Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh khá, giỏi lớp 6 khai thác bài toán về giá trị nguyên của một phân số từ một bài toán trong sách bài tập toán 6

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NHƯ THANHTRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ THỊ TRẤN BẾN SUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHÁ GIỎI LỚP 6 KHAI THÁC BÀI TOÁN VỀ GIÁ TRỊ NGU

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NHƯ THANH

TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ THỊ TRẤN BẾN SUNG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN

HỌC SINH KHÁ GIỎI LỚP 6 KHAI THÁC BÀI TOÁN

VỀ GIÁ TRỊ NGUYÊN CỦA MỘT PHÂN SỐ

TỪ MỘT BÀI TOÁN TRONG SÁCH BÀI TẬP TOÁN 6

Người thực hiện: Vũ Chí Cường Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác: Trường THCS TT Bến Sung SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán

NHƯ THANH, NĂM 2018

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NHƯ THANH

TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ THỊ TRẤN BẾN SUNG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN

HỌC SINH KHÁ GIỎI LỚP 6 KHAI THÁC BÀI TOÁN

VỀ GIÁ TRỊ NGUYÊN CỦA MỘT PHÂN SỐ

TỪ MỘT BÀI TOÁN TRONG SÁCH BÀI TẬP TOÁN 6

Người thực hiện: Vũ Chí Cường Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác: Trường THCS TT Bến Sung SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán

NHƯ THANH, NĂM 2018

MỤC LỤC

Trang

B NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2

II Thực trạng của vấn đề khi chưa áp dụng SKKN 2 III Các giải pháp đã áp dụng để giải quyết vấn đề 3

2 Nghiên cứu bài tậ 22 (Trang 9, SBT toán 6- tập hai) 3

3 Khai thác và mở rộng các tình huống về bài toán

IV Hiệu quả của SKKN đối với hoạt động giáo dục,

với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 12

C KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 13

A MỞ ĐẦU

I Lý do chọn đề tài:

Qua nhiều năm công tác, giảng dạy và ôn luyện đội tuyển học sinh giỏi môn Toán, nội dung mà học sinh gặp rất nhiều khó khăn trong các đề thi nói chung và đề thi học sinh giỏi nói riêng đó chính là các bài tập về phần số học Thực tế trong nhiều năm liền trong kỳ thi học sinh giỏi môn Toán cấp tỉnh, rất ít học sinh giải quyết hết được phần số học Đối với huyện Như Thanh hầu như chỉ giải quyết được một nửa số lượng về phần này Vì thế mà ảnh hưởng không nhỏ đến khả năng đạt giải của các em

Thực tế, thời lượng cho phần số học trong chương trình Toán THCS là không nhiều, chủ yếu kiến thức cơ bản nằm ở chương trình Toán 6 Điểm khó là với đối tượng học sinh lớp 6, việc thay đổi môi trường học tập từ trường Tiểu học lên THCS, với yêu cầu cao hơn trong tư duy và suy luận Mặt khác, khả năng về ngôn ngữ để diễn đạt vấn đề và lập luận có căn cứ đối với các em lớp 6 còn rất hạn chế Vì thế, mà đối với học sinh lớp 6 gặp không ít khó khăn trong quá trình học tập và giải toán

Một thực tế nữa là kiến thức Số học trong sách giáo khoa, mới chỉ đưa ra các khái niệm cơ bản ban đầu Các bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập và các nguồn tài liệu khác còn hạn chế, thường chú trọng đến việc đưa ra lời giải cụ thể cho từng bài mà chưa quan tâm đến việc khái quát và phân dạng

Trong quá trình giảng dạy, tôi thấy bài toán về giá trị nguyên của một phân số là một dạng toán rất hay và khó đối các em học sinh lớp 6 Vậy, làm thế nào để ngay cả các em lớp 6 có thể tiếp cận, tìm tòi và giải quyết tốt bài toán?

