skkn hướng dẫn học sinh sử dụng tích phân vào giải một số bài toán thực tế trong chương trình toán lớp 12

Toán học có liên hệ chặt chẽ, mật thiết với thực tiễn và có ứng dụng rộng rãi trong rất nhiều lĩnh vực của khoa học, công nghệ cũng như trong sản xuất và đời sống.. Để theo kịp sự phát t

MỤC LỤC

PHẦN 1 MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục tiêu nghiên cứu: 1

3 Đối tượng nghiên cứu 1

4 Phương pháp nghiên cứu 2

PHẦN 2 NỘI DUNG 3

1 Cơ sở lí luận 3

2 Thực trạng 3

3 Giải pháp thực hiện 4

3.1 Kiến thức trang bị 4

3.2 Phương pháp 5

3.3 Thời gian tổ chức thực hiện 5

3.4 Các dạng toán cụ thể 6

4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 15

PHẦN 3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 18

1.Kết luận 18

2.Kiến nghị 18

PHẦN 1 MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài.

Toán học có liên hệ chặt chẽ, mật thiết với thực tiễn và có ứng dụng rộng

rãi trong rất nhiều lĩnh vực của khoa học, công nghệ cũng như trong sản xuất

và đời sống Toán học có vai trò thiết yếu đối với mọi ngành khoa học Bởivậy, việc rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán học vàothực tiễn là điều cần thiết đối với sự phát triển của xã hội và phù hợp với mụctiêu của giáo dục hiện nay

Để theo kịp sự phát triển mạnh mẽ của khoa học và công nghệ, chúng tacần phải đào tạo những con người lao động có hiểu biết, có kỹ năng và ý thứcvận dụng những thành tựu của Toán học trong điều kiện cụ thể nhằm mang lạinhững kết quả thiết thực Vì thế, việc dạy học Toán ở trường phổ thông phảiluôn gắn bó mật thiết với thực tiễn, nhằm rèn luyện cho học sinh kỹ năng vàgiáo dục họ ý thức sẵn sàng ứng dụng Toán học một cách có hiệu quả trong cáclĩnh vực kinh tế, sản xuất

Với vị trí đặc biệt quan trọng của môn Toán là môn học công cụ; cung cấpkiến thức, kỹ năng, phương pháp, góp phần xây dựng nền tảng văn hóa phổthông của con người lao động mới, việc thực hiện nguyên lí giáo dục ''Học điđôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, nhà trường gắn liền với

xã hội'' cần phải quán triệt trong mọi trường hợp để hình thành mối liên hệ qualại giữa lao động sản xuất, cuộc sống và Toán học

Trong đề thi THPT quốc gia những năm gần đây các câu hỏi về vận dụngkiến thức vào các bài toán thực tiễn được khai thác rất nhiều, đó là một trongnhững đổi mới của chương trình môn Toán về tính thực tiễn và liên môn Tuynhiên đây là các câu hỏi thuộc mức độ vận dụng hoặc vận dụng cao, ngoài ratrong sách giáo khoa hiện nay lại ít đề cập đến vấn đề này

Trong các bài toán thực tế trên thì những bài toán tính diện tích và thể tíchbằng cách sử dụng tích phân thường hay gặp

Vì vậy, để giúp học sinh tiếp cận và làm tốt câu hỏi phần này là rất cầnthiết nhằm đáp ứng nhu cầu thực tế hiện nay Từ thực tiễn giảng dạy lớp 12 cùng

với kinh nghiệm trong thời gian giảng dạy Tôi xin đưa ra đề tài: "Hướng dẫn

học sinh sử dụng tích phân vào giải một số bài toán thực tế trong chương trình Toán lớp 12 ".

