xác định số hạng tổng quát của dãy số

XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TỔNG QUÁT 1.1.. DỰ ĐỐN SỐ HẠNG TỔNG QUÁT VÀ CHỨNG MINH BẰNG QUY NẠP 1.2.. Xác định số hạng tổng quát của dãy... Hướng dẫn giải Dễ thấy dãy đã cho là dãy số dương, do đó

Trang 1

II PHÂN LOẠI CÁC DẠNG TỐN ( NẾU CẦN BỔ XUNG MỜI CÁC THẦY CƠ CHO

Ý KIẾN )

1 XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TỔNG QUÁT

1.1 DỰ ĐỐN SỐ HẠNG TỔNG QUÁT VÀ CHỨNG MINH BẰNG QUY NẠP

1.2 DÃY SỐ CHO BỞI CƠNG THỨC TRUY HỒI

Câu 1: Cho dãy số( )u n biết

1

2

u







 Xác định số hạng tổng quát của dãy.

Hướng dẫn giải

1

v

n n



Đặt

Dãy ( ) là v n cấp số nhân với cơng bội làq 3

Nên

1

5

2

n

Do đĩ

1

n

n n

Câu 2: a) Tính giới hạn Alim3 n3n21 n

b) Cho dãy số (un) xác định bởi :

1 1

11

u







  Tìm cơng thức tính u n

theo n

a) Tính giới hạn Alim3 n3n21 n

Ta cĩ:

2

3

1

n



2 2

1 1 lim

n





Vậy

1 3

A 

b) Ta cĩ:

1

2

3

11 10 1 10.11 1 9 102 100 2 10.102 1 9.2 1003 1000 3

u

Dự đốn: 10n  1

n

Chứng minh:

Trang 2

Ta có: u  1 11 10 11 , công thức (1) đúng với n 1

Giả sử công thức (1) đúng với n k ta có: u k 10kk

Ta có: 1 10 10 k  1 9 10k 1  1 

k

Công thức (1) đúng với n k 1

Vậy u n 10nn,  n N

1.3 PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC TRƯNG

Câu 3: Cho dãy số  u n

xác định bởi u11,u2 2, u n2 u n2u n1,n1 Tìm

1

n n

u u



 

Dễ thấy dãy đã cho là dãy số dương, do đó không có số hạng nào của dãy bằng 0 Từ công thức

truy hồi của dãy ta có

2

n



Đặt

1, 1

n n n

u



, ta được dãy số 1 1

1

n

v



Dễ thấy dãy  v n

là dãy số dương và v n 2, n 1 Do đó

1

Vậy ta có

5 2

2

n

v

Xét hàm số   2 1, 2;5

2

x

  Ta có   2

1

x

Do đó có hai dãy con đơn điệu của dãy  v n

và hai dãy con này đều bị chặn nên chúng có giới hạn Giả sử a nlimv2n

 



và

2 1

n

 



thì ta có hệ

2

a b

ab

a









Ta thấy chỉ có a b  1 2 thỏa mãn và đây là giới hạn cần tìm

Câu 4: Tìm số các dãy số  u n

thỏa mãn điều kiện:

2 1

2004

1 2

u











 Viết lại u n14u n1–u n f u n

với f x 4 1 –x x

Nhận xét: f x   0;1 x0;1 

Trang 3

Vì vậy: u2004

1

2 0;1 u20030;1 u20020;1 u10;1 

 Với 0u11 tồn tại duy nhất : 0 a  2



và u1sin a2 Lúc đó: u2 4sin a2 (1–sin a2 )sin a22 ; u3 4sin a22 1–( sin a22 )sin a24

Quy nạp ta được: u n sin2(2n1a)

n

1 1 os(2 )

2004

1 2

2004

1 1

2



2005

Vì 0 a  2



nên

2003 2005

Do k Z nên: k 0;1; 2; ; 22003–1

Từ đó có tất cả 22003 giá trị u1 thỏa bài toán:

2

Do đó có tất cả 22003 dãy số  u n

thỏa điều kiện đã cho

Câu 5: Cho x x1, , , , 2 x n là các nghiệm dương của phương trình tan x x được sắp theo thứ tự tăng

dần Tính lim n n 1

n x x 

  

Xét hàm số f x( ) tan x x , với

;

x   k  k

1

os

f x

=> f x( ) tăng từ   đến 

Suy ra: trong khoảng

;

  phương trình tan x x có nghiệm duy nhất x k

k k

x y k với

;

2 2

k

y     

 => tany n tanx n y nn   => nlim y n 2

  

n x x 

  

= lim   n   n 1  1  

= lim n n 1

Câu 6: Cho dãy số ( )u n xác định như sau:

1

2014

u







Tìm điều kiện của a   để dãy số ( )u n có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó.

