SKKN rèn luyện phương pháp và quy trình giải các bài toán về tính khoảng cách trong không gian cho học sinh lớp 11

Trong đề thi đại học ở cả ba khối bài toán về khoảng cách trong không gian giữ một vai trò quan trọng, nó xuất hiện ở hầu hết các đề thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng; đề thi học sinh

1 MỞ ĐẦU

1.1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong chương trình toán học cấp trung học phổ thông cụ thể là ở lớp 11, phần hình học không gian là một vấn đề không đơn giản đối với học sinh khi học cũng như đối với giáo viên khi giảng dạy Trong đề thi đại học ở cả ba khối bài toán về khoảng cách trong không gian giữ một vai trò quan trọng, nó xuất hiện ở hầu hết các đề thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng; đề thi học sinh giỏi, các đề thi tốt nghiệp trong những năm gần đây và thường chiếm một điểm và ngoài ra nó còn là tiền đề để các em học sinh học phần hình học giải tích trong không gian mà đó cũng là một phần mà trong đề thi cũng luôn chiếm một điểm Tuy nhiên hình học không gian nói chung và bài toán khoảng cách nói riêng là nội dung mà đòi hỏi học sinh phải có tư duy sâu sắc, kiên trì, chịu khó tìm tòi học hỏi ngay từ vấn đề đầu tiên, cơ bản là vẽ hình Học sinh phải có trí tưởng tượng hình không gian phong phú và phải đi từng li từng tí kiến thức, đối với học sinh đây là mảng kiến thức khó và thường không làm được hoặc thường để mất điểm trong các kì thi nói trên

Trong sách giáo khoa, lượng bài tập này không nhiều và không hình thành cho các em phương pháp để giải quyết bài toán khoảng cách Trong sách tham khảo cũng đưa ra lượng bài tập này rất nhiều nhưng hầu hết chưa hình thành cho học sinh cách thức, phương pháp chung để giải quyết cũng như phân loại cho học sinh các dạng, loại bài tập Đối với giáo viên, có nhiều lí do mà dẫn đến việc dạy học còn nhiều hạn chế chẳng hạn như do lượng thời gian ít ỏi ở trên lớp để truyền đạt kiến thức, không kiên trì đối với học sinh từ khâu nhỏ nhất, không kiểm tra một cách kịp thời việc học tập ở nhà của học sinh, do đó mà lượng kiến thức của học sinh thường bị rỗng, dần dần trở thành nắm không vững hoặc không còn biết gì về hình không gian

Từ những lý do trên, trong năm học qua tôi đã thử nghiệm và thực hiện nhiều giải pháp để nâng cao chất lượng dạy học Một trong các giải pháp mà bản thân đã

mạnh dạn áp dụng và đúc rút thành kinh nghiệm đó là: “Rèn luyện phương pháp

và quy trình giải các bài toán về tính khoảng cách trong không gian cho học sinh lớp 11 ” , xin được trình bày với mong muốn nhận được sự ủng hộ của đồng

nghiệp, các thầy cô giáo và hội đồng khoa học giáo dục các cấp

1.2 Mục đích nghiên cứu

Trên cơ sở lý luận và thực tiễn, tôi đã đề ra “Rèn luyện phương pháp và quy trình giải các bài toán về tính khoảng cách trong không gian cho học sinh lớp

11 ”

1.3 Đối tượng nghiên cứu

- SKKN nghiên cứu về biện pháp hướng dẫn học sinh rèn luyện phương pháp và quy trình giải các bài toán về tính khoảng cách trong không gian cho lớp 11

- Đối tượng khảo sát thử nghiệm là học sinh khối 11 trường PT Nguyễn Mộng Tuân Đông Sơn Thanh Hóa

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết

- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin

- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm

2 NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Định nghĩa: Cho điểm O và đường

thẳng  Gọi H là hình chiếu của O

trên  Khi đó:

* Nhận xét

H O

* Phương pháp: Để tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng  ta có thể

+ Xác định hình chiếu H của O trên  và tính OH

+ Ta có thể gắn vào tam giác có đáy nằm trên đường thẳng a và có đỉnh là điểm O

2 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Định nghĩa: Cho điểm O và mặt phẳng

() Gọi H là hình chiếu của O trên

() Khi đó: OH=

* Nhận xét

O

P

* Một số kiến thức thường được sử dụng:

1 Trong hình chóp đều, thì chân đường cao hạ từ đỉnh trùng với tâm đáy

2 Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường vuông góc

hạ từ đỉnh sẽ thuộc giao tuyến của mặt bên đó với đáy

3 Hình chóp có 2 mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao chính là giao tuyến của hai mặt bên này

4 Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau (hoặc tạo với đáy những góc bằng nhau) thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy

5 Hình chóp có các mặt bên tạo với đáy những góc bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đáy

3 Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng song song với nó

Định nghĩa: Cho điểm đường thẳng a

song song với mặt phẳng (P) Khi đó:

* Nhận xét

-a O

M

P

* Phương pháp: Việc tính khoảng cách từ đường thẳng a đến mặt phẳng (P)

được quy về việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

4 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Định nghĩa: Khoảng cách giữa hai

mặt phẳng song song là khoảng cách từ

một điểm bất kì của mặt phẳng này đến

mặt phẳng kia Kí hiệu

* Nhận xét

M

Q P

* Phương pháp: Việc tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được quy

về việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

.

5 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b Đường thẳng  cắt cả a và b đồng thời vuông góc với cả a và b được gọi là đường vuông góc chung của a và b Đường vuông góc chung  cắt a tại H và cắt b tại K thì độ dài đoạn thẳng MN gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b Kí hiệu

* Nhận xét

Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau a và b ta làm như sau: + Tìm H và K từ đó suy ra

+ Tìm một mặt phẳng (P) chứa a và song song với b Khi đó

+ Tìm cặp mặt phẳng song song (P), (Q) lần lượt chứa a và b Khi đó

* Lưu ý:

- Nếu thì ta tìm mặt phẳng (P) chứa a và vuông góc với b, tiếp theo

ta tìm giao điểm I của (P) với b Trong mp(P), hạ đường cao IH Khi đó

- Nếu tứ diện ABCD có AC = BD, AD = BC thì đoạn thẳng nối hai trung điểm của AB và CD là đoạn vuông góc chung của AB và CD.

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến

Trong quá trình dạy học từ khi vào ngành đến nay, việc dạy học hình học không gian đối với bản thân và giáo viên trong trường đang còn nhiều lúng túng Đặc biệt là trong đề thi đại học của các năm gần đây thường có câu hình liên quan đến tính khoảng cách Qua quá trình theo dõi kết quả thi của các em học sinh nhiều năm trước thì bản thân tôi thấy rằng có một số học sinh học lực giỏi thường làm tốt các bài toán này Tuy nhiên số lượng đó không nhiều Một điều đáng tiếc và làm ta phải suy nghĩ là tại sao còn một số lượng tương đối lớn vẫn

bỏ câu này hoặc làm sai? Điều này rõ ràng trách nhiệm đầu tiên là ở bản thân giáo viên dạy, vẫn chưa nêu bật được bài toán gốc và giải quyết bài toán gốc về vấn đề tính khoảng cách Chưa hình thành cho học sinh các bước giải từng loại bài toán tính khoảng cách và do vậy mà học sinh không được rèn luyện nhiều, dẫn đến học sinh không thích và không làm được bài Trên đây là một trong những lí do mà học sinh còn chưa hứng thú với bài tập hình không gian, đặc biệt

là bài toán tìm khoảng cách

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

Để học sinh tiếp thu tốt phần này, giáo viên cần phân loại các bài toán tính khoảng cách, đồng thời nêu cách giải và các bước giải cho từng loại một

1 Phương pháp tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng bằng cách xác định hình chiếu của điểm lên mặt phẳng

Bài toán gốc: Cho mặt phẳng (P) và điểm S nằm ngoài mặt phẳng (P) H là

hình chiếu của S trên (P), AB là đường thẳng bất kỳ nằm trong (P) (H không thuộc (P)) Xác định hình chiếu vuông góc của H trên (P) Từ đó suy ra khoảng cách từ H đến (P)

Cách giải

Trong (P) hạ HI AB; Nối S với I

Trong mp(SHI), hạ HK SI Khi đó HK

mp(SHI)

Thật vậy:

Mặt khác:

HK SI (2)

Từ (1) và (2), suy ra: HK mp(SHI)

Xét trong tam giác SHI, vuông tại I

H

S

B

A

I K

Lưu ý: Nếu SHAB là tứ diện vuông tại H thì

2 Bài tập vận dụng

Ở các bài toán sau nhằm mục đích giúp học sinh làm quen, nhận dạng và vận dụng được bài toán gốc vào để giải quyết tìm khoảng cách từ một điểm đến

một mặt phẳng.

Ví dụ 1: Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh

bằng a, SA=a Tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SAB)

Lời giải

S.ABCD là hình chóp đều nên SO  (ABCD) Qua O kẻ OI vuông góc với AB

 (SOI)  (SAB)

Kẻ OH  SI  OH  (SAB)  d(O;(SAB)) = OH

Ta có: AC = BD = a, OI =

Xét SAO ta có: SO = SA - AO =

Xét SOI: = + =

 OH = a

Vậy: d(O; (SAB)) = a

H

I O

D

C B

A S

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, SA

vuông góc với đáy, góc giữa SB và mặt phẳng (SAC) bằng 300 Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC) theo a

Lời giải

I là trung điểm của AC nên BI AC (1)

Từ (1), (2), suy ra: BI (SAC) (ABC) (SAC).

Ta có:

Xét vuông tại A, ta có:

Hạ AJ BC J là trung điểm của BC Hạ AH

Ta có:

H I

J

C

B A

S

Ví dụ 3: (Khối D-2009) Cho hình lăng trụ đứng ABCA’B’C’, đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a, AA’=2a M là trung điểm A’C’, I llà giao điểm của AM với A’C Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (IBC)

Lời giải (IBC) chính là (A’BC), do vậy

d(A; (IBC))=d(A; (A’BC))

Ta có (A’BA) (A’BC)

(vì BC (A’BA))

(A’BA) (A’BC)=A’B

Vậy hạ AH A’B AH (A’BC)

d(A; (A’BC))=AH

3a

a

2a H

I M

C

A B

C '

A '

B '

* Nhận xét: Ở dạng bài tập này tương đối đơn giản và thường gặp trong các đề

thi đại học ở khối D trước đây Tuy vậy đây là bài toán cơ bản và là nền tảng để

học sinh vận dụng vào việc giải quyết các bài toán phức tạp hơn.

3 Bài tập củng cố

Bài tập 1: (Khối D-2013) Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD là

hình thoi cạnh bằng a, SA vuông góc với mp(ABCD), , M là trung điểm của BC và Tính thể tích khối chóp SABCD và khoảng cách từ

D đến mặt phẳng (SBC)

Bài tập 2: (Khối D-2012) Cho hình hộp đứng ABCDA’B’C’D’ có đáy là hình vuông, tam giác A’ AC vuông cân, A’C=a Tính thể tích khối chópABB’C’

và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD’) theo a

Bài tập 3: Cho hình chóp tứ giác SABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh

bằng a, SA vuông góc với mp(ABCD) và SA = a

a Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBC);

b Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SAD);

c.Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(SBD);

2 Tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng bằng phương pháp dời điểm

Mở rộng bài toán gốc

Ở bài toán gốc trên cho học sinh thấy được sự hạn chế của nó đó là SH (HAB) thì việc tính khoảng cách từ H đến (SAB) là đễ dàng Tuy nhiên trong thực tế thường phải tính khoảng cách từ I đến (SAB) mà SI không vuông góc với (SAB) Ở bài toán sau giúp ta khắc phục điều đó

*Bài toán mở rộng:

Cho (P), S không thuộc (P), H là hình chiếu của S trên (P); AB là đường thẳng nằm trong (P), H không thuộc AB Với I thuộc (P) Tìm mối liên hệ giữa d(I;(SAB)) và d(H;(SAB))?

Lời giải

Ta có:

(với K là giao điểm của IH và (SAB))

Như vậy nếu biết d(H; (SAB)) và tỉ số thì tìm được d(I; (SAB))

Trên đây cho ta mối liên hệ giữa d(I; (SAB)) và d(H; (SAB))

N M

I

H

B

A

I H S

* Quy trình tính

Bước 1: Xác định

Bước 2: Tìm

Bước 3: Thiết lập tỉ số

Bước 4: Tính (Sử dụng phương pháp giải của bài toán gốc)

Bước 5: Tìm

Bài tập áp dụng

Ví dụ 1: (Khối D năm 2011) Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam

giác vuông tại B, BA=3a, BC=4a, (SBC) (ABC) , Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) theo a