2 Mục đích nghiên cứu

Thiết kế, xây dựng cách sử dụng tích phân vào giải các bài toán về diện tích

và thể tích

3 Đối tượng nghiên cứu

Nguyên hàm, tích phân đặc biệt là ứng dụng của tích phân

4 Phương pháp nghiên cứu

4.1 Phương pháp nghiên cứu lý thuyết

- Nghiên cứu tài liệu và các công trình nghiên cứu về nguyên hàm, tíchphân

- Nghiên cứu cơ sở lý luận về các ứng dụng của tích phân

4.2 Phương pháp chuyên gia

Gặp gỡ, trao đổi, tiếp thu ý kiến của các đồng nghiệp để tham khảo ý kiếnlàm cơ sở cho việc nghiên cứu đề tài

4.3 Phương pháp thực tập sư phạm

Thực nghiệm sư phạm ở trường THPT 4 Thọ Xuân, tiến hành theo quytrình của đề tài nghiên cứu khoa học giáo dục để đánh giá hiệu quả của đề tàinghiên cứu

4.4 Phương pháp thống kê toán học

Sử dụng phương pháp này để thống kê, xử lý, đánh giá kết quả thu được

PHẦN 2 NỘI DUNG 1.Cơ sở lí luận

1.1 Phương pháp dạy học tích cực

Phương pháp dạy học tích cực (PPDH tích cực) là một thuật ngữ rút gọn, được

dùng ở nhiều nước để chỉ những phương pháp giáo dục, dạy học theo hướng

phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của người học PPDH tích cực hướngtới việc hoạt động hóa, tích cực hóa hoạt động nhận thức của người học, tức làtập kết vào phát huy tính tích cực của người học chứ không phải là tập kết vàophát huy tính tính tích cực của người dạy

1.2 Dạy học tích hợp liên môn

Là định hướng dạy học trong đó giáo viên tổ chức, hướng dẫn để học sinhbiết huy động tổng hợp kiến thức, kĩ năng ,… thuộc nhiều lĩnh vực (mônhọc/hoạt động giáo dục) khác nhau nhằm giải quyết các nhiệm vụ học tập; thôngqua đó hình thành những kiến thức, kĩ năng mới; phát triển được những năng lựccần thiết, nhất là năng lực giải quyết vấn đề trong học tập và thực tiễn cuộcsống

Hình minh họa (nguồn từ internet)

2 Thực trạng.

Trong chương trình giải tích lớp 12, khi học về vấn đề: diện tích, thể tích

học sinh gặp rất nhiều khó khăn Hầu hết các em học sinh thường có cảm giác

“sợ” bài toán tính diện, thể tích trong thực tế Khi học vấn đề này nhìn chungcác em thường vận dụng công thức một cách máy móc chưa có sự phân tích ,thiếu tư duy thực tế và trực quan nên các em hay bị nhầm lẫn, hoặc không giảiđược, đặc biệt là những bài toán cần phải có hình vẽ để “chia nhỏ” diện tích mớitính được Thêm vào đó trong sách giáo khoa cũng như các sách tham khảo córất ít ví dụ minh hoạ một cách chi tiết để giúp học sinh học tập và khắc phục

“những sai lầm đó”

Trong thực tế các bài toán thuộc dạng này rất phong phú và đa dạng

3 Các giải pháp thực hiện

3.1 Kiến thức trang bị

3.1.1 Diện tích hình phẳng

 Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

– Đồ thị (C) của hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b].

 Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

– Đồ thị của các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b].

S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với

trục Ox tại điểm có hoành độ x (a  x  b).

Giả sử S(x) liên tục trên đoạn [a; b].

Thể tích của B là: b ( )

a

V S x dx

 Thể tích của khối tròn xoay:

Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường:

(C): y = f(x), trục hoành, x = a, x = b (a < b)sinh ra khi quay quanh trục Ox:

2 ( )

b a

Phương trình chính tắc của parabol

Phương trình chính tắc của hypebol

- Giải bài toán thực tiễn bằng cách dùng tích phân thường là các bài tập vận dụng

Để giúp cho học sinh phân tích bài toán và tìm ra phương pháp giải, tôi dạy học sinhtiến hành theo các bước sau đây:

+ Bước 1: Nhận dạng, phân tích hình hoặc vật thể.

