Nâng cao kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức cosi trong bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 trường THCS tế lợi

Ở bậc tiểu học họcsinh được học bất đẳng thức dưới dạng so sánh các số tự nhiên rồi đến so sánhphân số, ở bậc THCS các em tiếp tục học bất đẳng thức ở dạng so sánh sốnguyên, lũy thừa, cá

1.MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài

Trong chương trình phổ thông, học sinh được làm quen với bất đẳng thức

từ rất sớm và nó luôn song hành với các em ở từng cấp học Ở bậc tiểu học họcsinh được học bất đẳng thức dưới dạng so sánh các số tự nhiên rồi đến so sánhphân số, ở bậc THCS các em tiếp tục học bất đẳng thức ở dạng so sánh sốnguyên, lũy thừa, các số hữu tỷ rồi các biểu thức chứa 1 biến, 2 biến, 3 biến Bất đẳng thức không chỉ xuất hiện trong chương trình phổ thông mà còn thườngxuyên xuất hiện trong các kỳ thi chuyển cấp, thi học sinh giỏi các cấp Trongnền giáo dục phổ thông, toán học là môn khoa học quan trọng đóng vai trò nềntảng, then chốt để phát triển các bộ môn khoa học tự nhiên, khoa học công nghệ,trong đó có thể nói bất đẳng thức là một trong những thành tố quan trọng để pháttriển năng lực tư duy logic cho học sinh Trong thực tế, việc giải các bài toánBất đẳng thức đối với học sinh THCS là hết sức khó khăn, đôi khi dẫn đến tìnhtrạng các em rất sợ loại bài toán này Vì vậy, để góp phần vào việc phát triển tưduy cho học sinh, đặc biệt là học sinh khá giỏi và tăng cường cho các em ý thứcnăng lực, vận dụng một cách thông minh những điều đã học làm giảm bớt nỗi sợhãi cũng như tăng thêm lòng tin cho học sinh khi gặp loại bài toán này Qua thực

tế giảng dạy ở trường và qua các kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10, kỳ thi học sinhgiỏi các cấp tôi nhận thấy việc hình thành những kiến thức và kỹ năng trong việcdùng Bất đẳng thức Côsi đối với các số dương là cần thiết Vì vậy tôi đã chọn đề

tài “ Nâng cao kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Côsi trong bồi dưỡng học sinh

giỏi lớp 9 trường THCS Tế Lợi”.

1.2 Mục đích nghiên cứu

Trong các bài toán ở kì thi học sinh giỏi khối THCS hay sử dụng tới bấtđẳng thức đặc biệt là bất đẳng thức Côsi Vấn đề này là một trong những vấn đềkhó, mục đích của đề tài làm cho học sinh không cảm thấy khó khăn, e dè khigặp các bài toán liên quan đến bất đẳng thức đồng thời cũng làm phong phúthêm phạm vi ứng dụng trong cuộc sống

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Học sinh đội tuyển môn Toán, Trường THCS Tế Lợi huyện Nông Cống

1.4 Phương pháp nghiên cứu

+ Khảo sát kết quả học tập của học sinh

+ Qua thực tế giảng dạy cho các em học sinh

+ Qua kiểm tra đánh giá kết quả học tập của học sinh trước và sau khi ápdụng đề tài

+ Trao đổi, học hỏi đồng nghiệp qua các buổi sinh hoạt chuyên môn

1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm: Bổ sung thêm phần

“Một số bài toán sử dụng bất đẳng thức Côsi trong các kì thi học sinh giỏi”

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận :

Khi vận dụng phương pháp phù hợp để giải một bài toán, học sinh sẽ tiếtkiệm được thời gian và bài giải sẽ ngắn gọn hơn Bất đẳng thức Côsi là một kiếnthức khó nhưng không thể thiếu trong vốn kiến thức của học sinh, nhất là họcsinh khá giỏi những kiến thức về bất đẳng thức trong đại số cũng sẽ làm phongphú hơn phạm vi ứng dụng đại số trong cuộc sống