Trang 4

Ta có: u n1 u n (u n a)2  0 u n1u n; n 1, 2,3,

* Suy ra dãy số ( )u n tăng; từ đó dãy số ( )u n có giới hạn hữu hạn khi và chỉ khi dãy bị chặn

trên

Giả sử tồn tại limu n L L(  ), thì chuyển qua giới hạn hệ thức u n1u n2(1 2 ) a u na2 ta có: L L 2(1 2 ) a L a 2  L a

- Nếu có chỉ số k  * mà u k a thì u n a; n k nên L a trái với kết quả limu n L a

Do đó: u k a với mọi k 1, 2, hay u n2 (1 2 ) a u na2 a, n 1, 2,3, nói riêng

u   a u a a  a1u1 a a 1 2014a từ đó ta được 2014 a 2015

* Đảo lại: Nếu 2014 a 2015 a 1 u1a

và u1u2 a 1 u2 a

Bằng quy nạp ta chứng minh được a 1 u n a,  n 1, 2,3, (H/s trình bày ra)

Như vậy dãy ( )u n tăng, bị chặn trên bới a, do đó dãy ( )u n có giới hạn hữu hạn.

Kết luận: Với điều kiện 2014 a 2015 thì dãy số ( )u n có giới hạn hữu hạn và limu na

Câu 7: Cho hai dãy số  a n

và  b n

được xác định như sau:

1 2, 1 1

2 n n

n

n n

a b a

 

 ;b n1  a n1.b n

, n 1, 2, Chứng minh rằng  a n

và  b n

có cùng giới hạn, tìm giới hạn đó

Bằng quy nạp, ta chứng minh rằng:

 

2 sin

sin cos

n n n

n

a





;

2 sin

2 3 sin 3

n n n

b





(2)

Từ (1), (2) tồn tại nlima n

  và nlimb n

 

Trang 5

Ngoài ra:

9

n n n

n

a



2 3

Vậy hai dãy    a n , b n

có cùng giới hạn chung là

2 3 9



Câu 8: Cho dãy số (xn) thỏa mãn:

1

2

1 2

; n 1

n

x

n











 Chứng minh dãy số trên có giới hạn

*) Ta chứng minh x n n2

2

n n 



với mọi n  1 (1) Thật vậy: n 1 đúng

Giả sử (1) đúng với n k 1:x kk2

2

k k 



2

x

k



=  2  2

k k

x

1 1

k k k

k k



1

k k

k



2



(đpcm)

*) Ta chứng minh  x n

có giới hạn

NX:  x n

tăng và x  n 0 với mọi n

1

n

1

n

x

 với mọi n 

1

Vậy  x n

có giới hạn

1.4 PHƯƠNG PHÁP DÃY SỐ PHỤ

1.5 DÃY SỐ SINH BỞI PHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH

1.6 SỬ DỤNG PHÉP THẾ LƯỢNG GIÁC

Câu 9: Cho dãy số U n

 

1

3

*

2 1

n n

n

U









Trang 6

Tính đúng tan 8 2 1



2

2.tan 8

8



Từ  * ta viết được

 

1

tan

8

n n

n

U U

U









Theo quy nạp từ  1 và U 1 3 tan  1 

n

Vậy 2013

6047

1.7 CÁC DẠNG KHÁC

Câu 10: Cho dãy số thực  x n

được xác định như sau:

1

2

n

x















Chứng minh rằng: 25x625 625

( kí hiệu  x

là phần nguyên của số thực x)

Ta chứng minh rằng:

1

8

, với

1 2

n

H

n

1 1 4

n

x

, x 12 1 quy nạp 2

n

x n.Với n 1 đúng giả sử đúng đến n Tức là x n2 n

Từ đó suy ra

2

1

4

n

x

1

n n



2

n

Việc tiếp theo ta chứng minh H625 8 Ta có BĐT H n  1 lnn thật vậy,

Xét hàm số   ln 1 ln 1 ln 1 1 1

 

hàm số f x 

giảm trên khoảng

Trang 7

0;   f x 0, x 0

, ta suy ra 1 ln 1 ln  *

x    áp dụng

1

8

 25x625 625

2 MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH CHẤT CỦA DÃY SỐ

3 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

3.1 TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA

Câu 11: Cho dãy số  y n

thỏa mãn y10,y3n1y1y2 y n, n 1

Chứng minh rằng dãy số

n

y n

  có giới hạn bằng 0 khi n  

Từ giả thiết ta có y n31y ny3n, n 2, do đó dãy số  y n n 2

 là dãy tăng, vì vậy y n31 y ny n3y y n( n21)y n1(y n21)

   , n 2 y n21 y n2 1  y22 n 1

2

1

n

2 2 2

1

n

 



 nên theo định lý kẹp ta có

2

Câu 12: Tìm tất cả các hằng số c 0sao cho mọi dãy số dãy số ( )u n thỏa mãn: 1

(0;1)

n

u







 





đều hội tụ Với giá trị c tìm được hãy tính giới hạn của dãy ( )u n .

