Phương trình mũ, phương trình logarit, bất phương trình mũ, bất pt loga

nghịch biến trên D; hàm số y=g x liên tục và luôn nghịch biến hoặc luônđồng biến trên D thì số nghiệm trên D của phương trình f x =g x không nhiều hơn một... Tổng lập phương hai nghiệm

● Phương trình có một nghiệm duy nhất khi b>0

● Phương trình vô nghiệm khi b£0

2 Biến đổi, quy về cùng cơ số

f x

a t b

æö÷ç

6 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

trên (a b thì số nghiệm của phương trình ; ) f x( )= trên k (a b không nhiều hơn; )

một và

f u =f v Û u v= "u v, Î (a b; ).

nghịch biến) trên D; hàm số y=g x( ) liên tục và luôn nghịch biến (hoặc luônđồng biến) trên D thì số nghiệm trên D của phương trình f x( )=g x( ) không

nhiều hơn một

Tính chất 3 Nếu hàm số y=f x( ) luơn đồng biến (hoặc luơn nghịch biến)

trên D thì bất phương trình f u( )>f v( )Û u v> (hoặc u v< ), ,"u vỴ D

7 Sử dụng đánh giá

Giải phương trình f x( )=g x( ).

Nếu ta đánh giá được

( ) ( )

II PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

1 Biến đổi, quy về cùng cơ số

f t

ìï =ï

4 Phương pháp đồ thị

5 Sử dụng tính đơn điệu của hàm số

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Vậy tọa độ giao điểm cần tìm là (- 3;11) Chọn B.

Cách 2 CALC với các giá trị của đáp án xem giá trị nào là nghiệm.

Nhập vào máy tính phương trình: 2 2 3

2x+ x+ - 8x

CALC tại X=1ta được 0

CALC tại X=3ta được 0

Khẳng định nào sau đây đúng?

2 2

1log 22

Vậy chỉ có duy nhất nghiệm x =0 là nghiệm không âm Chọn B.

4 x+2 x- 3 0=trên đoạn [0;3 p]

p p p p

t

t t

é =ê

é =ê

4x+x+2-x =2x+ + có tất cả bao nhiêu nghiệm?1

Vậy phương trình đã cho cĩ ba nghiệm x =0, x = ±1 Chọn C.

32

êêê

=-thỏa mãnloại

1 2

Do 2log 5 (x+3 ) > nên để phương trình cĩ nghiệm thì 0 x>0

Lấy logarit cơ số 2 của hai vế phương trình, ta được log5(x+ =3) log2x

Với t= ¾¾1 ® =x 2t= thỏa mãn Vậy phương trình cĩ nghiệm duy nhất Chọn2( )

Phương trình Û 41 log + 2x- xlog 6 2 =2.32.log 2 2 xÛ 4.4log 2x- xlog 6 2 =2.91 log + 2x

Cách CASIO Loại ngay đáp án A vì không thỏa mãn điều kiện.

Dùng CASIO với chức năng TABLE ta dò được nghiệm nằm trong khoảng

2016 2017x x=2016 x Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A Phương trình đã cho có hai nghiệm âm phân biệt.

 Lấy logarit cơ số 1

5 hai vế của ( )* , ta được ( 1 2)

Phương trình tương đương 5 231 2 52 2 5 2 22 1

-

Lấy ln hai vế của ( )* , ta được ( 2 ln5) 2 ln2

1

x x

log 2 11

x x

x x

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x =2 Chọn B.

x- x m- -- = , m là tham sốkhác 2

Vậy phương trình có tập nghiệm S={2;m- log 5 3 } Chọn D.

Suy ra hàm số f t đồng biến trên ( ) ¡

f x- =f x - x Û x- =x - xÛ x- = Û x=Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất x =1. Chọn A.

Suy ra hàm số f t đồng biến trên ( ) ¡

Nhận thấy ( )* có dạng f(sin2x)=f(cos2x)Û sin2x=cos2x

biệt Tổng lập phương hai nghiệm của phương trình bằng:

Do đó phương trình đã cho vô nghiệm

 Kiểm tra x = ±1 thỏa mãn phương trình đã cho

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x=- = , 1 x1 x= =1 x2.

A Phương trình đã cho có tổng các nghiệm bằng 0

B Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

C Phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân biệt.

D Phương trình đã cho có nhiều hơn hai nghiệm.

2 1 2

 Kiểm tra x = ±1 thỏa mãn phương trình đã cho

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x=- = , 1 x1 x= =1 x2

Suy ra phương trình đã cho có tổng các nghiệm bằng 0 Chọn A.

> Û > Û çç ÷÷>çç ÷÷Û >

Vì x nguyên và thuộc đoạn [- 2017;2017]¾¾® =x {4;5;6; 2017}.