Và đặc biệt cách tiếp cận đó làm sao phải phù hợp quá trình nhận thức của học sinh, từ thấp đến cao, từ đơn giản đến phức tạp

Từ những lý do đó, tôi mạnh dạn viết sáng kiến “ Một số kinh nghiệm

hướng dẫn học sinh khá giỏi lớp 6 khai thác bài toán về giá trị nguyên của phân số từ một bài toán trong sách bài tập toán 6” để cùng trao đổi thảo luận

và chia sẻ với các đồng nghiệp

II Mục đích nghiên cứu:

Đề tài này góp thêm một số kinh nghiệm nữa trong việc hướng dẫn học sinh lớp 6 tìm tòi, khai thác bài toán, đặc biệt trong bài toán về giá trị nguyên của một phân số Từ đó giúp các em hiểu rõ hơn về bản chất của một bài toán và biết cách suy luận logic Đồng thời góp phần rèn luyện khả năng tư duy linh hoạt sáng tạo trong giải toán

III Đối tượng nghiên cứu:

Đề tài tập trung nghiên cứu các bài toán thuộc phạm vi trong chương trình toán 6 được khai thác và mở rộng từ bài tập 22 (Trang 9, SBT Toán 6- tập hai)

IV Phương Pháp nghiên cứu:

- Phương pháp xây dựng cơ sở lý thuyết

- Phương pháp điều tra, khảo sát thực tế từ bài toán về giá trị nguyên của phân số đối với học sinh lớp 6

- Phương pháp thực hành giải toán

- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu

B NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

I Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm:

Chúng ta biết rằng, dù là dạng toán nào thì đều phải yêu cầu học sinh nắm vững kiến thức cơ bản Phân tích cho học sinh thấy được mối quan hệ giữa các đối tượng, giữa cái đã biết với cái chưa biết, cái đang tìm hiểu Từ đó hướng dẫn các em vận dụng sáng tạo, linh hoạt vào từng tình huống bài toán cụ thể

Việc hướng dẫn học sinh ôn tập từ kiến thức cơ bản để giải quyết các bài toán từ dễ đến khó, nâng dần mức độ đảm bảo khả năng tiếp thu của học sinh là hoàn toàn phù hợp với quá trình nhận thức

Trong học tập nói chung và học toán nói riêng, nếu người học mà tự tìm tòi, khai thác và hệ thống được kiến thức từ những bài toán cơ bản thì không những giúp cho người học nhớ, lâu tránh được lối tiếp thu thụ động mà còn tạo được thói quen suy nghĩ tích cực, tư duy linh hoạt sáng tạo, góp phần tích cực hóa hoạt động học tập

II.Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:

Qua việc dạy học các lớp chọn và ôn luyện bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6, bản thân nhận thấy các bài toán về phân số có giá trị nguyên luôn là nội dung khó đối với các em học sinh lớp 6, kể cả với các em trong đội tuyển học sinh giỏi môn toán

Trước khi triển khai đề tài, bản thân đã tiến hành khảo sát kiến thức với

30 học sinh lớp 6A trường THCS Thị trấn Bến Sung năm học 2016-2017 Các

em là những học sinh có lực học khá, giỏi môn Toán

Đề kiểm tra khảo sát: (Thời gian: 45 Phút)

Bài 1 (7,5 điểm): Tìm số nguyên n để các phân số sau có giá trị là một số

nguyên

a) 2

1

2

n n



2 1

n n





Bài 2 (2,5 điểm): Tìm phân số tối giản a

b lớn nhất với a, b là các số tự nhiên, sao cho khi chia mỗi phân số 4 6;

7 165 cho a

b ta được kết quả là số tự nhiên

Kết quả kiểm tra

Tổng

số HS

Từ kết quả trên cho thấy, tuy các em có lực học khá giỏi nhưng kết quả còn nhiều hạn chế Kinh nghiệm làm bài chưa có, khả năng suy luận, lập luận còn hạn chế Nhiều em còn không xác định được hướng giải quyết bài toán Đặc biệt, không có học sinh nào giải quyết được bài 2

III Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

1 Kiến thức cơ bản về phân số: Yêu cầu nắm vững một số kiến thức sau:

- Phân số có dạng a

b , ( ,a b Z b ,  0)

- Phân số a

b có giá trị là một số nguyên khi a b

2 Nghiên cứu bài tập 22 (Trang 9, SBT Toán 6- Tập hai)

Cho biểu thức 3

2

A n





a) Tìm các số nguyên n để biểu thức A là phân số

b) Tìm các số nguyên n để biểu thức A là một số nguyên

* Phân tích và hướng dẫn:

- Yêu cầu học sinh đọc kỹ đề bài

Câu a: Yêu cầu học sinh nhớ lại định nghĩa về phân số và cho biết biểu thức A là phân số khi nào?

Câu b: Yêu cầu học sinh tìm hiểu và cho biết biểu thức A có kết quả là một số nguyên khi nào?