Ta xét các trường hợp sau

+ Nếu

1 4

c 

, thì từ giả thiết, ta có 1

n

u

cu c



Từ đây bằng quy nạp, ta suy ra (4 )n 1 1

 Do 4c 1 nên u   n khi n   Do đó,

1 4

c 

không thỏa mãn

+ Nếu

1 0

4

c

 

, thì tồn tại

sao cho





vây, lấy



đặt b a x x  ( 0), thì

Trang 8

(1 )

a

Chú ý là b(1 a)a(1 a)c. Do đó, ta chỉ cần chọn x 0như trên và b a x  , thì được 2 bất đẳng thức nêu trên

Xét dãy số ( )u n xác định bởi

ê

n

b n

a

u u

u









thì dãy ( )u n thỏa mãn giả thiết nhưng không hội tụ Thành thử,

1 0

4

c

 

cũng không thỏa mãn

+ Nếu

1 4

c 

, thì 1

1

n

u

u u

u

   Suy ra dãy ( )u n tăng và bị chặn Do đó,

( )u n hội tụ.

Đặt xlim ,u n thì từ giả thiết ta có

1

4

hay

1 2

x 

Vậy

1

2

n

u 

Câu 13: Cho dãy số (xn) thỏa mãn:

1

2

1 2

; n 1

n

x

n











 Chứng minh dãy số trên có giới hạn

*) Ta chứng minh x n n2

2

n n 



với mọi n 1 (1)

Thật vậy: n 1 đúng

Giả sử (1) đúng với n k 1:x kk2

2

k k 



2

x

k



k

x

1 1

k k k

k k



1

k k

k



2



(đpcm)

*) Ta chứng minh  x n

có giới hạn

NX:  x n

tăng và x  n 0 với mọi n

1

n

1

n

x

 với mọi n 1

Vậy  x n

có giới hạn

xác định bởi u 1 2014,

*

2013

, 4026

n n

u



Trang 9

Đặt

* 3

1

1 , 2013

n n

k k

u





Tính limv n.

+ Ta có u n1 2013

3

2013

2013 4026

n

n n

u





3 3



Từ đó bằng quy nạp ta chứng minh được u n 2013,  n *

n n

v



1

1 1

2013

k

u 

 



+ Ta chứng minh limu  n .

Thật vậy, ta có

*

0,



Suy ra  u n là dãy tăng, ta có 2014u1u2 

Giả sử  u n

bị chặn trên và limu n a thì a 2014 Khi đó

3

2013 4026

a a





2013 2014

a

   ( vô lí) Suy ra  u n

không bị chặn trên, do đó limu  n

Vậy limv  n lim 1

1

2013

k

u 

xác định bởi:

1

2013

2, n

u







2 1

2 2 2

1 2

lim

n n

n

u



 

- Vì u 1 2013 2 nên đặt 1

1 , a > 1

a

 

Ta có

2

Bằng quy nạp, ta chứng minh được

2

1 , n

n n

n

a

Trang 10

- Xét

2 2

2

1.0

lim

n n n

n

i

n

a a

 



2

3.2 TÍNH GIỚI HẠN BẰNG CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN

Câu 16: Cho dãy số  x n thỏa mãn

1

2

n n

x

n n















Tìm limu n với u n (n1)3x n.

Ta có 2

1 3

x 

Với n3: x12x23x3 nx n n x3 n (1)

3

Từ (1) và (2) ta có nx n n x3 n (n1)3x n1

Suy ra

3

2 1

1 3

1

n



2

n

2

4

n

x

n n

 suy ra limu n=

2 2

n





3.3 TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH LÍ KẸP

Câu 17: Cho hai dãy số  u n

và  v n

xác định như sau: u11,v1 2,và

1

, 2





khi

2

Chứng minh rằng hai dãy  u n

và  v n

có giới hạn và tìm giới hạn đó

Ta có

1 cos





suy ra u1 cos3v1





mà

1

, 2





khi n 2

Suy ra

2

1 1



Trang 11





bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được

2

u





1 2cos 3 cos 32 cos 33 cos 31

Mặt khác

sin 2 cos

2sin





nên ta có

2 2

n

u





2

n

v



Do đó

1

3 cot

3

3 2

3

2

n

n n

n

u





 



Câu 18: Với mỗi n  *, đặt    2

0

n n

i



a) Chứng minh đa thức Q n x

có duy nhất 1 nghiệm thực x nthuộc 0;1

b) Chứng minh tồn tại giới hạn của dãy  x n

Trang 12

a) Ta có Q n 0 Q n 1 Q n 22   Q n n 2 0

nên trong mỗi khoảng 0;1

,     2 2

1; 4 , , n1 ;n

có 1 nghiệm của phương trình Q n x 0

Mặt khác, ta có detQ n x n

nên đa thức Q n x

có duy nhất 1 nghiệm x n thuộc khoảng

0;1 

b) Ta có     1 1 2 1 2

1

Do Q n x

có nghiệm không là nghiệm của Q x n 

nên nghiệm của phương trình Q n x 0

là nghiệm của phương trình:

1

n

f x

Ta có:

 

1

n

Nên f x n nghịch biến trên 0;1

1

n n

f x

1

Do đó dãy  x n

là dãy giảm

Lại có x  n 0;1

Vậy dãy  x n

có giới hạn

4 GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

4.1 TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA

4.2 TÍNH GIỚI HẠN BẰNG CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN

4.3 TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH LÍ KẸP

4.3 TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐẠO HÀM

Định dạng
Số trang	12
Dung lượng	604,67 KB