ĐẠO hàm viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi tiếp tuyến đi qua điểm cho trước file word

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi tiếp tuyến điqua điểm cho trước... Chứng minh rằng có nhiều 3nhất hai đường thẳng đi qua điểm M và tiếp xúc với  C Lời giải :... Tìm

Vấn đề 3 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi tiếp tuyến đi

qua điểm cho trước.

�  d đi qua điểm M nên có phương trình : y1y'0x x1 0 y0  *

� Từ phương trình  * ta tìm được tọa độ điểm N x y , từ đây ta tìm được phương  0; 0trình đường thẳng  d

Cách 2: Gọi x y x0;  0  là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến d và  C , với

x

x     hay nghiệm x0 hoặc 0 0 3

2

x   Phần còn lại giành cho bạn đọc





 có đồ thị là  C và điểm A0;m Xác định m để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến đến  C sao cho hai tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía đối với

� � không phải là tiếp tuyến của đồ thị  C

d là đường thẳng đi qua điểm 0;3

2

M� �� �

� � có hệ số góc k có phương trình

32

y kx  Đường thẳng d là tiếp tuyến của đồ thị  C tai điểm có hoành độ là x thì 0 x là 0

nghiệm của hệ phương trình :  

x x   � x  hoặc x0 �2

Khi x0 thì 0 k0 lúc đó phương trình tiếp tuyến là 3

2

yKhi x0  2 thì k2 2 lúc đó phương trình tiếp tuyến là 2 2 3

m m

Cách 2: Đường thẳng d đi qua A , hệ số góc k có phương trình: y kx m 

d tiếp xúc với  C tại điểm có hoành độ x � hệ 0

0

0 0

2 0

21

3 1

x

x

k x

Khi đó tọa độ tiếp điểm x y của 2 tiếp tuyến với 0; 0  C là nghiệm hệ phương trình:

Do  d cắt trục Ox Oy tương ứng tại A và B sao cho , OB2012.OA nên có thể xảy ra:

 Nếu A O � thì B O� , trường hợp này chỉ thỏa nếu  d cũng qua O Khi đó 9

k , k6042 thỏa bài toán

Ví dụ 4 : Cho hàm số y  x3 3x2, có đồ thị là  C Tìm tọa độ các điểm trên .đường thẳng y  mà từ đó có thể kẻ đến đồ thị 4  C đúng hai tiếp tuyến

Lời giải :

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên �

Gọi A là điểm nằm trên đường thẳng y  nên 4 A a ; 4  

Đường thẳng  qua A với hệ số góc k có phương trình y k x a     4

Đường thẳng  tiếp xúc với đồ thị  C khi và chỉ khi hệ phương trình sau có

� hoặc a kiểm tra 2,  2 thấy thỏa.

Vậy, các điểm cần tìm là A 1; 4 , A 2; 4 hoặc  2; 4

Phương trình đường thẳng  qua M có hệ số góc k có dạng: y k x m m (  )

 là tiếp xúc (C) tại điểm có hoành độ x khi hệ sau có nghiệm 0 x : 0

2

x m x



 ( )

Từ M kẻ được đúng 2 tiếp tuyến với (C) ( ) có nghiệm x đồng thời (2) tồn tại đúng0

2 giá trị k khác nhau

Khi đó ( ) có nghiệm x phân biệt thỏa mãn (2) có 2 giá trị 0 k khác nhau

Xét hàm số

3 0

0

2( )

Vậy: ( 2;2)M  hoặc (2; 2)M 

Ví dụ 6 Lấy điểm M thuộc đồ thị  C y:  2x33x2 Chứng minh rằng có nhiều 3nhất hai đường thẳng đi qua điểm M và tiếp xúc với  C

Lời giải :

Gọi M a ; 2 a33a2 là điểm thuộc đồ thị 3  C của hàm số Đường thẳng  d đi qua

1 Gọi d là đường thẳng đi qua A 0;1 có hệ số góc là k Tìm k để d cắt  C tại 2

điểm phân biệt ,B C khác A sao cho B nằm giữa A và C đồng thời AC3AB;

2 Tìm trên trục tung những điểm mà từ đó kẻ được đúng 2 tiếp tuyến đến  C

2 Gọi M0;m và   t qua M có hệ số góc là a nên  t : y ax m   t tiếp xúc  C tại

điểm có hoành độ x khi hệ 0

y x  x  x có đồ thị là (C) Tìm phương trình các đường

thẳng đi qua điểm 4 4;

9 3

A�� ��

� � và tiếp xúc với đồ thị (C) của hàm số.

A

:

4:

3

5 128:

:

9 81

y x y

3

5 128:

2

3: 2 2

23: 2 2

3

23

21: 2

3

23: 2

∆ tiếp xúc với (C) tại điểm có hoành độ x khi hệ phương trình :

Phương trình tiếp tuyến d của  C có dạng : y y x x x '( )(0  0)y x( )0

( trong đó x là hoành độ tiếp điểm của d với 0  C )

Điểm cực tiểu của  C là A 0; 3   

Phương trình tiếp tuyến d của  C có dạng : y y x x x '( )(0  0)y x( )0

( trong đó x là hoành độ tiếp điểm của d với 0  C )

Giả sử tiếp tuyến cần tìm tiếp xúc với đồ thị  C tại điểm có hoành độ x khi đó 0

phương trình tiếp tuyến   có dạng:

- Với x0  thì phương trình tiếp tuyến là 6 y133x508

- Với x0  thì phương trình tiếp tuyến là 1 y8x8

- Với x0 thì phương trình tiếp tuyến là 2 y5x4

Vậy, có ba phương trình tiếp tuyến cần tìm là:y133x508;y8x8;y5x4.

 



 , biết tiếp tuyến

đi qua điểm (6;4)M .

Đường thẳng  đi qua (6;4)M với hệ số góc k có phương trình : y k x (  6) 4

 tiếp xúc đồ thị tại điểm có hoành độ x 0

2

1 ( 6) 4 (1)2

1

1 (2)( 2)

x

k x

 2 0 0

0 0

24

22

x

x x

24

22

x x x x

0

2 0

2

6 5

24

2

x

k x

x k

42

k x

Giả sử tiếp tuyến cần tìm tiếp xúc với đồ thị  C tại điểm có hoành độ x khi đó 0

phương trình tiếp tuyến   có dạng:

Vì   đi qua điểm 29;184

- Với x013 thì phương trình tiếp tuyến là y420x3876

- Với x0 thì phương trình tiếp tuyến là 5 y36x164

- Với x0  thì phương trình tiếp tuyến là 2 y15x39

Vậy, có ba phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

420 3876; 36 164; 15 39

Bài 5: Gọi (C) là đồ thị của hàm số y x 33x22

Câu 1 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng y = 9x – 7

Lần lượt thay x = 1 ,0 x = - 3 vào (1) ta được m = - 7 , m = 25 và m = - 7 bị loại 0

Vậy phương trình tiếp tuyến (d): y = 9x + 25

Câu 2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(- 2;7).

A y = 9x + 25 B y = 9x + 9 C y = 9x + 2 D y = x + 25

Lời giải :

Phương trình tiếp tuyến (D) đi qua A(-2;7) có dạng y = k(x+2) +7

(D) tiếp xúc (C) tại điểm có hoành độ x khi hệ 0

� x ta có phương trình tiếp tuyến là: 0 y 0

� x ta có phương trình tiếp tuyến là: 1 y1

� x ta có phương trình tiếp tuyến là:3 y24x63.

Câu 2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua điểm (2;0)A .

3

* x00�y x'( ) 0,0  y00� Phương trình tiếp tuyến y0

* x02�y x'( ) 0,0  y00� Phương trình tiếp tuyến y0

Cách 2: Gọi d là đường thẳng đi qua A, có hệ số góc k �d y k x:  ( 2)

d tiếp xúc đồ thị tại điểm có hoành độ x khi hệ 0

* x00�k0� Phương trình tiếp tuyến y0

* x02�k0� Phương trình tiếp tuyến y0

 M(0;m) là một điểm thuộc trục Oy .Với giá trị nào của m thì luôn tồn tại ít nhất một tiếp tuyến của (C) đi qua M và tiếpđiểm của tiếp tuyến này với (C) có hoành độ dương

Lời giải :

Phương trình của đường thẳng (d) đi qua M có hệ số góc k : y = kx + m

(d) tiếp xúc (C) tại điểm có hoành độ x khi hệ sau 0

0

0 0

2 0

2 không phải là nghiệm của (3))

2

(4m2)x 4(m2)x   m 2 0

Yêu cầu của bài toán � Phương trình (4) có ít nhất một nghiệm dương với mọi m �0

Vì m�0nên 4m – 2 < 0 suy ra (4) có nghiệm �  ' 4(m2)2(4m2)(m �2) 0

2 0

m

� � Bất đẳng thức này đúng với mọi m � 0

Khi đó gọi x x là hai nghiệm của phương trình (4) 1, 2

Câu 1 Cho hàm số y x 33x Tìm trên đường thẳng :2 d y các điểm mà từ đó4

kẻ được đúng 2 tiếp tuyến với (C)

Lời giải :

Gọi ( ;4)M m � Phương trình đường thẳng  qua M có dạng: d y k x m (  ) 4

 là tiếp tuyến của (C)  hệ phương trình sau có nghiệm x:

+ TH1: (4) có 2 nghiệm phân biệt, trong đó có 1 nghiệm bằng –1  m 1

Câu 2 Cho hàm số y  x3 3x2 Tìm trên đường thẳng (d): y = 2 các điểm mà từ 2

đó kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C)

A M(m; 2)  (d) với

1

2

32

Phương trình đường thẳng  đi qua điểm M có dạng : y k x m (  ) 2

 là tiếp tuyến của (C)  hệ phương trình sau có nghiệm x:

có thể kẻ được 3 tiếp tuyến với (C).

Câu 3 Viết phương trình tiếp tuyến d tiếp xúc với đồ thị  H :  2 2

Câu a Tìm trên đồ thị  C điểm B mà tiếp tuyến với  C tại điểm đó song song với

tiếp tuyến với  C tại điểm A 1;2

điểm có hoành độ x khi hệ 0    

k x  x nên hai giá trị khác nhau của x cho hai 0

giá trị khác nhau của k nên cho hai tiếp tuyến khác nhau

Vậy từ M0;m kẻ được 4 tiếp tuyến đến đồ thị   C khi và chỉ khi phương trình  * có

4 nghiệm phân biệt

tuyến đến đồ thị  C của hàm số đã cho.

Câu c Tìm những điểm N trên đường thẳng  d y:  để từ N kẻ được 4 tiếp tuyến 3đến  C

x x

k x  x nên hai giá trị khác nhau của x cho hai 0

giá trị khác nhau của k nên cho hai tiếp tuyến khác nhau

Vậy từ N kẻ được 4 tiếp tuyến đến đồ thị  C khi và chỉ khi phương trình  * có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi  ** có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình *** có 2 nghiệm phân biệt � ' 4n212 0 � n2 3 0� n 3 Vậy từ

những điểm N trên đường thẳng y với 3 n 3 kẻ được 4 tiếp tuyến đến đồ thị

tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng  d :x2y  3 0

A m12 hoặc 2

3

m B m0 hoặc m1 C m1 hoặc1

Theo bài toán, phương trình   có đúng một nghiệm âm

Nếu m0 thì   �  2x 2� x1 (không thỏa)

Nếu m� thì dễ thấy phương trình 0   có 2 nghiệm là x 1 hay x 2 3m

m sao cho trên đồ thị  C tồn tại đúng hai điểm có hoành độ dương mà tiếpm

tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng  d :x2y  3 0

 mx22(m1)x 2 3m có đúng 2 nghiệm dương phân biệt0

2

m m

Phương trình đường thẳng  d đi qua (0; )A a và có hệ số góc k :  y kx a 

 d tiếp xúc  C tại điểm có hoành độ x khi hệ:

2

213( 1)

x k x

(D) tiếp xúc với (C) tại điểm có hoành độ x khi hệ 0

3 2 0

Thay x = 3 vào (2) ta được k = - 8 0

Vậy phương trình tiếp tuyến (D) là y = - 8x + 25

Bài 12: Gọi (C) là đồ thị của hàm số 2

2

x y

4

y  x m

(d) tiếp xúc (C) tại điểm có hoành độ x khi hệ 0

2 0

0 0

2

2 0

3

4(2 )

(d) tiếp xúc (C) tại điểm có hoành độ x khi hệ 0

2 0

0 0

2

2 0

( 2) 2 (1)2

4(2 )

x

k x x

k x

4( 2) 2

4 2

x   y  x

Câu 3 Gọi M là một điểm thuộc (C) có khoảng cách từ M đến trục hoành bằng hai

lần khoảng cách từ M đến trục tung, M không trùng với gốc tọa độ O Viết phươngtrình tiếp tuyến của (C) tại M

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là y  8

Bài 13: Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số y = 2x33(m1)x2mx m  và (d) là tiếp 1tuyến của (Cm) tại điểm có hoành độ x = - 1 Tìm m để

Câu 1 (d) đi qua điểm A(0;8).

3

9 736

3

19 736

3

9 36

3

19 736

Ta có y' 6 x26(m1)x m , suy ra phương trình tiếp tuyến (d) là

Câu 2 Gọi (d) là tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x = a Tìm a để (d) cắt

lại (C) tại hai điểm E, F khác M và trung điểm I của đoạn E, F nằm trên parabol (P’):

I I

2

0 2

0

1

(1)1

0 2





�

 .Thay x = 0 1

2 1

m m

0 2

0 0

1( 1)

x x

0 2

0 0

1( 1)

x x

0 0

1( 1)

x x

x  � Phương trình tiếp tuyến y  3x

Cách 2: Gọi d là đường thẳng đi qua ( 1;3)M  , có hệ số góc k, khi đó phương trình d

2

(2)( 1)

k x x

x  �k  � Phương trình tiếp tuyến y  3x

Câu 3 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua giao điểm hai đường tiệm cận

0 2

0 0

1( 1)

x x

0 0

1( 1)

x x

Vậy không có tiếp tuyến nào đi qua I

Cách 2: Gọi d là đường thẳng đi qua I, có hệ số góc k

: ( 1) 1

d y k x  

�

d là tiếp xúc với đồ thị tại điểm có hoành độ x khi hệ 0

2

0 0

2

2 0

1( 1) 11

2( 1)

k x x

k x

Vậy qua I không có tiếp tuyến nào kẻ đến (C)

Bài 17:

Câu 1 Cho hàm số: 2

1

x y x

m m

m m

�

�  

123

m m

0 0

2

1( 1)

x

x x

1( 1)

x x

Cách 2: Đường thẳng d đi qua A, hệ số góc k có phương trình: y kx m 

d là tiếp xúc đồ thị tại điểm có hoành độ x khi hệ 0

0

0 0

2 0

21

3 ( 1)

x

x

k x

Để từ A kẻ được hai tiếp tuyến thì (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1

m m

2

m x

( 2)

m m

Câu 3 Gọi  Cm là đồ thị của hàm số y = x4(m1)x24m Tìm tham số m để  Cm

tiếp xúc với đường thẳng (d): y = 3 tại hai điểm phân biệt

m

Thay x = 0 vào (1) ta được m = 0 3

4.Thay 2

0

12

Xét (0; )M m Oy� Đường thẳng d đi qua M, hệ số góc k có phương trình: y kx m 

d là tiếp xúc đồ thị tại điểm có hoành đồ x khi hệ 0

2

0 2

 1

2(*) có nghiệm 1 1

2 2

 



 với m�0 cắt trục hoànhtại 2 điểm phân biệt ,A B sao cho tiếp tuyến tại 2 điểm , A B vuông góc với nhau.

Theo đề, tiếp tuyến tại A và B vuông góc nhau tức k k A B  , tìm được 1 1



 có đồ thị là  C Tìm trên đường thẳng y x nhữngđiểm mà từ đó có thể kẻ được 2 tiếp tuyến đến  C , đồng thời 2 tiếp tuyến đó

vuông góc với nhau

 d tiếp xúc  C tại điểm có hoành độ x khi hệ : 0

2 0

0 0

2

2 0

22