- GV cần lưu ý với học sinh: Để phân số có giá trị là một số nguyên thì tử phải chia hết cho mẫu

Biểu thức 3

2

A n



 là một số nguyên khi 3 n  2 Với cách suy luận trên chúng ta đã đưa bài toán ở câu b về bài toán chia hết mà học sinh đã biết Điều này rất phù hợp với tư duy về toán, đó là ta đưa những bài toán mới, khó về những bài toán đơn giản hơn đã biết Công việc còn lại là khá đơn giản

* Sơ lược lời giải:

a) Biểu thức 3

2

A n



 là phân số khi n  2 là số nguyên khác 0

Từ đó suy ra: n 2

b) Biểu thức 3

2

A n



 là một số nguyên khi 3 n  2 Suy ra: n  l 2 à ước của 3 Ta có: ước của 3 Ta có: ủa 3 Ta có: c c a 3 Ta có:

2

Vậy, n 3;1;5; 1  

- Đặt vấn đề khai thác bài toán: Nếu tử không phải là một số nguyên cụ thể, thì bài toán sẽ giải quyết thế nào?

Ví dụ 1 Tìm số nguyên n để phân số 1

2

n B n





 có giá trị là một số nguyên

* Phân tích và hướng dẫn

- Yêu cầu học sinh tìm hiểu bài toán và trả lời câu hỏi tương tự như trên: Phân số 1

2

n B

n





 có giá trị là số nguyên khi nào?

- Từ đó, ta đưa về bài toán chia hết

* Sơ lược lời giải:

Phân số 1

2

n B n





 có giá trị là số nguyên khi n 1 n 2

Suy ra: (n 2) 3  n 2  3 n 2 Khi đó, n  2là ước của 3

Tương tự như bài toán trên ta tìm được n 3;1;5; 1  

* Một hướng suy nghĩ khác về bài toán:

- Trong bài toán trên, ta cũng đã đưa về bài toán chia hết để thực hiện, trong cách làm đó, ta đã tách n 1 thành n  2cộng với 3 Ta biết rằng n  2 chia hết cho n  2( thương là 1) nên suy ra 3 n  2

Từ đây, bài toán gợi ý cho ta cách trình bày thứ 2 mà tôi gọi là “tách phần nguyên” (tương tự như đối với hỗn số):

Ta có: 1 2 3 1 3

B

Để B có giá trị là số nguyên thì 3

2

n  có giá trị là một số nguyên Đây là bài toán ta đã giải quyết ở trên ( Bài 22, Trang 9, SBT Toán 6- tập hai)

* Một tình huống khác của bài toán:

- Khi tử của phân số không phải là một số nguyên cụ thể và phân số lại không tách được phần nguyên thì bài toán sẽ giải quyết thế nào?

Ví dụ 2 Tìm số nguyên n để phân số 1

2 2

n C n





 có giá trị nguyên

* Phân tích và hướng dẫn:

- Với bài toán này, ta vẫn yêu cầu học sinh dùng các suy luận trên để làm bài Nhưng học sinh sẽ gặp khó khăn khi phân số đã cho không tách được phần nguyên Và nếu có chuyển về bài toán chia hết: n 1 2  n 2 thì cũng không tách

ra được số hạng chia hết cho 2n 2 Vậy phải xử lý bài toán thế nào?

- Trước hết, ta cũng đưa bài toán trên về bài toán chia hết: n 1 2  n 2

- Vì hệ số của n ở số chia là 2 nên ta “mong muốn” xuất hiện hệ số 2 của

n ở số bị chia, bằng cách dùng tính chất của phép chia hết như sau:

Từ n 1 2 n 2 suy ra: 2(n 1) 2  n 2

2 2 2 2 (2 2) 4 2 2

4 2 2

n







Suy ra 2n 2 là ước của 4 Từ đó ta tìm ra n

Tuy nhiên, vì n tìm được là những giá trị để 2(n 1) 2  n 2 chứ chưa phải

là các giá trị để n 1 2  n 2 Vậy, ta cần thử lại để có kết luận bài toán

* Sơ lược lời giải:

Phân số 1

2 2

n C n





 có giá trị nguyên khi n 1 2 n 2

2 2 2 2 (2 2) 4 2 2

4 2 2

n







Suy ra 2n 2 là ước của 4 Mà 2n 2 là số chẵn nên ta có b ng sau: ảng sau:

2n+2 -2 2 -4 4

n -2 0 -3 1 Thử lại: +) Với n=-2 thì 3

2

C  (không thỏa mãn)