2.2 Thực trạng của vấn đề:

Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy rằng đối với những học sinh khá,giỏi ban đầu chỉ cần nhìn thấy đề bài chứng minh bất đẳng thức là các em đãkhông có thiện cảm hay nói đúng hơn là không có hứng thú để giải do đó dẫnđến thực trạng các em không đầu tư suy nghĩ và có khi bỏ qua

Sau nhiều năm kiểm nghiệm, tôi nhận thấy rằng nếu quyết tâm dẫn các

em đi khai thác, tìm hiểu sẽ có hiệu quả nhất định Cụ thể : Khi học phần hằngđẳng thức ở lớp 8 tôi đã đưa ra bài toán chứng minh bất đẳng thức

(a + b)  4ab với a, b 0 lúc đầu học sinh rất lúng túng, nhưng trong quátrình giảng dạy tôi đã hướng dẫn các em từng cách giải:

 Cách 1 : Xét hiệu

 Cách 2 : Biến đổi tương đương

 Cách 3 : Dựa vào một số bất đẳng thức cơ sở

 Cách 4 : Chứng minh bằng phương pháp phản chứng

 Cách 5 : Chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học

Sau khi hướng dẫn các cách cơ bản như vậy học sinh được làm quen vàgiải quyết được một số bài tập tương tự tôi bắt đầu dẫn các em đến không gianbất đẳng thức Côsi khi các em đã học xong chương 1 lớp 9 và lúc này học sinhkhông còn sợ rồi bỏ qua loại toán này như trước đây Thực tế qua các kỳ thi họcsinh giỏi cũng như kỳ thi vào lớp 10 có một số học sinh của tôi đã giải quyết tốtbài toán số 5 này do đó đã được giải học sinh giỏi cấp huyện Trong phạm vi bài

viết này tôi chỉ đề cập đến một khía cạnh đó là: “Nâng cao kỹ thuật dùng bất

đẳng thức Côsi đối với 2 số dương trong bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 trường THCS Tế Lợi”.

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

Một số phương pháp sử dụng BĐT Côsi:

BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI

Cho n số thực không âm: a1, a2, an Ta có thể phát biểu BĐT Côsi dưới cácdạng sau:

xy  x y Đẳng thức xảy ra khi các số bằng nhau: x = y

* Trong trường hợp đối với 3 số không âm x, y, z, ta có

Đẳng thức xảy ra khi các số bằng nhau: x = y = z

I Phương pháp phân tích số mũ, đánh giá đại diện

Nội dung của phương pháp này thể hiện ở các ý tưởng chung như sau:

- Các biến có vai trò bình đẳng nên trong quá trình biến đổi ta nên có xu

hướng giữ nguyên tính bình đẳng của chúng

- Các biểu thức có vai trò bình đẳng nên tìm cách biến đổi một biểu thức

và áp dụng tương tự cho toàn thể

- So sánh bậc của vế trái và bậc của vế phải để xét xem có cần phải thêm

bớt vào một hoặc một số số hạng nào đó có bậc thấp hơn hoặc cao hơn hoặc mộthằng số để khi sử dụng BĐT Côsi ta thu được bậc cần thiết

- Hết sức chú ý điều kiện để dấu bằng xảy ra, điều kiện đó giúp ích rất

nhiều trong quá trình tìm tòi hướng giải

Bài 1 Chứng minh rằng: a2b2 b2c2 c2a2 8a b c2 2 2 a b c, ,

Phân tích:

- Các biến có vai trò bình đẳng nên trong quá trình biến đổi ta nên có xuhướng giữ nguyên tính bình đẳng của chúng

- Các biểu thức có vai trò bình đẳng nên tìm cách biến đổi một biểu thức

và áp dụng tương trợ cho toàn thể

- Bậc của vế trái và bậc của vế phải bằng nhau (cùng bằng 6) nên khôngcần phải thêm bớt vào một hoặc một số số hạng nào đó có bậc thấp hơn hoặc caohơn

- Nhận xét rằng khi a b c thì đẳng thức xảy ra

Giải:

Vẫn với kiểu phân tích sự bình đẳng giữa các biến, các biểu thức như trên,

ngoài ra, theo giả thiết, ta có thể hiểu 1 = (x.y.z)r vì vậy do vế phải là hằng số,

cũng có thể được hiểu như 3 3xyzr nên ta cố gắng biến đổi vế trái thành tích

của các lũy thừa cùng bậc của x, y, z Từ đó có 2 cách biến đổi như sau:

  Dấu “ = ” xảy ra khi x = y = z.

