PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THEO MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

So với điều kiện nhận cả hai nghiệm... Câu 4: Giải các phương trình lượng giác sau: 1... Kết luận phương trình vô nghiệm.

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THEO MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

DẠNG:

2

a sin u b sin u c  0 a0

 Đặt tsin u,điều kiện   1 t 1

2

a cos u b cos u c  0 a0

 Đặt tcos u,điều kiện   1 t 1

2

a tan u b tan u c  0 a0

 Đặt tt an u , điều kiện cos u0

2

a cot u b cot u c  0 a0

 Đặt tcot u,điều kiện sin u0

Câu 1: Giải các phương trình lượng giác sau:

1) 2 cos x 3 cos x 1 02    2) 4 sin x 4 sin x 32   0

3) sin 2x 13 sin 2x 52   0 4) tan x2  3 1 tan x   30 5) 4 cos x 2 12    3 cos x  3 6) 0 cot x 4 cot x 32   0

7) cos 2x 3 sin x 2  0 8) sin x cos x 1 02   

LỜI GIẢI 1) 2 cos x 3 cos x 1 02    (1) Đặt cos x t, t [ 1;1]   Phương trình (1) trở thành:

2t 3t 1 0 t 1 t

2

       So với điều kiện nhận cả hai nghiệm

Với t 1 cos x 1 xk2 ,(k  )

Với

3

 

  







   





Kết luận nghiệm của phương trình: xk2, x k2

3



   , x k2

3



   ,(k ) 2) 4 sin x 4 sin x 32   0 (1) Đặt sin x t, t [ 1;1]   Phương trình (1) trở thành:

4t 4t 3 0 tt

       So với điều kiện nhận t 1

2

sin x 2



5

Kết luận nghiệm của phương trình:x k2 , x 5 k2 , k 

        3) sin 2x 13 sin 2x 52   0 (1) Đặt sin 2x t, t [ 1;1]   Phương trình (1) trở thành: t213t 5 0 13 149 13 149

tt

    So với điều kiện nhận

13 149

t

2



 , suy ra :sin 2x 13 149

2



13 149 arcsin

arcsin

2

2













  





Hoặc đặt 13 149 sin

2



 , suy ra sin 2xsin

, k

2 2

  



   

       





Vậy nghiệm của phương trình:

 

4) tan x2  3 1 tan x   3 (1) Đặt tan x t, x0 k

2

  

    

Phương trình (1) trở thành: 2  

t  3 1 t  30 t 1 t 3 Với t 1 tan x 1 tan x tan x k ,(k )

   

So với điều kiện nhận cả hai nghiệm

Vậy nghiệm của phương trình: x k

4



  , x k ,(k )

3



     5) 4 cos x 2 12    3 cos x  3 (1)0

Đặt cos xt, t [ 1;1]  Phương trình (1) trở thành: 4t2 2 1  3 t  30

tt

    So với điều kiện hai nghiệm đều nhận

3

 

  







   





Với t 3 cos x 3 cos x cos x 6 k2 , k 

6

 

  







   





Vậy nghiệm của phương trình:

x k2 , x k2

      x k2 , x k2 , k 

        6) cot x 4 cot x 32   0

Đặt cot xt, x   Phương trình (1) trở thành: k  t24t 3 0   t 1 t3 Với t 1 cot x 1 cot x cot x k , k 

   

Với t3cot x3 cot x arc cot  3  xarc cot 3  k , k   

Vậy nghiệm của phương trình: x k

4



  , x arc cot  3  k , k  

7) cos 2x 3 sin x 2  0

1 2 sin x 3 sin x 2 0 2 sin x 3 sin x 1 0 (1)

         Đặt sin x t, t [ 1;1]  

2t 3t 1 0 t 1 t

2

      

So với điều kiện hai nghiệm đều nhận

Với t 1 sin x 1 x k2 , k 

2



Với

7

6

 



  











Vậy nghiệm của phương trình: x k2

2



  , x k2 ,x 7 k2 , k 

8) sin x cos x 1 02    (1)

(1)1 cos x cos x 1 0    cos x cos x 2  0 (1')

Đặt cos xt, t [ 1;1]  Phương trình (1') trở thành: tt2 2 0 t 1 t  2

So với điều kiện nhận t1 Với t 1 cos x 1 xk2

Vậy nghiệm của phương trình: xk2, (k )

Câu 2: Giải các phương trình lượng giác sau:

1) tan x cot x 3

2

  2) 12 cot x 3

sin x  3) 5 cos x 2 sinx 7 0

2

   4) cos 2x 2 3cos x 1 0

     