+) Với n=0 thì 1

2

C  (không thỏa mãn)

+) Với n=-3 thì C 1 (thỏa mãn)

+) Với =1 thì C 0 (thỏa mãn) Vậy, n   3;1

* Nhận xét:

- Như vậy, trong bài toán trên ta đã chọn một bội của n-1 sao cho hệ số của n trên tử phải chia hết cho hệ số của n dưới mẫu Ta có thể chọn các bội khác là 4(n 1);6(n 1) nhưng để đơn giản ta chọn là 2(n 1)

- Từ góc nhìn khác về bài toán, ta có thể phân tích bài toán như sau:

Yêu cầu học sinh quan sát và phát hiện đặc điểm của mẫu số: Hai hạng tử của mẫu đều có chứa thừa số 2, nên ta có thể dùng tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng để đặt thừa số 2 làm chung cho tổng:

2n  2 2(n 1)

Từ n 1 2  n 2 ta có: n 1 2(  n 1) Theo quan hệ chia hết ta có thể suy luận ra điều gì?

Suy ra: n 1 n 1

- Đến đây, ta được bài toán như ví dụ 1 Việc giải tìm n là đơn giản Tuy nhiên các giá trị n tìm được để n 1 n 1 nhưng chưa phải là các giá trị để

1 2 2

n  n (n 1 n 1 nhưng chưa chắc n 1 2  n 2) Vì vậy, ta phải thử lại để

có được các giá trị n cần tìm

* Sơ lược cách giải:

Phân số 1

2 2

n C n





 có giá trị nguyên khi n 1 2 n 2

1 2 2

1 2( 1)

n











Suy ra n 1 là ước của 2 Ta có bảng sau:

n+1 -1 1 -2 2

n -2 0 -3 1

Thử lại: +) Với n=-2 thì 3

2

C  (không thỏa mãn)

+) Với n=0 thì 1

2

C  (không thỏa mãn)

+) Với n=-3 thì C 1 (thỏa mãn)

+) Với =1 thì C 0 (thỏa mãn) Vậy, n   3;1

- Với ví dụ này, ta có thể trình bày theo cách “tách phần nguyên” được không? Ta hoàn toàn có thể làm được Vì việc xử lý bài toán bằng cách dựa vào quan hệ chia hết như trên chính là gợi ý cho chúng ta trình bày theo cách tách phần nguyên Để thấy rõ nét hơn về cách làm, chúng ta cùng đến với bài tập sau:

Ví dụ 3 Tìm số nguyên n để 1

2 1

n D n





 có giá trị là một số nguyên

* Phân tích và hướng dẫn:

- Theo cách làm trên, ta sẽ phải nhân với tử một số nguyên sao cho hệ số của n trên tử phải chia hết cho hệ số n ở dưới mẫu Ta chọn số 2

* Sơ lược cách giải:

Phân số 1

2 1

n D n





 có giá trị là một số nguyên, suy ra: 2 2 2

2 1

n D n





 có giá trị là một số nguyên

Ta có: 2 2 2 2 1 3 1 3

D

Để 2D có giá trị nguyên thì 2n  l 1 à ước của 3 Ta có: ước của 3 Ta có: ủa 3 Ta có: c c a 3 Ta có b ng sau: ảng sau:

2n+1 -1 1 -3 3

n -1 0 -2 1 Thử lại: +) Với n=-1 thì D 2 (thỏa mãn)

+) Với n=0 thì D 1(thỏa mãn) +) Với n=-2 thì D 1(thỏa mãn) +) Với n=1 thì D 0 (thỏa mãn) Vậy, n   1;0; 2;1  

Từ bài tập trên, ta có thể khai thác, mở rộng và hệ thống thành dạng bài tập về tìm điều kiện để phân số có giá trị là một số nguyên Đây là một dạng bài tập khá hay và phổ biến trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi toán ở lớp 8, lớp 9 Tuy nhiên, đối với học sinh lớp 6 thì đang còn rất mới mẻ và khó

3 Khai thác và mở rộng các tình huống về bài toán giá trị nguyên của phân số.

3.1.Tình huống 1: Khai thác bài toán bằng cách thay đổi về tính chất số.

Bài 1: a) Tìm số nguyên âm n để phân số 3

2

n  có giá trị là một số nguyên âm.

b) Tìm số tự nhiên n để phân số 4

2

n n



 có giá trị là một số nguyên.

* Sơ lược cách giải:

a) Phân số 3

2

n  có giá trị là số nguyên âm khi n  2 là ước âm của 3.