Nhận xét: Với hướng giải trên ta có thể giải bài toán tổng quát sau:

Cho các số dương a1, a2, ,an thỏa mãn a1 a2 an = 1 Chứng minh rằng:

Phân tích: Mỗi số hạng ở vế phải đều có bậc 3 (cùng bậc với mỗi số hạng

ở vế trái), nhưng trong mỗi số hạng ở vế phải thì nhân tử thứ nhất có bậc gấp đôinhân tử kia

Cộng các vế và rút gọn ta có điều phải chứng minh

Bài 4 Cho a, b, c, d là các số thực dương có tổng bằng 1

- Các biểu thức có vai trò bình đẳng nên tìm cách biến đổi một biểu thức

và áp dụng tương tự cho toàn thể

- Bậc của vế trái là 1, của vế phải là số hạng tự do nhưng cũng có thể xemnhư là bậc 1 ( do giả thiết a + b + c + d = 1 nên với mọi hằng số k ta có: k(a + b + c + d) = k

Giải:

Áp dụng BĐT Côsi cho hai số a2

b c+4

c d+4

d a)1

III Kỹ thuật đánh giá từ trung bình nhân (TBN) sang trung bình cộng

Nếu như đánh giá từ TBC sang TBN là đánh giá với dấu a b , đánh giá

từ tổng sang tích, hiểu nôm na là thay dấu a + b bằng dấu a.b thì ngược lại đánhgiá từ TBN sang TBC là thay dấu a.b bằng dấu a + b Và cũng cần phải chú ýlàm sao khi biến tích thành tổng, thì tổng cũng phải triệt tiêu hết biến, chỉ còn lạihằng số

Bài 3 Cho hai số tự nhiên a, b thoả mãn điều kiện : a + b = 2001 Tìm giá

trị lớn nhất của tích ab (Đề thi lớp 10 năm học: 2007 - 2008)

Giải :

Áp dụng BĐT Côsi ta có: ab

2

( ) 4

a b

= 20012

4 = 1001000,25

Vì a,b là số tự nhiên nên ab 1001000

Dấu bằng xảy ra khi a + b = 2001 a = 1000 hoặc a = 1001

Giải: Bài này chúng ta hoàn toàn có thể chia cả 2 vế cho ab, sau đó áp

dụng phương pháp đánh giá từ TBN sang TBC như phần trước đã trình bày, tuynhiên ở đây ta áp dụng một phương pháp mới : phương pháp nhân thêm hằng số

Bài 3 Cho  ABC, a, b, c lần lượt là số đo 3 cạnh của tam giác Chứngminh rằng : b c a c a b a b c          abc

Dấu “ = ” xảy ra  ABC đều : a = b = c

VI Kỹ thuật đổi biến số :

Có những bài toán về mặt biểu thức toán học tương đối cồng kềnh hoặckhó giải, khó nhận biết được phương hướng giải, ta có thể chuyển bài toán từtình thế khó biến đổi về trạng thái dễ biến đổi hơn Phương pháp trên gọi làphương pháp đổi biến số

Bài 1 Chứng minh rằng: 3

2

a b b c c a      a b c, , 0(BĐTNesbit)

VII Một số ứng dụng của bất đẳng thức

1 Áp dụng bất đẳng thức để giải phương trình và hệ phương trình:

Bài 1 Giải phương trình : x2  x 1 x x 2 1 x2 x (1)2

Thử lại ta có x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình

Bài 2: Giải hệ phương trình: ( 1) ( 1) 2

Điều kiện: x  1, y  1 ¸ Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:

Thử lại thấy: x = y = 2 cũng thoả mãn phương trình thứ nhất của hệ

Vậy hệ có nghiệm duy nhất là ( 2; 2 )

Bài 3: Giải phương trình5 27 10 5 6 5 864 0

4 6

5 4

5

27

1 5 2 5

27 32

x

x x

x

6 6

4 4 4

27

1 5 1 1 3 3

x x

1

3     

x x

Bài 4: Giải phương trình: x x x





 2 2 16

2 16

Bài 5: Tìm nghiệm dương của hệ phương trình sau 

y x z y z y y x x z z y y z y x

z y z y

y x x

z z

y y

2 2

 7

2(Đề thi vào lớp 10 năm học: 2006 - 2007)

Bài 3 Tìm nghiệm dương của phương trình:

2010-3 Áp dụng bất đẳng thức Côsi trong bài toán cực trị:

Nhận xét: Đối với bài toán cực trị, học sinh thường hay mắc sai lầm hơnbài toán chứng minh bất đẳng thức bởi trong bài toán chứng minh bất đẳng thứcthì học sinh có thể coi một vế là mục tiêu để cố gắng biến đổi vế kia theo mụctiêu đó, ngoài ra đôi khi không cần xét đến điều kiện dấu bằng xảy ra Còn đốivới bài toán cực trị thì học sinh không có mục tiêu để theo đuổi và nhiều emmắc sai lầm khi không để ý đến điều kiện dấu “=” xảy ra, hoặc dấu bằng xảy ranhưng không thuộc điều kiện xác định

Trong bài toán cực trị, 2 tiêu chí quan trọng nhất mà chúng ta phải luônbám sát đó là:

- Phải khử được biến

- Phải đảm bảo được điều kiện cho dấu bằng xảy ra thỏa mãn điều kiệnxác định

Như vậy ta nhận thấy phương pháp cơ bản để giải bài toán cực trị khidùng bất đẳng thức Côsi là phương pháp khử biến

1 2

0 1 2

1 2

x

x x

2 1 2 2

1 2 1 2 2

1 2

3 2

2

2 1 2 2

1 2

3 2 3

3

2

x x

x x

1 2 1 2 1 2

1

3 3

3 3 3

3 3

3 3 3 3 6

x x

x x

x x x

5

5 3 3

3 3

3

5

27 5

2 1 2

1 2

1 3

1 2

          3

3 2 2

2 2

2 2 2

2 2 2

3

8 2

1 3

4 4

2 2

1 4

4 2 2

1 4

x x

x x

A

Vậy

3 max

3

8 2

4 4

x x

Bài 4 Cho a>b>c>0 Tìm giá trị lớn nhất của    

ab

c b c ab

c a c

1

c a

c a b

c b

c b a

c a

c a b

c S

Vậy Smax  1 khi

c b

bc a





Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của

x x A

2 4 1 2

2

1  

4 1 2 1

x

x x

16

1 3 4

1 4

1 3 4

1 4

1 2

x x x

x x x

1 3



3 2

4

1 4

Nhận xét: Đôi khi việc dự đoán được giá trị của x làm cho bài toán thỏamãn cũng gợi ý cho chúng ta tìm ra cách giải bài toán, chúng ta cùng xét những

ví dụ minh họa sau:

Bài 6: Cho a 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của S=a 1

26 5 25

24 5

2 25

24 1 25

2 25

24 1

25      

a

a a

a a

Cách 2:

5

26 5

24 10 24 10 24 25 2 24 25

a

a a

a a

a a

Bài 7: Cho a2, tìm giá trị nhỏ nhất của 2

1

a a

Giải: Dự đoán S đạt min tại a = 2, cũng phân tích tương tự như trên nhưng để

cho phương pháp có hướng ứng dụng rộng ta làm như sau: Ta tìm số  thỏa mãn

2 7 2 8

1 2 8

7 8

1 2 8

7 1 8

2 8

7 1

a

a a

a a a

1 8

1

2  



a a

Cách giải đúng:

4

9 2 4

3 4

3 4

3 1 8

8

3 4

3 1 8

a

a a a a

a a

a a

b a b a

tìm giá trị nhỏ nhất củaSabab1

Giải:

4

1 4

1 2

17 4 16

15 2

1 16

15

16

1 2 16

15 16

ab ab S

Vậy Smin = 174 khi 2

1 4

1 16 1

ab ab

4 Một số bài toán sử dụng bất đẳng thức Côsi trong các kì thi học sinh giỏi.

Bài 1: Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:

