Biểu diễn của nhóm đối xứng (Khóa luận tốt nghiệp)

Biểu diễn của nhóm đối xứngBiểu diễn của nhóm đối xứngBiểu diễn của nhóm đối xứngBiểu diễn của nhóm đối xứngBiểu diễn của nhóm đối xứngBiểu diễn của nhóm đối xứngBiểu diễn của nhóm đối xứngBiểu diễn của nhóm đối xứngBiểu diễn của nhóm đối xứngBiểu diễn của nhóm đối xứngBiểu diễn của nhóm đối xứngBiểu diễn của nhóm đối xứngBiểu diễn của nhóm đối xứngBiểu diễn của nhóm đối xứngBiểu diễn của nhóm đối xứngBiểu diễn của nhóm đối xứngBiểu diễn của nhóm đối xứngBiểu diễn của nhóm đối xứngBiểu diễn của nhóm đối xứngBiểu diễn của nhóm đối xứngBiểu diễn của nhóm đối xứngBiểu diễn của nhóm đối xứng

ỦY BAN NHÂN DÂN TP HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN

HOÀNG TRỌNG TẤN

BIỂU DIỄN CỦA NHÓM ĐỐI XỨNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

NGÀNH: SƯ PHẠM TOÁN TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO: ĐẠI HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN: TS NGUYỄN ÁI QUỐC

TP HỒ CHÍ MINH, THÁNG 5 NĂM 2017

ii

Lời cam đoan.

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, các kết quả nghiên cứu nêu trong khóa luận là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kì một công trình nào khác

Tác giả khoá luận

Hoàng Trọng Tấn

iii

Lời cảm ơn.

Lời đầu tiên, tôi xin được tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy TS Phan Hoàng Chơn, thầy hướng dẫn tôi, người đã tận tình hướng dẫn, nhiệt tình truyền đạt cho tôi những kiến thức quan trọng để có thế hoàn thành khóa luận này

Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn các quý thầy cô đã tận tình giảng dạy, truyền đạt cho tôi những kiến thức quý báu trong suốt thời gian tôi học tại khoa Toán-Ứng dụng, trường Đại học Sài Gòn

Mặc dù tôi đã rất cố gắng nhưng chắc không thế tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô, cùng các bạn sinh viên để khóa luận này được hoàn thiện hơn

Sinh viên thực hiện

Hoàng Trọng Tấn

Vì vậy, hiểu về lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn là một vấn đề cần thiết Mục tiêu của khóa luận này là giới thiệu về lý thuyết biểu diễn nhóm đối xứng và ứng dụng vào việc tính các biểu diễn tuyến tính của nhóm 𝑆1, 𝑆2, 𝑆3, 𝑆4, 𝑆5 Chúng tôi cố gắng trình bày khóa luận một cách rõ ràng và chi tiết về lý thuyết biểu nhóm đối xứng, nhằm giúp độc giả có cái nhìn cụ thế về lý thuyết biểu diễn nhóm

2 Bố cục của khóa luận gồm năm chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày một số các kiến thức cần thiết về nhóm, đồng cấu nhóm, không gian vectơ, tích tenxơ, tác động nhóm lên một tập hợp, là tiền đề để xây dựng lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn

Chương 2: Biểu diễn tuyến tính của nhóm hữu hạn

Chương này trình bày các vấn đề liên quan đến biểu diễn của nhóm hữu hạn như biểu diễn bất khả quy, tích tenxơ của chúng

Chương 3: Lý Thuyết đặc trưng

Chương này trình bày về định nghĩa đặc trưng của biểu diễn, biểu diễn chính quy, biểu diễn bất khả quy

Chương 4: Nhóm con giao hoán, tích của hai nhóm

Chương này trình bày về nhóm con giao hoán, tích của hai nhóm, tích của hai biểu diễn tuyến tính

5

Chương 5: Ứng dụng

Chương này chúng tôi đề cập đến các biểu diễn nhóm 𝑆1, 𝑆2, 𝑆3, 𝑆4, 𝑆5

6

MỤC LỤC

Lời cam đoan ii

Lời cảm ơn iii

Chương 1 8

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 8

1.1 Nhóm và nhóm con 8

Định nghĩa 1.1.1 Một nhóm là một cặp 𝑮,∘ trong đó G là một tập hợp khác rỗng và ∘ là một luật hợp thành trên G thỏa mãn ba điều sau đây: 8

1.2 Nhóm cyclic và nhóm con cyclic 9

1.3 Nhóm con chuẩn tắc và nhóm thương 10

1.4 Đồng cấu nhóm 13

1.5 Nhóm đối xứng và nhóm thay phiên 14

1.6 Không gian Vectơ và nhóm tuyến tính tổng quát 18

1.7 Tích Tenxơ 23

1.8 Tác động nhóm lên một tập hợp 23

Chương 2 27

BIỂU DIỄN TUYẾN TÍNH CỦA NHÓM HỮU HẠN 27

2.1 Biểu diễn tuyến tính và biểu diễn con 27

2.2 Tích tenxơ của hai biểu diễn 34

2.3 Bình phương đối xứng và bình phương thay phiên 35

Chương 3 36

LÝ THUYẾT ĐẶC TRƯNG 36

3.1 Đặc trưng của một biểu diễn 36

3.2 Bổ đề Schur, ứng dụng cơ bản 39

3.3 Hệ thức trực giao của đặc trưng 42

3.4 Khai triển của biểu diễn chính quy 45

3.5 Số các biểu diễn bất khả quy 46

3.6 Phân tích rõ ràng của một biểu diễn 48

Chương 4: NHÓM CON GIAO HOÁN, TÍCH CỦA HAI NHÓM CON 51

7

4.1 Nhóm con giao hoán 51

4.2 Tích của hai nhóm 52

Chương 5: ỨNG DỤNG 55

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 70

TÀI LIỆU THAM KHẢO 71

BẢNG KÍ HIỆU 72

và ∘ là một luật hợp thành trên G thỏa mãn ba điều sau đây:

(i) Luật hợp thành có tính kết hợp, tức là với mọi 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐺,

(i) Phần tử đơn vị của G là duy nhất,

(ii) Với mỗi 𝑥 ∈ 𝐺, phần tử nghịch đảo của x là duy nhất

Khi G có hữu hạn phần tử, bậc của nhóm G, được ký hiệu là |𝐺|, là số phần

tử của nhóm G

9

Chứng minh: xem mệnh đề 1.15 trong [2]

Định nghĩa 1.1.3 Giả sử G là một nhóm Một tập con khác rỗng 𝑆 ⊂ 𝐺 được gọi là

một nhóm con của G nếu S khép kín đối với luật hợp thành trong G (tức là 𝑥𝑦 ∈ 𝑆

với mọi 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑆) và khép kín đối với phép lấy nghịch đảo trong G (tức là 𝑥−1 ∈ 𝑆 với mọi𝑥 ∈ 𝑆)

Khi đó S được trang bị một luật hợp thành, là hạn chế của luật hợp thành

trong 𝐺 Với phép toán này, S thật sự lập thành một nhóm Thật vậy, luật hợp thành

trong S là kết hợp bởi luật hợp thành trong 𝐺 là kết hợp Do 𝑆 ≠ ∅, nên có một phần

tử 𝑠 ∈ 𝑆 Điều này kéo theo 𝑠−1 ∈ 𝑆, và hơn nữa Phần tử đơn vị 𝑒 ∈ 𝐺 cũng là đơn

vị của S Với mọi 𝑥 ∈ 𝑆, nghịch đảo 𝑥−1 của 𝑥 trong G cũng là nghịch đảo của

𝑥 trong S

Định nghĩa 1.1.4 Cho S là một tập con của nhóm G Nhóm con sinh bởi S là nhóm

con nhỏ nhất của G chứa S là kí hiệu 〈 𝑆〉 Tập hợp S được gọi là tập sinh của nhóm

〈𝑆〉 Nếu tập hợp S hữu hạn: 𝑆 = {𝑥1, … , 𝑥𝑛} thì ta nói 〈𝑆〉 là nhóm hữu hạn sinh với

các phần tử sinh 𝑥1, … , 𝑥𝑛 ta thường kí hiệu nhóm này là {𝑥1, … , 𝑥𝑛}

Định lý 1.1.5 Cho S là một tập con của nhóm G Khi đó,

(i) Nếu 𝑆 = ∅ thì 〈𝑆〉 = {𝑒}, với e là phần tử đơn vị của G,

(ii) Nếu 𝑆 ≠ ∅ thì 〈𝑆〉 = {𝑥1𝜀1 … 𝑥𝑛𝜀𝑛|𝑛 ∈ ℕ∗, 𝑥𝑖 ∈ 𝑆, 𝜀𝑖 = ±1}

Chứng mimh: xem mệnh đề 1.24 trong [2]

1.2 Nhóm cyclic và nhóm con cyclic

Định nghĩa 1.2.1 Cho G là một nhóm Nhóm con 〈 𝑎〉 của G sinh bởi phần tử 𝑎 ∈ 𝐺 được gọi là nhóm con cyclic sinh bởi a Nếu tồn tại một phần tử 𝑎 ∈ 𝐺 sao cho

〈𝑎〉 = 𝐺 thì ta nói G là một nhóm cyclic và a là phần tử sinh của G

Mệnh đề 1.2.2 Nhóm con cyclic sinh bởi a là tập hợp tất cả các lũy thừa 𝑎𝑛 với

𝑛 ∈ ℤ, nghĩa là 〈𝑎〉 = {𝑎𝑛|𝑛 ∈ ℤ}

Định nghĩa 1.2.3 Bậc của một phần tử a trong nhóm G là bậc của nhóm con cyclic

〈𝑎〉 Ta thường kí hiệu |𝑎| để chỉ bậc của phần tử a

Hệ quả 1.2.4 Cho G là một nhóm và 𝑎 ∈ 𝐺 Khi đó,

(i) Phần tử a có bậc vô hạn khi và chỉ khi với mọi 𝑘 ∈ ℤ, nếu 𝑎𝑘 = 𝑒 thì

𝑘 = 0,

(ii) Phần tử a có bậc hữu hạn khi và chỉ khi tồn tại 𝑘 ∈ ℤ\{0} sao cho

𝑎𝑘 = 𝑒,

(iii) Nếu a có bậc hữu hạn thì bậc của a là số nguyên dương n nhỏ nhất sao

cho 𝑎𝑛 = 𝑒 Hơn nữa, khi đó với mọi 𝑘 ∈ ℤ, 𝑎𝑘 = 𝑒 khi và chỉ khi k là

một bội số của n

Chứng minh: xem mệnh đề 1.33 trong [2]

1.3 Nhóm con chuẩn tắc và nhóm thương

Định lý 1.3.1 Cho G là một nhóm và H là một nhóm con của G Xét quan hệ ~ trên

Khóa luận đầy đủ ở file: Khóa luận full