Ta có: +) n 2   1 n 1 (không thỏa mãn)

+) n 2   3 n 1(thỏa mãn) Vậy, n 1

b) Ta có: 4 1 2

n



 

Phân số 4

2

n n



 có giá trị là một số nguyên khi n 2 là ước của 2, mà n là

số tự nhiên nên n   2 2 n 0

Vậy, n 0

3.2.Tình huống 2: Tìm điều kiện để nhiều phân số đều có giá trị nguyên.

Bài 2: Tìm số nguyên n để các phân số sau đều có giá trị nguyên:

a) 3

2

n  ; 4

2

n  và 5

2

n 

b) 2

1

n  và 5

1

n n





* Phân tích và hướng dẫn:

- Ở câu a, ta cho học sinh suy nghĩ để suy luận tương tự như bài tập trên đối với mỗi phân số và phát hiện “điểm” đặc biệt của bài toán Đó là n+2 là ước chung của 3; 4 và 5

- Ở câu b, ta định hướng để học sinh phát hiện được đặc điểm khác nhau

cơ bản của 2 phân số Từ đó, đề xuất phương án “ tách phần nguyên” đối với phân số 5

1

n

n





* Sơ lược cách giải:

a) Các phân số 3

2

n  ; 4

2

n  và 5

2

n  đều có giá trị là các số nguyên khi n+2 là ước chung của 3, 4 và 5 Mà ƯC(3,4,5)  1;1 nên:

+) n 2   1 n 3

+) n   2 1 n 1

Vậy n    1; 3

b) Ta có: 5 1 4 1 4

   Để phân số 5

1

n n



 có giá trị là một số nguyên thì n 1 là ước của 4

Mặt khác, để phân số 2

1

n  có giá trị nguyên thì n 1 là ước của 2

Suy ra, n 1là ước chung của 2 và 4 Mà ƯC(2,4)    Nên ta có: 1; 2

n+1 -1 1 -2 2

n -2 0 -3 1 Vậy, n   2;0; 3;1  

Bài 3: Tìm số tự nhiên n để các phân số có giá trị là các số nguyên:

a) 3

1

n  và 9

2n 3 b) 4

1

n  và 2 1

2

n n





* Phân tích và hướng dẫn:

- Ở câu a, nhận thấy hai phân số này không cùng mẫu Vì vậy, ta định hướng cho học sinh giải độc lập đối với hai phân số Sau đó, để học sinh suy nghĩ trả lời cho câu hỏi: Với số tự nhiên n là bao nhiêu thì cả hai phân số đã cho

có kết quả là một số nguyên?

- Ở câu b, ta phải “tách phần nguyên” để đưa về dạng như câu a

* Sơ lược cách giải:

a) Phân số 3

1

n  có giá trị là một số nguyên khi n 1 là ước của 3 Với n

là số tự nhiên, ta tìm được n 0;2;

- Phân số 9

2n 3 có giá trị là số nguyên thì 2n 3 là ước của 9 Với n là số

tự nhiên, ta tìm được: n 0;1;3

Suy ra, để các phân số đều có giá trị là số nguyên thì n=0 Vậy n=0

* Lưu ý: Ở bài tập này, sau khi ta tìm được các số tự nhiên n để phân số thứ

nhất có giá trị là số nguyên Ta có thay lần lượt các số vừa tìm được vào phân

số thứ hai để kiểm tra trường hợp nào cho phân số có giá trị là số nguyên, từ đó

ta tìm được kết quả nhanh hơn

b) Ta có: 2 1 2( 2) 5 2 5

   Để phân số 2 1

2

n n



 có giá trị là một số nguyên thì n 1 là ước của 5 Với n là số tự nhiên, ta tìm được: n 3

- Nhận thấy, với n=3 thì phân số 4 4 1

1 3 1

n    (thỏa mãn)

Vậy giá trị cần tìm là n 3

3.3.Tình huống 3: Tìm điều kiện để tổng, hiệu của nhiều phân số có giá trị

nguyên

Bài 4: Tìm số tự nhiên n, để mỗi biểu thức sau có giá trị là số tự nhiên:

A

b) 2 3 3 5 8

B

* Phân tích và hướng dẫn

- Ở bài tập này, biểu thức là tổng của nhiều phân số Việc đầu tiên là ta

định hướng cho học sinh thực hiện việc cộng, trừ phân số để thu gọn biểu thức

* Sơ lược cách giải: