đề tài nghiên cứu: “HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG”.

Các hàm lượng giác của một góc thường được định nghĩa bởi tỷ lệ chiều dài hai cạnh của tam giác vuông chứa góc đó, hoặc tỷ lệ chiều dài giữa các đoạn thẳng nối các điểm đặc biệt trên vòng tròn đơn vị. Những định nghĩa hiện đại hơn thường coi các hàm lượng giác là chuỗi số vô hạn hoặc là nghiệm của một số phương trình vi phân, điều này cho phép hàm lượng giác có thể có đối số là một số thực hay một số phức bất kì. Hàm số lượng giác có vai trò quan trọng trong rất nhiều ngành khoa học. Tính tuần hoàn của các hàm lượng giác có vị trí to lớn trong việc mô phỏng các chuyển động sóng như sóng điện từ hay âm thanh. Mọi tín hiệu đều có thể được phân tích thành tổng (vô hạn) của các hàm và ứng với nhiều tần số; Đây là ý tưởng chủ đạo của phân tích Fourier, dùng để giải quyết các bài toán điều kiện biên và phương trình đạo hàm riêng. Đặc biệt trong lượng giác học và toán học, hàm số lượng giác được xem như một công cụ hữu hiệu để để giải quyết một số bài toán đại số, hình học… Trong chương trình sách giáo khoa bậc Trung học phổ thông, nội dung phần hàm số lượng giác mới chỉ dừng lại ở việc cho các em bước đầu làm quen, tìm hiểu một số tính chất và làm một số dạng bài tập chứ chưa trú trọng , khai thác ứng dụng và vai trò của hàm số lượng giác trong việc giải quyết một số vấn đề Toán học có liên quan. Với mong muốn giúp các bạn học sinh, sinh viên nghiên cứu về lý thuyết hàm số lượng giác một cách dễ dàng và có hệ thống, đồng thời tìm hiểu về ứng dụng của hàm số lượng giác vào giải quyết một số bài toán có liên quan, nhóm chúng em mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu: “HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG”.

TRƯỜNG

KHOA TOÁN – CÔNG NGHỆ

ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC SINH VIÊN

1 Sơ lược về hàm số lượng giác và một số ứng dụng

của hàm số lượng giác

Dưới đây là một số công trình nghiên cứu liên quan đến hàm số lượnggiác và ứng dụng của nó:

1 Luận văn: Áp dụng lượng giác xây dựng các đẳng thức, bất đẳng thức đại số có điều kiện của Hồ Viết Tân, Đại học Quốc gia Hà Nội - Trường Đại học

Khoa học tự nhiên

2 Chuyên đề: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác của Thạc sỹ

Lê Văn Đoàn

8 TÍNH CẤP THIẾT CỦA ĐỀ TÀI

Các hàm lượng giác của một góc thường được định nghĩa bởi tỷ lệ chiềudài hai cạnh của tam giác vuông chứa góc đó, hoặc tỷ lệ chiều dài giữa các đoạnthẳng nối các điểm đặc biệt trên vòng tròn đơn vị Những định nghĩa hiện đạihơn thường coi các hàm lượng giác là chuỗi số vô hạn hoặc là nghiệm của một

số phương trình vi phân, điều này cho phép hàm lượng giác có thể có đối số làmột số thực hay một số phức bất kì

Hàm số lượng giác có vai trò quan trọng trong rất nhiều ngành khoa học.Tính tuần hoàn của các hàm lượng giác có vị trí to lớn trong việc mô phỏng cácchuyển động sóng như sóng điện từ hay âm thanh Mọi tín hiệu đều có thể đượcphân tích thành tổng (vô hạn) của các hàm sin và cos ứng với nhiều tần số; Đây

là ý tưởng chủ đạo của phân tích Fourier, dùng để giải quyết các bài toán điềukiện biên và phương trình đạo hàm riêng Đặc biệt trong lượng giác học và toánhọc, hàm số lượng giác được xem như một công cụ hữu hiệu để để giải quyếtmột số bài toán đại số, hình học…