Vậy có tất cả 2014 giá trị thỏa mãn Chọn C.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = -(1 2;1+ 2).

Suy ra các giá trị nguyên dương thuộc S là { }1;2 Chọn A.

12

b

ì ïï

b

ì ïï

0

x x

é ê

<-ê >

ë ta được x <- 1.Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = - ¥ -( ; 1) Chọn C.

A Tập nghiệm của bất phương trình là một khoảng.

B Tập nghiệm của bất phương trình là một đoạn.

C Tập nghiệm của bất phương trình là nửa khoảng.

D Tập nghiệm của bất phương trình là hợp của hai đoạn mà hai đoạn này

Vấn đề 2 PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

Lời giải Điều kiện: 3 0 3.

0

x

x x

ì - >

íï >

ïỵPhương trình Û log2(x- 3)+2log4x= Û2 log2(x- 3)+log2x=2

ê

loạithoả mãn Chọn A.

phân biệt x x x1, 2( 1<x2) Tính 1

2

x P x

ë

thỏa mãnthỏa mãn

ê = ë

A Nghiệm của phương trình là số nguyên âm.

B Nghiệm của phương trình là số chính phương.

C Nghiệm của phương trình là số nguyên tố

D Nghiệm của phương trình là số vơ tỉ.

Phương trình Û log2[- log2x+log2x x+ + =1] 3

Phương trình Û log2x- 6logx2 1.=

Đặt t=log2x t( ¹ 0), phương trình trở thành

61

20

t

t t t

2

2

83

2

12

Phương trình Û log log100 logx( + x2)= Û4 log 2 2logx( + x)=4

x =x Chọn B.

Phương trình Û log2017x+log20162017.log2017x= Û0 log2017x 1 log( + 20162017)=0

2017

Câu 60 Cho phương trình log log 44 2( ) log2 3 0

2

x

x x + æ öç ÷ç ÷ç ÷çè ø÷= Nếu đặt t=log ,2x tađược phương trình nào sau đây?

ê =ëĐối chiếu với điều kiện, phương trình có nghiệm duy nhất x =3 Chọn B.

thỏa mãnthỏa mãn

1 3

log x - 2x+ £ -6 2 Mệnh đề nào sau đây làđúng?

A Tập nghiệm của bất phương trình là nửa khoảng.

B Tập nghiệm của bất phương trình là một đoạn.

C Tập nghiệm của bất phương trình là hợp của hai nửa khoảng

D Tập nghiệm của bất phương trình là hợp của hai đoạn.

Vậy bất phương trình cĩ tập nghiệm là S = - ¥ -( ; 1] [È 3;+¥ Chọn C.)

của x để điểm 0 M nằm phía trên đường thẳng y = 2

A x > 0 0 B x > 0 9 C x > 0 2 D x < 0 2

Lời giải Đồ thị y=log3x nằm ở phía trên đường thẳng y = khi2

ì - >

íï ¹ïî

Đối chiếu điều kiện, ta được tập nghiệm của bpt là S =(1;+¥) { }\ 2 Chọn D.

C S = - ¥( ;3 ) D S =(7;+¥ ).

Bất phương trình Û log(x2+21 log10 log10 log) < + xÛ log(x2+21)<log 10( x)

2 4

4 4

2 2

nguyên của x thỏa mãn Chọn B.

A S =(3;+¥ ) B S =(0;2) (È 3;+¥ ).

Bất phương trình Û (log2x- log2xlog3x)+log3x- >1 0

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S =(2;3).Chọn C.

Câu 78 Có tất cả bao nhiêu số nguyên thỏa mãn bất phương trình

Đối chiếu điều kiện, bất phương trình có tập nghiệm S = -( 1;0) (È 0;1)

Suy ra không có số nguyên nào thuộc tập S Chọn D.

Đối chiếu điều kiện, ta được tập nghiệm S = - µ -( ; 2) (È 4;+ µ Chọn D )

-£-

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S =(2;+¥ Chọn D.)

Vấn đề 3 PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ

Câu 81 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình

Để phương trình ( )1 có nghiệm Û phương trình ( )2 có nghiệm t >0

Cách 1 Xét hàm f t( )= -t2 2t với t >0

Đạo hàm và lập bảng biến thiên, ta kết luận được - m³ - Û1 m£1. Chọn C.

Cách 2 Ycbt Û phương trình ( )2 có hai nghiệm t t thỏa mãn 1, 2 1 2

00

t t

é < £ê

t

= + với t >0 Đạo hàm và lập bảng biến thiên, ta kết luận được m³ 2 Chọn D.