5) 23 sin x sin 3x 24 6) sin x 3 sin x 2 sin x3  2  0

7) cos2 x 4 cos x 4

     

    8) cos 4x 12 sin x cos x 5  0

9) 32 2 3 cot x 6 0

sin x   10) 4 cos 6x 22  16 cos 1 3x2   13

11) cos 2x 3 cos x 4 cos2 x

2

  12)

2

2 sin 2x 6 sin x cos x 2 0

        

13) cos 5x.cos xcos 4x.cos 2x 3 cos x 1 2 

LỜI GIẢI

1) tan x cot x 3 (1)

2

  Điều kiện cos x 0 x 2 k , k 

sin x 0

x k

 





1 tan x 2 tan x 3 tan x 2 0 1'

tan x 2

2t 3t 2 0 t 2 t

2

      

Với t 2 tan x 2 x arctan 2 k , k      

Với tt 1 an x 1 x arctan 1 k , k 

 

Vậy nghiệm của phương trình là: x arctan 2 k ,   x arctan 1 k , k 

2

 

    

2) 12 cot x 3 (1)

sin x  Điều kiện sin x 0  x k

1 1 cot x cot x 3 cot x cot x 2  0 1'

Đặt cot xt Phương trình (1') trở thành: tt22 0 t  1 t 2

Với t 1 cot x 1 x k , k 

4



Với t 2 cot x 2 x arc cot 2 k , k     

Vậy nghiệm của phương trình: x k ,

4



   x arc cot 2 k , k    

3) 5 cos x 2 sinx 7 0 5 1 2 sin2 x 2 sinx 7 0

 

10 sin 2 sin 12 0 1

    Đặt t sin ,t [ 1;1]x

2

   Phương trình (1') trở thành: 5tt2 6 0 6

t 1 t

5

    (loại)



            

Vậy nghiệm của phương trình: x k4k 

4) cos 2x 2 3cos x 2 0

     

Các bạn để ý: 2x 2 2 x

     

về phương trình bậc 2 theo cos, ta thực hiện như sau:

1 cos x 1 cos x

     

       

    , cả hai nghiệm này đều nhận

           



2

2

  

 

   







Vậy nghiệm của phương trình:x 2 k2 , x k2 , x k2 , k 

           

5) 23 sin x sin 3x 24  23sin x3sin x 4 sin x 3  24

3

4 sin x 20 sin x 24 0

    (1) Đặt sin x t, t [ 1;1]   Phương trình (1) trở thành: 4t320t 24  0 t1 sin x 1 x k2 , k 

2



Vậy nghiệm của phương trình:x k2 , k 

2



    

sin x 3 sin x 2 sin x  0 1

Đặt sin x t, t [ 1;1]   Phương trình (1) trở thành: t33t22t0

      , so với điều kiện nhận t 1 t0

Với t 1 sin x 1 x k2 , k 

2



Với t 0 sin x 0 x k , k   

Vậy nghiệm của phương trình: x k2 ,

2



   x k , k  

7) cos2 x 4 cos x 4 1 

     

            

 1 1 sin2 x 4 sin x 4 1' 

     

Đặt sin x t, t [ 1;1]

3

  

  Phương trình (1') trở thành: t24t 3 0 

    , so với điều kiện nhận t1, suy ra sin x 1

3

  

          

Vậy nghiệm của phương trình: x k2 , k 

6



    

8) cos 4x 12 sin x cos x 5  0 1 2 sin 2x 6 sin 2x 5 2   0

2

sin 2x 3 sin 2x 2 0 sin 2x 1 sin 2x 2

Với sin 2x 1 2x k2 x k , k 

          

Vậy nghiệm của phương trình:x k , k 

4



    

9) 32 2 3 cot x 6 0

sin x   Điều kiện sin x 0 x k , k 

3 1 cot x 2 3 cot x 6 0 3cot x 2 3 cot x 3 0

3

3

Với cot x 3 cot x cot x k , k 

   

 



Với cot x 3 cot x cot x k , k 

Vậy nghiệm của phương trình: x k ,

3



   x k , k 

6



    

10) 4 cos 6x 22  16 cos 1 3x2  13 1  Đặt t3x 1

 1  4 cos 2t 16cos2  2 t 13 4 cos 2t 16 cos t2  2 13

4 cos 2t 16 13 4 cos 2t 8 cos 2t 5 0

2



cos 2t cos 2t

Với

cos 2t cos 2t cos

     



       

        