Trong chương trình sách giáo khoa bậc Trung học phổ thông, nội dungphần hàm số lượng giác mới chỉ dừng lại ở việc cho các em bước đầu làm quen,tìm hiểu một số tính chất và làm một số dạng bài tập chứ chưa trú trọng , khaithác ứng dụng và vai trò của hàm số lượng giác trong việc giải quyết một số vấn

đề Toán học có liên quan

Với mong muốn giúp các bạn học sinh, sinh viên nghiên cứu về lý thuyếthàm số lượng giác một cách dễ dàng và có hệ thống, đồng thời tìm hiểu về ứngdụng của hàm số lượng giác vào giải quyết một số bài toán có liên quan, nhóm

chúng em mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu: “HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG”.

9 MỤC TIÊU ĐỀ TÀI

- Mục tiêu khoa học công nghệ:

Tổng hợp một cách có hệ thống một số lý thuyết về hàm số lượng giác vàmột số kiến thức hỗ trợ có liên quan

Nghiên cứu ứng dụng của hàm số lượng giác trong việc giải quyết một sốbài toán có liên quan

Xây dựng hệ thống bài tập ứng dụng một cách phong phú và đa dạng

- Sản phẩm khoa học công nghệ:

Đề tài là tài liệu tham khảo hữu ích dành cho sinh viên học toán củatrường Đại học Hùng Vương

10 ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU

10.1 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là hàm số lượng giác và ứng dụng củahàm số lượng giác trong việc giải một số bài toán liên quan

10.2 Phạm vi nghiên cứu

Phạm vi nghiên cứu của đề tài là hàm số lượng giác và một số ứng dụngcủa hàm số lượng giác trong toán học

11 NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

Chương I: Kiến thức chuẩn bị.

1.2 Các hàm số lượng giác cơ bản và các phép biến đổi lượng giác

Chương II: Một số ứng dụng của hàm số lượng giác.

2.1 Ứng dụng hàm số lượng giác trong nhận dạng tam giác

2.1.1 Nhận dạng tam giác vuông

2.1.2 Nhận dạng tam giác cân

2.1.3 Nhận dạng tam giác đều

2.1.4 Nhận dạng tam giác thường đặc biệt

2.2 Sử dụng hàm lượng giác để xây dựng đẳng thức và bất đẳng thức trong tam giác và tứ giác

2.2.1 Đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác trong tam giác và xây dựng bài toánđại số

2.2.2 Đẳng thức và bất đẳng thức trong tứ giác lồi

2.3 Sử dụng phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán

2.3.1 Sử dụng phương pháp lượng giác hóa để giải phương trình vô tỷ

2.3.2 Sử dụng phương pháp lượng giác hóa để giải phương trình và hệ phươngtrình

2.3.3 Sử dụng phương pháp lượng giác hóa để giải các bài toán bất đẳng thức

2.4 Quan hệ các bài toán lượng giác và đại số

2.4.1 Sử dụng định lý Vi-et để tính tổng

2.4.2 Sử dụng đẳng thức lượng giác trong các bài toán đại số

2.4.3 Sử dụng hàm số lượng giác để xây dựng các đẳng thức đại số có điều kiện

Chương III: Bài tập tổng hợp

3.1 Bài tập có lời giải và hướng dẫn

3.2 Bài tập tự giải

Chương I: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này trình bày sơ lược lịch sử, một số khái niệm hàm số lượnggiác, khái niệm về các hàm số lượng giác cơ bản,… cùng với một số phép biếnđổi lượng giác Đây là những kiến thức mở đầu giúp chúng ta tiếp cận và tìmhiểu về ứng dụng của hàm số lượng giác

1.1 Sơ lược lịch sử

Những nghiên cứu một cách hệ thống và việc lập bảng tính các hàm lượnggiác được cho là thực hiện lần đầu bởi Hipparchus ở Nicaea (180 - 125 TCN),Hipparchus là người đã lập bảng tính độ dài của các cung tròn và chiều dàicủa dây cung tương ứng Sau đó, Ptolemy (thế kỷ II) tiếp tục phát triển công

trình trên trong quyển Almagest, tìm ra công thức cộng và trừ cho sin A B(   ) và(     )

cos A B Ptolemy cũng đã suy diễn ra được công thức nửa góc đó là

Các phát triển về lượng giác tiếp theo diễn ra ở Ấn Độ, trong công

trình Siddhantas (khoảng thế kỷ IV – V), định nghĩa hàm sintheo nửa góc và

nửa dây cung Quyển Siddhantas cũng chứa bảng tính hàm sincổ nhất còn tồntại đến nay, cho các góc có giá trị từ 00 đến 900 cách nhau 3.750