Câu 85 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình

phương trình 9x- 2.3x+ 1+ =m 0 có hai nghiệm thực x x thỏa mãn 1, 2 x1+x2=1

hai nghiệm thực x x thỏa mãn 1, 2 x1+x2=2

2x - 2 2m x+2m= 0Đặt t =2x> , phương trình trở thành 0 t2- 2mt+2m= 0 ( )*

Để phương trình đã cho có hai nghiệm Û phương trình ( )* có hai nghiệmdương

thực Tập tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu có

dạng (a b Tính ; ) P=ab

Yêu cầu bài toán ¬¾® phương trình ( )* có đúng một nghiệm dương.

5 2 6.1

● ( )* có hai nghiệm trái dấu ¬¾ ¾®ac< 0 2m< ¬¾® < 0 m 0

Vậy m<0 hoặc m= +5 2 6 thỏa yêu cầu bài toán Chọn D.

thực Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt.

Ta thấy cứ một nghiệm t >1 tương ứng cho hai nghiệm x.

Do đó phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt Û phương trình ( )* có

Có tất cả bao nhiêu giá trị của m để phương trình có đúng ba nghiệm phân

biệt

2 và nghiệm còn lại khác 3 ¾¾® =m 2 - 3

3 và nghiệm còn lại khác 2¾¾® =m 2 - 8

Vậy có tất cả ba giá trị m thỏa mãn Chọn C.

thực Số nguyên dương m lớn nhất để phương trình có nghiệm là?

=ïï

ïîĐặt t=51 + - 1x2 ¾¾® £ £5 t 25.

Suy ra số nguyên dương m lớn nhất là m=25. Chọn D.

Quan sát bảng giá trị ta thấy f x( )£ f( )0 =25.043 hay m f£ ( )0

Vậy m nguyên dương lớn nhất là 25

2 2

2 5x x m+ = có hai nghiệm.3

A m<log 3 log 5.5 + 2 B m>log 5 log 2.3 + 5

C m<log 3 log 2.5 + 5 D m>log 3 log 5.5 + 2

Lời giải Lấy logarit cơ số 2 hai vế của phương trình, ta được

Câu 95 Cho phương trình e m.sinx- cosx- e2 1 cos ( - x) = -2 cosx m- sinx với m là tham

số thực Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm.

đồ thị hàm số y x= 3- 3x với đường thẳng y=log2m (có phương song songtrục hoành)

Phương trình log( ) 2 log( 1) log log( 1) 1

m m

m m

Từ đó suy ra 3m< Û3 m< thỏa mãn yêu cầu bài toán Chọn A.1

Theo Viet, ta có log3 1x+log3x2= Ûm log3(x x1 2)= Ûm log 813 =mÛ 4=m

Thử lại với m=4 ta thấy thỏa mãn Chọn D.

log5 log+ x + ³1 logmx +4x m+ đúng với mọi x?

● Bất phương trình xác định với mọi xÛ mx2+4x m+ >0, " Î ¡ x

2

00

phương trình logm(x2+2x m+ + > đúng với mọi 1) 0 x?

● Bất phương trình xác định với mọi

Û í

ï < ¹ïî

mÎ -æçççè ö÷÷÷ø C

102;

t t

=

- + với t >- 1.Đạo hàm và lập bảng biến thiên, ta được

3

m

- £ < Suy ra 0

log x- 2log x- 3=mlog x- 3 với m là tham số

thực Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm thuộc [16;+¥ )

( )

'

f t

 Nếu m= ¾¾1 ® =t 3: không thỏa mãn.

 Nếu m¹ 1, ta nhẩm được một nghiệm t =3 (không thỏa mãn), suy ranghiệm còn lại

2 2

1

m t

Suy ra hàm số f t nghịch biến trên ( ) (1;+¥ )

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình có nghiệm Û 0< <m 1 Chọn A.

nguyên trong [- 2017;2017] để phương trình log(mx)=2log(x+ có nghiệm duy1)

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình có nghiệm duy nhất 4

0

m m

é =ê

Û ê <ë[ 2017;2017 ] { 2017; 2016; ; 1;4}

-Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình có nghiệm Û m<0. Chọn A.

2x- log x - 2x+ =3 4x m- log 2x m- + với 2 m

là tham số thực Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có đúng hai

nghiệm phân biệt

nhau

m m

m

m m

hai nghiệm phân biệt và hai nghiệm của ( )1 giống hai nghiệm của ( )2 hay nóicách khác hai phương trình tương đương ¾¾® Î Æm

log x +4mx +log 2x- 2m- 1= với 0 m là tham

số thực Gọi S là tập tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm duy

Yêu cầu bài toán Û phương trình ( )* có một nghiệm thỏa mãn ( )1

2 /