Vậy nghiệm của phương trình:x 1 k , x 1 k , k 

cos 2x 3 cos x 4 cos 2 cos x 1 3 cos x 4



2

2 cos x 5 cos x 3 0

cos x cos x 3

2

Vậy nghiệm của phương trình: x 2 k2 , k 

3



    

12).2 sin2 2x 6 sin x cos x 2 0 1 

        



Vậy nghiệm của phương trình:x k , k 

6 2

 

13) cos 5x.cos xcos 4x.cos 2x 3 cos x 1 1 2   

Biến đổi tích về tổng được:

cos 4x cos 6x cos 2x cos 6x 3cos x 1 cos 4x cos 2x 6 cos x 2

Sau đó sử dụng công thức nhân đôi và hạ bậc:

2 cos 2x 1 cos 2x 3 1 cos 2x 2 2 cos 2x 4 cos 2x 6 0 1'

Đặt cos 2xt, t [ 1;1]  Phương trình (1') trở thành: 2t2 4t 6 0

    So với điều kiện nhận t1, suy ra:

2



          

Vậy nghiệm của phương trình:x k , k 

2



    

Câu 3: Giải các phương trình lượng giác sau:

1) 4 sin x2 12 4 sin x 1 7 0

sin x sin x

cos x cos x

3) 3 tan x cot x 2  2 4 tan x cot x   2 0

4) tan x tan x tan x cot x cot x cot x 2  3   2  3 6

LỜI GIẢI

1) 2  

2

sin x sin x

Đặt

2

2

1 4 t 2 4t 7 0 4t 4t 15 0 tt

 Với t 5

2

 : sin x 1 5 2 

sin x 2

  , đặt u sin x, u [ 1;1] / {0}  

2

        (loại)

7

6

 

  



  









 Với t 3

2

 sin x 1 3 3 

sin x 2

   , đặt v sin x,v [ 1;1] / {0}  

 3  2v2 3v 2  (phương trình vô nghiệm).0

Vậy nghiệm của phương trình: x k2 , x 7 k2 , k 

       

2

cos x cos x

Đặt

2

2

2

Với t 1 2 cos x 1 cos x cos x 22 0 cos x 1 cos x 2

cos x

 cos x 1 x k2 , k   

Với t 7 2 cos x 7 2 cos x 7 cos x 42 0 cos x 1

cos x4 (loại)

 cos x 1 x 2 k2 , k 



Vậy nghiệm của phương trình: x k2 , x 2 k2 , k 

3



3 tan x cot x 4 tan x cot x 20 1

tt an x cot x  tt an x cot x tan x cot x t 2

   2  2 2

3

Với t 2 tan x cot x 2 tan x 1 2 tan x 2 tan x 1 02

tan x

   

Với tt 2 an x cot x 2

2

tan x 3

Vậy nghiệm của phương trình: x k , k 

4



    

4) tan x tan x tan x cot x cot x cot x 2  3   2  3 6 1 

Đặt tt an x cot x 

tan x cot x tan x cot x  2 tan x cot xt 2

Có:tan x cot x3  3 tan x cot x 33 tan x.cot x tan x cot x   t3 3t

 1 tan x cot x tan x cot x2  2   tan x cot x3  3  6

tt 2 t 3t 6 tt 2t 8 0 t 2

Với t 2 tan x cot x 2 tan x 1 2 tan x 2 tan x 1 02

tan x

tan x 1 tan x tan x k , k

Vậy nghiệm của phương trình: x k , k 

4



    

Câu 4: Giải các phương trình lượng giác sau:

1) sin4 cos x 2 sin 2x4 3sin 2x2 0

4

    2) cos 2x sin 2x6 6 15cos 4x 1

3) sin x4 5cos x 14

3

  4) sin x cos x cos x4 4 sin x 3 1

     

5) sin x cos 2x 4 sin x4   6 0 6) cos 8x sin x cos x cos x sin x 1 0 3  3  

LỜI GIẢI

sin cos x 2 sin 2x sin 2x 0 1

4

 

1 sin 2x 2 sin 2x sin 2x 0 sin 2x 2 sin 2x 1 0 1'

Đặt sin 2x t, t [ 1;1]   Phương trình (1') trở thành: 1 2

t 2t 1 0

t 4 2 3 t 4 2 3

      So với điều kiện nhận t 4 2 3   sin 2x 4 2 3

 

arcsin 4 2 3

2x arcsin 4 2 3 k2

2

2













 Vậy nghiệm của phương trình:

arcsin 4 2 3 arcsin 4 2 3

cos 2x sin 2x cos 4x 1



8 3 1 cos 4x 15cos 4x 4 cos 4x

4



Vậy nghiệm của phương trình: x 1arccos3 k k 



3) sin x4 5cos x 14

3

3

 