Công trình Ấn giáo này sau đó được dịch và phát triển lên thêm bởi người

Ả Rập Đến thế kỷ X, những người Ả Rập đã dùng cả 6 hàm lượng giác cơ bản

(trong tác phẩm Abu'l-Wefa), với các bảng tính hàm sincho các góc cách nhau

0

0.25 với độ chính xác đến 8 chữ số thập phân và bảng tính hàmtan

Các công trình đầu tiên này về các hàm lượng giác đều được phát triểntrong những nghiên cứu thiên văn Có lẽ quyển sách đầu tiên chỉ tập trung vào

nghiên cứu về hàm số lượng giác là De triangulis omnimodus (1464) và Tabulae directionum của Regiomontanus (1436 – 1476) Quyển Tabulae directionum nói

về hàmtan

Quyển Opus palatinum de triangulis của Rheticus, một người học trò

của Copernicus, là quyển sách đầu tiên định nghĩa các hàm lượng giác bằng tamgiác vuông thay vì dùng vòng tròn đơn vị, kèm theo bảng tính 6 hàm lượng giác

cơ bản Công trình này được hoàn thiện bởi học trò của Rheticus là Valentin

Quyển Introductio in analysin infinitorum (1748) của Euler tập trung

miêu tả cách tiếp cận giải tích đến các hàm lượng giác, định nghĩa chúng theocác chuỗi vô tận và giới thiệu "Công thức Euler" eix cos( ) isin( )x  x Euler đãdùng các ký hiệu viết tắt sin,cos, tan,cot giống ngày nay

1.2 Khái niệm về hàm số lượng giác

1.2.1 Định nghĩa bằng tam giác vuông

Có thể định nghĩa các hàm lượng giác của góc A, bằng việc dựng nên một tam giác vuông chứa góc A

B

a(đối) h(huyền)

b(kề)Hình 1.1: Tam giác vuông ABC

Trong tam giác vuông này, các cạnh được đặt tên như sau:

- Cạnh huyền là cạnh đối diện với góc vuông, là cạnh dài nhất của tamgiác vuông, là cạnh AB (hình 1.1)

- Cạnh đối so với góc A là cạnh đối diện với góc A, là cạnh BC (hình 1.1).

- Cạnh kề so với góc A là cạnh nối giữa góc A và góc vuông, là cạnh

Các hàm số lượng giác cũng có thể được định nghĩa bằng vòng tròn đơn

vị, một vòng tròn có bán kính bằng 1 và tâm trùng với tâm của hệ tọa độ Địnhnghĩa dùng vòng tròn đơn vị thực ra cũng dựa vào tam giác vuông, nhưng chúng

có thể định nghĩa cho các mọi góc là số thực, chứ không chỉ giới hạn giữa 0 và

2

 radian Các góc lớn hơn 2π hay nhỏ hơn −2π quay vòng trên đường tròn.

Vòng tròn đơn vị và một số đặc biệt ứng với một số góc đặc biệt Vòngtròn đơn vị là mọi điểm  x y trên mặt phẳng của hình học phẳng thỏa mãn,phương trình: x2  y2  1

Gọi góc α là góc giữa đường thẳng nối tâm hệ tọa độ và điểm ( , )x y trênvòng tròn và chiều dương của trục x của hệ tọa độ x y , các hàm lượng giác cóthể được định nghĩa:

Khi các vòng quay trên vòng tròn, hàm sin, cos trở nên hàm tuần hoàn vớichu kỳ 2π radian hay 3600:

Mọi hàm lượng giác đều có thể được dựng lên bằng phương pháp hình

học trên một vòng tròn đơn vị có tâm ở O

Nếu A là một điểm trên đường tròn đơn vị,  là góc giữa trục x và đường

OA (trong hình 1.3) thì:

+ sin là giá trị điểm A chiếu xuống trục x, là đoạn OC (trong hình 1.3).

+cos là giá trị điểm A chiếu lên trục y, là đoạn AC (trong hình 1.3).+tan là chiều của dài đường tiếp tuyến từ A kéo tới trục x, là đoạn AD

Theo hình vẽ, dễ thấy hàm tansẽ phân kỳ khi α tiến tới

2

 (900), hàm cotphân kỳ khi α tiến tới 0 Nhiều cách xây dựng tương tự có thể được thực hiệntrên vòng tròn đơn vị, và các tính chất của các hàm lượng giác có thể đượcchứng minh bằng hình học

Hình vẽ trên cho thấy định nghĩa bằng hình học về các hàm lượng giáccho góc bất kỳ trên vòng tròn đơn vị tâm O Với α là nửa cung AB:

O

C

sin(α) AC Định nghĩa lần đầu giới thiệu trong lịch sử bởi người

Ấn Độ

Đường tiếp tuyến với đường tròn tại A, ý nghĩa này

đã mang lại cho cái tên "tan" của hàm, xuất phát

từ tiếng La tinh là "tiếp tuyến"

1.2.4 Định nghĩa bằng chuỗi số

Dùng hình học và các tính chất của giới hạn hàm số, có thể chứng minhrằng đạo hàm của hàm sin là hàm cos và đạo hàm của hàm cos là trái dấu củahàm sin Có thể dùng chuỗi Taylor để phân tích hàm sin và cos ra chuỗi, cho mọi

góc x đo bằng giá trị radian thực Từ hai hàm này có thể suy ra chuỗi của các

hàm lượng dạng còn lại

Các đẳng thức bên dưới đây cho biết chuỗi Taylor của các hàm lượnggiác Chúng có thể dùng làm định nghĩa cho hàm lượng giác Chúng được dùngtrong nhiều ứng dụng, như chuỗi Fourier), vì lý thuyết của chuỗi vô hạn có thểđược xây dựng từ nền tảng hệ thống số thực, độc lập với hình học Các tính chấtnhư khả vi hay liên tục có thể được chứng minh chỉ từ định nghĩa bằng chuỗi

Trong bảng dưới, quy ước:U n là số lên/xuống thứ n.

U x

x n

Cả hai hàm sin và cos thỏa mãn phương trình vi phân:y� y Các hàmnày là các hàm trái dấu của vi phân bậc hai của chúng Trong không gianvectơ hai chiều V chứa tất cả các nghiệm của phương trình vi phân trên, hàm sin

là hàm duy nhất thỏa mãn điều kiện biên y 0 0 và y� 0 1, còn hàm cos làhàm duy nhất thỏa mãn điều kiện biên y 0 1 và y� 0 0 Hai hàm nàylại độc lập tuyến tính trong V, chúng tạo thành hệ cơ sở cho V.

Thực tế cách định nghĩa này tương đương với việc dùng công thức Euler.Phương trình vi phân không chỉ có thể được dùng để định nghĩa hàm sin, cos màcòn có thể được dùng để chứng minh các đẳng thức lượng giác cho các hàm này.Hàm tan là nghiệm duy nhất của phương trình vi phân phi tuyến với điều kiệnbiên y 0 0 sau: y� 1 y2

Các phương trình trên chỉ đúng khi biến số trong các hàm lượng giác là

radian Nếu dùng đơn vị đo góc khác, biến số thay đổi bằng qua một nhân tử k

Ví dụ: Nếu x được tính bằng độ, k sẽ là: k

180





Lúc đó: f x  sin kx k; �0,k �1và vi phân của hàm sin bị thay đổi cùng nhân

tử này: f x�( )kcos kx( ) Nghĩa là hàm sẽ phải thỏa mãn: y� k y2

Ví dụ trên cho hàm sin, điều tương tự cũng xảy ra cho hàm lượng giác khác

1.3 Các hàm số lượng giác cơ bản và các phép biến đổi lượng giác

1.3.1 Hàm số y sinx    và y cosx

- Định nghĩa:

+ Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với sin của góc lượng giác có số

đo rađian bằng x được gọi là hàm số sin, kí hiệu là:y sinx    .

+ Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với côsin của góc lượng giác có số

đo rađian bằng x được gọi là hàm số côsin, kí hiệu là:y cosx    .

- Nhận xét: Hàm số ysinxlà một hàm số lẻ vì sin   x sinx với mọi

x thuộc �

Tập xác định của hàm số ysinxvà y c osxlà: �.

1.3.2 Hàm số y t anx và ycotx.

- Định nghĩa:

+Với mỗi số thực x mà cosx�0, tức là:   

x

 được gọi là hàm

sốtang, kí hiệu lày tanx    Vậy hàm sốy t anxcó tập xác định làD1.

+Với mỗi số thực xmàsinx�0, tức là: x k� k�Z và ta xác định được

số thực: cot cos

sin

x x

x

 được gọi làhàm số c tangô , kí hiệu lày cotx    Vậy hàm số y cotx    có tập xác định làD2.

- Nhận xét: Hàm sốy t anx là một hàm số lẻ vì nếu x�D1 thì  �Dx 1 vàtan( )  x t anx Hàm sốycotx là một hàm số lẻ vì nếu x�D2 thì  �Dx 2

cos

x x

x

coscot

sin

x x

2 2 2 2

cos2xcos xsin x2cos x  1 1 2sin x

sin 2x2sin cosx x

2

2 tantan 2

1 tan

x x

1

t x

t



 ;

2 2

1cos

1

t x

1

t x

cos cos 2cos cos

Giá trị các hàm số lượng giác của các cung (góc) đặc biệt

3

32

22

Hàm số lượng giác của các cung (góc) có liên quan đặc biệt

- Cung đối nhau (  và – )

 

cos   cos ,sin    sin

 tan    tan ,cot    cot

- Cung bù nhau ( và  )

cos    cos ,sin   sin

tan    tan,cot    cot

- Cung phụ nhau ( phụ chéo)

Chương II: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Chương này trình bày một số dạng bài toán trong tam giác và sử dụng cácbài toán này để xây dựng các đẳng thức, bất đẳng thức đại số có điều kiện Vàchứng minh một số đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác cho tứ giác lồi vàchuyển các đẳng thức, bất đẳng thức này thành các đẳng thức, bất đẳng thức đại

số có điều kiện

2.1 Ứng dụng hàm số lượng giác trong nhận dạng tam giác

2.1.1 Nhận dạng tam giác vuông

2.1.1.1 Dấu hiệu nhận dạng tam giác vuông ABC

+ sinA ;1 sinB ;1 sinC 1

+cosA ;0 cosB ;0 cosC 0

+sin 2A ;0 sin 2B ;0 sin 2C 0

+cos 2A  ;1 cos 2B  ; 1 cos2C  1

+ tanAcotB; tanBcotC; tanC cotA

+ sinAsin B C  ; sinBsinC A  ; sinC sin A B 

2sin 2  2Ccos2 A B  2sin 2 cos 2C   2 A B  

 2sin 2C��cos 2 A B  cos 2 A B �� 4sin 2 sin 2 sin 2C A B

Do đó: sin 4Asin 4Bsin 4C 0 �4sin 2 sin 2 sin 2C A B0

Vậy tam giác ABC vuông

Ví dụ 2: Tam giác ABC có: cos cos cos sin sin sin 1

minh rằng tam giác ABC vuông

Giải: Ta có: cos cos cos sin sin sin 1

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có:sin 2Asin 2B4sin sinA B Chứng minh rằngtam giác ABC vuông.

Giải: Ta có: sin 2Asin 2B4sin sinA B

2sin A B cos A B 2 cos A B cos A B

sin cosC A B cos A B cosC

� �0 cos  A B  1 sin CcosC

Vậy tam giác ABC vuông

2.1.2 Nhận dạng tam giác cân

2.1.1.1 Dấu hiệu nhận dạng tam giác ABC cân

+ a=b; b=c; c=a

+  sin AsinB ; sin Bsin  C ; sin CsinA

sin A sin ;  sinB B sin ;  sinC C sin   (A n )

+  cosAcosB; cosBcosC; cosCcosA

cos A cos ;  cosB B cos ;  cosC C cos   (A n )

+ tanAtan ;  tanB Btan ;  tanC C tanA

tan A tan ;  tanB B tan ;  tanC C tan   (A n )

+sin A B  0;  sinB C  0;  sinC A  0

A B  B C  C A 

+ tan A B  0;  tanB C  0;  tanC A  0

tan A B 0;  tanB C 0;  tanC A 0

+ cos A B  1;  cos B C  1;  cosC A  1

cos A B 1;  cosB C 1;  cosC A 1

2.1.2.2 Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có:  a b3 2 c2 b c3 2 a2 c a3 2 b2 0

Chứng minh rằng tam giác ABC cân

Vậy tam giác ABC cân

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có: a b c b c a.

h  h  h  h  h  h Chứng minh rằng

tam giác ABC cân

Giải: Biến đổi đẳng thức:

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có: sin .

Vậy tam giác ABC cân

2.1.3 Nhận dạng tam giác đều

2.1.3.1 Nhận xét

Nói chung tất cả các bất đẳng thức đối xứng với ba góc A, B, C hoặc bacạnh a, b, c đều xảy ra dấu bằng tại trạng thái A B C  600 hoặc là a b c tức là lúc đó tam giác ABC đều Vì thế có thể chuyển tất cả các bài toán bất đẳngthức đối xứng trong tam giác về các bài toán nhận dạng tam giác đều Sau đâychúng ta xét đại diện một số bài toán với sự đa dạng khác nhau thay cho hàngnghìn bài toán có cơ sở là các bất đẳng thức đối xứng

2.1.3.2 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có: 3

3

a a

Từ m a 3r �m a2 9r2 2      

2

99

a

p p a p b p c S

Vậy tam giác ABC đều

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có: 3 3 3

2

3sin sin

Vậy tam giác ABC đều.

2.1.4 Nhận dạng tam giác thường đặc biệt

B C

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có:sin 6Asin 6Bsin 6C  Chứng minh rằng:0Tam giác ABC luôn có góc bằng 60 hoặc bằng0 120 0

Giải: Ta có:

   

sin 6Asin 6Bsin 6C 2sin3 A B cos3 A B 2sin3 cos3C C

2sin 3 cos3C A B 2sin 3 cos3C A B

    4sin 3 sin 3 sin 3C A B0

sin 6A sin 6B sin 6C 0

sin 3 0sin 3 0sin 3 0

A B C

Vậy tam giác ABC có: sin 6Asin 6Bsin 6C  thì tam giác đó luôn có góc0bằng 60 hoặc bằng0 120 0

Ví dụ 3: Tam giác ABC có: sin sin sin 3

cos cos cos

  Chứng minh rằng: Tamgiác ABC có ít nhất một góc bằng60 0

Giải: Ta có: sin sin sin 3

cos cos cos

Vậy tam giác ABC có ít nhất một góc bằng 60 0

2.2 Sử dụng hàm lượng giác để xây dựng đẳng thức và bất đẳng thức trong tam giác

2.2.1 Đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác trong tam giác và xây dựng bài toán đại số

2.2.1.1 Một số đẳng thức, bất đẳng thức trong tam giác

Để chứng minh các bất đẳng thức ta sử dụng một số kết quả về tính lồi,lõm của các hàm lượng giác

+ Kết quả 1: Với 0�x y z, , � chứng minh rằng:

sinx sin sin

2 t anx+ t any t anz tan

Ví dụ 1: Với A, B, C là các góc của tam giác ABC (tam giác ABC nhọn), chứng

minh rằng: tan2 Atan2Btan2C � 9

Ví dụ 2: Với A, B, C là các góc của tam giác ABC chứng minh rằng:

1 sin sin sin 1

3 3

cot cot cot

Ví dụ 3: Với A, B, C là các góc của tam gác ABC chứng minh rằng:

1.cos cos cos sin sin sin

92.2sin sin sin

Cộng từng vế của bất đẳng thức ta đươc bất đẳng thức cần chứng minh

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi :

2.2.1.2 Phương pháp giải đại số

Giải các bài toán bằng phương pháp đại số trước hết ta chứng minh một số kết

+ Kết quả 1: Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện sau:

�Điều phải chứng minh.

+ Kết quả 3: Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện

�Điều phải chứng minh.

Bài toán 1: Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện ab bc ca  1

�Điều phải chứng minh.

Bài toán 2: Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện ab bc ca  1.Chứng minh rằng: 2 2 2  2 2 2

�Điều phải chứng minh.

Bài toán 3: Với a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện ab bc ca  1

�Điều phải chứng minh.

2.2.2 Đẳng thức và bất đẳng thức trong tứ giác lồi

Với x, y, z, t là các góc thỏa mãn điều kiện 0x y z t, , ,  và

sinx sin sin sin

Vì sin y z t   sin 2    x sinx nên

sinx sin sin sin 4sin sin sin

Ví dụ 2: Với x, y, z, t là các số thực dương thỏa mãn điều kiện sau đây

cos cos cos cos

x y z y x z

Tương tự ta cũng có các đẳng thức

cos cos cos cos

z y z t t y

cos cos cos cos

x t x y y t

Cộng từng vế các đẳng thức (2.5), (2.6),(2.7) và (2.8) ta thu được cácđẳng thức cần chứng minh

6 Áp dụng tính chất lồi, lõm của hàm số lượng giác ta có :

sinx siny 2sin

Dấu bất đẳng thức sảy ra khi và chỉ khi 2 2 2

Tương tự ta cũng thu được các đẳng thức

2sin sin sin

Dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi

siny sin 2cos

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

2

x y z t    

2.2.2.3 Xây dựng đẳng thức, bất đẳng thức đại số có điều kiện từ những đẳng thức, bất đẳng thức lượng giác trong tứ giác lồi

Ta chứng minh kết quả cơ bản sau:

+ Kết quả 1: Giả sử a, b, c, d là những số thực dương thỏa mãn điều kiện

a b c d abc bcd acd abd       khi đó luôn tồn tại các góc A, B, C, D của

tứ giác lồi ABCD sao cho: tan ; tan ; tan ; tan

Chứng minh: Vì , ,a b c �Tồn tại các góc A,B,C với 00 A B C, ,  mà:

tan ; tan ; tan ; tan

Từ đẳng thức sin sin sin sin 4sin sin sin

Ta thu được bài toán

Bài toán 1: Với a, b, c, d là những số thực dương thỏa mãn đẳng thức sau:

a b c d abc bcd acd abd       Chứng minh rằng:

Ta thu được bài toán

Bài toán 2: Với a, b, c, d là những số thực dương thỏa mãn đẳng thức sau:

a b c d abc bcd acd abd       Chứng minh rằng:

Ta thu được bài toán.

Bài toán 3: Cho đẳng thức: a b c d abc bcd acd abd       ,với , , ,a b c d là

Ta thu được bài toán

2.3 Sử dụng phương pháp lượng giác hóa để giải một số bài toán

Một số cách chuyển bài toán qua lượng giác

- Nếu biến x tham gia trong bài toán có điều kiện x �k (k >0), ta đặt

- Nếu ba biến x,y,z tham gia vào bài toán có ràng buộc x y z xyz  

hoặc xy yz xz   thì có thể đặt 1 xtan ,y tan,z tan với

Biểu thức Cách đặt x Miền giá trị của biến





tantan

x y

t����  ��� sao cho: sin t x và một số

y với y� 0; sao cho xcos y

Ví dụ 1: Giải phương trình sau:

33

� Mà phương trình bậc ba có tối đa

ba nghiệm, vậy đó cũng chính là tập nghiệm của phương trình đã cho

x x

1cos

Giải: Ta có các trường hợp sau:

- Với x� , suy ra VT(1)>1, do đó phương trình vô nghiệm.1

- Với x� , suy ra VT(1)<0, do đó phương trình vô nghiệm.1

- Với x  đặt 1, x cost, với t�0,

Khi đó phương trình được chuyển về dạng:

8cos 2cos 1 8cos 8cos 1 1

8cos os2 os4 1 8sin cos os2 os4 sin