(Đề thi hsg thành phố thanh hóa 2016 – 2017)

Từ (1) (2)

ta có đpcm

Bài 2 Cho tam giác ABC có 3 cạnh a, b, c thỏa mãn a + b + c = 6

Chứng minh : 52  3( a2 + b2 + c2 ) + 2abc < 54

(Đề thi hsg thành phố thanh hóa 2014 – 2015 )

Giải Gọi p là nửa chu vi của tam giác ABC ta có :

0 < p3 - p2(a + b + c) + 3(ab + bc + ca) - abc  1

0 < 33 - 32.6 + 3(ab + bc + ca) - abc  1

 0 < 27 - 54 + 3

2

) c b (a - c) b

6 2  2  23

Bài 3: Cho x,y,z là các số thực không âm và thỏa mãn điều kiện:

x2014 + y2014 + z2014 = 3 Tìm GTLN của biểu thức B = x2+ y2+ z2 (Đề thi hsg thành phố thanh hóa 2014 – 2015 Vòng 2)

Giải: Áp dụng BĐT CôSi cho 2014 số không âm:

Cộng 3 BĐT trên theo từng vế ta được

Vậy GTLN của B = 3 khi x = y = z = 1

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.

Từ nhận thức của bản thân trên cơ sở thực tiễn chọn đề tài và các biệnpháp triển khai đề tài, qua khảo sát thực tế việc tiếp thu của học sinh, tôi thấy đãđạt được một số kết quả cụ thể như sau:

1 Với việc trình bày các bài toán cơ bản, cùng với các ví dụ minh họangay sau đó học sinh dần tiếp cận và sử dụng được các kĩ thuật dùng bất đẳngthức côsi

2 Luyện tập cho học sinh thói quen suy nghĩ, quan sát, lập luận để họcsinh phát huy trí thông minh, óc sáng tạo, khả năng phân tích, tổng hợp, tư duyđộc lập và thông qua việc thảo luận, tranh luận mà học sinh phát triển khả năngnói lưu loát, biết lí luận chặt chẽ khi giải toán

3 Học sinh biết vận dụng các kiến thức đơn lẻ để giải các bài toán tổnghợp nhiều kiến thức

Với đồng nghiệp trau dồi thêm kiến thức kỹ năng về bất đẳng thức, nhàtrường có thêm tài liệu nâng cao kiến thức cho học sinh

gây được hứng thú cho HS khi học loại toán này Vì vậy, nếu mỗi thầy giáo, côgiáo có quyết tâm và chọn được hướng đi đúng chúng ta sẽ được kết quả nhưmong muốn Mặc dù đã rất cố gắng bằng việc tham khảo một lượng rất lớn cáctài liệu sách hiện nay để vừa viết, vừa mang đi giảng dạy cho các em học sinhcủa mình đã chọn từ đó kiểm nghiệm và bổ sung thiếu sót cần thiết, nhưng khótránh khỏi những thiếu sót bởi những hiểu biết và kinh nghiệm còn hạn chế, rấtmong nhận được những đóng góp quý báu của quý thầy giáo, cô giáo, các đồngnghiệp Qua đây tôi xin đề nghị cấp trên nên tổ chức các chuyên đề bồi dưỡnghọc sinh giỏi để giáo viên được tham gia nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp

vụ

XÁC NHẬN CỦA NHÀ TRƯỜNG Nông Cống, ngày 30 tháng 3 năm 2018

Tôi xin cam đoan đây là SKKN củamình viết, không sao chép nội dung

của người khác

Lê Thị Huệ

TÀI LI U THAM KH OỆU THAM KHẢO ẢO

- Tạp chí toán học & Tuổi trẻ

- Các bài giảng luyện thi môn toán - Phạm Đức Chính (chủ biên)

- Bất đẳng thức - Phan Huy Khải

1.2 Mục đích nghiên cứu 1

III Kỹ thuật đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng 7

IV Kỹ thuật nhân thêm hằng số trong đánh giá trung bình nhân

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáodục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường. 18