1 cos 2x 5 1 cos 2x

1 1

    Đặt cos 2x t, t [ 1;1]  

  1 2tt 5 1 2tt 12 2 2

2



Với t 1 cos 2x 1 2x 3 k2 x 6 k , k 

       



Vậy nghiệm của phương trình: x k ,

2



   x k , x k , k 

       

4) sin x cos x cos x4 4 sin x 3 1

     

2

sin 2x sin 2x 0 sin 2x 0 sin 2x 1

Với sin 2x 0 2x k x k , k 

2



Với sin 2x 1 2x k2 x k , k 

          

Vậy nghiệm của phương trình:x k

2



 , x k , k 

4



     5) sin x cos 2x 4 sin x4   6 0 sin x2 2cos 2x 4 sin x  2 3 0

    (1) Đặt cos 2xt, t [ 1;1]  Phương trình (1) trở thành:

     

2t 7t 4t 3 0 t 3

       (loại) Kết luận phương trình vô nghiệm

cos 8x sin x cos x cos x sin x 1 0 1   

1 cos 8x sin x cos x sin x cos x 1 0 cos 8x sin 2x cos 2x 1 0

2

1 2 sin 4x sin 4x 1 0 2 sin 4x sin 4x 0 sin 4x 0 sin 4x

Với sin 4x 0 4x k x k , k 

4



Với

1



Vậy nghiệm của phương trình: x k ,

4



  

 

 



Câu 5: Giải các phương trình lượng giác sau:

1) sin 2x 3 cos 2x2 2 cos 2x

6

  

2) cot x 1 tan x tanx sin x 4

2

3) cot x tan x 2 4 sin 2x

sin 2x

4) 2 2 sin x 1  4 sin x 1  cos 2x sin 2x

     

5) cot x 1 cos 2x sin x2 1sin 2x

6) 5 sin x 2 3 1 sin x tan x   (ĐH khối B 2004)

7) cos 3x cos 2x cos x2  2 0 (ĐH khối A 2005)

8) sin x cos x cos x4 4 sin 3x 3 = 0

     

9) 1 sin x cos 2x sin x

cos x

  



(ĐH khối A 2010)

10)

cot 2x 5sin 2x 2 8 sin 2x



  (1) [Dự bị 2 ĐH02]

11) cot x tan x 4 sin 2x 2

sin 2x

12) 3 cos 4x 8 cos x 2 cos x 3 0 6  2   (1) [Dự bị 1 ĐH B03]

13) cot x tan x 2 cos 4x

sin 2x

LỜI GIẢI 1) sin 2x 3 cos 2x2 2 cos 2x 1 

6

  

 

2

1 4 sin 2x cos 2x 2 cos 2x

2

4 cos 2x cos sin 2x sin 2 cos 2x

           



  







Vậy nghiệm của phương trình:x k

3 2

 

       

2) cot x 1 tan x tanx sin x 4 1 

2

sin x 0 cos x 0 x cos 0 2













Ta có:

x

sin x sin cos x cos sin x sin 2

1 tan x tan 1

cos x cos cos x cos cos x cos

 



 1 cos x sin x 4

sin x cos x

   cos x sin x2  2 4 sin x cos x 2 sin 2x1

2

       





Vậy nghiệm của phương trình:x k , x 5 k , k 

       

3) cot x tan x 2 4 sin 2x 1 

sin 2x

2



 1 cos x sin x 2 4 sin 2x

sin x cos x sin 2x

cos x sin x 2

4 sin 2x sin x cos x sin 2x



2 cos 2x 2

4 sin 2x sin 2x sin 2x

    2 cos 2x 2 4 sin 2x2

cos 2x 1 2 1 cos 2x

    2 cos 2x cos 2x 1 02   

1 cos 2x 1 cos 2x

2

Với cos 2x 1  2xk2 x k , k   (loại)

2

2



       



Vậy nghiệm của phương trình: x k , x k , k 

       

4) 2 2 sin x 1  4 sin x 1  cos 2x sin 2x 1 

     

2 2 sin x 1 4 sin x 1 cos 2x sin 2x

      

2 2 sin x 1 4 sin x 1 2 cos 2x

4 4

   

2 2 sin x 1 4 sin x 1 2 cos 2x

2 2 sin x 1 4 sin x 1 2 1 2 sin x

2

2 2 sin x 2 2 2 sin x 4 0

sin x 1 sin x 2

Với sin x 1 x k2 , k 

2



      

Với Vậy nghiệm của phương trình: x k2 , k 

2



    

cot x 1 sin x sin 2x 1

cos x 0 sin x 0

1 tan x 0









2 cos x cos x sin x

sin x sin x

1 cos x





cos x cos x sin x cos x sin x cos x sin x

sin x sin x cos x





cos x sin x

cos x cos x sin x sin x cos x sin x sin x



cos x sin x 1 cos x sin x 0

sin x

1 cos x sin x 0 cos x sin x 0

sin x

Với cos x sin x 0 2 cos x 0

4

  

          

Với 1 cos x sin x 0 1 sin x cos x sin x2 0 1 1sin 2x 1 cos 2x 0



3 2 sin 2x cos 2x 3 2 sin 2x 3 sin 2x

     

Vậy nghiệm của phương trình: x k , k 

4



     6) 5 sin x 2 3 1 sin x tan x 1   2   Điều kiện: cos x0

 sin x22

5 sin x 2 3 1 sin x

cos x

   

  sin x2 2

5 sin x 2 3 1 sin x

1 sin x

2 sin x

5 sin x 2 3 1 sin x

1 sin x 1 sin x

2 sin x

5 sin x 2 3

1 sin x

2 sin x 3sin x 2 0 sin x

2

      hoặc sin x2( vô nghiệm)

Với  

5

6

 

  







   



 , so với điều kiện thỏa

Vậy nghiệm của phương trình: x k2 , x 5 k2 , k 

        7) cos 3x cos 2x cos x2  2 0 1  (ĐH khối A 2005)

 1 1 cos 6x.cos 2x 1 cos 2x 0 1 cos 6x cos 2x 1 cos 2x 0

1 cos 6x cos 2x 1 0 cos 4x cos 8x 1 0 cos 4x cos 8x 2 0

2

2 cos 4x cos 4x 3 0 cos 4x 1 cos 4x

2

Với cos 4x 1 4x k2 x k , k 

2



Vậy nghiệm của phương trình:x k , k 

2



sin x cos x cos x sin 3x = 0 1

     

   

2

1 sin 2x sin 2x cos 4x 0

2

sin 2x sin 2x cos 4x 1 0

       sin 2x sin 2x2  1 2 sin 2x 2 1 0 2

sin 2x sin 2x 2 0

    sin 2x 1 hoặc sin 2x2(loại) Với sin 2x 1 2x k x k , k 

Vậy nghiệm của phương trình:x k , k 

4 2

 

9) 1 sin x cos 2x sin x

cos x

  



(ĐH khối A 2010)

Điều kiện cos x 0 cos x 0 x 2 k , k 

1 tan x 0 tan x 1

4

 

  







1 sin x cos 2x sin x

cos x

1

cos x

  



 

cos x 1 sin x cos 2x sin x cos x 1

1 sin x cos 2x 1 2 sin x sin x 1 0 sin x sin x 1

2

Với sin x 1 sin x sin x k2 x 7 k2 , k 

So với điều kiện nghiệm của phương trình x k2 x 7 k2 , k 

         10)

cot 2x 5sin 2x 2 8 sin 2x



  (1) [Dự bị 2 ĐH02]

LỜI GIẢI Điều kiện : sin 2x0

sin x cos x 1 cos 2x 1

5 sin 2x 2 sin 2x 8 sin 2x



1

8 1 sin 2x 20 cos 2x 5 8 4 1 cos 2x 20 cos 2x 5

2

4 cos 2x 20 cos 2x 9 0 cos 2x

2

2

 (loại)

Với cos 2x 1 cos 2x cos 2x 3 k2 x 6 k , k 



       



Vậy nghiệm của phương trình: x k , x k , k 

       

11) cot x tan x 4 sin 2x 2

sin 2x

LỜI GIẢI 2

cot x tan x 4 sin 2x

sin 2x

Điều kiện : sin 2x0

(1) cos x sin x 4 sin 2x 2

sin x cos x sin 2x

4 sin 2x sin x cos x sin 2x



2

2 cos 2x 4 sin 2x 2

    2 cos 2x 4 1 cos 2x   2  2

2

x k cos 2x 1

cos 2x

3 2

  









Vậy nghiệm của phương trình: x k , x k , k 

3



       12) 3 cos 4x 8 cos x 2 cos x 3 0 6  2   (1) [Dự bị 1 ĐH B03]