Tôi xem đây là bước quan trọng nhất, bởi vì chúng ta phải biết nhận dạng hình hoặcvật thể thì mới chọn được hệ tọa độ để thiết lập hàm số Thông thường ta thường dựavào tính đối xứng của hình; hoặc chia thành nhiều phần để tính

+ Bước 2: Chọn hệ tọa độ thích hợp.

+ Bước 3: Thiết lập hàm số.

+ Bước 4: Tính kết quả.

-Dựa vào các công thức về tích phân và máy tính cầm tay Casio, Vinacal,

3.3 Thời gian tổ chức thực hiện

- Giáo viên nên dạy phương pháp này vào những tiết tự chọn hoặc dạy bồi dưỡng.Giáo viên có thể cho học sinh nhiều bài tập về nhà để học sinh nghiên cứu, chuyênsâu tạo kỹ năng làm toán

- Giáo viên dạy phương pháp này cho học sinh ở khối 12

- Giáo viên dạy phương pháp này như một chuyên đề trong các lớp luyện thi THPTQuốc gia

3.4 Các dạng toán cụ thể

Dạng 1: Tính diện tích hình phẳng.

Ví dụ 1: Một mảnh vườn hình tròn tâm O bán kính

6m Người ta cần trồng cây trên dải đất rộng 6m nhận

O làm tâm đối xứng, biết kinh phí trồng cây là 70000

đồng/ m2 Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng cây trên dải

đất đó (số tiền được làm tròn đến hàng đơn vị)

Hướng dẫn

+) Gắn hệ trục tọa độ Oxy sao cho tâm O trùng với

tâm của hình tròn, Ox song song với dây cung của

mảnh đất

+) Tính diện tích của phần hình phẳng phía trên Ox

+) Sử dụng công thức ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng, sau đósuy ra số tiền

Cách giải:

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ:

Xét hệ trục tọa độ oxy đặt vào tâm khu

vườn, khi đó phương trình đường tròn tâm O

là x 2  y 2  36

Khi đó phần nửa cung tròn phía trên trục Ox có phương trình y 36  x2 f x( )

Khi đó diện tích S của mảnh đất bằng 2 lần diện tích hình phẳng giới hạn bởitrục hoành, đồ thị yf x( ) và hai đường thẳng x 3; x 3

3

2 3

2 36



 S    x dx (bấm máy).

Do đó số tiền cần dùng là 70000.S  4821322 đồng

Ví dụ 2: Một người có mảnh đất hình tròn có bán kính 5m, người này tính trồng

cây trên mảnh đất đó, biết mỗi mét vuông trồng cây thu hoạch được giá 100nghìn đồng Tuy nhiên cần có khoảng trống để dựng chồi và đồ dùng nên ngườinày căng sợi dây 6m sao cho 2 đầu mút dây nằm trên đường tròn xung quanhmảnh đất Hỏi người này thu hoạch được bao nhiêu tiền

Hướng dẫn:

Đặt hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ

Phương trình đường tròn của miếng đất sẽ

là x2 y2  25

Diện tích cần tính sẽ bằng 2 lần diện tích

phần tô đậm phía trên

Phần tô đậm được giới hạn bởi đường cong

có phương trình là y 25  x2 , trục

;  5;  4

Ox x x (trong đó giá trị 4 có được

dựa vào bán kính bằng 5 và độ dài dây cung

bằng 6)

Vậy diện tích cần tính là

4

2 5

2 25 74, 45228



Vậy thu hoạch được 7445228 đồng

Ví dụ 3: Ông A có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng 20m và độ

dài trục bé bằng 16m Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 10m và nhận

trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình) Biết kinh phí để trồng hoa là

100.000 đồng/1m 2 Hỏi Ông A cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên mảnh đấtđó?

Hướng dẫn

+) Gắn hệ trục tọa độ Oxy sao cho tâm O trùng với tâm của hình elip

+) Tính diện tích của phần hình phẳng phía trên Ox

+) Sử dụng công thức ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng

10m

y

x

Vậy cần 15.305.783 đồng.

Ví dụ 4: Một viên gạch hoa hình vuông cạnh 40 cm Người

thiết kế đã sử dụng bốn đường parabol có chung đỉnh tại tâm

của viên gạch đế tạo ra bốn cánh hoa (được tô màu sẫm như

hình vẽ bên) Diện tích mỗi cánh hoa của viên gạch bằng bao

Với A 20;20 ,  xét hình phẳng ở góc phân tư thứ nhất

Hai Parabol có phương trình lần lượt là: y a x P  2 1 và

Ví dụ 5: Thành phố P xây cây cầu dài 500m bắc ngang qua sông, biết rằng người ta

định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol, mỗi nhịp cách nhau 40m, biết 2 bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây 1 chân trụ rộng 5m Bề dày nhịp cầu không đổi là 20cm Biết 1 nhịp cầu như hình vẽ Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp

cầu là bao nhiêu (bỏ qua thể tích cốt sắt trong mỗi nhịp cầu).

Hướng dẫn

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với gốc O(0;0) là chân cầu (điểm tiếp xúc Parabol trên), đỉnh I(25; 2), điểm A(50;0) (điểm tiếp xúc Parabol trên với chân đế)

Gọi Parabol trên có phương trình (P1): 2 2

V S   m  số lượng bê tông cần cho mỗi nhip cầu 2m3

Vậy 10 nhịp cầu 2 bên cần 40m3 bê tông

Ví dụ 6: Một sân chơi cho trẻ em hình chữ

nhật có chiều dài 100m và chiều rộng là

60m người ta làm một con đường nằm

trong sân (như hình vẽ) Biết rằng viền

ngoài và viền trong của con đường là hai

đường Elip, Elip của đường viền ngoài có

trục lớn và trục bé lần lượt song song với

các cạnh hình chữ nhật và chiều rộng của mặt đường là 2m Kinh phí của mỗi

2

m làm đường 600.000đồng Tính tổng số tiền làm con đường đó

Hướng dẫn

Đặt hệ trục tọa độ với tâm O là giao điểm 2

đường chéo hình chữ nhật và Ox, Oy song

song với cạnh chiều dài và chiều rộng

Diện tích mặt đường là diện tích phần mặt

phẳng giới hạn bởi 2 elip  

Ví dụ 7: Một khuôn viên dạng nửa hình tròn có đường kính bằng 4 5 (m) Trên

đó người thiết kế hai phần để trồng hoa có dạng của một cánh hoa hình parabol

có đỉnh trùng với tâm nửa hình tròn và hai đầu mút của cánh hoa nằm trên nửađường tròn (phần tô màu), cách nhau một khoảng bằng 4(m), phần còn lại củakhuôn viên (phần không tô màu) dành để trồng cỏ Nhật Bản Biết các kích thướccho như hình vẽ và kinh phí để trồng cỏ Nhật Bản là 100.000 đồng/m2 Hỏi cầnbao nhiêu tiền để trồng cỏ Nhật Bản trên phần đất đó ?

A B

C D

E F

N M

12 m

6 m

4 m I

C D

E F

N M

12 m

6 m

4 m I

Đặt hệ trục tọa độ với tâm O là tâm của đường tròn như hình vẽ trên

Khi đó nửa đường tròn có phương trình: x2y2  20,

Ví dụ 8: Một công ty quảng cáo X

muốn làm một bức tranh trang trí hình

MNEIF ở chính giữa của một bức tường

hình chữ nhật ABCD có chiều cao

phần của cung parabol có đỉnh I là

trung điểm của cạnh AB và đi qua hai

điểm C, D Kinh phí làm bức tranh là 900.000đồng/m2

Hỏi công ty X cần bao nhiêu tiền để làm bức tranh đó ?