Lời giải Bước 1: Thiết lập mối liên hệ giữa khoảng cách từ B đến (SAC) và khoảng cách

từ H đến (SAC)

Bước 2: Tìm

vuông tại H, suy ra:

Vậy

Bước 3:

Thiết lập

Bước 4: Tính

Như vậy để tìm ta tìm

Việc tìm là việc vận dụng bài toán gốc vào để giải

Hạ nối S với I,

hạ

Ta có:

K

I

A B

S

Bước 5:

Ví dụ 2: (KA-14) Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SD=

Hình chiếu của S lên (ABCD) là trung điểm của AB Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD)

Lời giải

Nhận thấy SH không vuông góc với (ABCD) Tuy nhiên SH (ABCD) Như vậy ta có thể chuyển về việc tính

Bước 1: Ta có AH (SBD)=B.

Bước 2: Mặt khác

Bước 3:

Bước 4: Từ H hạ HI BD (suy ra

I là trung điểm BO)

Trong mặt phẳng (SHI), hạ HK SI

Khi đó: HK=

a

3a 2 K

H

D

C B

A S

Xét vuông tại H:

Bước 5:

Ví dụ 3: (KB-14) Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu của A’ lên (ABC) là trung điểm của AB, góc giữa A’C và đáy bằng 600 tính khoảng cách từ B đến (ACC’A’)

Lời giải

Ta có:

Bước 1: BH (A’AC)=A

Bước 2:

Bước 3:

K

C

B A

B '

C '

A '

Bước 4: Từ H hạ HI AC; Nối A’ với I; hạ HK A’I

Ta chứng minh được HK (A’AC)

Bước 5:

Bài tập củng cố

Bài tập 1: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, góc , có SO vuông góc mặt phẳng (ABCD) và SO = a

a) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC)

b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC)

Bài tập 2: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SA=a Tính các khoảng cách sau:

(G, H lần lượt là các trọng tâm các tam giác SAC, SAB)

Bài tập 3: Cho hình chóp SABC có tam giác ABC vuông cân tại A, AB=AC=a; M là trung điểm của AB Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MBC Góc giữa SB với mặt phẳng đáy bằng 600

a Tính thể tích khối chóp SABC;

b Tính khoảng cách từ C đến (SAB)

3 Phương pháp sử dụng công thức thể tích để tính khoảng cách

1 Phương pháp: Thể tích của khối chóp Theo cách này, để tính khoảng cách từ đỉnh của hình chóp đến mặt đáy, ta đi tính V và S

(Phần này chỉ áp dụng và triển khai cho đối tượng học sinh lớp 12 khi đã học về phần công thức thể tích khối đa diện).

2 Bài tập áp dụng:

Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB =

a, SA = Gọi M, N,

P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB, CD

Tính khoảng cách từ P đến mặt phẳng (AMN)

Phân tích Theo giả thiết, việc tính thể tích các khối

chóp S.ABCD hay S.ABC hay AMNP là dễ dàng Vậy

ta có thể nghĩ đến việc quy việc tính khoảng cách từ P

đến mặt phẳng (AMN) về việc tính thể tích của các

khối chóp nói trên, khoảng cách từ P đến (AMN) có

thể thay bằng khoảng cách từ C đến (SAB)

Lời giải.

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, khi đó SO  (ABCD)

M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB nên

Vậy

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông

góc với đáy hình chóp Cho AB = a, SA = Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (AHK)

Phân tích Khối chóp AOHK và ASBD có chung đỉnh, đáy cùng nằm trên một

mặt phẳng nên ta có thể tính được thể tích khối chóp OAHK, hơn nữa tam giác AHK cân nên ta tính được diện tích của nó.

Lời giải Cách 1: Ta chứng minh

Ta có:

P

N M

O B

D

C

A

S

Cách 2:

Trong đó:

;

Ta có HK và BD đồng phẳng và cùng

vuông góc với SC nên HK // BD

AI cắt SO tại G là trọng tâm của tam giác

SAC, G thuộc HK nên:

G

I K

H

O D

C B

A S

Tam giác AHK cân tai A, G là trung điểm của HK nên AG  HK và

Tứ diện ASBD vuông tại A nên:

Tam giác OHK cân tại O nên có diện tích S bằng

3 Bài tập tự luyện

Bài tập 1 (Đề thi Đại học khối A năm 2011) Cho hình chóp S.ABC có

đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60o Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.