 



Trường hợp 2: x1v Chú ý

v



 Do đó x n   v n, 1

Đặt

n n n

z





 , ta có

2 1

1

1

1

n

u

x









n n

u

v

 

  nên z  n 0 khi n  (vì 1

u

v  ).

Từ

n n n

z





 suy ra 1

n n

n

u vz x

z





 dần tới u khi n  (do z  n 0).

Tức là trong trường hợp này

5 1 lim

2

n

n x

 





Câu 18. Cho dãy số  y n thỏa mãn 3

1 0, n 1 1 2 n, 1

y  y  y y  y  n Chứng minh rằng dãy số

n

y

n

  có giới hạn bằng 0 khi n  

Hướng dẫn giải

Từ giả thiết ta có y n31 y ny n3, n 2, do đó dãy số  y n n2 là dãy tăng, vì

vậy y n31 y ny3n y y n( n21)y n1(y n21)

   , n 2 y n21 y n2 1  y22 n 1

2

1

n

2 2 2

1

n

 



 nên theo định lý kẹp ta có 2

Câu 19. Cho  u n là một dãy số dương Đặt 3 3 3

1 2

S u u  u với n 1, 2, Giả sử

1

1 1

n

S



với n 2,3, Tìm limu n.

Hướng dẫn giải

là dãy số tăng Nếu dãy số  S n bị chặn trên thì S nlà một dãy hội tụ và

3

1

limu n lim S n  S n  0 limu n 0

Xét trường hợp dãy số S n

không bị chặn trên thì limS  n .

Từ giả thiết ta có S u n1 n1u n S u n n u n1,n2,3,

Từ đây ta thu được S u n n u n1S u2 2u n1, 2,3,

Do đó

n

Theo nguyên lí kẹp ta có limu  n 0.

Vậy trong mọi trường hợp ta đều có limu  n 0.

Câu 20. Cho dãy số ( )u n xác định bởi công thức truy hồi:

1

* 1

1

1

2,

n

u

u

















Chứng minh rằng dãy ( )u n có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

Hướng dẫn giải

Đặt

1 2

x

Khi đó

 2 

2 4

2

1 2

x x

x

Mặt khác

1

2

f x   x

nên

Từ (*) và (**) suy ra:

2  f f x x x  2

Do đó (u2n1) là đơn điệu giảm và bị

chặn dưới nên tồn tại 2 1

1

2

n

n u 

Vì f x( ) liên tục trên

1

;1 2

1

2

Vậy dãy ( )u n được phân tích thành hai dãy con hội tụ tới cùng một giới hạn Do đó dãy

( )u n có giới hạn bằng

1 2

Câu 21. Cho hai dãy số ( );( )a n b n biết 1 1 1 1

với mọi n = 1, 2,

Chứng minh rằng: a nb n 2 2 ,n  n 2

Câu 22. Cho dãy số  x n thoả mãn:

0 3

3

x







  3.3 CÁC DẠNG KHÁC

Câu 23. Cho 4028 số thực: a a1, , ,2 a2014, b b1, , ,2 b2014 Xét dãy số  x n

xác định như sau:

2014 1

i



Biết dãy số lập thành một cấp số cộng, chứng minh rằng

2014

1 i

i

a





là số nguyên (với  a

là phần nguyên của số thực a – số nguyên lớn nhất không vượt quá a )

Hướng dẫn giải

Đặt

2014 1

i i



,

2014 1

i i



Gọi d là công sai của cấp số cộng  x n , thì: n d x n1 x1 Với mọi n  * ta luôn có: a n b i  i1a n b i  i a n b i i  i, 1, 2, , 2014

Cộng vế với vế của 2014 bất đẳng thức cùng chiều, ta được:

A n B  x A n B

Thay n bởi n 1 và thay n bởi 1 , có:

1

2014

A B  x  A B   A B x1  A B 2014

Cộng vế với vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều nói trên thu được:

1 1

A n x   x A n

d n A n

2014

d A

n

Vì

2014

n  nên suy ra d A Mặt khác dãy  x n

gồm toàn số nguyên nên công sai

d cũng là số nguyên Vậy A nguyên (đpcm)