y

x

Khi đó parabol có phương trình:  1 2 6

Hướng dẫn

Ta gọi trục tọa độ Oxyz như hình vẽ Khi đó phần giao  H là

một vật thể có đáy là một phần tư hình tròn tâm O bán kính a

, thiết diện của mặt phẳng vuông góc với trục Ox là một hình

vuông có diện tích S x  a2  x2

Thể tích khối  H là    2 2 3

2 3

Ví dụ 10: Người ta dựng một cái lều vải

(H) có dạng hình “chóp lục giác cong đều”

như hình vẽ bên Đáy của (H) là một hình

lục giác đều cạnh 3 m Chiều cao SO  6m

(SO vuông góc với mặt phẳng đáy) Các

cạnh bên của (H) là các sợi dây

1, , , , ,2 3 4 5 6

c c c c c c nằm trên các đường

parabol có trục đối xứng song song với SO.

Giả sử giao tuyến (nếu có) của (H) với mặt

thì lục giác đều có cạnh bằng 1m Tính thể tích phần không gian nằm bên trong

Ví dụ 11: Trong chương trình nông thôn mới, tại một xã X có xây một cây cầu

bằng bê tông như hình vẽ Tính thể tích khối bê tông để đổ đủ cây cầu (Đườngcong trong hình vẽ là các đường Parabol)

Hướng dẫn

Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ

5m 2m

0,5m

8 19

361 2

361 2

2

a a

b b

1 5

Kí hiệu V là thể tích của hình nêm

(Hình 2).Tính V

Hướng dẫn

y

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ Khi đó hình nêm có đáy là nửa hình tròn có phương trình : y 225  x x2 ,    15;15 

Một một mặt phẳng cắt vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x,

x   15;15 

cắt hình nêm theo thiết diện có diện tích là S x (xem hình)

Dễ thấy NP y và MN NP tan450  y 15  x2khi đó

Ví dụ 13: Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây Đáy là

hình tròn bán kinh 4 cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc với trục Ox ta được

thiết diện là tam giác đều Thể tích của vật thể là:

Đặt hệ trục với tâm O, là tâm của mặt cầu; đường

thẳng đứng là Ox, đường ngang là Oy; đường tròn

(25 )



   =132 (bấm máy)

4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

Trên cơ sở thực tiễn việc đổi mới phương pháp và nội dung giảng dạy mônToán cho học sinh lớp 12 là hợp lý và thu được kết quả tốt, tôi đã thực hiệnthành công mục tiêu đề ra, đó là vận dụng những kiến thức trong sách giáo khoa

5dm

3dm 3dm

để có thể giải quyết được những bài toán trong thực tế Từ đó không chỉ giúpcác em có thể giải quyết được những bài tập mà còn có thể vận dụng vào thực tếcuộc sống, các em hứng thú hơn trong việc lĩnh hội tri thức.

Kết quả về điểm số là khả quan trên cơ sở đặt tỷ lệ đó vào mối tương quanvới chất lượng các lớp thực nghiệm và các lớp vẫn dạy theo phương pháp truyềnthống Học sinh đó bắt đầu nắm vững kiến thức, có kỹ năng vận dụng vào thựctiễn cuộc sống, có hứng thú, say sưa học toán

Bên cạnh một số bài tập cơ bản phù hợp với đa số đối tượng học sinh, cũng

có những bài tập đòi hỏi học sinh phải có khả năng tư duy cao, phải tích luỹđược nhiều kinh nghiệm Từ đó, khuyến khích lòng hăng say tìm tòi giải bài tậpcủa một nhóm học sinh có nhận thức khá

Tôi đã chọn lớp 12A3 là lớp thực nghiệm (TN) để dạy cho học sinh, còn

lớp 12A4 là lớp đối chứng (ĐC) chỉ dạy theo sách giáo khoa Kết quả thựcnghiệm thu được khi cho hai lớp cùng làm một đề kiểm tra 45 phút về giảinhững bài toán tính diện tích và thể tích:

(%) 0.00 0.00 0.00 15.00 12.50 25.00 22.50 15.00 7.50 2.50