Câu 24. Cho dãy  u n

thỏa mãn các điều kiện sau :

2 3 9999

{0;1}

0 0 3333

n

m n m n

u u u

















Hướng dẫn giải

Ta có : u m n u mu n ( {0;1})

Bằng quy nạp ta chứng minh được 1 2 1 2

u    u u  u

, với mọi n n1, , ,2 n k

Ta có: u2  u1 u1 u10

u3 u2u1    0  u3 1

Ta chứng minh rằng nếu n 3333 thì u 3n n (1)

Thật vậy:

Với n 1 thì (1) đúng

Ta có u3n n u 3 n n,

Giả sử, tồn tại n 0 3333 , mà u3n0 n0  u3(n01) u3n03 u3n0 u3 n01

, điều này chứng tỏ, với mọi n n 0 thì u 3n n Điều này mâu thuẫn với u9999 3333

Vậy, với n 3333 thì u3n n

Do đó u2013671

Câu 25. Cho dãy số  x n

thỏa mãn:

1

2

1 2

; n 1

n

x

x

n











Hướng dẫn giải

*) Ta chứng minh x n n2

2

n n 



với mọi n 1 (1)

Thật vậy:n 1 đúng

Giả sử (1) đúng với n k 1 : x kk2

2

k k 



2

x

k



=  2  2

k k

x

1 1

k k k

k k





1

k k

k





2

k k



(đpcm)

*) Ta chứng minh  x n có giới hạn.

NX:  x n

tăng và x  n 0 với mọi n

1

x  x  x n n n

1

n

1

n

x

 với mọi n 1 Vậy  x n có giới hạn.

Câu 26. Cho dãy sốx n

xác định bởi:

2

Tìm n chẵn thỏa mãn

*

n N và x  n 3 là lập phương của 1 số tự nhiên.

Hướng dẫn giải

Nhận xét thấy :

Khi đó , giả sử :

1

1

2 1

2 1

4

2

n

n

n







Cần chứng minh:

2 1

4

2

k k

k

(1) thật vậy ta có

1 2 1

=

2 1

2 1

4 2

2

k k







suy ra (1) đúng



1

1

2 1

2 1

4

2

n

n

n







Khi đó  x n 3 22n1 1 3

, giả sử tồn tại n chẵn để  x  n 3là lập phương của 1 số tự

nhiên:

Khi đó 22n11 3 c3 Mặt khác n chẵn suy ra n 1 lẻ suy ra 2n1 1 3 khi đó đặt

1

2 1 3

c

   c 2k c2c.2k22k 3

mà c2c.2k22k  c 2k nên:

c  c c   (2) Giải hệ (2) ta được hệ không có nghiệm nguyên với mọi

0

k  suy ra không tồn tại n chẵn.

Vậy không tồn tại n chẵn để  x  n 3

là lập phương của một số tự nhiên

Câu 27. Cho x1a x, 2 b a b ,  

và n x n2 (n1).x n1 x n 0,n 1, 2, Tìm limn x n

 

Hướng dẫn giải

Ta có

1

n





1

n



1

Câu 28. Cho dãy  u n axác định bởi: 2 *

1 2; n 1 n n 1,

u  u  u  u    n Tìm M nhỏ nhất thỏa mãn

*

1 2

n

Hướng dẫn giải

Ta có u  1 2 1 và 2

1 ( 1)

u   u  u Chứng minh bằng quy nạp ta được

n

u   n  n (*)

Ta lại có: u i1u i2 u i 1 u i11u u i( i1)

   

Do đó:

(*)

*

n

n

Suy ra M 1

Mặt khác, chứng minh bằng quy nạp ta được dãy ( )u n tăng Do đó nếu dãy có giới hạn

hữu hạn L thì L 2 Vì phương trình L L 2 L1 có duy nhất nghiệm là L 1, bởi vậy

dãy ( )u n không có giới hạn hữu hạn Suy ra 1

1

i i

u

u



(**)